Клиначёв Николай Васильевич

Инженерная методика подготовки разностных уравнений и алгоритмов программ, реализующих дискретные передаточные функции на ЦВМ

Существует три основных алгоритма программной реализации дискретных передаточных функций (z-ПФ):

Алгоритм Требуемое быстродействие Объём памяти
gif-file, 2KB Непосредственный
а) с двумя буферами
б) с одним буфером
$24(m+k+1)/T_ц$
надо
$9m+9k+12$
уточнить
gif-file, 2KB Последовательный $52k/T_ц$ $20k+10$
gif-file, 2KB Параллельный $50k/T_ц$ $19k+8$

Дискретную ПФ можно представить в любой из форм:

gif-file, 2KB

– стандартная форма
для дискретных ПФ

$W(z)$ =  $Y(z)$  =  $b_0+b_1z^{-1}+…+b_mz^{-m}$
$X(z)$ $a_0+a_1z^{-1}+…+a_kz^{-k}$

gif-file, 2KB

– разложение z-ПФ
на множители [1]

$W(z)$ =  $Y(z)$  =  $K$   $1+e_2z^{-1}$  …  $1+e_kz^{-1}$
$X(z)$ $1+d_1z^{-1}$ $1+d_2z^{-1}$ $1+d_kz^{-1}$

gif-file, 2KB

– разложение z-ПФ
на элементарные
дроби [1]

$W(z)$ =  $Y(z)$  =  $P_1$  +  $P_2$  + … +  $P_k$
$X(z)$ $1+d_1z^{-1}$ $1+d_2z^{-1}$ $1+d_kz^{-1}$

где: $e_i$ – нули z-ПФ; $d_i$ – полюсы z-ПФ; $a_0$ – не равно нулю; $P_i$ – коэффициенты разложения

Этим формам представления z-ПФ соответствуют структурные схемы изображенные на рис. 1.

gif-file, 2KB
Рис. 1

Перечисленные факторы определяют выбор алгоритма программы для ЦВМ.

После разложений, каждый из множителей в форме gif-file, 2KB или каждую из элементарных дробей в форме gif-file, 2KB следует представить в стандартной форме gif-file, 2KB (с отрицательными степенями оператора $z$). Переход к разностным уравнениям будет един. z-ПФ в форме gif-file, 2KB соответствует разностное уравнение (РУ):

gif-file, 2KB,

по которому и составляется программа. Поскольку текущее значение выходной координаты $y[n]$ рассчитывается по предыдущим значениям $y[n-1],~y[n-2],~y[n-k]$ – данное РУ называется рекурсивным.

Изобразим структурную схему цифрового фильтра для этого уравнения (см. рис. 2). Ее можно преобразовать, объединив два буфера (см. рис. 3). Цепочки элементов $z^{-1}$ в программах будут соответствовать буферам из ячеек памяти, данные в которых сдвигаются на каждом такте дискретизации. Обе структурные схемы можно составить из простейших блоков программы VisSim.

Структурная схема рекурсивного цифрового фильтара

Структурной схеме соответствует алгоритм gif-file, 2KBа.
Условие физической реализуемости – $a_0$ не равно нулю
Рис. 2

Альтернативная структурная схема рекурсивного цифрового фильтара

Структурной схеме соответствует алгоритм gif-file, 2KBб.
Условие физической реализуемости – $a_0$ не равно нулю
Рис. 3

Если выбран последовательный gif-file, 2KB или параллельный gif-file, 2KB алгоритм, то структура каждого множителя или элементарной дроби первого порядка (см. рис. 1) будет иметь более простой вид (см. рис. 4).

Структурные схемы цифровых фильтров первого порядка

Рис. 4

С текстом программы на языках C++ и Pascal, реализующей z-ПФ второго порядка в соответствии с непосредственным алгоритмом gif-file, 2KB вы можете ознакомиться, изучив пример проектирования дискретного ПИД-регулятора.

Литература

  1. Бронштейн И.Н., Семендяев К.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. - М.: Наука,1986.
  2. Оппенгейм Э., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов/ Пер. с англ./ Под ред. С. Я. Шаца. - М.: Связь, 1979. - 416 с.
  3. Антонью А. Цифровые фильтры: анализ и проектирование/ Пер. с англ. - М.: Радио и связь, 1983. - 320 с.

10.02.2001