Релейные системы

Нелинейная система с релейным регулятором
Система автоматического регулирования, устойчивое функционирование которой обеспечивается периодическим переключением направления движения. При этом управляющее воздействие может принимать ограниченное число фиксированных значений. В типовом случае – два. Реже – три.

Реле – это реальное техническое устройство. И действительно существуют системы с релейным регулятором. Но теория управления и её раздел "Релейные системы" – это математика. И математическая модель "Релейная система" может представлять любую линейную систему с подчиненными контурами регулирования и с ограничением координат. Самый распространённый пример – следящий электропривод с параболическим регулятором положения. Не описывая сам двигатель, модель "Релейная система" адекватно представляет движение координат электропривода: момент, скорость, положение. При малых, средних и больших отклонениях – когда ограничений нет, имеются в одном или в двух контурах. Другой пример – это система централизованного отопления, в которой, при решении задачи перемещения теплоносителя, ограничиваются давление и расход.

Типовые режимы движения и фазовые траектории релейных систем

Яркий отличительный признак релейных систем состоит в том, что управляющее воздействие может принимать ограниченное число либо фиксированных значений, либо эти значения могут меняться настолько медленно, что при математическом описании их можно замораживать. Данный факт существенно облегчает построение фазовых траекторий релейных систем. Рассмотрим движение прототипа непрерывной части системы в виде двух интеграторов при постоянных воздействиях (запустите процесс симуляции для представленной на чертеже 1 модели). Законы движения координат системы очевидны. При интегрировании константы получим движение с постоянной скоростью. Двойное интегрирование константы приводит к движению с постоянным ускорением. В результате изображающая точка на фазовой плоскости будет двигаться по параболическим траекториям.

Чертеж 1

Замена одного интегратора в прототипе непрерывной части апериодическим звеном с большой постоянной времени изменит вид осциллограмм, но не принципиально. Отметим так же, что если объект описывается лишь апериодическим звеном, всегда можно добавить интегратор в контур (между объектом и регулятором). Другими словами спектр возможных объектов, которые могут находиться под контролем релейных регуляторов, остается широким.

Прототип релейной системы

Регулируемая координата прототипа непрерывной части релейной системы отстает от управляющего воздействия на -180°. Этого не достаточно для построения устойчивой системы. Но производная регулируемой координаты отстает лишь на -90°. Релейные регуляторы формируют управляющее воздействие из суперпозиции названых сигналов. Рассмотрим линеаризованный прототип регулятора (см. чертеж 2). Очевидно что подбор его весовых коэффициентов Kx и Kdy позволит получить переходный процесс в пределах от апериодического до колебательного.

Эксперимент № 1. Перейдите в субмодель регулятора (Ctrl+RBMouse). Исключите блок limit из цепи обработки сигнала (но не удаляйте его). Регулятор станет линейным (система превратиться в апериодическое звено первого порядка и интегратор, охваченные отрицательной обратной связью). Убедитесь в том, что перераспределение весовых коэффициентов в пользу канала чувствительного к производной делает систему более стабильной (допустимо незначительное изменение геометрической суммы весовых множителей Kx и Kdy).

Эксперимент № 2. Верните исходные значения коэффициентов Kx = 1 и Kdy = 0.2. Убедитесь в том, что включение блока limit, точнее ограничение амплитуды управляющего сигнала замедляет переходный процесс и почти не меняет его показатель колебательности.

Эксперимент № 3. Анализируя осциллограмму управляющего сигнала в условиях ограничения его амплитуды можно отметить, что во время переходного процесса система лишь малое время находится в линейном режиме. В силу наличия у непрерывной части инерционных свойств, можно выдвинуть предположение о том, что дальнейшее сокращение этих временных промежутков не может повлиять на вид переходного процесса. Убедитесь в этом. В регуляторе перед блоком limit установлен блок масштабирования сигнала с коэффициентом передачи 15. Попробуйте увеличить этот коэффициент в 10, в 100, в 1000 раз. Завершая эксперимент, замените блоки gain и limit блоком relay.

Чертеж 2

Вибрационный и автоколебательный режимы движения релейных систем

При проектировании релейных систем избегают колебательных переходных процессов. Остается выбор, в каком режиме работы релейного элемента скользить по линии переключения к состоянию равновесия – либо в вибрационном, либо в автоколебательном.

Вибрационный режим работы будет наблюдаться, если реле будет безынерционным. Последнее может иметь зону нечувствительности. При её наличии переключения будут наблюдаться только в переходных режимах, но система будет иметь статическую ошибку. Если применить реле, не имеющее зоны нечувствительности, то статическая ошибка будет выбираться системой, но возрастут требования к количеству циклов срабатываний, поскольку реле будет работать непрерывно с частотой стремящейся к бесконечности. При этом реле будет являться интенсивным источником помех в широкой полосе частот.

Автоколебательный режим работы используется чаще. Его можно организовать разными способами. Самый распространенный – применение реле с положительным гистерезисом в регуляторе. Другой способ – стробирование безынерционного реле или организация чистого запаздывания в его цепи. Интересен так же автоколебательный режим, который может наблюдаться в системе оборудованной релейным регулятором с параболической линией переключения и безынерционным реле имеющим зону нечувствительности. Во всех случаях частота переключений реле существенно сокращается, а система, в целом, остается астатической, если автоколебания не прекращаются.

Виды скользящих режимов движения релейных систем.
Линии переключения. Ограничение скорости выходной координаты

Главный отличительный признак скользящего режима движения состоит в том, что вид переходного процесса выходной координаты не зависит от параметров основной части системы, а задается конструкцией и параметрами регулятора. Напомним, что условие возникновения скользящего процесса состоит в том, чтобы фазовые траектории возможных движений системы встречались на линии переключения, подходя к ней с обеих сторон. Другими словами форма линии переключения определяет режимы скольжения выходной координаты.

В инженерной практике используются пропорциональный и параболический релейные регуляторы (см. чертежи 3 и 4 соответственно). Отличие между ними в том, что в качестве первичной информации первый использует производную выходной координаты, а параболический регулятор – её квадрат.

Эксперимент № 1. Установите значения коэффициентов Kx = 0.5, Kdy = 0.9 для релейного регулятора системы представленной на чертеже 3. Для релейного регулятора системы представленной на чертеже 4 установите Kx = 0.15, Kdy = 0.9. Чтобы статическая ошибка была меньше, и в том и в другом регуляторе для блока relay уменьшите ширину зоны нечувствительности до значения 0.01 ед. Запустите процесс симуляции.

Переходные процессы наглядно демонстрируют разницу между скользящими процессами. Чтобы разобраться в деталях, напомним типовые режим движения интегратора. Если на входе – константа, то на выходе – движение с постоянной скоростью. Если на входе сигнал меняется с постоянной скоростью, то выходная координата будет перемещаться с постоянным ускорением. И т.д. Отсюда имеем следующее. У системы с пропорциональным релейным регулятором выходная координата скользит к состоянию равновесия в первом приближении по кубической траектории (с постоянным приращением ускорения). А у системы с параболическим релейным регулятором – по параболе (с постоянным ускорением).

Фазовые траектории так же информативны – изображающие точки прошли вдоль линий переключения и их можно сравнить.

Эксперимент № 2. Достаточно часто для технических объектов актуально соблюдение предельных скоростных режимов. Релейные регуляторы легко адаптировать под данное требование классическим для астатических систем решением. И в том и в другом регуляторе на входе канала чувствительного к ошибке системы установите блок limit с пределами равным +/-0.3 ед. (другие настройки указаны в эксперименте № 1). Убедитесь в том, что во время ограничения сигнала ошибки выходная координата перемещается с некоторой постоянной скоростью.

Релейная система с кубическим скользящим процессом

Эксперимент № 1. Обновите html-страницу, чтобы параметры моделей сбросились к начальному состоянию. Ознакомьтесь с особенностями колебательного переходного процесса релейной системы (представленной на чертеже 3), которого, как было сказано, избегают при проектировании релейных систем.

Эксперимент № 2. Опираясь на результаты эксперимента № 1, убедитесь в том, что величина статической ошибки в установившемся состоянии велика для большинства технических систем (можно воспользоваться контекстным меню осциллографа для считывания значений координат). Обнулите ширину зоны нечувствительности у безынерционного реле (блок relay внутри регулятора). Убедитесь в том, что непрерывная вибрация реле приводит к выбору статической погрешности (для уточнения ошибки увеличьте осциллограмму в конце переходного процесса).

Эксперимент № 3. Перераспределите весовые коэффициенты регулятора в пользу канала чувствительного к производной (Kx = 0.7, Kdy = 0.7). Блоку relay установите ширину зоны нечувствительности равную 0.01 ед. Убедитесь в том, что при таких настройках система выйдет на скользящий режим движения.

Эксперимент № 4. Визуально ознакомьтесь с влиянием шумов на работу релейной системы в скользящем режиме. Подключите к главному сумматору источник шума с нормальным распределением. Действующее значение шума – 0.003 ед. – соответствует реальным системам.

Эксперимент № 5. Переведите релейную систему в автоколебательный режим скольжения. Отключите генератор шума. Замените безынерционное реле (блок relay в регуляторе) на реле с положительным гистерезисом (Меню: Звенья > Нелинейные > pHyst-relay). Величину половины ширены петли гистерезиса установите равной 0.05 ед.

Эксперимент № 6. Переведите релейную систему в автоколебательный режим скольжения альтернативным способом. Замените реле с положительным гистерезисом на включенные последовательно безынерционное реле, не имеющее зоны нечувствительности и звено чистого запаздывания с задержкой на 0.07 с.

Чертеж 3

gif-file, 2KB

Рис. 1. Линия переключения и траектории изображающей точки системы с пропорциональным релейным регулятором (без гистерезиса и без зоны нечувствительности)

gif-file, 2KB

Рис. 2. Границы переключений и траектории изображающей точки системы с пропорциональным релейным регулятором имеющим зону нечувствительности или гистерезис

Релейная система с квадратичным скользящим процессом

Эксперимент № 1. Ознакомьтесь с особенностями колебательного переходного процесса релейной системы (представленной на чертеже 4), которого, как было сказано, избегают при проектировании релейных систем.

Эксперимент № 2. Перераспределите весовые коэффициенты регулятора в пользу канала чувствительного к производной (Kx = 0.8, Kdy = 0.6). Убедитесь в том, что при таких настройках система выйдет на скользящий режим движения.

Эксперимент № 3. Опираясь на результаты эксперимента № 2, убедитесь в том, что величина статической ошибки в установившемся состоянии велика для большинства технических систем. Обнулите ширину зоны нечувствительности у безынерционного реле (блок relay внутри регулятора). Убедитесь в том, что непрерывная вибрация реле приводит к выбору статической погрешности. Заметим, что в реальной системе наличие зоны нечувствительности у безынерционного реле не будет способствовать прекращению переключений реле в конце переходного процесса. Проверьте этот факт. Подключите генератор шума, меняйте ширину зоны нечувствительности в диапазоне от 0.01 до 0.1 ед. Автоколебания, которые должны наблюдаться, объясняются тем, что траектории возможных движений системы в одном из направлений проходят практически параллельно параболической линии переключения; шумы отталкивают изображающую точку от неё и система проскакивает равновесное состояние. Шумовая природа автоколебаний не приветствуется в инженерной практике по причине наличия дребезга в моменты переключений.

Эксперимент № 4. Переведите релейную систему в автоколебательный режим скольжения, используя классическое решение. Замените безынерционное реле (блок relay в регуляторе) на реле с положительным гистерезисом (Меню: Звенья > Нелинейные > pHyst-relay). Уточните при какой величине половины ширены петли гистерезиса влиянием шумов можно пренебрегать (начальное значение 0.003 ед.).

Чертеж 4

gif-file, 2KB

Рис. 3. Кривая переключения и траектории изображающей точки системы с параболическим релейным регулятором (без гистерезиса и без зоны нечувствительности)

gif-file, 2KB

Рис. 4. Границы переключений и траектории изображающей точки системы с параболическим релейным регулятором имеющим зону нечувствительности или гистерезис

Стробируемые релейные системы

Существенный недостаток релейных систем заключается в том, что переключения управляющего безынерционного реле синхронизируются с шумами, и, система в целом становиться мощным источником помех в широкой полосе частот. Применение реле с гистерезисом нельзя признать хорошим решением, поскольку вынуждает разработчика согласиться с существенной амплитудой автоколебаний регулируемой координаты (раза в три превышающей возможный уровень шума). Кроме того, частота переключений реле, скорее всего, будет плавать, поскольку большинство релейных систем квазистационарные.

Обозначенное техническое затруднение решается применением стробируемого безынерционного релейного элемента. Подобное реле может изменить свое выходное состояние (или сохранить прежнее) только в определенные моменты времени. При соблюдении некоторых дополнительных условий большую часть времени реле будет работать на одной частоте. Главную гармонику в спектре помех от подобной системы можно подавить узкополосным фильтром.

Эксперимент № 1. Ознакомьтесь с особенностями колебательного переходного процесса стробируемой релейной системы (представленной на чертеже 5), которого избегают при проектировании релейных систем. Изучите список параметров регулятора. Обратите внимание на период стробирования реле – 0.15 с. Наблюдаемые переключения следуют гораздо реже – верный признак колебательного, а не скользящего автоколебательного режима (если период стробирования выбран правильно).

Эксперимент № 2. Перераспределите весовые коэффициенты регулятора в пользу канала чувствительного к производной (Kx = 0.18, Kdy = 1). Убедитесь в том, что при таких настройках система выйдет на скользящий режим движения.

Чертеж 5

Понятие об автоколебаниях стробируемых релейных систем на субгармониках

Управляющее воздействие в стробируемых линейных системах жестко фиксировано квантованием по уровню и дискретизацией во времени. Этот факт является причиной особого явления – автоколебаний на субгармониках (на кратных частотах ниже частоты стробирования). Обратим внимание на осциллограммы стробируемой релейной системы представленной на чертеже 5 полученные в эксперимент № 2. Во время переходного процесса система работает на основной гармонике. Во время установившегося состояния – на второй. Возможны колебания на всех кратных субгармониках включая перемежающиеся режимы. Наиболее вероятны на третьей (по энергетическим причинам).

Факт жесткой фиксации управляющего сигнала объясняет наблюдаемое квантование и дискретизацию его интеграла – сигнала dy/dt. Анализируя соответствующую осциллограмму, можно понять, что система не может войти в режим автоколебаний вокруг установившегося значения с наименьшей из возможных амплитуд сигнала dy/dt – для этого его надо сместить по вертикали на половину двойного размаха колебаний. Сделать это можно предустановив начальное условие для первого интегратора. Другими словами начальные условия в стробируемых релейных системах находятся во взаимосвязи с субгармоническими автоколебаниями.

Эксперимент № 3. Воспользуйтесь результатами эксперимента № 2 (чертеж 5). Уточните величину минимального двойного размаха колебаний сигнала dy/dt (0.15 ед., во время переходного процесса). Для первого интегратора объекта установите начальное условие равное 0.15 / 2 = 0.075 ед. Убедитесь в том, что в установившемся режиме система будет функционировать на основной гармонике.

Эксперимент № 4. Меняйте начальное условие (с помощью весового коэффициента: 1/(1+2/(i-2)), где i – номер субгармоники) и изучите, как система будет функционировать. На третьей субгармонике – при начальном условии равном 0.025 или 0.125 ед. На четвертой – при начальном условии 0.0375 или 0.1125 ед. На пятой – при начальном условии 0.045 или 0.105 ед.

Эксперимент № 5. Несимметричное управляющее воздействие вызывает медленный дрейф интегратора в одном направлении. Это явление так же может быть причиной устойчивых автоколебаний на субгармониках. Обнулите начальное условие. Используя блок limit, введите ограничение для отрицательного выходного сигнала реле на уровне -0.9 ед. Ознакомьтесь с реакцией системы.

Автоколебания на субгармониках приводят к нежелательным последствиям:

Релейные системы с логическим контролем состояний (двухрелейные системы)

Системы с логическими регуляторами можно отнести к подвиду релейных систем. Основу логического регулятора составляют два безынерционных реле с зоной нечувствительности установленных в каналах ошибки и производной выходной координаты. Их границы переключений наложенные на фазовую плоскость изображены на рис. 5.а и 5.б. Суперпозиция (сумма) выходных сигналов реле представлена на рис. 5.в. Если ограничить её выходные значения, то можно получить границы переключений отображенные на рис. 5.д. Границы отличаются от линии переключения свойственной релейному регулятору (рис. 5.г), но принцип управления фиксированными воздействиями на объект сохраняется. В большинстве случаев осциллограммы управляющего воздействия не изменятся, а точнее можно избавиться от очень кратковременных импульсов, если границы переключения привести к виду показанному на рис. 5.е. Именно такое управление реализуется логическим регулятором.

gif-file, 2KB

Рис. 5

Эксперимент № 1. Модель системы с логическим регулятором представлена на чертеже 6. Запустите процесс симуляции. Обратите внимание – движения координат системы подчиняются простейшим законам – неподвижное состояние, движение с постоянной скоростью, движение с постоянным ускорением. Причем не наблюдается даже суперпозиция названных движений.

Эксперимент № 2. Уменьшите в два раза относительную величину ширины зоны нечувствительности реле в канале производной выходной координаты и зафиксируйте во сколько раз изменится время, за которое система достигает в режиме движения с постоянной скоростью установившегося состояния. Должна обнаружится обратная пропорциональная зависимость – существенный недостаток систем с логическим регулятором. Т.е. если инженеру необходимо уменьшить амплитуду автоколебаний, сохраняя их форму, то надо уменьшать зоны нечувствительности реле. Но система станет не просто медленной, а очень медленной. Сильно затянутые во времени переходные процессы – это главный атрибут систем с логическим регулятором.

Эксперимент № 3. Подключите к главному сумматору источник шума с нормальным распределением. Убедитесь в том, что в системе с логическим регулятором имеет место явление дребезга управляющего воздействия (неотъемлемый атрибут релейных систем).

Эксперимент № 4. Перейдите в субмодель регулятора (Ctrl+RBMouse). В субпространстве имеется две реализации логического регулятора. Ознакомьтесь с ними. С помощью проводниковых связей подключите ту, которая не использовалась. Убедитесь в идентичности результатов функционирования.

Чертеж 6

11.01.2008