Цифровые системы

Цифровые системы строятся на базе комплекса средств вычислительной техники, основными элементами которого являются: 1) ЦВМ, 2) устройства ввода, 3) устройства вывода.

Функции ЦВМ могут выполнять: 1) ЭВМ (компьютеры), 2) DSP – цифровые сигнальные процессоры, 3) ЦУ на жесткой логике. Первые относятся к универсальным устройствам управления, вторые специализированны для приложений, третьи разрабатываются для конкретных устройств (например, цифровой фильтр, имеющийся в каждом ΣΔ АЦП).

Устройствами ввода и вывода в случае состыковки с аналоговыми сигналами являются АЦП и ЦАП-ы, а в случае состыковки с цифровыми сигналами – порты и интерфейсы.

В системах с ЦВМ, последние могут выполнять роли: 1) регулятора, 2) регулятора и устройства сравнения, 3) корректирующего устройства или 4) самого объекта.

Если ЦВМ универсальная (ЭВМ), то возможно построение многофункциональных САУ, когда одна ЦВМ обслуживает комплекс составляющих объект устройств. Например, в автомобиле: 1) система навигации, 2) система бортового электропитания, 3) АБС, 4) электронная подвеска, 5) управление топливоподачей, ... В подобных случаях в состав системы ЦУ должны входить аналоговые или цифровые мультиплексоры и демультиплексоры.

Во всех случаях ЦВМ предоставляет легко доступные информационные потоки, позволяющие кроме прямого управления осуществлять функции: 1) контроля, 2) оптимизации, 3) координации и 4) организации всех процессов.

Процессы протекающие в системах ЦУ

Рабочие файлы: [Субгармонические автоколебания]

Дискретная природа ЦВМ определила наличие 2-х процессов в системах ЦУ: 1) дискретизации сигналов по времени (получение решетчатой функции), и 2) квантования сигналов по уровню (АЦ и ЦА преобразования).

Дискретизация сигналов по времени делает систему дискретной, а квантование по уровню – нелинейной. Оба процесса сопровождаются возникновением методических погрешностей.

Выбор частоты дискретизации производится исходя из ширины полосы пропускания или из времени регулирования замкнутой системы. Разумные частоты дискретизации в 6..10 раз больше ширины полосы пропускания или от 2-х до 4-х дискретных отсчетов за время нарастания, в противном случае качество системы будет резко ухудшаться.

Количество ступеней квантования по уровню оказывает существенное влияние на динамические свойства систем. При недостаточном их количестве могут возникать периодические режимы переключений между дискретами (автоколебания).

Может случиться так, что выполняемые ЦВМ задачи (опрос датчиков, расчет программы, формирование информационных потоков, запись в порты вывода) могут быть выполнены только при систематической задержке синтезируемого воздействия на один такт дискретизации. В таком случае в системе с ЦВМ появится запаздывание τ, которое должно быть учтено оператором запаздывания $z^{-1}$ и, возможно, смещенной ПФ $W(z,ε)$.

Обычно количество ступеней квантования по уровню велико, поэтому его влиянием пренебрегают. Это делает систему, линейной и позволяет использовать математический аппарат импульсных систем.

Методика вывода дискретных ПФ

gif-file, 2KB

Работу ЦВМ обеспечивают АЦП (квантователь) и ЦАП (экстраполятор нулевого порядка), следовательно:

gif-file, 2KB...

Для нахождения Z-изображения непрерывной ПФ $W(s)$ по таблицам, последнюю надо разложить на элементарные дроби, т.е. преобразовать к параллельной структуре. Тогда на каждое простейшее звено сигнал будет поступать с квантователя (что и требуется при использовании таблиц):

gif-file, 2KB

где:  
 
 

$A(1+T_1s)+Bs(1+T_1s)+Cs^2=1$;
$(BT_1+C)s^2+(AT_1+B)s+A=0s^2+0s+1$; =>
=>   $A=1,~B=-T_1,~C=T_1^2$.

gif-file, 2KB.

О синтезе систем с ЦВМ методом логарифмических амплитудных характеристик

gif-file, 2KBgif-file, 2KB

Изображенный дискретный фильтр имеет в области частот ω ЛАЧХ & ЛФЧХ, использовать которые при синтезе неудобно.

Перевод с помощью $\piv$-преобразования ЧХ в область псевдочастот λ, позволяет получить ЛАЧХ, которые по виду подобны ЛАЧХ непрерывных систем.

Последовательность преобразований следующая:

$W_э(s)·W(s)→W(z)→W(\piv)→W(jλT_ц/2)$.

Эти преобразования при использовании экстраполятора нулевого порядка могут быть формализованы. Пусть ПФ непрерывной части имеет вид:

$W_о(s) = $ $K(1+τ_1s)(1+τ_2s)…(1+τ_ms)$ .
$s^2(1+T_1s)(1+T_2s)…(1+T_ns)$

Техническая реализуемость систем с ЦВМ позволяет ввести положения:

  1. Пусть для частоты среза непрерывной части выполняется условие $ω_{ср} \lt 2/T_ц$.
  2. Все постоянные времени знаменателя разделим на две группы – до и после диапазона от частоты среза до частоты дискретизации:

    $T_1,~…,~T_q \gt (1/ω_{ср}÷1/ω_ц) \gt T_{q+1},~…,~T_n$.

  3. Постоянные времени в числителе $τ_1,~…,~τ_m$ пусть больше чем $1/ω_{ср}$.
  4. Поскольку система должна быть устойчива, пусть наклон ЛАЧХ на $ω_{ср}$ будет -20 дБ/дек.

Принятые положения, позволяют описать свойства систем в области низких и высоких частот двумя ПФ:

gif-file, 2KB.

Теперь для формального перехода в область псевдочастот λ (минуя промежуточные Z-преобразование и $\piv$-преобразование) достаточно подставить в ПФ $W_о(s)_{НЧ}$, вместо $s$, $jλ$ и умножить ее на множитель $(1-jλT_ц/2)$, для низких частот приближенно равный 1.

А ПФ $W_о(s)_{ВЧ}$ будет соответствовать выражение:

gif-file, 2KB.

Модуль которого: gif-file, 2KB.

Результирующий фазовый сдвиг обеих областей:

gif-file, 2KB.

Резюме:

  1. В области НЧ ($ω \lt 2/T_ц$) асимптотическая ЛАЧХ системы с ЦВМ практически сливается с ЛАЧХ непрерывной части (множитель $(1-jλT_ц/2)≈1)$ и можно положить $λ≈ω$. Это позволяет один к одному использовать разработанную для непрерывных систем методику формирования НЧ части желаемой ЛАЧХ.
  2. В области ВЧ отличия вносит множитель $(1-jλT_ц/2)$, ухудшающий условия устойчивости. Поэтому при формировании запретной ВЧ области в расчетных формулах величина $T_ц/2$ должна быть просуммирована с малыми постоянными времени:

    gif-file, 2KB

Цифровая коррекция

Цифровая или дискретная коррекция весьма интересна с практической точки зрения в силу конструктивной универсальности устройств и гибкости настройки. Решения задач коррекции предполагают модификации низкочастотного и среднечастотного фрагментов ЛАЧХ, как правило, с уменьшением частоты среза $ω_{ср}$. Известно, что в этом диапазоне системы с ЦВМ и их ЛАЧХ – $L(λ)$ не отличаются существенно по свойствам от непрерывных аналогов. Поэтому методика синтеза коррекции едина для цифровых и непрерывных систем. Проектирование же дискретной коррекции ведется в четыре этапа.

  1. Синтез ПФ непрерывного корректирующего устройства $W_к(s)$ по методикам разработанным для непрерывных систем.
  2. Переход от непрерывной ПФ корректирующего устройства $W_к(s)$ к эквивалентной дискретной $W_к(z)$ посредствам последовательных переходов по изображениям:

    gif-file, 2KB,

    с помощью результирующей формулы билинейного преобразования (т.е. формальной подстановки):

    gif-file, 2KB

    где: $T_ц$ – период дискретизации ЦВМ.

  3. Составление структурной схемы дискретной ПФ $W_к(z)$, оптимизированной при реализации по объёму памяти, быстродействию или для контроля промежуточных фазовых координат системы.
  4. Написание программы для ЦВМ (периферийный контроллер, микроЭВМ, ЭВМ, цифровой сигнальный процессор – DSP) или разработка схемы на цифровых микросхемах.

Цифровые регуляторы

В непрерывных системах широко используются PID-регуляторы, которые представляются идеализированным уравнением:

gif-file, 2KB.

где: $K_P$ – коэффициент усиления пропорционального канала; $T_I^x$ – постоянная времени сопрягающего полюса интегрального канала; $T_D^x$ – постоянная времени сопрягающего полюса дифференциального канала.

Для малых периодов дискретизации $T_ц$ уравнение может быть преобразовано в разностное без существенной потери в точности. Непрерывное интегрирование может быть представлено с помощью метода прямоугольников gif-file, 2KB, или метода трапеций gif-file, 2KB.

gif-file, 2KB Используем метод прямоугольников для аппроксимации непрерывного интеграла и запишем PID-закон в дискретном виде:

gif-file, 2KB.

В результате получен нерекуррентный (позиционный) алгоритм управления, который требует сохранения всех предыдущих значений сигнала ошибки $x[i]$, и в котором каждый раз заново вычисляется управляющий сигнал $u[n]$.

Для реализации программ закона регулирования на ЦВМ более удобным является рекуррентный алгоритм. Он характеризуется тем, что для вычисления текущего значения сигнала $u[n]$ используется его предыдущее значение $u[n-1]$ и поправочный коэффициент, не требующий существенных вычислительных затрат. Определим его:

gif-file, 2KB.

Перенесем $u[n-1]$ в правую часть – получим "скоростной" алгоритм для программной реализации регулятора:

(*)

$u[n] = u[n-1] + b_0 x[n] + b_1 x[n-1] + b_2 x[n-2]$.

gif-file, 2KB Если для аппроксимации непрерывного интеграла использовать метод трапеций, то разностное уравнение будет иметь вид:

gif-file, 2KB.

Преобразования, аналогичные выше изложенным, при получении рекуррентного соотношения (*), выявляют отличия только для коэффициента $b_0$:

gif-file, 2KB.

Запишем РУ (*) для изображений в Z-домене:

$U[z](1-z^{-1})=(b_0+b_1z^{-1}+b_2z^{-2})X[z]$,

и представим его в виде дискретной ПФ:

$W_{PID}(z) = $ $b_0+b_1z^{-1}+b_2z^{-2}$  ...
$1-z^{-1}$

Анализ ее коэффициентов показывает, что:

  1. Для исключения статической ошибки, ПФ должна иметь полюс $z^x=1$.
  2. Если $b_2=0$, то получим PI-регулятор.
  3. Если $b_0=0$, а $b_1=(1+b_2)$, то получим PD-регулятор.

Алгоритмы программ цифровых фильтров

Существует три основных алгоритма программной реализации дискретных передаточных функций (z-ПФ):

Алгоритм Требуемое быстродействие Объём памяти
gif-file, 2KB Непосредственный
а) с двумя буферами
б) с одним буфером
$24(m+k+1)/T_ц$ $9m+9k+12$
gif-file, 2KB Последовательный $52k/T_ц$ $20k+10$
gif-file, 2KB Параллельный $50k/T_ц$ $19k+8$

Дискретную ПФ можно представить в любой из форм:

gif-file, 2KB

– стандартная форма
для дискретных ПФ

$W(z)$ =  $Y(z)$  =  $b_0+b_1z^{-1}+…+b_mz^{-m}$
$X(z)$ $a_0+a_1z^{-1}+…+a_kz^{-k}$

gif-file, 2KB

– разложение z-ПФ
на множители [1]

$W(z)$ =  $Y(z)$  =  $K$   $1+e_2z^{-1}$  …  $1+e_kz^{-1}$
$X(z)$ $1+d_1z^{-1}$ $1+d_2z^{-1}$ $1+d_kz^{-1}$

gif-file, 2KB

– разложение z-ПФ
на элементарные
дроби [1]

$W(z)$ =  $Y(z)$  =  $P_1$  +  $P_2$  + … +  $P_k$
$X(z)$ $1+d_1z^{-1}$ $1+d_2z^{-1}$ $1+d_kz^{-1}$

где: $e_i$ – нули z-ПФ; $d_i$ – полюсы z-ПФ; $a_0$ – не равно нулю; $P_i$ – коэффициенты разложения

Этим формам представления z-ПФ соответствуют структурные схемы изображенные на рис. 1.

gif-file, 2KB
Рис. 1

Перечисленные факторы определяют выбор алгоритма программы для ЦВМ.

После разложений, каждый из множителей в форме gif-file, 2KB или каждую из элементарных дробей в форме gif-file, 2KB следует представить в стандартной форме gif-file, 2KB (с отрицательными степенями оператора $z$). Переход к разностным уравнениям будет един. z-ПФ в форме gif-file, 2KB соответствует разностное уравнение (РУ):

gif-file, 2KB,

по которому и составляется программа. Поскольку текущее значение выходной координаты $y[n]$ рассчитывается по предыдущим значениям $y[n-1],~y[n-2],~y[n-k]$ – данное РУ называется рекурсивным.

Изобразим структурную схему цифрового фильтра для этого уравнения (см. рис. 2). Ее можно преобразовать, объединив два буфера (см. рис. 3). Цепочки элементов $z^{-1}$ в программах будут соответствовать буферам из ячеек памяти, данные в которых сдвигаются на каждом такте дискретизации. Обе структурные схемы можно составить из простейших блоков программы VisSim.

gif-file, 2KB

Структурной схеме соответствует алгоритм gif-file, 2KBа.
Условие физической реализуемости – $а_0≠0$
Рис. 2

gif-file, 2KB

Структурной схеме соответствует алгоритм gif-file, 2KBб.
Условие физической реализуемости – $а_0≠0$
Рис. 3

Если выбран последовательный gif-file, 2KB или параллельный gif-file, 2KB алгоритм, то структура каждого множителя или элементарной дроби первого порядка (см. рис. 1) будет иметь более простой вид (см. рис. 4).

gif-file, 2KB
Рис. 4

Согласно структурной схеме рис. 2, составим процедуру реализующую дискретную ПФ второго порядка:

function y_zW(x) {
  y=( k * (x*b0+xz_1*b1+xz_2*b2)
        - (     yz_1*a1+yz_2*a2) ) / a0;
  xz_2=xz_1; xz_1=x;
  yz_2=yz_1; yz_1=y;
  return y;
}

где: xz_2, xz_1 и yz_2, yz_1 – ячейки двух буферов, т.е. регистры задержки – $z^{-1}$.

Выберем коэффициенты z-ПФ для расчета переходной характеристики и построим ее:

$K=$
$b_0=$  $b_1=$  $b_2=$
$a_0=$  $a_1=$  $a_2=$

Об эффекте квантования параметров

ПФ цифрового PID-регулятора имеет три коэффициента $b_0,~b_1,~b_2$. Заметим, что только один коэффициент $b_1$ содержит информацию о таком параметре регулятора как постоянная времени сопрягающего полюса интегрального канала $T_I^x$. Для объяснения сути эффекта квантования параметров рассмотрим не усугубляющий случай плотного расположения сопрягающих полюсов. Пусть $T_I^x=0,1$; $T_D^x=0,01$; при $T_ц=0,0003$. Рассчитаем коэффициент $b_1$:

gif-file, 2KB

Заметим, что для любой системы отклонение любой постоянной времени в два раза не должно иметь критического значения, однако коэффициенты ПФ-ий, как показано, зависят от параметров отличающихся на порядки, поэтому скажем для отношения $T_D^x/T_ц$, входящего во все коэффициенты числителя ПФ регулятора требуется сохранять мантиссу длиной 5 знакомест (17 двоичных разрядов), поскольку иначе информация о параметре $T_I^x$ будет потеряна вследствие округления.

Существуют следующие методы преодоления эффекта квантования параметров при ограниченной длине мантиссы ЦВМ:

  1. Развязка параметров посредствам разложения z-ПФ высокого порядка либо на множители, либо на элементарные дроби.
  2. Подбор для реализации z-ПФ структурной схемы среди альтернативных, имеющих разные по плотности сетки возможных положений корней в единичной окружности.