Работа № 5
Построение логарифмических частотных характеристик

Цель работы

Ознакомление со свойствами логарифмических частотных характеристик присущих линейным системам и процедурой частотного анализа моделей в моделирующих программах. Приобретение навыка выбора диапазонов по частоте и амплитуде при построении ЛАЧХ & ЛФЧХ.

Программа работы в лаборатории

  1. Снять частотные характеристики (ЧХ) типовых звеньев.
  2. Создать html-старицу со скриншотами (gif-файлами) ЛАЧХ & ЛФЧХ.
  3. На бумаге в клетку нарисовать рукой асимптотические ЛАЧХ & ЛФЧХ.
  4. Подготовить вопросы преподавателю по проделанной работе.

Методические указания

Во многих случаях технические системы имеют вход и выход, связанные между собой устройствами преобразующими энергию. Если на вход системы подать сигнал синусоидальной формы, то движение выходной координаты тоже будет описываться синусоидой, но её амплитуда и фаза будут другими. Частотная характеристика – это графическое отображение для всех частот спектра отношений амплитуд выходного сигнала системы к входному, а так же сдвига фаз между ними. Построение ЛАЧХ & ЛФЧХ производится по выражениям:

L(ω) = 20 lg |W(jω)|, [дБ];     φ(ω) = arg(W(jω)),  [рад],

где: W(jω) – частотная передаточная функция системы; arg – математическая процедура вычисления аргумента комплексного числа (угла).

Надо отметить, что частотные характеристики – это вторые глаза и уши специалиста по преобразованию энергонесущих материй после осциллографа. К сожалению, экспериментально получить ЧХ технической системы гораздо сложнее, чем осциллограммы движения ее координат. Моделирующие программы решают эту проблему. Если модель адекватная, то её частотные свойства совпадут со свойствами реально существующей системы.

Чаще всего ЧХ строят в логарифмическом масштабе. Логарифмический домен – это эквивалент Зазеркалья, в которое попала Алиса (не зря сказку написал математик). В Зазеркалье вещи, события, действия были немного искажены по сравнению с обычным Миром. С ЧХ дело обстоит с точностью до наоборот. В обычном масштабе ЧХ представляют собой кривые линии, в логарифмическом их легко аппроксимировать ломаной из прямолинейных отрезков, см. рис. 1.

Примеры построения логарифмических частотных характеристик систем асимптотическими линиями
Рис. 1

Возьмем два одинаковых велосипеда, без переключателей скоростей, единственная разница между которыми – в длине рычагов педалей. И предложим велосипедистам преодолеть одинаковое расстояние, большее километра (чтобы не влияли темпы разгона). Каждый из велосипедистов – это техническая система, в которой ограничена скорость преобразования энергии (съеденного пирожка – в механическое перемещение). При одинаковой физической подготовке, велосипедисты преодолеют дистанцию практически за одно время (разница в один .. два процента нас не интересует). Пока они едут подумаем. Почему велосипедисты вернутся в одно время? Ответ очевиден. Одному нужно крутить педали с большим усилием – и делать это быстро не получится. Другому – легче крутить, и можно набрать ту же скорость за счет более частого вращения педалей. Можно легко сообразить, что координаты стоп наших велосипедистов переместятся на одинаковое расстояние. (Примечание: временная развертка вращательного движения – это синусоида). Запустите процесс симуляции модели представленной на чертеже 1. Могут ли синусоиды, представленные на осциллографе, абстрактно соответствовать перемещению стоп наших велосипедистов? Нет. У синусоид одинаковая амплитуда, а частота отличается в десять раз. Следовательно, путь, который пройдет координата по синусоиде с меньшим периодом в десять раз больше. Как же должна измениться эта синусоида, чтобы длина пути координат совпадала? Ответ очевиден. Амплитуда синусоиды с меньшим периодом должна быть в десять раз меньше (рычаги педалей отличались, конечно, не в десять раз, но зависимость та же).

Чертёж 1

Итак, мы описали техническую систему, в которой при изменении частоты воздействия в десять раз (на одну декаду), амплитуда координаты меняется не в два, не в три, не в пять, а строго в десять раз. Подобная ситуация будет наблюдаться в модулях любых технических систем. Если система сложная и состоит из нескольких модулей, то при изменении частоты входного воздействия в десять раз амплитуды её координат могут меняться в 10, в 100, в 1000 раз и т.д. При построении ЧХ в логарифмическом масштабе, по осям, через равные расстояния откладываются деления со значениями, меняющимися каждый раз в десять раз. Именно по этой причине ЛАЧХ систем получаются в виде отрезков из прямых линий со строго известными вариантами наклона: 20, 40, 60, ..., дБ за декаду, (20 = 20 log 10, 40 = 20 log 100, 60 = 20 log 1000).

Любая техническая система, механическая, тепловая, магнитная, ... может быть представлена в виде схемы замещения с помощью RLC и EJ-элементов. Состояние каждого элемента характеризуется парой координат. Ток / напряжение, момент / угловая скорость, расход жидкости или газа / давление, ... Известно, что для названных пар координат, в случае синусоидальных возмущений, наблюдается девяносто градусный сдвиг по фазе, если энергия преобразуется реактивным элементом L или C. Причем известно, что при устремлении частоты либо к нулю, либо к бесконечности, влияние реактивных элементов на процесс преобразования энергии вырождается к крайним состояниям, а сдвиги по фазе стремятся либо к нулю, либо к 90 градусам. Если система сложная и содержит несколько реактивных элементов, то при изменении частоты воздействия от нуля до бесконечности фаза любой из её координат меняется в соответствии с суммой функций арктангенса между значениями кратными 90 градусам. Изменения фазы между дискретными значениям происходят либо за две декады, либо быстрее. ЛФЧХ, так же как и ЛАЧХ принято аппроксимировать отрезками прямых линий, см. примеры на рис. 1.

Для всех программ математического моделирования динамических систем существуют правила выполнения частотного анализа моделей:

  1. Частотный анализ возможен только после процедуры симуляции модели (в большинстве случаев достаточно выполнить один шаг симуляции).
  2. Библиотека анализа должна получить информацию о том, которая из координат модели является входной, а которая координата выходная.

Для подключения библиотеки анализа к модели программа Jigrein имеет два блока ABCDInp и ABCDOut (сокращенные названия Inp и Out, см чертёж 2). Запустите процесс симуляции. Будет построен переходный процесс для RC-цепочки. Подведите указатель мыши к верхнему левому углу свободной области чертежа 2. Тем самым вы укажете программе в какой позиции чертежа должны появиться окна с частотными характеристиками. Выполните команду меню Анализ > ЧХ ... Сравните полученные ЧХ с приведенными на рис. 1. Найдите похожие.

Чертёж 2

Согласно полученным ЧХ, при подаче на вход RC-цепочки синусоидального сигнала с частотой 103 рад/с выходной сигнал будет иметь амплитуду в десять раз меньшую (меньше входной на 20 дБ) и при этом будет отставать от входного почти на 90 градусов. Докажите это. Измените модель, установите генератор синусоиды, выполните требуемые настройки и продемонстрируйте результат симуляции преподавателю.

В ходе выполнения л.р. №2 каждым студентом был создан файл с моделями типовых динамических звеньев в программе VisSim. Измените постоянные времени моделей по вариантам, в соответствии с указаниями преподавателя. Для всех звеньев постройте частотные характеристики. Создайте скриншоты окон с ЛАЧХ & ЛФЧХ в виде gif-файлов. Создайте html-страницу (код приведен ниже) и подключите к ней скриншоты ЧХ (скопируйте код, сохраните его программой "Блокнот" с расширением htm, подправьте имена gif-файлов). Продемонстрируйте результат преподавателю на экране. После получения замечаний внесите поправки и пересуйте все ЛЧХ на листы в клетку асимптотическими линиями. Используйте те же масштабы, в которых построены образцы ЛЧХ на рис. 1. Подпишите и сдайте листы преподавателю.

Для построения ЧХ в программе VisSim достаточно выполнить симуляцию, выделить интересующий фрагмент блок-схемы (с одним входом и одним выходом) и выполнить команду меню Analyze > Frequence Response. Очень важный момент заключается в правильном выборе диапазона частот (Analyze > Frequence Range). При устремлении частоты к нулю и к бесконечности ЛЧХ моделей вырождаются в полупрямые. Как только этот факт становится очевидным, следует ограничить диапазон частот (не более декады по частоте на обе полупрямые). Дополнительным признаком неправильного выбора диапазона частот является факт демонстрации ЛАЧХ со значениями ниже -100 дБ. Предположим, что уровню 0 дБ соответствует напряжение величиной 1 вольт. Тогда уровню -100 дБ соответствует напряжение амплитудой 0.01 мВ – это ниже уровня шумов даже в точных электрических схемах. Примечание: ЛФЧХ всегда располагают под ЛАЧХ, добиваясь чёткого совпадения делений на осях частот.

Листинг 1 – HTML-код для подключения скриншотов ЛЧХ звеньев

<html>
        <head>
        <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=windows-1251">
        </head>
<body>
<h1>Частотные свойства позиционных звеньев</h1>
        <p>ЛЧХ апериодического звена K/(1+Ts)</p>
                <img src=01_01.gif>
        <p>ЛЧХ апериодического звена 2ого порядка K/[(1+T1s)(1+T2s)]</p>
                <img src=01_02.gif>
        <p>ЛЧХ колебательного звена K/(1+2zTs+TTss)</p>
                <img src=01_03.gif>
<h1>Частотные свойства интегрирующих звеньев</h1>
        <p>ЛЧХ интегрирующего звена K/s</p>
                <img src=02_01.gif>
        <p>ЛЧХ интегрирующего звена с замедлением K/[s(1+Ts)]</p>
                <img src=02_02.gif>
        <p>ЛЧХ изодромного звена Kp+Ki/s</p>
                <img src=02_03.gif>
<h1>Частотные свойства дифференцирующих звеньев</h1>
        <p>ЛЧХ дифференцирующего звена Ks</p>
                <img src=03_01.gif>
        <p>ЛЧХ дифференцирующего звена с замедлением Ks/(1+Ts)</p>
                <img src=03_02.gif>
<h1>Частотные свойства корректирующих звеньев</h1>
        <p>ЛЧХ пассивного интегрирующего звена</p>
                <img src=04_01.gif>
        <p>ЛЧХ пассивного дифференцирующего звена</p>
                <img src=04_02.gif>
        <p>ЛЧХ пассивного интегро-дифференцирующего звена</p>
                <img src=04_03.gif>
</body>
</html>

11.09.2007