Описание САР в частотном домене

Частотная передаточная функция

Рабочие файлы: [Измерение ЧХ (VisSim)] [Измерение ЧХ (Jigrein)]

Если на вход любой системы подать сигнал синусоидальной формы:

$x(t) = X_m \cos(ωt) = X_m e^{jωt}$.

Очевидно, что выходной сигнал будет иметь ту же форму:

$y(t) = Y_m \cos(ωt+φ) = Y_m e^{j(ωt+φ)}$.

Зависимость же между амплитудами и фазами выходного и входного сигналов определяет ДУ движения системы. Возьмем произвольное, считая помеху $f(t)$ равной нулю:

$(T_2^2 p^2 + T_1 p + 1) y(t) = (k_1 + k_2 p) x(t)$.

Подставим сигналы в уравнение движения:

$T_2^2(jω)^2 Y_m e^{j(ωt+φ)} + T_1(jω) Y_m e^{j(ωt+φ)} + Y_m e^{j(ωt+φ)} =$ $k_1 X_m e^{jωt} + k_2(jω) X_m e^{jωt}$.

Найдем отношение выходного сигнала ко входному:

$W(jω) = $ $Y_m e^{j(ωt+φ)}$  =  $k_1+k_2(jω)$ .
$X_m e^{jωt}$ $1+T_1(jω)+T_2^2(jω)^2$

Заметим. Если вместо подстановки сигналов записать ДУ движения системы для домена Лапласа и вновь найти отношение выходного сигнала к входному (а точнее их изображений), то полученная в ходе этого преобразования ПФ совпадет с точностью до свободной переменной с частотной ПФ.

Резюме 1: Частотная передаточная функция получается из обычной заменой оператора Лапласа $s$ на комплексную частоту $jω$, т.е. в результате перехода от изображения Лапласа к изображению Фурье.

Резюме 2: ДУ движения системы связывает входной и выходной сигналы (т.е. функции времени), ПФ связывает изображения Лапласа тех же сигналов, а частотная ПФ связывает их спектры.

Частотные характеристики

Частотная ПФ является функцией комплексного числа, поэтому может быть представлена в алгебраической или в экспоненциальной формах:

$W(jω) = U(ω) + jV(ω)$      или      $W(jω) = A(ω) e^{jφ(ω)}$,

где:

Амплитудно-фазовая (частотная) характеристика или годограф Найквиста

Амплитудно-фазовая характеристика (годограф Найквиста)
Графическое отображение для всех частот спектра отношений выходного сигнала САР к входному, представленных в комплексной форме. Величина отрезка от начала координат до каждой точки годографа показывает во сколько раз на данной частоте выходной сигнал больше входного, а сдвиг фазы между сигналами определяется углом до упомянутого отрезка. gif-file, 2KB

От АФХ порождаются все прочие частотные зависимости:

Логарифмические ЧХ – ЛАЧХ & ЛФЧХ

Построение ЛАЧХ & ЛФЧХ производится по выражениям:

$L(ω) = 20 \lg |W(jω)| = 20 \lg A(ω)$,  [дБ];    $φ(ω) = \arg(W(jω))$,  [рад].

Числитель и знаменатель ПФ САР могут быть представлены либо в виде отношения полиномов:

$W(s) = $ $b_0s^m+b_1s^{m-1}+…+b_{m-1}s+b_m$ ,   где: $m \lt n$,
$c_0s^n+c_1s^{n-1}+…+c_{n-1}s+c_n$

либо в виде отношения их разложений на элементарные множители:

(1)

gif-file, 2KB

Подстановка $s←jω$ позволяет перейти в частотный домен. При наличии ЭВМ построение ЛАЧХ & ЛФЧХ не составит труда в любом случае. Однако разложенная на множители ПФ (1) позволяет построить асимптотические ЛАЧХ & ЛФЧХ практически без вычислительной работы. Каждый линейный множитель ее числителя и знаменателя есть комплексное число. Найдем модуль каждого (как гипотенузу прямоугольного треугольника), и перейдем к логарифмическому масштабу:

gif-file, 2KB.

Для упрощения дальнейших построений избавимся от операции умножения, заменив ее операцией сложения в логарифмическом домене:

(2)

gif-file, 2KB.

Легко понять, что каждое слагаемое выражения (2) есть либо прямая линия, либо асимптотически приближается к прямым линиям при устремлении частоты к нулю и к бесконечности. Наклон аппроксимирующих прямых всегда кратен 20 дБ за декаду.

Для построения ЛФЧХ необходимо найти фазу каждого множителя числителя и знаменателя частотной ПФ, как арктангенс отношения его противолежащего катета к прилежащему (напомним, что при произведении комплексных чисел (в экспоненциальной форме) фазы (показатели степени) складываются, а при делении – вычитаются). Таким образом, построение ЛФЧХ производится по выражению:

gif-file, 2KB.

Отметим так же, что одному Белу соответствует увеличение мощности в 10 раз. Поскольку $A$ – это физическая величина либо первого, либо второго рода, а не их произведение (т.е. не мощность); увеличение ее в 10 раз соответствует увеличению мощности в 100 раз, что соответствует двум Белам или 20 дБ.

Правила построения асимптотических ЛАЧХ & ЛФЧХ

Правила построения асимптотических ЛАЧХ & ЛФЧХ, точнее каждого слагаемого выражения (2) показаны на рисунках.

gif-file, 2KBgif-file, 2KB

gif-file, 2KBgif-file, 2KB

Точность асимптотических ЛАЧХ & ЛФЧХ достаточна для большинства решаемых задач. Для звеньев первого порядка максимальная амплитудная ошибка вблизи частоты сопряжения составляет 3 дБ. Максимальная фазовая ошибка – 6 %. Фрагмент ЧХ колебательного звена вблизи резонансной частоты лишь иногда следует уточнить по опорным справочным кривым для данного ζ.