Работа № 3
Дискретизация сигналов по времени в ЦВМ

Цель работы

Ознакомление с последствиями дискретизации сигналов по времени в ЦВМ (в моделирующих программах). Приобретение навыка выбора величины шага симуляции.

Программа работы в лаборатории

  1. Ознакомиться с представленными к изучению моделями, демонстрирующими погрешности от дискретизации сигналов. Сформулировать и записать выводы.
  2. Решить задачу о круговой развертке с заданной точностью.
  3. Подготовить вопросы преподавателю по проделанной работе.

Методические указания

Цифровые вычислительные машины, которыми являются и персональные компьютеры – один из самых мощных и универсальных инструментов в руках специалиста технического профиля. Процессы в ЦВМ (в том числе и в программах математического моделирования) имеют дискретную природу. Специалисту надо понимать, как они сказываются при обработке непрерывных сигналов.

Обратите внимание на модель, представленную на чертеже 1. На первый взгляд все просто. После запуска симуляции мы должны увидеть на осциллографе синусоидальные сигналы. Запустите процесс симуляции. Вы обнаружите, что ожидаемый результат неверен. Первый генератор выдает сигнал похожий на шум. Его период не просматривается. Второй генератор вместо синусоиды выдает сигнал треугольной формы. Третий – константу. И лишь четвертый генератор выдает сигнал ожидаемой формы. Причина – дискретная природа ЦВМ. Чтобы понять это явление выполните простой эксперимент. Закройте глаза, и каждые три секунды открывайте их на минимально возможное время. Приближенно в такой форме существует мир для ЦВМ. Задайтесь вопросом. Что если ситуация с "морганием глаз" будет вашей природой? И что вы предпочтете? Чтобы мир появлялся для вас каждые три секунды или каждую секунду?

Вернемся к рассматриваемой модели (чертёж 1). Возьмите лист бумаги. Нарисуйте два периода синусоиды. Исходя из предположения о том, что за время изменения периода непрерывного сигнала "мир для ЦВМ появляется четыре раза", отметьте точки на синусоиде, которые зафиксирует ЦВМ. Не ошибитесь – фаза четвертой точки не должна совпадать с фазой первой (фаза пятой точки должна совпадать). Соедините точки прямыми линиями. Если все сделано правильно и фаза первой точки вами выбрана равной нулю, соединение точек прямыми линиями должно дать сигнал треугольной формы. Повторите построение для случая, когда на период синусоиды приходится одна точка. Попробуйте менять начальную фазу дискретной выборки. Сформулируйте и запишите вывод.

Чертёж 1

Для более системного подхода к оценке проявлений дискретной природы ЦВМ при обработке сигналов, следует разобраться с тем, как влияет дискретизация на амплитуду и частоту дискретной синусоидальной последовательности.

Запустите процесс симуляции для модели представленной на чертеже 2. В данном случае на период двух дискретных синусоидальных последовательностей приходится относительно много точек. Но четко видно, что амплитуды последовательностей не совпадают. Проверьте параметры синусоидальных генераторов. Вы обнаружите, что для генераторов сигнала установлены одинаковые амплитуды (1 ед.). Сформулируйте и запишите вывод.

Чертёж 2

Интересен факт, что, несмотря на то, что изменить дискретную природу ЦВМ невозможно, можно строить модели таким образом, чтобы степень проявления погрешностей от дискретизации сигналов по времени была минимальной. Предположим что синусоиды, которые визуализируются на осциллографе второго чертежа, получены нами не от генераторов с задаваемыми параметрами, а являются осциллограмм координат какой-то сложной модели, и стоит задача оценки их амплитуды. Для решения этой задачи мы можем составить модели реально существующих приборов. Обычные стрелочные вольтметры могут реагировать либо на средневыпрямленное, а чаще – на действующее значение синусоидального сигнала (средневыпрямленное значение меньше амплитуды в π/2 раза (0.637Um), действующее значение меньше амплитуды в корень из двух раз (0.707Um)). Гораздо реже встречаются приборы, фиксирующие непосредственно амплитуду сигнала. Очевиден факт, что если для оценки амплитуды мы составим модель запоминающую максимальное значение, то для двух демонстрируемых дискретных синусоидальных последовательностей оценка амплитуды будет отличаться. На чертеже 2 представлены фильтры-вычислители действующего значения. Их результаты оценки действующего значения совпадают. Следовательно, в обоих случаях мы правильно идентифицируем амплитуду исходного сигнала, умножив установившееся значение на выходах фильтров на корень из двух.

Обратим внимание на другой аспект, связанный с дискретной природой ЦВМ. Он связан с тем, что ЦВМ не может адекватно идентифицировать периодические процессы в случае, если их период меньше частоты дискретизации. Другими словами между дискретными выборками сигналов может происходить все что угодно; ЦВМ принципиально не может достоверно интерполировать (правильно предсказывать или восстанавливать сигнал) между выборками. Запустите процесс симуляции модели представленной на чертеже 3. Сравните параметры синусоидальных генераторов. Попробуйте менять частоту нижнего генератора и устанавливать значения 9, 19, 29, 39, ... Гц. Подумайте по какой причине сигнал не меняется при отображении на осциллографе. Сформулируйте и запишите вывод. Приведите поясняющий рисунок осциллограммы непрерывной синусоиды (9 Гц) с нанесенными точками, обозначающими её выборки через 0.1 сек. (точки нужно соединить яркими линиями). Если рисунок будет не понятен, то, скорее всего, он неверен.

Чертёж 3

Вспомните старые фильмы, снятые во времена, когда автомобили ездили не очень быстро. В определенные моменты наблюдался стробоскопический эффект, когда их колеса вращались не в ту сторону. Проведите еще один эксперимент с моделью представленной на чертеже 3. Меняйте частоту генератора, устанавливая 9, 9.2, 9.4, 9.6, 9.8, 10, 10.2, 10.4, 10.6, 10.8, 11 Гц, и анализируйте происходящее. При частоте 10 Гц несколько раз измените начальную фазу сигнала генератора. Уточните вывод сделанный по результатам предыдущего эксперимента.

Задача

Существует оружие, принцип действия которого следующий. На автомобиле укреплен вращающийся радар со спаренным крупнокалиберным пулеметом. Если в поле поражения пулемета влетает вертолет, то он будет уничтожен. Это оружие используется для прикрытия танков.

Задача. В пакете VisSim постройте модель, которая будет указывать на графике точки поражения на расстоянии одного километра от оружия с шагом по дуге величиной три метра (размеры вертолета больше и указанный шаг гарантирует поражение цели). Скорость вращения радара выберите в соответствии с вариантом: 1+0.1*№ оборотов в секунду. Круговую развертку постройте как фигуру Лиссажу с помощью двух синусоидальных генераторов. Для отображения окружности активируйте XY-развертку осциллографа. Для контроля расстояния между точками поражения увеличивайте фрагменты осциллограммы мышкой при удержании кнопки Ctrl. Чтобы точки не соединялись линиями, активируйте режим вывода осциллограммы по точкам. Правильное решение задачи связанно с верным выбором шага симуляции, т.е. периодом дискретизации сигналов по времени.

5.09.2007