Устойчивость САР

Рабочие файлы: [Начальные условия / Параметры & Устойчивость]

Понятие устойчивости системы регулирования связано с ее способностью возвращаться в состояние равновесия после исчезновения внешних сил, которые вывели ее из этого состояния.

Понятие устойчивости можно распространить и на случай движения САР:

Определение устойчивости по М. Я. Ляпунову

Невозмущенное движение (при $Δx_{i∞}=0$) называется устойчивым по отношению к переменным $x_i$, если при всяком заданном положительном числе $A^2$, как бы мало оно ни было, можно выбрать другое положительное число $λ^2(A^2)$ так, что для всех возмущений $Δx_{i0}$, удовлетворяющих условию:

$_{i=0}^n∑(μ_i^2(Δx_{i0})^2)≤λ^2$,

возмущенное движение будет для времени $t≥T$ удовлетворять неравенству:

$_{i=0}^n∑(μ_i^2(Δx_i)^2)≤A^2$,

где: $μ_i$ – коэффициенты, уравновешивающие размерности величин $Δx_{i0}$.

Если с течением времени $\lim Δx_i → 0$, то система асимптотически устойчива.

Понятие о характеристическом уравнении

Было сказано, что устойчивость системы связана с природой самой системы, а не с тем, как внешние источники движущих сил (задание, помехи) заставляют перемещаться ее координаты. Очевидно, что невозможно описать цепь преобразования энергии (систему) не учитывая источников. Поэтому в правой части ДУ описывающих систему всегда будут присутствовать источники движущих сил (вспомните как записываются уравнения по II закону Кирхгофа). Однако если их обнулить, то система ДУ не потеряет смысла. После отключения источников в любой линейной цепи преобразования энергии возникнет переходный процесс обусловленный энергией, которую накопили пассивные реактивные элементы цепи (собственный переходный процесс). Именно он определит, будет ли система устойчивой. И именно эта система ДУ, в которой обнулены величины источников движущих сил, называется характеристической. Если система характеристических ДУ решена относительно одной из координат, то она называется характеристическим уравнением.

Условие устойчивости. Типы границы устойчивости

Устойчивость систем зависит от корней характеристического уравнения, поскольку его решение есть сумма экспоненциальных функций:

$y_{перех}(t)=C_1 e^{s_1 t} + C_2 e^{s_2 t} + … + C_n e^{s_n t}$.

Рассмотрим варианты свободного движения систем от ненулевого начального положения:

gif-file, 2KB

Заметим, что:

$C_1 e^{-(α+jβ)t} + C_2 e^{-(α-jβ)t} = A e^{-αt} \sin(βt+φ)$,

где: $A$ и φ – новые постоянные интегрирования, α – показатель затухания, β – круговая частота затухающих колебаний.

gif-file, 2KBТаким образом, для затухания переходного процесса и устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы вещественные части корней были отрицательными, те лежали слева от мнимой оси плоскости корней.

Система будет находиться на границе устойчивости при наличии:

Необходимое условие устойчивости САР,
достаточное только для систем 1-ого и 2-ого порядков

Чтобы корни ХУ имели отрицательные вещественные части, необходимо чтобы все его коэффициенты были положительны. Однако это условие является достаточным только для систем 1-ого и 2-ого порядков. Док-во:

ХУ

$a_0 s^n + a_1 s^{n-1} + … + a_{n-1} s + a_n = 0$,

представим в виде:

$a_0 (s - s_1) (s - s_2) … (s - s_{n-1}) (s - s_n) = 0$,

где: $s_1,~s_2,~…~s_{n-1},~s_n$ – корни.

В устойчивой системе вещественные части корней отрицательны. Подставим такие корни: $s_1=-α_1$; $s_2=-α_2$; $s_{34}=-α_3±jβ~…$:

$a_0(s+α_1)(s+α_2)(s+α_3-jβ)(s+α_3+jβ)…=$
$=a_0(s+α_1)(s+α_2)((s+α_3)^2+β^2)…=0$

Если раскрыть скобки и вернутся к стандартному виду ХУ, то все коэффициенты уравнения получатся положительными.

Критерий устойчивости Гурвица

Чтобы все корни ХУ:

a1 a3 a5 a7 ... 0 0
a0 a2 a4 a6 ... 0 0
0 a1 a3 a5 ... 0 0
0 a0 a2 a4 ... 0 0
... ... ... ... ... ... ...
0 0 0 0 an-1 0
0 0 0 0 an-2 an

$a_0 s^n + a_1 s^{n-1} + … + a_{n-1} s + a_n = 0$,

имели отрицательные вещественные части, необходимо, при $a_0 \gt 0$ выполнение условия: все $n$ определителей Гурвица получаемые из квадратной матрицы коэффициентов должны быть положительны. Матрицы, для расчета определителей, получаются из исходной последовательным исключением последних столбца и строки.

Условие нахождения системы на границе устойчивости – $Δn=0$. Но $Δn=a_nΔ(n-1)=0$, следовательно, если $a_n=0$, то наблюдается апериодическая граница устойчивости (нулевой корень – астатическая система), а если $Δ(n-1)=0$, то – колебательная граница устойчивости (комплексные корни).

Критерий устойчивости Михайлова

Рабочие файлы: [fr_ABCD.mcd]

Чтобы все корни ХУ:

$a_0 s^n + a_1 s^{n-1} + … + a_{n-1} s + a_n = 0$,

имели отрицательные вещественные части, необходимо чтобы после подстановки частоты в соответствующий характеристический полином $D(s)$ полное приращение его фазы при изменении ω от 0 до ∞ составляло $n π/2$, где $n$ – степень полинома $D(s)$. При этом характеристический полином опишет в комплексной плоскости кривую – "годограф Михайлова".

Док-во: Представим $D(s)$ в виде разложения на линейные множители и выполним подстановку $s=jω$:

$D(jω) = a_0 (jω - s_1) (jω - s_2) … (jω - s_n)$,

где: $s_1,~s_2,~…,~s_n$ – корни ХУ. Скобки идентичны, поэтому рассмотрим одну из них. Возможны четыре основных варианта:

gif-file, 2KBgif-file, 2KB Пусть $s_i=α$, – вещественный положительный корень. Тогда годограф соответствующего линейного множителя $(jω-α)$ при изменении ω от 0 до ∞ повернется на угол $-π/2$.

gif-file, 2KB Пусть $s_i=-α$, – вещественный отрицательный корень. Тогда годограф соответствующего линейного множителя $(jω+α)$ при изменении ω от 0 до ∞ повернется на угол $π/2$.

gif-file, 2KBgif-file, 2KB Пусть $s_{i;\,i+1}=α±jβ$, – сопряженные корни с положительной вещественной частью. Тогда годографы соответствующих линейных множителей $(jω-α-jβ)(jω-α+jβ)$ при изменении ω от 0 до ∞ повернутся на углы $-π/2+γ$, и $-π/2-γ$. Вектор, соответствующий произведению двух сомножителей, повернется на угол равный $-π$.

gif-file, 2KB Пусть $s_{i;\,i+1}=-α±jβ$, – сопряженные корни с отрицательной вещественной частью. Тогда годографы соответствующих линейных множителей $(jω+α-jβ)(jω+α+jβ)$ при изменении ω от 0 до ∞ повернутся на углы $π/2-γ$, и $π/2+γ$. Вектор, соответствующий произведению двух сомножителей, повернется на угол равный π.

Резюме: Если ХУ имеет $l$ корней с положительной вещественной частью, то угол поворота годографа $D(jω)$ при изменении ω от 0 до ∞ составит:

$ψ = - l π/2 + (n - l) π/2 = n π/2 - l π$,

где: $n$ – порядок ХУ.

Свойства годографа Михайлова

Определение типа границы устойчивости по виду годографа Михайлова

gif-file, 2KB

  1. Астатизм первого порядка – "апериодическая" граница устойчивости.
  2. Астатизм второго порядка – "апериодическая" граница устойчивости.
  3. "Колебательная" граница устойчивости.
  4. Граница устойчивости типа "бесконечный корень".

Критерий устойчивости Найквиста

Рабочие файлы: [fr_ABCD.mcd]

Чтобы система в замкнутом состоянии была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы при изменении ω от -∞ до +∞ годограф разомкнутой системы $W(jω)$ (АФХ), поворачиваясь вокруг начала координат по часовой стрелке, охватил точку $(-1,~j0)$ столько раз, сколько корней в правой полуплоскости содержит знаменатель $W(jω)$.

Примечания:

  1. Если корней в правой полуплоскости нет, то годограф $W(jω)$ не должен охватить точку $(-1,~j0)$.
  2. Неустойчивая система в разомкнутом состоянии может быть устойчивой в замкнутом состоянии. И наоборот.
  3. Годограф $W(jω)$ всегда начинается на оси "$+1$". Но при порядке астатизма равном $r$, по причине устремления $W(jω)$ к ∞ (при $ω→0$), видимая часть годографа появляется только в квадранте $r$, отсчитанном по часовой стрелке.

Док-во:

gif-file, 2KB Рассмотрим ПФ для статической САР сдвинутую на величину $(-1,~j0)$:

$W_1(s)=1+W(s)=Q(s)/Q(s)+R(s)/Q(s)=D(s)/Q(s)$,

в ней $D(s)$ – характеристический полином, $Q(s)$ пусть не имеет корней в правой полуплоскости (пусть $W(s)$ устойчива).

Рассмотрим угол поворота годографа $W_1(s)$. Он равен $φ=φ_1(D(jω))-φ_2(Q(jω))$. Поскольку степень полинома $R(s)$ всегда меньше степени полинома $Q(s)$, то степени полиномов числителя и знаменателя ПФ $W_1(s)$ равны. Следовательно, при изменении ω от -∞ до +∞ имеем: $φ_1(D(jω))=nπ$ (по критерию Михайлова), $φ_2(Q(jω))=nπ$ (по предположению об отсутствии корней в правой полуплоскости у полинома $Q(s)$). Т.е. $φ=nπ-nπ=0$. Другими словами для устойчивости САР в замкнутом состоянии $W_1(jω)$ не должна охватывать начала координат, а функция $W(jω)$ – точку $(-1,~j0)$.

gif-file, 2KB Если знаменатель будет содержать $l$ корней в положительной полуплоскости, то угол поворота годографа $W(jω)$ должен составить величину:

$φ = φ_1(D(jω)) - φ_2(Q(jω)) = n π - [(n - l) π - l π] = l 2π$,

что и требовалось доказать.

Свойства годографа Найквиста

  1. gif-file, 2KBГодограф Найквиста спиралевиден.
  2. При $ω→∞$ годограф $W(jω)→0$, т.к. нет безынерционных систем.
  3. Годограф статических САР начинается из точки на вещественной оси.
  4. Для положительных и отрицательных частот годографы зеркально симметричны относительно оси "$+1$".
  5. Наличие корней на границе устойчивости приводит к устремлению годографа в ∞ и приращению его фазы на $-180°$.

Примеры годографов Найквиста статических САР ($ω\in[0…+∞)$)

gif-file, 2KB

  1. САР на колебательной границе устойчивости.
  2. Абсолютно устойчивая САР (устойчива при любом уменьшении $K$).
  3. Неустойчивая САР.
  4. Условно устойчивая САР (только при изменении $K$ в некотором диапазоне).

Примеры годографов Найквиста астатических САР и САР с чисто мнимыми корнями

gif-file, 2KB

  1. Устойчивая САР с астатизмом первого порядка.
  2. Устойчивая САР с астатизмом второго порядка.
  3. Устойчивая САР с астатизмом третьего порядка.
  4. Неустойчивая САР с консервативным звеном.
  5. Устойчивая САР с консервативным звеном (коррекция выполнена фазовращающим звеном).

Определение устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам

Рабочие файлы: [fr_ABCD.mcd]

Для определения устойчивости по критерию Найквиста можно строить не АФХ, а ЛАЧХ & ЛФЧХ разомкнутой системы.

Чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы сдвиг фазы на частоте единичного усиления разомкнутой системы $W(jω)$ не достигал значения $-180°$.

Если система условно устойчивая, то при модулях больших единицы, фазовый сдвиг может достигать значения $-180°$ четное число раз.

Построение областей устойчивости – D-разбиение

Пусть имеем произвольную передаточную функцию систем:

$W(s) = $ $K(1+T_3s)…$ ,
$s(1+T_1s)(1+T_2s)…$

и требуется оценить влияние разброса параметров на устойчивость.

Выделим два параметра ($K$ и $T_i$), влияние которых на устойчивость следует оценить. Остальные параметры зафиксируем. Воспользуемся алгоритмом:

gif-file, 2KB

Итог итерационного алгоритма – область устойчивости (D-разбиение) ограниченная осями и графиком (уменьшение $K$ и одной из постоянных времени объекта, как правило, положительно сказывается на устойчивости).

При заданной частоте существует только одна координата $(K,~T_i)$, которой будет соответствовать положение системы на границе устойчивости.

Наиболее удобно в итерационном алгоритме для системы любого порядка использовать критерий Михайлова, тогда уравнение границы:

$D(jω) = 1 + W(jω) = 1 + R(jω)/Q(jω) = R(jω) + Q(jω) = 0$,
т.е. $K (1+T_3(jω)) … + jω(1+T_1(jω)) (1+T_2(jω)) … = 0$.