Системы с регуляторами переключений

Нелинейная система с регулятором переключений
Система автоматического регулирования, устойчивое функционирование которой обеспечивается периодическим переключением: параметра(ов), структуры или направления движения.

В системах с переключениями наблюдаются режимы движения:

Колебательный режим движения с ограниченной амплитудой
Режим движения линейной САР находящейся на границе устойчивости, контролируемый нелинейным регулятором переключений. Регулятор воздействует на движение системы (притормаживая её) лишь в переходных режимах и в случае если амплитуда колебаний координат системы превысит заданные техническими условиями пределы. В установившемся режиме система движется свободно от воздействий регулятора по колебательному циклу.
Автоколебательный режим движения
Режим движения нелинейной САР характеризующийся небольшими колебаниями регулируемой координаты вокруг заданного значения (с допустимой, согласно техническому заданию, амплитудой). Причиной появления автоколебаний являются намеренно организованные переключения в системе. Несмотря на наличие незатухающих колебаний (точнее автоколебаний), система может быть признана устойчивой. Примечание. В отличие от незатухающих колебаний, автоколебания не являются синусоидой и характеризуются фазовой траекторией отличной от эллипса.
Скользящий (вибрационный) режим движения
Режим движения нелинейной САР, которая управляется практически безынерционным (безгистерезисным) регулятором, постоянно переключающим направление движения. Характеризуется настолько высокой частотой переключений, что система реагирует лишь на изменение среднего значения управляющего сигнала. Форма скользящего переходного процесса не зависит от параметров основной части системы, задается конструкцией и параметрами регулятора. Условие возникновения скользящего процесса состоит в том, чтобы фазовые траектории возможных движений системы встречались на линии переключения, подходя к ней с обеих сторон.

...

Обобщенный прототип линейной части нелинейных систем

Математические описания нелинейных систем превосходит возможности человека. Инженер может разобраться с описанием отдельно взятой системы, но требования шире. Инженер должнен знать принципы построения двух или трех десятков нелинейных систем, уметь делать выбор и выполнять проектирование.

Теория линейных систем утверждает, что замкнутая система будет находится на границе устойчивости, если фазовый сдвиг в контруре достигнет -180°. Линейная часть нелинейных систем подчиняется этому факту. Упомянутый фазовый сдвиг могут иметь: два интегратора, апериодическое звено и интегратор, два апериодических звена, колебательное звено. Систематизация математических описаний нелинейных систем основана на том, что при достаточно большом контурном коэффициенте все перечисленные варианты хорошо аппроксимируются двумя интеграторами. К этой блок-схеме сводится линейная часть нелинейных систем и используется в качестве прототипа. Инженер может исходить из того, что если уж нелинейный регулятор может стабилизировать работу системы находящейся на границе устойчивости, то при наличии в системе запаса по фазе ситуация с её работоспособностью ухудшиться не может. С другой стороны названный прототип, перекрывает запретную область вида 1-2 в области низких частот и всегда удовлетворит требованиям точности.

Чертеж 1

Достаточно часто проектирование тепловых, магнитных, гидравлических, механических и ротационных САР с нелинейными регуляторами сопровождается аналоговым моделированием эквивалентными электрическими цепями, см. модель прототипа на чертеже 1. Этот подход постепенно уступает альтернативному моделированию на ЦВМ. Блок-схема прототипа представлена на чертеже 2.

Чертеж 2

При встречающихся управляющих воздействиях, движения координат системы состоящей из двух интеграторов описываются простыми уравнениями; неперегруженными несущественной зависимостью от второстепенного параметра (от постоянной времени), как в случае если бы в качестве прототипа использовалась система с ЧХ вида 1-2.

Примечание: Во всех экспериментах со всеми представленными далее по тексту интерактивными чертежами нелинейных систем можно заменить назваными альтернативами прототип нелинейной части и убедиться в том, что ни каких принципиальных изменений в движении координат систем не произойдет.

Влияние контурного коэффициента усиления на фазовые траектории линейной части нелинейных систем

На чертеже 3 представлены варианты собственных движений прототипа линейной части нелинейных систем (активируйте процесс симуляции). Траектории изображающей точки в фазовой плоскости очевидны – это эллипсы – колебательные циклы САР с астатизмом второго порядка вызванные ненулевыми начальными условиями разной величины. Особенность траекторий в том, что они соприкасаются в моменты равенства нулю выходной координаты и её производной. В результате, через каждые 90° фазовой траектории изображающей точки можно переходить на внутренний колебательный цикл (по направлению к центральной особой точке). В результате получится затухающий переходный процесс. Его можно увидеть, если у системы представленной на чертеже 6 в регуляторе переключений обнулить ширину петли гистерезиса реле.

Чертеж 3

Можно проанализировать последовательность состояний системы. Происходящие изменения просты. Для каждого нечетного состояния активен один контурный коэффициент усиления. Для каждого четного – другой. В результате ЧХ контура переключается между двумя состояниями с разной частотой единичного усиления. Запаса по фазе это не меняет, но меняется частота собственных колебаний системы. Т.е. система периодически становится более инерционной, и колебательный процесс обмена запасенной реактивными элементами энергии затухает.

Идентификация особых фазовых состояний линейной части нелинейных систем

Задача идентификации моментов переключения коэффициента усиления решается в условиях, когда определен объект, т.е. известно какими физическими величинами он характеризуется. В типовом случае первичные информационные физические величины преобразуются измерительными преобразователями к электрическому току или к напряжению. Далее используются либо перемножитель с компаратором на выходе (см. чертеж 4), либо логический элемент "Исключающее ИЛИ" с компараторами на входах (см. чертеж 5).

Чертеж 4

Представленные на чертежах 4 и 5 модели позволяют ознакомиться лишь с идеей идентификации особых фазовых состояний линейной части. При практической реализации систем важным является факт постепенного уменьшения амплитуды колебаний координат вплоть до уровня шума. Следствием будет дребезг переключателей и рост уровня шума. Практическую работоспособность систем обеспечивает использование в идентификаторах фазовых состояний элементов с положительным гистерезисом малой величины (для чертежей 4 и 5 – это реле и компараторы соответственно).

Чертеж 5

Система с регулятором переключений коэффициента усиления

Нелинейная система, представленная на чертеже 6 имеет непрерывную часть в виде двух интеграторов (см. прототип на чертеже 2), регулятор переключений коэффициента усиления (реализующий идею переходов к центральной особой точке, см. чертёж 3), и идентификатор моментов переключений на перемножителе (см. чертёж 4). В модель можно вносить изменения, качественно меняющие характер переходного процесса с одной стороны, с другой – позволяющие учесть важные аспекты практической реализации.

Эксперимент № 1. Установите нулевую величину ширены петли гистерезиса для реле внутри регулятора. После запуска процесса симуляции можно наблюдать затухающий колебательный переходный процесс в направлении центральной особой точки вызванный переходами по фрагментам колебательных циклов свойственных непрерывной части.

Эксперимент № 2. Перейдите в субмодель регулятора (Ctrl+RBMouse). Изучите осциллограмму переключения безгистерезисного реле. По причине высокой точности вычислений реле переключается четко. Вернитесь к верхнему уровню блок-схемы и подключите генератор случайного сигнала с действующим значением шума характерным для большинства электрических схем (3 мВ). Запустите процесс симуляции повторно и убедитесь в том, что реле работает с дребезгом в моменты переключений. Дребезг приводит к быстрому износу реле и повышению уровня шума в системе.

Эксперимент № 3. Устраните дребезг классическим решением – введите гистерезис для реле. Ширена петли может быть соизмерима с амплитудой шума. Для наглядности установите параметр С регулятора больше 0.1 ед. Гистерезис станет причиной качественных изменений – система перейдет в автоколебательный режим движения. Шумы не будут оказывать влияния на работу реле.

Эксперимент № 4. Внутри регулятора переключений, в блок-схеме идентификатора фазовых состояний, в цепи канала производной регулируемой координаты можно обнаружить сумматор, позволяющий вносить задержку в обрабатываемый сигнал. Установите весовой коэффициент для подмешиваемого сигнала ошибки 0.1. Уменьшение девяностоградусного сдвига для сигналов на входах перемножителя будет причиной: появления постоянной составляющей в выходном сигнале, и как следствие, замираний реле в одном из положений. Система перейдет в перемежающийся (между автоколебательным и колебательным) режим движения. В автоколебательном режиме переключения коэффициента усиления – система притормаживается. В колебательном (в зависимости от вариации свойств непрерывной части) – система либо медленно идет в разнос (до момента включения автоколебательного режима), либо затухает – при отсутствии переключений в регуляторе. В результате срок службы реле увеличивается.

Чертеж 6

Система с регулятором переключений направления движения

Другая идея построения стабильно работающей системы с регулятором переключений реализована в модели представленной на чертеже 7. Здесь тот же прототип непрерывной части. Тот же идентификатор фазовых состояний на перемножителе. Но переключается в системе не коэффициент усиления, а знак управляющего воздействия. Если вернутся к фазовой траектории движения прототипа непрерывной части поделенной линиями переключений, и предположить, что в каждом из квадрантов мы будем инвертировать знак управляющего сигнала, то его среднее значение будет равно нулю, вследствие чего инерционная непрерывная часть перемещаться не будет. Но если изменить настройку идентификатора фазовых состояний так, чтобы совпадающая с осью абсцисс фазовой плоскости линия переключения повернулась относительно начала координат на угол в диапазоне от -0° до -90°, то средние значение управляющего сигнала при инверсиях знака не будет равно нулю, что приведет инерционную часть системы в движение. А поскольку среднее значение будет пропорционально ошибке системы, астатическая по своим свойствам непрерывная часть будет стремиться выбрать её, т.е. система станет работоспособной.

Для поворота упомянутой линии переключения используется уже описанный прием задержки сигнала с помощью сумматора в канале производной регулируемой координаты. В зависимости от величины угла поворота линии переключения движение системы будет меняться качественно.

Эксперимент № 1. Большим углам поворота линии переключения (от -45° до -90°) соответствует изменение коэффициента m регулятора в диапазоне от 1 до 5. Установите значение 5. В результате относительное время инверсии знака управляющего сигнала будет небольшим. Фазовая траектория движения системы будет мало отличаться от колебательного цикла. Уменьшение весового коэффициента m (2, 1.4, 1) не приводит к качественным изменениям, но наглядно иллюстрирует все более значительное притормаживание колебательного процесса за счет увеличения времени противовключения.

Эксперимент № 2. В большинстве случаев колебательный процесс неприемлем. Поэтому линию переключения стремятся повернуть чуть менее чем -45°. Установите для коэффициента m регулятора значение 0.8. В движении координат системы произойдут качественные изменения – колебания и перерегулирование будут отсутствовать вне зависимости от вида и параметров непрерывной части. Система выйдет на скользящий режим движения.

Эксперимент № 3. Перейдите в субмодель регулятора (Ctrl+RBMouse). К сожалению, скользящий режим движения сопровождается вибрационным режимом работы реле (см. выходную осциллограмму блока sign). Как было сказано практическая реализация безынерционного, безгистерезисного реле, с неограниченным количеством циклов срабатываний затруднена. Установите перед блоком sign (или вместо него) реле с положительным гистерезисом величиной 0.0005 ед. Система перейдет в перемежающийся (между скользящим и колебательным) режим движения. Срок службы реле увеличиться; уровень шумов в системе понизиться.

Чертеж 7

20.12.2007