Оценка качества регулирования

Качество любой системы регулирования определяется величиной ошибки:

$x(t) = g(t) - y(t) = Φ_x(p) g(t)$

Но функцию ошибки $x(t)$ для любого момента времени трудно определить, поскольку она описывается с помощью ДУ системы – $Φ_x(p)$ – высокого порядка, и зависит от большого количества параметров системы. Поэтому оценивают качество САР по некоторым ее свойствам, определяют которые с помощью критериев качества.

Критериев качества регулирования много. Их разделяют на 4 группы:

  1. Критерии точности – используют величину ошибки в различных типовых режимах.
  2. Критерии величины запаса устойчивости – оценивают удаленность САР от границы устойчивости.
  3. Критерии быстродействия – оценивают быстроту реагирования САР на появление задающего и возмущающего воздействий.
  4. Интегральные критерии – оценивают обобщенные свойства САР: точность, запас устойчивости, быстродействие.

Существует два основных подхода к оценке качества:

  1. Первый использует информацию о временных параметрах системы: $h(t)$, $w(t)$; расположение полюсов и нулей ПФ замкнутой системы $Φ(s)$.
  2. Второй использует информацию о некоторых частотных свойствах системы: полоса пропускания; относительная высота резонансного пика; и т.д.

Точность в типовых режимах

Рабочие файлы: [ok_ast.vsm]

Для оценки точности используется величина ошибки в различных типовых режимах. Типовые режимы движения состоят в подаче на вход сигналов с нормированными метрологическими характеристиками. Различают типовые режимы:

  1. Ненулевое, неподвижное состояние.
  2. Движение с постоянной скоростью.
  3. Движение с постоянным ускорением.
  4. Движение по гармоническому закону.

Сигналы задания для типовых режимов движения, их модели и изображения по Карсону-Хевисайду

gif-file, 2KB

На рис. показаны режимы: ненулевого, неподвижного положения координаты; движение с постоянной скоростью; движение с постоянным ускорением. Легко понять, что перемещение координаты с постоянной скоростью легко получить интегрированием постоянного сигнала, а для получения координаты движущейся с постоянным ускорением необходимо интегрировать координату, перемещающуюся с постоянной скоростью. Заменив операцию интегрирования оператором, получим изображения по Карсону-Хевисайду.

Ошибки статической системы

Здесь и далее будем рассматривать установившиеся составляющие ошибки системы в типовых режимах движения. Для чего будем анализировать уравнение ошибки:

gif-file, 2KB,

где: $g_0+v/s+ε/s^2$ – изображение представленного рядом Тейлора входного сигнала; $s→0$ соответствует установившемуся режиму.

Итак, если ПФ САР $W(s)$ статическая, т.е. в области низких частот $W(s)|_{s→0}→K$. Тогда первая составляющая ошибки:

gif-file, 2KB,

т.е. в статической системе ошибка, вызванная заданием равным константе, так же константа, но меньшая в $1+K$ раз, а ошибки от заданий меняющихся с постоянными скоростью или ускорением нарастают до бесконечности.

Ошибки системы с астатизмом первого порядка

Если ПФ САР $W(s)$ обладает астатизмом первого порядка, т.е. в области низких частот $W(s)|_{s→0}→K_v/s$. Тогда первая составляющая ошибки:

gif-file, 2KB,

т.е. в астатической системе первого порядка ошибка от задания равного константе равна нулю, ошибка от задания меняющегося с постоянной скоростью равна $x_v=v/K_v$, а ошибка от задания, меняющегося с постоянным ускорением, нарастает до бесконечности.

Ошибки системы с астатизмом второго порядка

Если ПФ САР $W(s)$ обладает астатизмом второго порядка, т.е. в области низких частот $W(s)|_{s→0}→K_ε/s^2$. Тогда первая составляющая ошибки:

gif-file, 2KB,

т.е. в астатической системе второго порядка ошибки от заданий равного константе и изменяющегося с постоянной скоростью равны нулю, а ошибка от задания меняющегося с постоянным ускорением равна константе $x_ε=ε/K_ε$.

Качество САР с астатизмом принято характеризовать величинами, называемыми добротностью по скорости и ускорению:

gif-file, 2KB .

О компенсации помех в астатических системах

gif-file, 2KB

Рассмотрим вторую составляющую ошибки $x''_{уст}$ от возмущающих воздействий $f_{k_0}$. Если САР астатическая, то $W(s)|_{s→0}→∞$, но возможен случай, когда $W_{f_k}(s)|_{s→0}→∞$. Т.е. при любой степени астатизма САР $x''_{уст}$ может быть отличной от нуля.

gif-file, 2KB.

Резюме:

  1. Для подавления ошибки от возмущения необходимо, чтобы интегрирующий элемент был включен в контур до места приложения возмущения.
  2. Если рассматривать ошибку чувствительного элемента (сумматора) как возмущение, то, очевидно, что повышение степени астатизма не позволяет устранить ее.

Ошибка при движении по гармоническому закону $g(t)=G_m\sin(ω_к t)$

Рассмотрим только первую составляющую ошибки:

$x'_{уст} = g(t) / [1 + W(s)] = X_m \sin(ω_к t + φ)$

где: $g(t)$ – синусоида; $[1 + W(s)]$ – комплексное число.

Следовательно:

(1)

$X_m = G_m / |1 + W(jω_к)| ≈ G_m / A(ω_к)$.

Резюме:

  1. Формула (1) позволяет идентифицировать положение неизвестной ЛАЧХ на данной частоте по амплитуде ошибки или сформулировать требования к ЛАЧХ при синтезе системы.
  2. Особые точки ЛАЧХ определены комплексными сопряженными корнями. Поведение системы при данных частотах $(ω_к=|jβ_к|)$ требует дополнительного исследования.
  3. Особенность движения системы при гармоническом сигнале задания – это смена знака координат, которое во многих системах может сопровождаться нелинейными искажениями типа "ступенька" или сменой направления сил сухого трения.

Коэффициенты ошибок

Рабочие файлы: [c1c2c3.vsm] [c1c2c3_is.vsm]

Пусть известна ПФ по ошибке $Φ_x(s)$, тогда:

$X(s) = Φ_x(s) G(s) = 1/(1+W(s)) G(s)$

где: $G(s)$ – изображение функции $g(t)$.

Разложим $Φ_x(s)$ в ряд Тейлора:

(2)

$X(s) = [c_0 + c_1 s/1! + c_2 s^2/2! + c_3 s^3/3! + …] G(s)$;

перейдем к оригиналу:

$x(t) = c_0 g(t) + c_1 g′(t)/1! + c_2 g′′(t)/2! + c_3 g′′′(t)/3! + …$

Величины $c_0,~c_1,~c_2,~…,~c_m$ – называют коэффициентами ошибок. Их можно определять двумя способами:

  1. $c_0 = Φ_x(s)|_{s→0}, ~ c_m = [d^m Φ_x(s)/ds^m]|_{s→0}$
  2. Делением числителя $Φ_x(s)$ на знаменатель и сравнением с рядом (2).

Примечания:

  1. Коэффициенты ряда (2) непосредственно связанны с коэффициентом усиления САР, добротностями $K_v, ~ K_ε, ~ …$
     Система \ Ошибки  $K$ & $c_0$ $K_v$ & $c_1$ $K_ε$ & $c_2$
    $W(s)=1/s^0 \times …$ $K$ & $1/(1+K)$ 0 & ... 0 & ...
    $W(s)=1/s^1 \times …$ ∞ & 0 $K_v$ & $1!/K_v$ 0 & ...
    $W(s)=1/s^2 \times …$ ∞ & 0 ∞ & 0 $K_ε$ & $2!/K_ε$
  2. САР астатическая сигналу задания $g(t)$ может быть статической для $f(t)$, поэтому равенство нулю коэффициентов $c_0,~c_1,c_2,~…$ для сигнала $g(t)$ не обязательно означает равенство нулю коэффициентов $c_0,~c_1,~c_2,~…$ для сигнала $f(t)$.
  3. Ограничение количества членов ряда (2) и предположение о постоянстве коэффициентов ошибок $c_0,~c_1,~c_2,~…$ определяет применение метода для плавно меняющихся сигналов $g(t)$ и $f(t)$, когда переходная составляющая в движении системы успевает затухнуть.

Оценка запаса устойчивости и быстродействия по переходной характеристике

gif-file, 2KB

gif-file, 2KB Запас устойчивости САР оценивают по величине перерегулирования:

$σ = (y_{max} - y_∞) / y_∞ 100$, [%]

Варианты σ 0 % 10..30 % 50..70 %
  Применяемость редко часто избегают
  Запас по фазе 90° 60°..30° 30°..10°
  Число колебаний 0 1, 2 3, 4, ...

gif-file, 2KB Быстродействие САР оценивают по времени окончания переходного процесса $t_п$, при заданной допустимой ошибке (трубке):

$Δ \in 5; 2,5; 1,5; 1; 0,5; …$ [%] от $y_∞$, – установлено ГОСТ-ами.

gif-file, 2KB Частоту единичного усиления разомкнутой системы $ω_{ср}$ можно оценить по частоте колебаний переходной функции.

gif-file, 2KBПримечание: При синтезе САР используют область допустимых отклонений регулируемой величины.

Время нарастания ограничено:

На рис. $t_з$ – максимальное допустимое время запаздывания (распространения) сигнала.

Корневые методы оценки качества

Поскольку корни ПФ однозначно определяют вид переходного процесса, их можно использовать для оценки: 1) запаса устойчивости и, 2) быстродействия.

Примечание: Обычно обходятся исследованием только полюсов ПФ $Φ(s)$, т.е. корней характеристического уравнения $1+W(s)=0$.

gif-file, 2KB Система будет склонна к колебаниям, если имеются комплексные корни вида $-α±jβ$. Оценить эту склонность можно используя показатель запаса устойчивости – колебательность:

$μ = β/α, ~ 0 \lt μ \lt ∞$

где: α – коэффициент затухания; β – круговая частота колебаний.

Колебательность определяет другой показатель – затухание амплитуды колебаний $x(t) = C e^{-αt}\sin(βt+φ)$ за период:gif-file, 2KB

gif-file, 2KB.

Задание определенной колебательности заставляет ограничить область расположения корней.

Колебательность системы μ можно найти используя подстановку $s = z e^{j(90-φ)}$, что соответствует повороту осей плоскости корней на угол $(90-φ)$. Далее, используя любой критерий устойчивости, подбирают угол φ, при котором система будет находиться на границе устойчивости. И тогда: $μ=\tg φ=β/α$.

gif-file, 2KB Для оценки быстродействия может использоваться понятие степени быстродействия η – это абсолютное значение вещественной части ближайшего к мнимой оси корня. Т.е. если этот корень $-α±jβ$, то η равна коэффициенту затухания α.

И действительно, составляющая в переходном процессе $x_η(t)=C_η e^{-ηt}\sin(βt+φ)$, затухает тем медленней, чем меньше η. Если в конце переходного процесса амплитуда колебаний равна $ΔC_η$, то веремя переходного процесса:gif-file, 2KB

gif-file, 2KB.

Задание определенной степени быстродействия заставляет ограничить область расположения корней.

Степень быстродействия η можно найти используя постановку $s=z-η_{var}$, что соответствует смещению корней на величину $η_{var}$. Далее, используя любой критерий устойчивости, подбирают значение $η_{var}$, при котором система будет на границе устойчивости. И тогда: $η=η_{var}$.

Понятие о среднегеометрическом корне $Ω_0$. Мажоранта и миноранта переходной функции

Пусть имеем характеристическое уравнение:

$a_0 s^n + a_1 s^{n-1} + … + a_{n-1} s + a_n = 0$.

Приведем его к нормированному виду (разделим на $a_n$ и выполним подстановкуgif-file, 2KB):

$q^n + a_1/a_n (Ω_0 q)^{n-1} + … + a_k/a_n (Ω_0 q)^{n-k} +…+ 1 = 0$,

где: gif-file, 2KB – среднегеометрический корень.

gif-file, 2KBДля статических САР $a_n=1+K$, для астатических $a_n=K$, $a_0=T_1T_2…T_n$; следовательно увеличивая $K$ можно увеличить $Ω_0$. На основании теоремы подобия увеличение $Ω_0$ вызовет пропорциональное радиальное смещение корней. Т.е. вид переходного процесса меняться не будет, но будет меняться его временной масштаб. Поэтому среднегеометрический корень $Ω_0$ является мерой быстродействия.

Для приведенного характеристического уравнения время будет безразмерным $τ = Ω_0 t$, переходная функция $h(t)$ в случае кратных вещественных корней или одной пары комплексных будет ограничена минорантой и мажорантой:

gif-file, 2KB$1-υ(η,t) \lt h(t) \lt 1+υ(η,t)$,

где: $υ(η,t)=e^{-ηt}[1+(ηt)^1/1!+(ηt)^2/2!+…+(ηt)^{n-1}/(n-1)!]$ – разложение в ряд Тейлора огибающей той составляющей в переходном процессе, корень которой ближе к оси "$+j$".

На рис. демонстрируется, что любой переходный процесс в любой системе будет затухать тем медленней, чем больше корней вблизи оси "$+j$".

Интегральные оценки качества

Рабочие файлы: [ok_absx_s.vsm]

Интегральные оценки дают обобщенную оценку быстроты затухания и величины отклонения регулируемой координаты, в виде единого числового значения.

Находят применение первые три ИТ-оценки из перечисленных в списке:

  1. $I_1$ и $I_2$ – линейные ИТ-оценки (не чувствительны к высшим производным координат САР).
  2. $I$ и $I′$ – квадратичные ИТ-оценки (первая не чувствительна к высшим производным координат САР; вторая – к неподвижному режиму).
  3. $I+T_1^2I′$ – улучшенная квадратичная ИТ-оценка (чувствительна к постоянной и к скоростной составляющим в движении координат САР).
  4. $I+T_1^2I′+T_2^4I″+…$ – ИТ-оценки более высоких порядков (чувствительны к постоянной составляющей в движении координат САР, к их скорости, к ускорению, ...).

gif-file, 2KB Пусть имеем переходные функции $h(t)$.

gif-file, 2KB

Рассмотрим линейные ИТ-оценки:

gif-file, 2KB.

Очевидно, что чем меньше значение оценки $I_1$ или $I_2$, тем лучше переходный процесс, но:

  1. Оценка $I_1$ не может применяться к колебательному переходному процессу.
  2. Аналитическое вычисление оценки $I_2$ по коэффициентам уравнения ошибки затруднено.
  3. Одно значение оценки $I_2$ может соответствовать переходным процессам с разной колебательностью (если совпадают мажоранты и миноранты).

gif-file, 2KB Ограничения "a" и "b" для оценок $I_1$ и $I_2$ преодолеваются квадратичными ИТ-оценками $I$ и $I′$:

gif-file, 2KB.

Заметим, что оценку $I′$ можно получить нахождением оценки $I$, если подать на вход САР не ступенчатую $1(t)$, а дельта функцию $δ(t)=1′(t)$. Применение оценки $I′$ ограничено тем, что она не чувствительна к установившемуся значению ошибки $x_∞$.

gif-file, 2KB Ограничение "c" и другие ограничения оценок $I_1,~I_2,~I$ и $I′$ снимаются улучшенной квадратичной ИТ-оценкой:

gif-file, 2KB,

где: $x_0$ – начальное значение отклонения в переходном процессе; $I + T_1^2 I′$ – не формула, а составной символ обозначения данной ИТ-оценки.

Очевидно, что $I + T_1^2 I′$ будет минимальна при $T_1 x′+x=(T_1 p+1)x=0$. Решение этого ДУ есть экспонента: $x(t)=x_0 e^{-t/T_1}$, а $y(t)=1-x(t)=y_0(1-e^{-t/T_1})$.

Т.е. улучшенная квадратичная ИТ-оценка $I + T_1^2 I′$ будет иметь минимум при приближении переходной функции к экспоненте с заданной постоянной времени $T_1$.

gif-file, 2KB Можно использовать улучшенные ИТ-оценки более высоких порядков. Например:

gif-file, 2KB.

Здесь оценка будет иметь минимум, только при перемещениях координат САР с определенными скоростью и ускорением, которые задаются постоянными времени $T_1$ и $T_2$ соответственно. Идея другого способа выбора параметров оценки заключена в том, что коэффициенты ДУ второго порядка можно выразить в виде затухания ζ и резонансной частоты $q$, которыми должна обладать настраиваемая САР.

Аналитический расчет квадратичных ИТ-оценок

Для аналитического расчета можно воспользоваться теоремой Парсеваля:

gif-file, 2KB.

Если ошибка $x(t)=y_∞-y(t)$, то ее изображение:

$X(jω)=[Φ(0)-Φ(jω)]·G(jω)$.

Для нахождения $I$ и $I′$ мы должны подавать сигналы $1(t)$ и $1′(t)$. Их изображения Фурье соответственно равны:

gif-file, 2KB.

Тогда установившиеся значения выходной координаты и, соответственно, значения ПФ для этих режимов:

$y_∞ = 1, \quad Φ(0) = 1$       и       $y_∞ = 0, \quad Φ(0) = 0$.

В итоге изображения ошибок:

gif-file, 2KB

А квадратичные ИТ-оценки:

gif-file, 2KB.

Частотные критерии качества

Частотные критерии качества применяют, когда известны или можно определить экспериментально частотные свойства САР (АФХ, АЧХ, ЛАЧХ & ЛФЧХ). Вид переходного процесса при этом не рассматривается.

Оценить частотными критериями можно:

  1. Запас устойчивости $(β;~μ_1;~M)$
  2. Быстродействие САР $(ω_р;~ω_{ср};~ω_п;~ω_{эк})$.

Оценка запаса устойчивости

gif-file, 2KB

gif-file, 2KB

По виду АФХ разомкнутой системы оценивают запас устойчивости:

где: $φ_1$ – запаздывание по фазе на частоте единичного усиления при $|W(jω)|=A(ω)=1$ или $L(ω)=0$ (по ЛАЧХ).

Для абсолютно устойчивых систем ($n \lt3$) имеет смысл только величина $L_1$, т.к. $L_2→∞$. Для хорошо демпфированных систем $β \in [2…10)$, т.е.$[6…20)$ дБ.

Запас устойчивости тем больше, чем больше β и $μ_1$. Используя β и $μ_1$ можно задать запретную область для АФХ. Но недостаток заключен в том, что если АФХ будет касаться запретной области в разных точках, перерегулирование σ будет разным.

gif-file, 2KB Если имеется АЧХ замкнутой системы $|Φ(jω)|$, то удобным критерием запаса устойчивости является показатель колебательности:gif-file, 2KB

gif-file, 2KB,

равный максимальному значению АЧХ замкнутой системы приведенной к коэффициенту усиления в области низких частот. Т.е. вынужденное движение на резонансной частоте будет иметь амплитуду в $M$ раз большую, чем в области низких частот. И чем больше $M$, тем меньше запас устойчивости.

Если имеется только АФХ разомкнутой системы $W(jω)$, то показатель колебательности $M$ удобно использовать в виде фоновой сетки, которой можно пользоваться как линиями уровня $M \in [1/4; 1/2; 0,707; 1; 1,41; 2; 4]$. Выполним расчет сетки:

gif-file, 2KB

где: (1) – уравнение окружности с радиусом $R$, и центром в точке $C$.

Оценка быстродействия САР

Оценить быстродействие можно по частотным характеристикам замкнутой и разомкнутой системы, используя:

  1. $|Φ(jω)|$ – АЧХ замкнутой системы
  2. $P(ω)=\Re(Φ(jω))$ – вещественную ЧХ
  3. $W(jω)$ – АФХ разомкнутой системы
  4. ЛАЧХ & ЛФЧХ
  5. ...

При этом в качестве критериев используют величины: