Системы с запаздыванием

Система линейная с запаздыванием
Линейной системой с запаздыванием называется такая, которая содержит в своей структуре хотябы одно звено, в котором есть неизменное запаздывание во времени τ изменения выходной координаты после начала изменения входной.

gif-file, 2KBРассмотрим апериодическое звено первого порядка, которое описывается уравнением:

(1)

$T·dy/dt+y=K·x(t)$.

Уравнение соответствующего звена с запаздыванием τ будет иметь вид:

(2)

$T·dy/dt+y=K·x(t-τ)$.

Оно называется дифференциально-разностным.

Обозначим $x^*(t)=x(t-τ)$, тогда уравнение (2) запишется в обыкновенном виде:

(3)

$T·dy/dt+y=K·x^*(t)$.

Следовательно его переходная характеристика соответствует апериодическому звену (рис. 1в), но задержана на τ с, что определено задержкой воздействия $x^*(t)$ (рис. 1б).

Резюме:

Пример системы с транспортным запаздыванием

Рабочие файлы: [e^(-st)_tc.vsm]

gif-file, 2KB

ПФ звена чистого запаздывания

gif-file, 2KBСвойства звена таковы, что $y(t)=x(t-τ)$, где τ – запаздывание, а $x(t-τ)=0$ при $0 \lt t \lt τ$.

Разложим правую часть уравнения (т.е. выходной сигнал) в ряд Тейлора:

gif-file, 2KB,

или

gif-file, 2KB,

т.е.:

gif-file, 2KB.

Аппроксимация звена чистого запаздывания

Рабочие файлы: [Аппроксиматоры]

gif-file, 2KB Сравним переходные функции апериодического звена с запаздывающим аргументом и апериодического звена 2-ого порядка:

gif-file, 2KB

Поскольку они существенно похожи, в приближенных расчетах можно осуществлять подмены передаточных функций звеньев.

gif-file, 2KB В некоторых случаях применяется прием учета большого числа $N$ звеньев в системе с малыми постоянными времени $ΔT_i$ и единичным коэффициентом передачи, одним звеном с постоянным запаздыванием, равным сумме этих постоянных времени $τ=∑ΔT_i≈N·ΔT$. Т.е.:

gif-file, 2KB

Если $N→∞$, то в пределе получим $W(s)≈e^{-τs}$. Уже при $N=8÷10$ степень приближения высока. Ряд будет более точно соответствовать разложению в ряд функции $e^{-τs}$, если его представлять не апериодическими, а фазосдвигающими звеньями.

Размыкание систем с запаздыванием

Большинство методов исследования устойчивости или качества систем в качестве входной информации используют ПФ системы для разомкнутого состояния $W(s)$. Звено чистого запаздывания является нелинейным элементом, и затрудняет как аналитический анализ систем, так и машинный (программы математического моделирования не могут выполнять функции анализа для систем с нелинейными элементами). Поэтому либо используют линеаризованные аппроксиматоры звена чистого запаздывания, либо размыкают систему в той ветви, которая содержит звено чистого запаздывания, дабы ПФ имела вид: $W(s)=W_о(s)×e^{-τs}$, где $W_о(s)$ – ПФ части системы без запаздывания.

Рассмотрим и разомкнем системы с основными вариантами включения звена чистого запаздывания – последовательным, параллельным и в цепи ОС:

gif-file, 2KB

gif-file, 2KB
gif-file, 2KB

gif-file, 2KB

gif-file, 2KB

gif-file, 2KB

gif-file, 2KB

Если звенья чистого запаздывания имеются в разных ветвях структурной схемы, то для исследований используют их аппроксиматоры и машинные методы анализа.

Частотные свойства систем с запаздыванием. Понятие о критическом запаздывании

Рабочие файлы: [ЧХ звена запаздывания]

Перейдем в частотный домен:

$W(jω)=W_о(jω)×e^{-jωτ}=A_о(ω)·e^{jφ_о(ω)}×1e^{-jωτ}$,

следовательно:
 

$L(ω)=|W(jω)|=A_о(ω)×1=A_о(ω)$,
$φ(ω)=φ_о(ω)-ωτ$.

gif-file, 2KBРезюме:

Устойчивость систем с запаздыванием

Рассмотрим замкнутую систему:

gif-file, 2KB

gif-file, 2KBgif-file, 2KB

По знаменателю ПФ $Φ(jω)$ видно, что в общем случае характеристическое уравнение будет иметь множитель $e^{-τs}$, который определяет возможность наличия бесконечного количества корней (см. петли годографа Михайлова $D(jω)$).

Как и прежде, для устойчивости все они должны иметь отрицательные вещественные части.

Об исследовании точности систем с запаздыванием

gif-file, 2KBПо ЧХ звена чистого запаздывания наглядно видно, что его коэффициент передачи во всем частотном диапазоне равен единице. Причем в области низких частот и задержка в звене пренебрежимо мала (т.е. сдвиг фазы стремится к нулю), поэтому при исследовании точности систем с запаздыванием допустимо просто исключить все звенья чистого запаздывания из структурной схемы. Эта операция допустима, поскольку точность любой системы определяет только НЧ часть ее ЧХ.