Синтез САР

Синтез системы
Направленный расчет, имеющий конечной целью отыскание: 1) рациональной структуры системы и 2) установление оптимальных величин параметров отдельных звеньев.

При множестве возможных решений, должен быть выбран критерий оптимизации – цена, точность, надежность, быстродействие, затраты энергии ...

При инженерном синтезе ставятся задачи:

  1. Достижение требуемой точности.
  2. Обеспечение приемлемого характера переходных процессов (задача демпфирования).

Метод логарифмических амплитудных характеристик

Процесс синтеза включает в себя следующие операции:

  1. Построение располагаемой ЛАЧХ исходной системы $W_о$, состоящей из регулируемого объекта без регулятора и без корректирующего устройства.
  2. Построение НЧ части желаемой ЛАЧХ на основе предъявленных требований точности.
  3. Определение вида и параметров регулятора $K,~K_i,~…$:
    $W_{рег}(s)=W_{НЧ.ж}(s)/W_о(s)$;    $L_{рег}(ω)=L_{НЧ.ж}(ω)-L_о(ω)$.
  4. Уточнение ВЧ части желаемой ЛАЧХ на основе требований к запасу устойчивости – $L_{НЧ~и~ВЧ.ж}(ω)$.
  5. Определение вида и параметров последовательного корректирующего устройства:
    $W_{ПЗ~кор}=W_{НЧ~и~ВЧ.ж}/[W_{рег}W_о]$;    $L_{ПЗ~кор}=L_{НЧ~и~ВЧ.ж}-L_{рег}-L_о$.
  6. Техническая реализация корректирующих устройств. В случае необходимости – перерасчет на эквивалентные параллельное звено или ОС.
  7. Поверочный расчет и построение переходного процесса.

Требования к НЧ части желаемой ЛАЧХ

gif-file, 2KB Оценка точности САР по воспроизведению гармонического сигнала

Если: $g(t)=G_m\sin(ω_кt)$, то амплитуда $X_m=|Φ_x(jω_к)|G_m=G_m/|1+W(jω_к)|$.

Поскольку $X_m$ должна быть << $G_m$, то $W(jω_к)\gt\gt1$, следовательно $X_m≈G_m/|W(jω_к)|$.

Те, чтобы система воспроизводила сигнал с ошибкой, непревышающей $X_m$, ЛАЧХ системы должна проходить не ниже контрольной точки $A_к$ с координатами: $ω=ω_к$, $L(ω_к)=20\lg|W(jω_к)|=20\lg(G_m/X_m)$.

gif-file, 2KB Формирование запретной НЧ области для желаемой ЛАЧХ

Способ №1

Дано:   
 
 

$X_m$ – максимальная амплитуда ошибки;
$V_m$ – максимальная скорость слежения;
$E_m$ – максимальное ускорение слежения.

Найдем связывающие отношения между амплитудой, скоростью и ускорением синусоидального сигнала:

$g(t)=G_m\sin(ω_кt)$
$g′(t)=G_mω_к\cos(ω_кt)$
$g″(t)=-G_mω_к^2\sin(ω_кt)$
=> $V_m=G_mω_к$
$E_m=G_mω_к^2$
=> $ω_к=E_m/V_m$
$G_m=V_m^2/E_m$

gif-file, 2KBЗапретная область соответствует ЛАЧХ вида 1-2, т.е. системе с астатизмом 1-ого порядка добротности которой:

Способ №2

Дано:   
 
 

$ω_к$ – контрольная частота;
Δφ – фазовая ошибка слежения;
δ – относительная амплитудная составляющая ошибки.

gif-file, 2KB – определяет вид запретной области ($K_v$ и $T_1$ – неизвестны).

Построим векторную диаграмму гармонических координат системы:

gif-file, 2KB

где:

gif-file, 2KB;

gif-file, 2KB

Построение НЧ части желаемой ЛАЧХ

gif-file, 2KBgif-file, 2KB В следящих системах с астатизмом 2-ого порядка, положение первой низкочастотной асимптоты всегда однозначно. Настройкой параметров регулятора ($K,~K_{i1},~K_{i2}$) ее нужно подстроить по правой границе запретной области для НЧ.

gif-file, 2KB В системах с астатизмом первого порядка надо определить положение 2-х асимптот. Возможные варианты определены положением постоянной времени объекта $T_1$, относительно контрольной частоты:

gif-file, 2KB

  1. $K_ε \gt K_{ε~треб}$, но: затруднено демпфирование и увеличиваются ВЧ шум.
  2. $K_v \gt K_{v~треб}$, но: увеличиваются НЧ шум.
  3. Истинная ЛАЧХ должна быть поднята на 3 дБ, для компенсации ослабления в 1,4142 раза в зоне частоты сопряжения.

Требования к ВЧ части желаемой ЛАЧХ

gif-file, 2KBФормировать ВЧ участок ЛАЧХ удобно при использовании показателя колебательности $M$, линии уровня которого, при скольжении вектора $A$, с фазой φ по окружностям $M$, можно нанести на ЛФЧХ.

В качестве типовых в НЧ части используются ЛАЧХ с наклоном не более -40 дБ/дек, которому соответствует нулевой запас по фазе, поэтому необходимо в области частоты среза формировать участок с наклоном -20 дБ/дек, т.е. сводить типовые ЛАЧХ к одному из 2-х видов:

gif-file, 2KBgif-file, 2KB
 
1-2-1-2-3
0-1-2-1-2-4   
...
1-2-3
0-1-2-3-4
...

Запретные зоны на ЛАЧХ определяют:

Если выше частоты среза имеется пик от колебательного звена, то его амплитуда не должна приблизиться к окружности с заданной колебательностью $M$, т.е. не должна достичь уровня на ЛАЧХ $20\lg(M/(M+1))$; а постоянная времени, при определении $h$, должна войти в сумму как $2ζT$.

Построение ВЧ части желаемой ЛАЧХ

Исходные данные: $ω_0$ и $T_1$ – определены при построении НЧ части желаемой ЛАЧХ.

gif-file, 2KB Для систем с астатизмом 2-ого порядка:

gif-file, 2KB Для систем с астатизмом 1-ого порядка проверяют возможность сведения желаемой ЛАЧХ к виду 1-2 или модификациям, путем уменьшения постоянных времени до значения:

gif-file, 2KB, где ($M \lt 1,3$).

Если это невозможно, то формируют участок -20 дБ/дек аналогично методике для систем с астатизмом 2-ого порядка.

Корневой метод синтеза

Метод позволяет получить приемлемые динамические качества, при заданной структуре САР и заданном значении коэффициента усиления (последний член характеристического уравнения).

Пусть имеется ХУ:

(1)

$s^n+A_1s^{n-1}+…+A_n=0$.

Сумма модулей вещественных частей всех корней равна коэффициенту $A_1$. При заданной его величине быстродействие будет максимальным, если вещественные части корней равны. Но это не достижимо – система будет не устойчивой. Например, для САР состоящей из 3-х апериодических звеньев выполнение условия эквивалентно равенству постоянных времени...

Реально всегда можно выделить 2 или 3 корня, с наименьшей по модулю вещественной частью, которые определяют вид переходного процесса. Положим их 2 и они комплексные. Перепишем ХУ:

(2)

$(s^{n-2}+C_1s^{n-3}+…+C_{n-3})$ $(s^2+B_1s+B_2)$ = 0.

Достаточно рассматривать только 2-ой сомножитель, поскольку им определен вид переходного процесса:

Оптимальное соотношение между $B_1$ и $B_2$ может быть получено из условия затухания за один период ζ, выбор которого определяет отношение вещественной части корней к мнимой:

$μ=β/α=2π/\ln(1/(1-ζ))$,   где: $α=-B_1/2;~~β=(B_2-B_1^2/4)^{1/2}$.

Если принять, что вид переходного процесса определяют три корня, то следует воспользоваться уравнением 3-ей степени:

(3)

(…) $(s^3+B_1s^2+B_2s^1+B_3)$ = 0,

которое нужно представить в виде:

$(s+C_{11})(s^2+B_{11}s+B_{22})=0$.

Вещественные части корней будут равны $α_1=α_{2,3}=-B_1/3$. Требования к $B_{11}$ и $B_{22}$ уже сформулированы, а связи с (3) определены равенствами:

$B_1=C_{11}+B_{11}$,   $B_2=B_{22}+B_{11}C_{11}$,   $B_3=C_{11}B_{22}$.

Выбор порядка уравнения для описания основной составляющей переходного процесса (2) или (3) зависит от структурной схемы САР.

Метод корневых годографов

Рабочие файлы: [root_locus.vsm]

Метод позволяет подобрать параметры системы по оценке их влияния на общую картину расположения корней замкнутой САР.

Если ПФ замкнутой САР:

$Φ(s) = $ $b_0s^m+b_1s^{m-1}+…+b_{m-1}s+b_m$ ,   где: $m \lt n$,
$a_0s^n+a_1s^{n-1}+…+a_{n-1}s+a_n$

то полюсы и нули (корни) всегда можно вычислить и нанести на комплексную плоскость. Если менять один из параметров системы, ($K,~…,~T_i,~…,~ζ$), то изменения в ПФ $Φ(s)$ приведут к смещению корней – движению по траекториям, совокупность которых называется корневым годографом. Если менять один параметр, при дискретных значениях другого, то можно оптимально выбрать значения уже 2-х параметров, оценивая семейство корневых годографов. При выборе допустимо пользоваться любой из корневых оценок качества: $μ,~η,~Ω_0$. Наиболее эффективен метод при выборе $K$.

Рассмотрим идею построения траекторий корней. ПФ разомкнутой системы и ХУ запишем в виде:

(*)

gif-file, 2KB,

здесь $s$ – не оператор Лапласа или дифференцирования, а любая точка на одной из возможных траекторий корней, которые мы хотим построить варьируя $K$ !!!

Если корни – полюсы и нули – известны ($q_1^o,~q_2^o,~…,~q_m^o$;   $q_1^x,~q_2^x,~…,~q_n^x$), то операторную часть ПФ – $G_1(s)$ можно представить в виде:

$G_1(s)=A$ $(s-q_1^o)(s-q_2^o)…(s-q_m^o)$ $=A·G(s)$
$(s-q_1^x)(s-q_2^x)…(s-q_n^x)$
где: $A=$ $(-q_1^o)(-q_2^o)…(-q_m^o)$ $\gt 0; \quad m \lt n$.
$(-q_1^x)(-q_2^x)…(-q_n^x)$

Представим сомножители ($s-q_i$) векторами:

$G(s)=$ $r_1^or_2^o…r_m^o$ $e^{j((_{k=1}^m∑φ_k^o)-(_{k=1}^n∑φ_k^x))}=re^{jφ}$.
$r_1^xr_2^x…r_n^x$

Теперь вновь запишем ХУ:

  $1$ $=-1$      =>      $K=$ $1$   (1),     $φ=±π$ (2).
$A·K·re^{jφ}$ $A·r$

При изменении $K$ от 0 до бесконечности уравнения (1) и (2) определяют правила движения корней:

  1. Если $K=0$, то корни ХУ (*) совпадают с полюсами $W(s)$, т.к. $G(s)$ должна стремится к бесконечности.
  2. Если $K→∞$, то часть корней ХУ (*) совпадают с нулями $W(s)$, а часть уходит в бесконечность, т.к. $G(s)→0$ как при совпадении $s$ с нулями, так и при $s→∞$. Наклон асимптот для уходящих в бесконечность корней можно рассчитать по формуле:

$(π+2iπ)/(n-m)$,   где: $i=1,\,2,\,…,\,n-m$.