Нелинейные системы управления

Нелинейная система управления
Нелинейной системой автоматического регулирования называется такая система, которая содержит хотябы одно звено описываемое нелинейным уравнением.

Существующие нелинейные САР отличаются разнообразием: по своей физической природе, по целевой функции, по принципам действия, по виду нелинейностей, по характеру переходных процессов. Это затрудняет разработку универсального математического аппарата анализа и синтеза подобных САР. Наиболее хорошо изученными являются следующие группы нелинейных систем:

Это не полный перечень известных нелинейных систем. Неупомянутые системы характеризуются тем или иным атрибутом уникальности. Либо система уникальна по принципу действия, либо имеет уникальное математическое описание, и т.д.

Фазовая плоскость

Способ графического представления сигнала на экране осциллографа нагляден и удобен в практической инженерии. В большинстве случаев по горизонтали осуществляется временная развертка. Но существуют осциллографы, имеющие внешний вход канала горизонтальной развертки. В этом случае на X и на Y входы можно подать разные сигналы и осциллограмма станет двухмерной фазовой плоскостью, перемещение изображающей точки в которой будет характеризовать движение двух координат объекта.

Традиционное математическое описание нелинейных систем часто использует фазовую плоскость, чтобы представить в графической форме либо характеристику нелинейного звена, либо траекторию движения производной выходной координаты САР в зависимости от самой координаты (см. чертеж 1). В большинстве случаев траектории изображающей точки узнаваемы (фрагменты спиралей, окружностей, парабол, прямых линий), имеют характеризующие систему особенности и позволяют инженеру принимать решения в соответствии с разработанными методиками.

Чертёж 1

Типовые нелинейные звенья

Большая часть модулей нелинейных систем поддается линеаризации и описывается типовыми динамическими звеньями. Но один или два модуля линеаризовать не удается, в виду существенного характера проявления свойственной им нелинейности. Накопленный опыт инженеров позволил выделить встречающиеся типовые нелинейности и систематизировать их. Можно выделить три группы нелинейных звеньев:

Визуально, отличительный признак для звеньев первых двух групп проявляется при построении фазовых траекторий (характеристик звеньев). На чертежах 2 и 3 представлены модели звеньев. Запустите процесс симуляции. Затем обязательно выполните команду меню Симуляция > Resume. Различие между однозначной и многозначной характеристиками будут наглядно иллюстрировать фазовые портреты звеньев в правых осциллографах.

Нелинейные звенья с однозначными характеристиками

Однозначная характеристика звена свидетельствует о том, что кроме наличия чувствительности к значению входной координаты, звено нечувствительно ни к направлению движения входной координаты ни к её производным. Модели таких звеньев можно составить без применения блоков с эффектом памяти (интеграторов, регистров задержки, звеньев чистого запаздывания). Специализированные моделирующие программы имеют в своих библиотеках готовые блоки с однозначными нелинейностями. Назовем их.

Чертёж 2

Нелинейные звенья с многозначными характеристиками

Многозначная характеристика звена свидетельствует о том, что кроме наличия чувствительности к значению входной координаты, звено чувствительно либо к направлению её движения, либо к значению её производных. Модели таких звеньев невозможно составить без применения блоков с эффектом памяти (интеграторов, регистров задержки, звеньев чистого запаздывания). По этой причине специализированные моделирующие программы не имеют готовых блоков с многозначными нелинейностями (блоки с эффектом памяти никогда не входят в состав других). Но пользователь может составить модели сам, либо программы могут иметь соответствующие составные модели. Назовем нелинейные звенья с многозначными характеристиками.

Если на входы нелинейных звеньев подавать синусоидальный сигнал, то, очевидно, что сигналы на выходах будут отличаться от синусоиды по форме. Но любой периодический сигнал можно разложить в ряд Фурье и выделить основную гармонику (см. чертежи 2 и 3). Анализируя её фазовый сдвиг можно ввести альтернативную классификацию нелинейных звеньев:

Эксперименты с интерактивными чертежами 2 и 3 позволяют убедиться в том, что фазовый сдвиг не вносят лишь звенья с однозначными характеристиками. А звенья с многозначными характеристиками делятся на две подгруппы. В практической инженерии чаще встречаются нелинейные звенья вносящие запаздывание по фазе. Причина в том, что их конструкция проще и легче придумать регуляторы на их основе. Отметим так же другую особенность практической реализации звеньев. С точки зрения математики звенья обезличены. Это означает, что потенциально они могут быть реализованы в виде устройств преобразующих любую энергонесущую материю. Но существуют ограничения. Примером может быть известное в механике сухое трение. Согласно теории подобия – в электротехнике это не достижимая, сегодня, сверхпроводимость. Однако не следует думать о том, что что-то невозможно. Например, специалисты в ТАУ ранее использовали аналоговое моделирование систем, паяя вычислительные схемы на операционных усилителях. Ими разработаны схемы представляющие звенья "Упор" и "Реле с отрицательным гистерезисом", но ни один учебник по схемотехнике не описывает их. Для электронщиков существование этих схем – откровение. Очевидно, что с точки зрения теории управления разработка нелинейных устройств вносящих упреждение по фазе – актуальная задача. Сегодня наблюдается несимметричное развитие технических решений.

Чертёж 3

Другие яркие свойства нелинейных звеньев можно выявить, если анализировать каким образом ими обрабатываются сигналы разной амплитуды и постоянная составляющая. Для первого эксперимента с моделями звеньев, представленных на чертеже 4, амплитуда входного сигнала выбрана достаточно большой, чтобы преодолевать мертвые зоны. Особый интерес вызывает реакция звена "Упор" – оно исключает постоянную составляющую в сигнале, т.е. является фильтром высоких частот. В результате можно утверждать, что это звено, подобно дифференцирующему каналу ПИД-регулятора, не может выполнять функцию регулятора в структуре системы (не будучи зашунтированным параллельным каналом чувствительным к постоянной составляющей). Интересна особенность релейных звеньев, чей выходной сигнал имеет фиксированную амплитуду и не зависит от амплитуды входного сигнала, что приводит к снижению чувствительности систем к разбросу параметров. Если на чертеже 4 отключить нижний генератор сигнала и уменьшить в два раза амплитуду верхнего (чтобы не происходило перекрытие мертвых зон звеньев), то можно обнаружить, что лишь звено "Упор" сохраняет работоспособность. Возможно, что реле будет переключаться, если контур системы будет содержать интегратор. Остальные звенья станут причиной статических ошибок систем и вызывают необходимость применения вибрационной линеаризации.

Чертёж 4

Особые нелинейные звенья

К группе особых нелинейных звеньев относят те, чьи свойства уникальны и не поддаются классификации. Некоторым особым нелинейным звеньям свойственен атрибут функциональной завершенности. Другие особые звенья, например, "множительное" или "ψ-ячейка" часто входят, как составные части, в блок-схемы более сложных звеньев с неоднозначными характеристиками. Назовем основные особые нелинейные звенья.

Множительное звено может использоваться с целью идентификации величины фазового сдвига между сигналами на выходах разных звеньев систем регулирования (см. чертеж 5, где для большей наглядности выходной сигнал множительного звена усредняется фильтром скользящего среднего). Несмотря на математическую простоту, техническая реализации множительного звена затруднена для большинства доменов энергонесущих материй. Например, не существует полупроводникового устройства, которое непосредственно могло бы перемножать токи или напряжения. Существующие микросхемы перемножителей, с помощью логарифмических преобразователей переводят сигналы в логарифмический домен, складывают их, и вычисляют оригинал (результат перемножения) с помощью экспоненциального преобразователя. Следует отметить, что в системах регулирования сигналы могут существенно различаться по амплитуде. Существуют решения, когда их пропускают через релейные звенья (через компараторы) и перемножают элементом "Логическое И". А импульсная последовательность усредняется либо фильтрами, либо инерционными свойствами объекта регулирования.

Чертёж 5

На чертеже 6 представлена САР с нелинейным регулятором на звене с параболической нечетной характеристикой. Частотная характеристика линейной части типовая – вида 1-2. Можно отключить сигналы от второго и третьего входов множительного звена (регулятор станет линейным) и убедиться в том, что система близка к границе устойчивости. В исходном же состоянии САР устойчива в большей степени. Причина в том, что звено с нечетной параболической характеристикой понижает свой коэффициент передачи по мере уменьшения ошибки системы. В частотной области это эквивалентно динамическому перемещению ЛАЧХ разомкнутой САР вниз. Частота единичного усиления смещается влево (в область низких частот), что приводит к увеличению запасов устойчивости по фазе и по амплитуде.

Однако, если динамика сигнала задания велика, возможна ситуация когда ошибка САР может принимать большие значения. В результате инерционные массы объекта будут интенсивно разгоняться управляющим сигналом (пропорциональным квадрату ошибки), и перерегулирование может стать неприемлемо большим. В этой ситуации, на выходе регулятора полезно ввести ограничитель выходного значения.

Другой недостаток параболического регулятора состоит в том, что при малых значениях ошибки коэффициент его передачи стремится к нулю. Особой проблемы в том нет, но асимптотический процесс выборки ошибки может затягиваться на неприемлемо продолжительное время. Решением, в этом случае, является включение параллельного безынерционного канала с коэффициентом передачи в 30..10 раз меньшим коэффициента передачи параболического канала в окрестности ограничения выходного сигнала, что ограничивает динамическое смещение частоты единичного усиления разомкнутого контура в область низких частот в пределах одной декады или чуть больше.

Чертёж 6

Звено с параболической четной характеристикой часто используется как модель объекта экстремальной системы. Примером может быть карбюратор двигателя автомобиля, задача которого – смешивать воздух и пары топлива. Если воздуха много или мало – двигатель будет работать не оптимально, т.е. зависимость имеет некоторый максимум (экстремум), который должна отслеживать система регулирования. Примеры таких систем будут рассмотрены далее.

Вычисление суперпозиции (суммы) двух сигналов – это линейная операция. Но в релейных регуляторах и в регуляторах переключений она встречается часто. Соответствующий сумматор вычисляет суперпозицию некоторого сигнала (регулируемой координаты или ошибки САР) и его производной. В силу инерционности объектов, форма сигналов, о которых речь, близка к синусоидальной. Сдвиг фазы между ними – 90°. Сумма двух синусоид – есть синусоида. Но самое важное – её фаза – которая будет ближе к фазе той входной синусоиды, которая суммируется с большим весовым коэффициентом. Сказанное иллюстрируется интерактивным чертежом 7. Меняя весовые коэффициенты можно регулировать фазу выходной синусоиды в диапазоне от +90° до 0°. Принятие решения об управлении объектом на базе упреждающего сигнала всегда положительно сказывается на устойчивости системы.

Чертёж 7

Существуют и другие, менее изученные, или менее распространенные особые нелинейные звенья. О них умолчим.

Фазовые траектории системы второго порядка

Неустойчивую линейную систему можно стабилизировать, вводя в её структуру нелинейные звенья. Но все же существуют пределы для общего фазового сдвига линейной части. В большинстве случаев это -180° (второй порядок). Иногда – чуть больше. Для общей характеристики фазовых портретов системы второго порядка рассмотрим характеристическое уравнение:

$s^2+bs+q=0, \qquad s_{1,2}=[-b\pm(b^2-4q)^{1/2}]/2$,

чьи корни зависят от параметров $b$ и $q$. Рассмотрим плоскость параметров $b$ и $q$. В этой же плоскости проведем параболу ($b^2=4q$), разграничивающую области вещественных и комплексных сопряженных корней. Фазовые портреты для шести областей плоскости и для её полуосей приведены на рисунке. Имена фазовых портретов раскрыты ниже.

gif-file, 2KB

Устойчивый узел
Вариант семейства фазовых траекторий почти линейно сходящихся к началу координат, которому соответствуют устойчивые апериодические переходные процессы. Корни САР второго порядка отрицательные вещественные
Неустойчивый узел
Вариант семейства фазовых траекторий почти линейно расходящихся от начала координат в бесконечность, которому соответствуют неустойчивые апериодические переходные процессы. Корни САР второго порядка положительные вещественные
Устойчивый фокус
Вариант семейства фазовых траекторий сходящихся по спирали к началу координат, которому соответствуют устойчивые колебательные переходные процессы. Корни САР второго порядка комплексные сопряженные с отрицательной вещественной частью
Неустойчивый фокус
Вариант семейства фазовых траекторий расходящихся по спирали от начала координат к бесконечности, которому соответствуют неустойчивые колебательные переходные процессы. Корни САР второго порядка комплексные сопряженные с положительной вещественной частью
Центр
Вариант семейства фазовых траекторий в виде эллипсов с общим центром, которому соответствуют незатухающие колебательные процессы системы находящейся на границе устойчивости. Корни САР второго порядка мнимые
Седло
Вариант семейства фазовых траекторий образующих крест и асимтотически стремящихся к двум пересекающимся в центре координат сепаратрисам. Вдоль одной сепаратрисы траектории стремятся к началу координат. Не достигая центра – поворачивают, и, вдоль другой сепаратрисы, не пересекая ее, стремятся к бесконечности. Седлу соответствуют неустойчивые переходные процессы из двух апериодических составляющих – одна устойчивая, другая нет (один корень положительный, другой отрицательный)
Сепаратриса
Линия, разделяющая фазовую плоскость на области с различными типами движений. В случаях, если изображающая точка может осуществлять движение по сепаратрисе, то ее можно рассматривать как особую фазовую траекторию
Устойчивый предельный цикл
Устойчивое автоколебание, описываемое на фазовой плоскости периодическим движением изображающей точки по некоторой замкнутой кривой. Если амплитуды предельного цикла незначительны и меньше допустимой ошибки, автоколеблющаяся САР может быть признана работоспособной (неустойчивой, но функционирующей устойчиво).
Неустойчивый предельный цикл
Сепаратриса разграничивающая зоны устойчивости системы "в малом" и неустойчивости "в большом". (Видимо редко встречается – ни кому не хочется сидеть на бочке с порохом).
Изоклина
Линия, во всех точках пересечения которой с фазовыми траекториям последние наклонены под одним и тем же определенным углом к оси абсцисс. При ручном построении фазовых траекторий методом изоклин (по изоклинам) порядок системы ДУ понижается на единицу

...

3.09.2007