Импульсные системы

Система импульсная линейная
Линейной системой импульсного регулирования называется такая САР, которая кроме звеньев описываемых обыкновенными линейными ДУ содержит импульсное звено, преобразующее непрерывное входное воздействие в равноотстоящие друг от друга по времени импульсы.

Варианты выходных последовательностей импульсных звеньев

gif-file, 2KB

Пример импульсной системы

gif-file, 2KB

1 – импульсное звено – ключ с ШИМ; 2 – непрерывное звено – фильтр с нагрузкой; изменение $+U$ можно рассматривать как возмущение $f(t)$

Система линейна, если линеен ШИ-модулятор. Если $R_н$ меняется, то система дополнительно будет параметрической.

Математический аппарат описания импульсных систем

Решетчатые функции

Рабочие файлы: [z_sin.vsm]

gif-file, 2KB

Решетчатые функции 2 определены только в дискретные моменты времени $[nT]$ (сокращенно $[n]$), и формируются из непрерывных функций 1: $f[nT]=f(t)$ при $t=nT$. Рассматривают так же смещенные решетчатые функции (последовательность 3): $f[n,ε]=f(t)$ при $t=(n+ε)T$, где ε – относительное смещение, $ε\in[0÷1)$.

gif-file, 2KBНепрерывные функции, проходящие через дискреты заданной решетчатой функции, называют огибающими. Их бесконечно много.

Основная огибающая может быть получена, как результат решения ДУ наименьшего порядка и должна содержать гармоники наименьшей частоты.

Дифференцирование и интегрирование решетчатых функций

Рабочие файлы: [S & 1/S]

gif-file, 2KB Аналогом первой производной для решетчатой функции является либо первая прямая разность:gif-file, 2KB

$Δf[n]=f[n+1]-f[n]$,

либо первая обратная разность:

$\nabla f[n]=f[n]-f[n-1]$.

Аналогами второй производной являются вторые разности. Прямая:

$Δ^2f[n]=Δf[n+1]-Δf[n]$ = $(f[n+2]-f[n+1])-(f[n+1]-f[n])$ = $f[n+2]-2f[n+1]+f[n]$,

и обратная:

$\nabla^2 f[n]=\nabla f[n]-\nabla f[n-1]=f[n]-2f[n-1]+f[n-2]$.

По аналогии могут определяться и высшие разности:

$Δ^k f[n]=_{ν=0}^k∑(-1)^ν C_k^ν f[n+k-ν]$ $\nabla^k f[n]=_{ν=0}^k∑(-1)^ν C_k^ν f[n-ν]$

где: $C_k^ν=k!/(ν!(k-ν)!)$ – биномиальные коэффициенты.

Очевидно, что если $f[n]$ определена только для положительных $n$, то для $n=0$ все обратные разности $\nabla^k f[n]$ равны нулю, что позволяет ...

gif-file, 2KB Аналогом интеграла является неполная сумма:

$σ[n]=_{m=0}^{n-1}∑ f[m]=_{ν=1}^n∑ f[n-ν]$,

и полная сумма:

$σ_0[n]=σ[n]+f[n]$.

Разностные уравнения

Аналогом ДУ для импульсной системы является уравнение в конечных разностях или разностное уравнение (РУ):

$b_0\nabla^m y[n]+b_1\nabla^{m-1} y[n]+…+b_m y[n]=f[n]$,

(оно может быть составлено и в прямых разностях). Если раскрыть разности, то уравнение будет иметь вид:

(1)

$a_0 y[n]+a_1 y[n-1]+…+a_m y[n-m]=f[n]$,

где: $a_{m-k}=_{ν=0}^k∑(-1)^{m-k} b_ν C_{m-ν}^{k-ν}$; $C_{m-ν}^{k-ν}=(m-ν)!/[(k-ν)!(m-k)!]$.

РУ легко машинизируются и для их расчета можно составлять рекуррентный алгоритм.

Учтем запаздывание передаточной функцией звена чистого запаздывания и вынесем теперь уже изображение дискретной последовательности $y[n]$ в уравнении (1) за скобку:

$(a_0+a_1 e^{-Ts}+…+a_m e^{-mTs})Y^*[s]=F^*[s]$,

введем обозначение $z=e^{Ts}$ и перепишем уравнение:

$(a_0+a_1 z^{-1}+…+a_m z^{-m})Y[z]=F[z]$.

Решая для него ХУ (левая часть приравненная к нулю) можно получить "Общее решение" – т.е. переходную составляющую:

$y[n]=C_1 z_1^n+C_2 z_2^n+…+C_m z_m^n$,

где: $z_1,~z_2,~…,~z_m$ – корни ХУ; а $C_i$ – произвольные постоянные.

Вид решения ХУ определяет условие устойчивости для систем, описанных с помощью РУ:

$|z_i| \lt 1$.

Z-преобразование

Рабочие файлы: [Int_Furie.vsm] [См. синтез меандра]

Для решетчатых функций времени может быть введено понятие дискретного преобразования Лапласа:

gif-file, 2KB

которое называется Z-преобразованием при подстановке $z=e^{Ts}$, и связывает изображение с оригиналом.

Z-преобразования (изображения) типовых решетчатых функций и типовых непрерывных ПФ $W(s)$ сведены в таблицы. Определены правила и теоремы для математических манипуляций с ними.

Типовая структура импульсной системы.
Понятие об импульсном фильтре

gif-file, 2KB

Обобщенная модель импульсного элемента

  gif-file, 2KB

Приведенные весовая и передаточная функции разомкнутой импульсной системы

$W_п(s)=W_э(s)W_о(s)$, при этом $W_п(s)=L{w_п(t)}$.

Дискретная ПФ

Знание приведенной решетчатой весовой функции $w_п[n]$ позволяет найти реакцию импульсного фильтра на входную величину произвольного вида – $x(t)$. Рассмотрим реакции на отдельные значения входной величины в дискретные моменты времени:

Следовательно реакция на всю входную последовательность будет равна:

$y[n]=_{m=0}^n∑w_п[n-m]x[m]$ $=_{m=0}^n∑w_п[m]x[n-m]$ $=_{m=0}^n∑w_п[m]x[n]e^{-mTs}$ $=_{m=0}^n∑w_п[m]x[n]z^{-m}$ $=x[n]\times_{m=0}^n∑w_п[m]z^{-m}$.

Здесь первоначально изменен порядок суммирования (свертка), а затем учли запаздывание оператором запаздывания $z=e^{Ts}$. Если устремить $n$ к бесконечности, то, очевидно, что сомножитель для $x[n]$ есть дискретная ПФ:

$W(z)=_{n=0}^∞∑w_п[n]z^{-n}=Y(z)/X(z)$.

И поскольку она является Z-преобразованием приведенной решетчатой весовой функции, то ее можно представить как Z-преобразование от обратного преобразования Лапласа приведенной ПФ экстраполятора и непрерывной части:

$W(z)=Z{w_п[n]}=Z{L^{-1}{W_п(s)}}$.

Часто для краткости записи знак операции $L^{-1}$ опускают записывая: $W(z)=Z{W_п(s)}$.

Правила преобразования структурных схем дискретных систем

Рабочие файлы: [series_z.vsm]

gif-file, 2KB $W_п(s)=W_1(s)+W_2(s)$
$W(z)=W_1(z)+W_2(z)$
   gif-file, 2KB
gif-file, 2KB $W_п(s)=W_1(s)W_2(s)$
$W(z)=Z{W_1(s)W_2(s)}=W_1W_2(z)$
 те. $W(z)≠W_1(z)W_2(z)$ !!!
gif-file, 2KB $W(z)=W_1(z)W_2(z)$
gif-file, 2KB $W(z,ε)=Z{L^{-1}{W_п(s)e^{-τs}}}=$
$=z^{-1}Z_ε{w_п[n,ε]}$
где:  ε – относительное смещение, которое отсчитывается
от начала предыдущего такта ($ε=1-τ/T; ~ 0 \lt τ \lt T$).

ПФ системы с экстраполятором нулевого порядка и звеном запаздывания

gif-file, 2KB

Экстраполятором нулевого порядка являются: 1) УВХ и 2) ЦАП.

Найдем изображение Лапласа для единичного импульса:

gif-file, 2KB.

Тогда Z-изображение экстраполятора и непрерывной части со звеном запаздывания:

gif-file, 2KB,

где: $ε=1-τ/T; ~ 0\lt τ\lt T; ~ W(z)$ не учитывает коэффициент передачи ИИЭ равный $1/T$.

ПФ системы с экстраполятором, осуществляющим АМ первого или второго рода

gif-file, 2KB

Найдем изображение Лапласа для частично заполненного импульса:

gif-file, 2KB.

Тогда Z-изображение экстраполятора и непрерывной части:

gif-file, 2KB,

где: $ε=1-γ; ~ W(z)$ не учитывает коэффициент передачи ИИЭ равный $1/T$.

Если $γ \lt\lt 1$, то $e^{-γTs}≈1-γTs$, тогда:

gif-file, 2KB.

К этой формуле, в первом приближении, сводится и АМ второго рода.

ПФ замкнутой импульсной системы

gif-file, 2KB

Опишем систему в изображениях Лапласа:

gif-file, 2KB

gif-file, 2KB

те.:

$Φ(z,ε)=$ $W_1(z,ε)$ .
$1+W_1W_2(z,ε)$
$Φ(z)=$ $W_1(z)$ ,   $Φ_x(z)=$ $1$ ;
$1+W_1W_2(z)$ $1+W_1W_2(z)$

(осталась особенность – "$W_1W_2(z)$", см. правило 2 преобразования структурных схем)

ПФ для возмущений

gif-file, 2KB

Поскольку для произведения 2х операторных многочленов: $F(s)$ (изображение возмущения) и $W_2(s)$ нельзя найти Z-преобразование раздельно, см. правило 2, то ПФ по возмущению удобно определять для эквивалентных возмущений $F_1(z)$, приведенных к входу ИЭ:

gif-file, 2KB.

Дискретная синусоидальная последовательность $x[n]=a\sin[ωnT+φ]$.
Частота Найквиста. Теорема Котельникова.
Частотные ПФ импульсных систем

Рабочие файлы: [aliasing.vsm] [z_sin2.vsm] [psd45.vsm] [fft30.vsm] [Свойства W(e jωT)]

gif-file, 2KB

Особые свойства последовательности $x[n]$:

  1. Функция может быть как периодической – рис. а и б, так и непериодической – рис. в.
  2. Амплитуда образующей непрерывной функции может быть максимальным значением последовательности $x[n]$ – рис. а, и может не является им – рис. б.
  3. Последовательность не изменится, если на вход ключа подавать сигналы с частотами, отличающимися на частоту дискретизации: $f;~f+1f_0;~f+2f_0;~…;~f+kf_0$.

Запишем закон изменения синусоидальной последовательности в экспоненциальной форме:

$x[n]=a\sin[ωnT+φ]=ae^{j[ωnT+φ]}=ae^{jφ}e^{jωnT}=a^*e^{jωnT}=a^*z^n$,

тогда выходная величина импульсного фильтра:

$y[n]=_{m=0}^∞∑w_п[n-m]x[m]$ $=_{m=0}^∞∑w_п[m]x[n-m]$ $=_{m=0}^∞∑w_п[m]a^*z^{n-m}$ $=a^*z^n×_{m=0}^∞∑w_п[m]z^{-m}$ $=a^*z^nW(z)=x[n]W(z)$.

Таким образом ПФ $W(z)$ при подстановке $z=e^{jωT}$ – есть частотная ПФ. Все остается в силе и для $Φ(e^{jωT})$ и $Φ_x(e^{jωT})$.

Очевидно, что частотные ПФ $W(e^{jωT}), ~ Φ(e^{jωT})$ и $Φ_x(e^{jωT})$ обладают периодическими свойствами ($ω_0=2πT^{-1}$). Это видно и из нижнего рис., поскольку одну и ту же входную последовательность могут вызывать входные сигналы с разными частотами $f+kf_0$.

$\piv$ - Преобразование. Билинейные преобразования.
Устойчивость и качество импульсных систем

Рабочие файлы: [Аппроксиматоры] [bi_line_sz.vsm]

gif-file, 2KB

Построим область устойчивости в плоскости комплексной величины $z$. Воспользуемся методикой D-разбиения и, меняя частоту ω от $-∞$ до $+∞$, получим границу $z=e^{Ts}=e^{jωT}$ – в виде окружности единичного радиуса, внутрь которой попадает левая полуплоскость комплексной величины $s$. Следовательно, для устойчивости, все корни-полюсы замкнутой системы $Φ(z)$ должны находится внутри этой окружности.

Итак, для описанных с помощью аппарата Z-преобразования импульсных систем, всилу изменившегося вида области устойчивости и периодичности их ЧХ $W(e^{jωT})$, разработанные для непрерывных систем критери устойчивости (кроме критерия Найквиста и корневого годографа), а так же наиболее эффективные методы коррекции и синтеза (использующие ЛАЧХ & ЛФЧХ) не приемлемы.

Для преодоления этого затруднения используют $\piv$-преобразование, которое отражает окружность единичного радиуса на мнимую ось комплексной величины $\piv$, с помощью подстановки:

gif-file, 2KB.

Физически подстановка означает переход к ДУ заменой в РУ элементов чистого запаздывания грубой аппроксимацией – одним фазосдвигающим звеном.

Вторая формула для перехода в область псевдочастот λ получена из соотношения:

gif-file, 2KB,

отметим так же, что:

gif-file, 2KB.

$\piv$-Домен и домен псевдочастоты λ используют редко, поскольку для большинства импульсных и цифровых систем частота дискретизации $1/T$ выбирается в 6...10 раз больше частоты среза. В таком случае выполняется условие $ω_{ср}T \lt 2$, вследствие чего в полосе системы псевдочастота λ и частота ω практически совпадают. Поэтому обходятся доменом обычных частот, а для переходов используют формулы "Билинейного преобразования":

gif-file, 2KB.

Калькулятор Билинейного Преобразования  
Параметры передаточной функции              

   k:                             s-mantissa: 
Числ: 
Знам: 

  dT:                           

Резюме:

  1. После $\piv$-преобразования, используя ПФ $W(\piv)$ или $Φ(\piv)$ можно применять обычные (в основном алгебраические) критерии устойчивости, справедливые для непрерывных систем.
  2. После последующего перехода в область псевдочастот (подстановка $\piv=jλT/2$) вид ПФ $W(jλT/2)$ и $Φ(jλT/2)$ становится пригоден для применения медодов, использующих ЛАЧХ & ЛФЧХ.
  3. Качество импульсной системы может оцениваться построением кривой переходного процесса, что при использовании ПФ $Φ(z)$ сравнительно легко.
  4. Оценку качества в установившихся режимах удобно выполнять нахождением коэффициентов для разложения ошибки в ряд:

    gif-file, 2KB,

    которые являются коэффициентами разложения ПФ $Φ_x(z)$ в ряд Маклорена по степеням $s$:

    gif-file, 2KB,

    где: $z=e^{Ts}$.

Понятие о переходном процессе конечной длительности

gif-file, 2KB

Принципиальным недостатком линейных систем является тот факт, что любой переходный процесс будет иметь бесконечную длительность. Это объясняется тем, что при уменьшении значений сигналов на входах интеграторов пропорционально уменьшается скорость изменения их выходных координат. Т.е. если в линейной астатической системе ошибка становится меньше, то тут же понижается скорость ее компенсации по цепи ООС (см. рис., кадр 1).

Если же на некоторое время периодически замораживать сигнал в цепи ООС, то скорость изменения выходной координаты интегратора в течение периода "заморозки" уменьшаться не будет, а при правильном подборе периода "заморозки" можно добиться переходного процесса конечной длительности, завершающегося за один или же два цикла (см. рис., кадры 2 и 3).

Следует отметить, что подобная импульсная система на время "заморозки" сигнала ООС приобретает все достоинства и недостатки не имеющих ОС систем.