Составление исходных дифференциальных уравнений САР

Два подхода к получению исходных дифференциальных уравнений систем.
Истинные и ложные модели

Рабочие файлы: [Истинная и ложная модели] [Принцип измерения ЧХ]

Если поставлена задача составления исходных ДУ САР, то возможны две ситуации. Либо детальная декомпозиция системы на модули и отдельные звенья возможна, либо нет.

Если декомпозиция возможна, то, опираясь на постулаты о сохранении материи и энергии (для соответствующего энергетического домена) и на закон Ома (в соответствующей формулировке), приступают к составлению исходных ДУ САР, т.е. к созданию истинной модели системы. Истинной будем называть такую модель или такое математическое описание, о которых известно, что они детально соответствуют физической природе системы.

Если декомпозиция на модули и звенья для системы невозможна, то, не имея детальной информации о ее физической природе, можно получить лишь ложную модель или ложное математическое описание, которые, однако, позволят исследовать систему и получить адекватные результаты. В этом случае совокупность исходных ДУ САР получают через частотный домен, путем экспериментального снятия частотных характеристик.

Для физической системы порядок системы ДУ ее истинной модели обычно в десять и более раз выше порядка системы ДУ ее ложной модели (например, для моделей ОУ). Тем обусловлена широкая популярность ложных моделей, и типовых звеньев, как структурных элементов для их создания.

Общая форма записи систем ДУ

В целях формализации процесса составления исходных ДУ систем используют такие методы, как "Метод контурных токов", "Метод узловых потенциалов" и их аналоги, имеющиеся во всех энергетических доменах. В результате их применения получается единая система:




(1)

$a_{11}(p)x_1+a_{12}(p)x_2+…+a_{1k}(p)x_k=f_1(t)$
$a_{21}(p)x_1+a_{22}(p)x_2+…+a_{2k}(p)x_k=f_2(t)$
       ...
$a_{k1}(p)x_1+a_{k2}(p)x_2+…+a_{kk}(p)x_k=f_k(t)$

где:

Для удобства и формализации решений систему уравнений (1) могут представить в одной из пяти стандартных форм:

  1. в форме Коши;
  2. в пространстве состояний;
  3. решенную относительно регулируемой величины – $y(t)$;
  4. решенную относительно ошибки – $x(t)$;
  5. в виде передаточных функций – $W(p),~Φ(p),~Φ_x(p)$.

Форма Коши

Форма Коши
Матричная форма записи системы ДУ решенных исключительно относительно первой производной координат САР.

gif-file, 2KB

Изображенная на рисунке блок-схема позволяет решить систему ДУ представленную в форме Коши:

(2)

gif-file, 2KB

где:

О форме Коши:

Пространство состояний

Рабочие файлы: [ABCD.vsm] [ABCD-ПФ и W(jω)]

Пространство состояний (ABCD-форма)
Матричная форма записи системы ДУ САР адаптированная для теории управления путем выделения из формы Коши алгебраических уравнений связывающих внутренние координаты САР с выходной(ыми). Применяется для описания САР большого порядка, как правило, с несколькими входами / выходами и с перекрестными связями.

gif-file, 2KB

Изображенная на рисунке блок-схема позволяет решить систему ДУ представленную в форме "Пространства состояний":

(3)

$u′ = A u + B x$
$y = C u + D x$

где:

О форме "Пространство состояний":

ДУ решенное относительно регулируемой величины $y(t)$ – уравнение движения

Рабочие файлы: [САР]

Система ДУ (1) может быть преобразована к одному уравнению путем исключения промежуточных координат (обычно выходную координату выражают через координату задания):

gif-file, 2KB.

Результатом подобного преобразования является уравнение движения системы:

(4)

$D(p)y(t)=R(p)g(t)-N(p)f(t)$,

где:

ДУ решенное относительно ошибки $x(t)$ – уравнение ошибки

Рабочие файлы: [САР]

Если система ДУ (1) решается относительно ошибки системы, то получается уравнение ошибки замкнутой системы:

(5)

$D(p)x(t)=Q(p)g(t)+N(p)f(t)$

где:

Передаточные функции САР

Передаточная функция
Функция, связывающая один входной и один выходной сигналы САР. Является формой записи системы ДУ САР решённой относительно требуемой выходной координаты. Обычно ПФ записывается не для временного домена, а для домена Лапласа, связывая в этом варианте не сигналы (т.е. не функции времени), а их изображения.

ПФ-ии получают из ДУ решенного относительно требуемой координаты системы (уравнение (4) или (5)). Для чего правую часть уравнения делят на характеристический полином $D(p)$. Отношения полиномов в правой части при возмущающих воздействиях и есть ПФ-ии.

gif-file, 2KB

Для типовой структурной схемы замкнутой САР различают 3 основные ПФ, применяемые для исследований:

  1. $W(p)=y(t)/x(t)·W_{ос}(p)=W_{рег}(p)W_о(p)W_{ос}(p)$ – ПФ разомкнутой системы;
  2. $Φ(p)=y(t)/g(t)$ – ПФ замкнутой системы;
  3. $Φ_x(p)=x(t)/g(t)$ – ПФ замкнутой системы по ошибке.

Запишем по структурной схеме уравнение движения для разомкнутой системы:

$y(t)=W_{рег}(p)W_о(p)x(t)+W_f(p)f(t)$ $=W_{прк}(p)x(t)+W_f(p)f(t)$,

где: $W_{прк}(p)$ – ПФ прямого канала системы.

Замкнем систему с помощью уравнения замыкания:

gif-file, 2KB.

Тогда совместное решение даст уравнение движения замкнутой системы:

gif-file, 2KB

и уравнение ошибки замкнутой системы:

gif-file, 2KB.

При отсутствии помехи $f(t)$ выходная величина связана с задающим воздействием ПФ замкнутой системы:

gif-file, 2KB .

А ошибка – с задающим воздействием ПФ замкнутой системы по ошибке:

gif-file, 2KB .

При этом:

gif-file, 2KB

Другие связывающие отношения

Разделим уравнение движения (4) на уравнение ошибки (5), считая, что $f(t)=0$ и $W_{ос}(p)=1$:

$y(t)/x(t)=R(p)/Q(p), \quad =\gt \quad W(p)=R(p)/Q(p)$.

В соответствии с теми же уравнениями и уравнением замыкания характеристический полином $D(p)=R(p)+Q(p)$. Добавим 1 к $W(p)$:

$1+W(p)=Q(p)/Q(p)+R(p)/Q(p)=D(p)/Q(p)$.

При исследованиях характеристический полином приравнивают к нулю, т.е. вместо него можно использовать $W(p)$:

  $1+W(p)=0$, – характеристическое уравнение.  

А так же:

$W(p)=[D(p)-Q(p)]/Q(p)=D(p)/Q(p)-1$ $=R(p)/[D(p)-R(p)]$.

и

$W(p)=Φ(p)/[1-Φ(p)], \qquad W(p)=[1-Φ_x(p)]/Φ_x(p)$.

Линеаризация ДУ САР

Достаточно часто встречаются звенья, имеющие нелинейную зависимость между входной и выходной координатами. Если для малых отклонений от установившегося режима нелинейность несущественна, то в этом случае до составления исходных ДУ САР (1), ..., (5) выполняют процедуру линеаризации.

Суть линеаризации

gif-file, 2KB

  1. Пусть нелинейное динамическое уравнение звена имеет вид:

    $F(x_1,x_2,x_2′,y,y′,y′′,y′′′)=φ(f,f′)$.

  2. Тогда уравнение установившегося состояния, всилу равенства нулю всех производных, имеет вид:

    $F°(x_1°,x_2°,0,y°,0,0,0)=φ(f°,0)$.

  3. Перейдем к уравнению динамики для отклонений, выполнив подстановки:

    $x_1=x_1°+Δx_1(t), \quad x_2=x_2°+Δx_2(t), \quad x_2′=Δx_2′(t)$,
    $y=y°+Δy(t), ~ y′=Δy′(t), ~ y′′=Δy′′(t), ~ y′′′=Δy′′′(t)$;

    и разложив функцию $F$ в ряд:

    gif-file, 2KB.

  4. Завершая линеаризацию, вычтем из левой и правой части уравнение установившегося состояния:

    (*)

    gif-file, 2KB.

Особенности линеаризованного уравнения

  1. Оно является приближенным – отброшены члены высшего порядка малости.
  2. Неизвестными функциями являются не полные величины, а их отклонения Δ… от установившихся значений.
  3. Уравнение является линейным относительно отклонений Δ…, при этом масштабирующие коэффициенты (частные производные) могут быть постоянными или переменными во времени.
  4. Внешнее воздействие линеаризации не подлежит.

Геометрическая трактовка линеаризации

Рабочие файлы: [de_lin.vsm]

gif-file, 2KB

Запись линеаризованных уравнений в стандартных для ТАУ формах

Представим линеаризованное уравнение (*) в форме уравнения движения и в виде ПФ.

gif-file, 2KB Уравнение движения предполагает: а) выходную величину и ее производные в левой части уравнения, а входную и все остальные члены – в правой; б) так же, принято, чтобы сама выходная величина входила в уравнение с коэффициентом единица. Чтобы привести линеаризованное уравнение (*) к такому виду введем обозначения:

gif-file, 2KB

тогда:

$T_3^3Δy′′′+T_2^2Δy′′+T_1Δy′+Δy$ $=k_1Δx_1+k_2Δx_2+k_3Δx′_2+k_4f_1$.

Знак Δ обычно опускают и записывают уравнение в символьном виде:

(**)

$(T_3^3p^3+T_2^2p^2+T_1p+1)y=k_1x_1+(k_2+k_3p)x_2+k_4f_1$,

где:  
 
 

$T_3,~T_2,~T_1$ – постоянные времени;
$k_4,~k_3,~k_2,~k_1$ – коэффициенты усиления;
$p=d…/dt$ – оператор дифференцирования.

gif-file, 2KB Для вывода ПФ решим уравнение движения (**) относительно выходной величины:

$y = W_1(p)x_1+W_2(p)x_2+W_f(p)f_1$,

gif-file, 2KB

Более строго передаточные функции определяются через изображения Лапласа или Карсона-Хевисайда, как отношение изображений выходной и входной величин:gif-file, 2KB

$W_1(s)=$ $L{Δy_1(t)}$  =  $k_1$ .
$L{Δx_1(t)}$ $1+T_1s+T_2^2s^2+T_3^3s^3$

Запись ПФ для переменных во времени величин и для их изображений совпадает до оператора. В первом случае ПФ зависит от оператора дифференцирования $p=d…/dt$. Во втором случае – от оператора Лапласа $s=c+jω$.