Н.В. Клиначев, Е.А. Маргацкая

PI- и PID-регуляторы. Решение задачи об интегральном насыщении

Рабочие файлы: [ЦСУ Настройки ЛАЧХ] [Настройки регуляторов] [ЦСУ 4 ЛЭМД Модель]

В обобщенной форме описаны системы автоматического регулирования, в которых имеет место насыщение интегрирующего канала PI- или PID-регулятора. Показано, что классические регуляторы, которым свойственно "интегральное насыщение", с большой ошибкой удерживают под контролем движение координат объекта при возможных возмущающих воздействиях. Представлены версии регуляторов с последовательной структурой, в которых существенно снижены последствия от эффекта интегрального насыщения и сохранены линейные свойства для малых сигналов.

Ключевые слова: ПИ-регулятор, ПИД-регулятор, интегральное насыщение, anti-windup, PI-control, PID-control, моделирование в Jigrein4WEB.

Введение

Существует множество технических объектов, движение координат которых связано интегральными зависимостями. Для контроля таких объектов теория автоматического управления предлагает достаточно универсальную и хорошо зарекомендовавшую себя систему подчиненного регулирования координат с ограничением их предельных значений. Повторим. Если подчиненная САР ограничила и поддерживает неизменной первую из координат объекта, то вторая – движется с постоянной скоростью, третья – с постоянным ускорением. Например, если речь идет об электроприводе, то при постоянном электромагнитном моменте скорость вала растет линейно, а угловое положение меняется с постоянным ускорением. В системе отопления жилых помещений – если насос развивает постоянное давление, то теплоноситель разгоняется (расход увеличивается линейно), температура – повышается с постоянным ускорением. Подобных технических объектов – множество.

Подчиненная САР может быть двух- или трехконтурной. Управляющее воздействие на объект ни как не ограничивается, поэтому применение PI-регулятора во внутреннем контуре не вызывает ни каких особых эффектов. Второй контур ограничивает предельные значения задающего воздействия на подчиненный контур. Т.е. на выходе соответствующего PI-регулятора имеется устройство ограничения сигнала. Когда сигнал регулятора превышает предел, обратная связь перестает влиять на управляющее воздействие – контур размыкается. Но интегрирующий канал регулятора продолжает вычисление площади под кривой ошибки, что неадекватно, поскольку контур незамкнут. В результате последующий возврат в зону линейного регулирования будет затянут. Этот эффект известен под названием "интегральное насыщение" и проявляется во втором контуре любой САР с подчиненным регулированием координат.

Вторая из трех координат объекта (с описанными выше свойствами) может быть недоступной для измерения. Без второго контура подчиненная САР сохраняет работоспособность, но во внешнем контуре применяют PID-регулятор. Поскольку на выходе регулятора устанавливают устройство ограничения сигнала – эффект "интегрального насыщения" и в этой САР имеет место.

Можно назвать множество работ, которые описывают решения в той или иной степени уменьшающие последствия от эффекта интегрального насыщения, но одно из самых изящных решений видимо забыто. Представим его.

PI-регулятор без интегрального насыщения

Ниже по тексту, на рисунке представлены две версии PI-регулятора. Первый регулятор – классический с параллельными каналами (рис. 1.а). Здесь применен насыщающийся интегратор с ограничителем сигнала на входе. Такое решение защищает АЛУ микроконтроллера от перегрузки и улучшает реакцию системы на задающее воздействие. Второй регулятор имеет параллельно-последовательную структуру (рис. 1.б). Первым сигнал обрабатывает пропорционально-дифференцирующее звено (PD-регулятор). Вторым – интегрирующее (I-регулятор). Далее, эти два звена будем называть PD-I-регулятором. Оба регулятора имеют совпадающий список параметров и равные передаточные функции для малых сигналов.

Блок-схема PI-регулятора без интегрального насыщения (Integral Anti-Windup PI control)
Рис. 1. Структурные схемы PI-регулятора и эквивалентного
PD-I-регулятора (PI-регулятора без интегрального насыщения)

Существенное снижение последствий от эффекта интегрального насыщения у PD-I-регулятора объясняется следующими причинами. Предел насыщения интегратора типового PI-регулятора всегда равен пределу задания на подчиненный контур. Впрочем, так же как и у интегратора PD-I-регулятора. Но выходной сигнал интегратора PD-I-регулятора имеет две составляющие – пропорциональную и интегральную. Чем больше ошибка контура в переходном процессе, тем меньшую часть выходного сигнала определяет интегральная составляющая. Т.е. предел насыщения здесь плавающий, и, на временных интервалах отработки динамических возмущений, меньше, чем у интегратора классического регулятора. Другая причина в том, что из-за различий в структуре, вблизи частоты единичного усиления контура интеграторы двух регуляторов имеют разные коэффициенты передачи. Если придерживаться методики настройки системы на симметричный оптимум с общепринятыми запасами по фазе, то на частоте единичного усиления дифференцирующий канал PD-I-регулятора поднимет коэффициент передачи интегратора от двух до трех раз. Что положительно сказывается на быстродействии. Последняя причина в том, что стремясь улучшить реакцию системы на ступенчатое воздействие, при ограниченном наборе типов возмущающих воздействий, разработчики намеренно ограничивают ошибку на входе интегрирующего канала классического регулятора. Повторим еще раз. У PD-I-регулятора скорость интегрирования ошибки не ограничивается, коэффициент передачи интегратора вблизи частоты единичного усиления больше, пределы насыщения меньше. Результат – существенное подавление последствий от эффекта интегрального насыщения при любых возмущающих воздействиях.

Однако, при всех достоинствах PD-I-регулятора, его широкому распространению в технических решениях препятствует особенность настройки. Отключить интегрирующий канал здесь невозможно – система перестанет быть работоспособной (дифференциатор имеет нулевой коэффициент передачи на постоянном токе). Менять в широких пределах постоянную времени тоже недопустимо. Дифференцирующие звено – это источник шума. По шумовым характеристикам PD-I-регулятор не уступает классическому лишь при оптимальной настройке. В результате, либо надо точно знать параметры объекта для аналитического расчёта параметров регулятора, либо, при выполнении отладочных работ, необходим вспомогательный классический PI-регулятор для экспериментального подбора коэффициентов. С аналоговыми регуляторами затруднения были. С цифровыми – все решаемо.

Ниже по тексту, на интерактивном чертеже 1 представлена модель второго контура САР с подчиненным регулированием координат. Внутренний контур свёрнут и замещен апериодическим звеном первого порядка. Внешние и внутренние координаты системы приведены к относительным единицам. Относительные величины позволяют без особых затруднений выбирать величину возмущения, которое не должно выходить за пределы +/-1. (Уточним. Для визуализации последствий от эффекта интегрального насыщения, реакции системы на ступенчатое задание недостаточно. Необходим анализ реакций на возможные возмущающие воздействия). В модели представлены две версии PI-регулятора. Один из осциллографов визуализирует переходные процессы. Второй используется для построения годографа изображающей точки в плоскости физических координат первого и второго рода. Для электропривода – это механическая характеристика. Внешняя характеристика – у источника электрической энергии. Напорная характеристика насоса, и пр. Очевидно, чем меньше изображающая точка отклоняется от границ квадрата (со сторонами +/-1), тем точнее функционирует система. Выход за периметр (перерегулирование свыше 5 %) для большинства технических систем неприемлем.

Модель второго контура САР с подчиненным регулированием
координат, приведенных к относительным единицам. Движение объекта
контролирует PI-регулятор без интегрального насыщения

Запустите вычислительный эксперимент для модели представленной на чертеже 1. Убедитесь в том, что с классическим PI-регулятором система автоматического регулирования плохо удерживает под контролем движение координат объекта. Отключите возмущающие воздействия. Убедитесь в том, что регулятор настроен оптимально, а причина отклонений в движении – действительно возмущения.

Верните модель к исходному состоянию и подключите PD-I-регулятор с последовательной структурой. Оцените, насколько лучше САР контролирует движение координат объекта. Обратите внимание на значения параметров регуляторов. Они идентичны.

PID-регулятор без интегрального насыщения

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) PID-регулятора хорошо известна: -20 дБ/дек, 0 дБ/дек, +20 дБ/дек (см. рис. 2). Круговую частоту сопряжения двух первых асимптот ЛАЧХ определяет постоянная времени интегрирующего канала, $ω_i = 1 / T_i$. Частота сопряжения участков с наклонами 0 и +20 дБ/дек определена постоянной времени дифференцирующего канала, $ω_d = 1 / T_d$. $T_i \;\gt T_d$. Чтобы избавиться от эффекта "интегрального насыщения" необходимо поменять структуру регулятора так, чтобы ЛАЧХ не изменилась, но постоянные времени поменялись местами ($T_d \;\gt T_i$). В результате постоянная времени интегрирующего канала будет в разы меньше. И более того, поскольку будет отвечать за корректирующий участок частотной характеристики, будет соизмерима с меньшей из постоянных времени объекта. Отсюда следует, что интегратор регулятора будет настолько быстро выходить на рабочий участок, что существенной задержки в переходный процесс внести не сможет. Требуемое структурное измерение заключается в следующем. Классический PID-регулятор (с параллельными каналами) необходимо заменить двумя последовательно включенными. Первый регулятор должен быть пропорционально-дифференцирующим (PD). Второй – пропорционально-интегрирующим (PI). Последний можно заменить на PD-I-регулятор, но эта замена особого эффекта уже не даcт. А дифференцирующих звеньев (потенциальных источников шума при неоптимальной настройке) будет два.

ПИД-управление без насыщения (Integral Anti-Windup PID control)
Рис. 2. Обмен постоянных времени Ti и Td PID-регулятора

Ниже по тексту, на интерактивном чертеже 2 представлена модель третьего контура САР с подчиненным регулированием координат (следящая система). Первый контур свёрнут и замещен апериодическим звеном первого порядка. Второй – отсутствует. Внешние и внутренние координаты системы приведены к относительным единицам. Как и в случае двухконтурной системы для визуализации последствий от эффекта интегрального насыщения необходим анализ реакций на возможные возмущающие воздействия. Следящие системы должны быть способны работать на упор. Изменение расстояния между упорами не предусмотрено (+/-1). Но можно смещать их и уменьшать амплитуду задающего воздействия. В модели представлены: классический PID-регулятор и эквивалентный PD-PI-регулятор. Последний должен иметь не три, а четыре параметра для равномерного распределения усиления (не должно получаться так, чтобы один регулятор ослаблял сигнал до уровня шума, а другой – усиливал). Но в данной модели списки параметров и их числовые значения совпадают (допущен лишь обмен имён постоянных времени).

Модель следящей САР без второго подчиненного контура.
Координаты приведены к относительным единицам. Движение объекта
контролирует PID-регулятор без интегрального насыщения

Выполните серию сравнительных экспериментов с моделью представленной на чертеже 2. Для классического PID-регулятора и эквивалентного PD-PI-регулятора переберите все варианты воздействий, за исключением упора. Не забудьте вариант, когда задание равно нулю.

Уменьшите частоту реверса задающего воздействия до 0.25 Гц. Подключите воздействие типа упор. Другие воздействия отключите. Экспериментируйте. Составьте свое мнение о качестве работы PD-PI-регулятора.

Обратим внимание на общий пропорциональный коэффициент усиления PD-PI-регулятора. Точнее, рассмотрим вопрос о влиянии на его величину постоянных времени:

$(1+T_ds)·(1+1/(T_is))=1+1/(T_is)+T_ds+T_d/T_i$.

Здесь у каждого из регуляторов коэффициент усиления пропорционального канала равен единице. Общий пропорциональный коэффициент двух регуляторов равен $1+T_d/T_i$. Если его величина должна быть равной $K_p$, то необходимо добавить безынерционное звено с коэффициентом усиления равным $K_p/(1+T_d/T_i)$. Безусловно, это несколько затрудняет тюнинг цифрового регулятора (поддержка специальной функции пересчёта коэффициентов дороже ручного перебора вариантов). К процедуре настройки сопрягающей частоты корректирующего участка ($ω_i=1/T_i$) можно рекомендовать простое правило. Уменьшая коэффициент усиления на входе интегратора, необходимо увеличивать коэффициент на выходе дифференциатора.

Выводы

  1. Насыщение интегрирующего канала PI- или PID-регулятора имеет место в любой системе автоматического регулирования, где есть ограничение величины управляющего воздействия на объект.
  2. Для контроля последствий интегрального насыщения недостаточно реакции системы на ступенчатое задание. Необходимо программировать возможные варианты возмущающих воздействий.
  3. Замена PI-регулятора с параллельными каналами на эквивалентный, состоящий из последовательно включенных PD- и I-регуляторов позволяет существенно снизить последствия от эффекта интегрального насыщения. Три причины объясняют положительный результат. У PD-I-регулятора скорость интегрирования ошибки не ограничивается, коэффициент передачи интегратора вблизи частоты единичного усиления больше, пределы насыщения меньше.
  4. Замена PID-регулятора с параллельными каналами на эквивалентный, состоящий из последовательно включенных PD- и PI-регуляторов позволяет существенно снизить последствия от эффекта интегрального насыщения. Положительный результат объясняется обменом величин постоянных времени ($T_d \;\gt T_i$), и, как следствие, повышением быстродействия интегратора в несколько раз.

Литература

  1. Гуляев С.В., Кузнецов С.И., Малахов В. А., Ольшванг В. Р., Шубладзе А.М. Обзор работы ПИ- и ПИД-регуляторов в режимах интегрального насыщения // Автоматизация в промышленности, №8 2008. – URL: https://avtprom.ru/system/files/06-09_0.pdf. Дата обращения: 20.05.2017.
  2. Анучин А.С. Структуры цифрового ПИ-регулятора для электропривода // Электротехника, Знак, Москва, 2014, №7, С. 02-06. – URL: http://aep-mpei.ru/images/Papers/PI3.pdf. Дата обращения: 20.05.2017.
  3. Jim Cahill. Getting the Converted PID Values Right // – URL: https://www.emersonprocessxperts.com/2013/02/getting-the-converted-pid-values-right. Дата обращения: 20.05.2017.
  4. Integral Anti-Windup for PI Controllers. – URL: https://www.researchgate.net/file.PostFileLoader.html?id=58bbfa484048541d26040a4a&assetKey=AS%3A468515938410498%401488714312357. Дата обращения: 20.05.2017.

Приложение. Написание программного кода цифрового PI-регулятора без интегрального насыщения

На примере системы автоматического регулирования (САР) температуры инкубатора, рассмотрим проектирование программы цифрового PI-регулятора без интегрального насыщения. Прежде всего – объект. Инкубатор – это термос. Если разместить "в термосе" нагретое тело, скажем, чай, то температура будет снижаться по экспоненте. Точно так же разряжается конденсатор, к которому подключен резистор. Поэтому в модели, см. ниже по тексту чертёж 3, инкубатор представлен схемой замещения – RC-цепью. Конденсатор – это теплоемкость инкубатора. Резистор – сопротивление теплоизолятора в конструкции стен инкубатора. Ни то ни другое в типовом случае неизвестно. Поэтому проводят простой эксперимент. Нагретое тело (треть от типовой загрузки) размещают в инкубаторе. И следят за процессом остывания – определяют минимальную величину тепловой постоянной времени. Далее, в модели, уравнивают её с постоянной времени RC-цепи. Мощность источника теплового тока (инфракрасные лампы, или электронагреватели) выбирают так, чтобы скорость нагрева в 3..4 раза превышала скорость естественного остывания. Источник отрицательного теплового тока (холодильник) в данном инкубаторе не предусмотрен. Диапазон регулирования температуры – от 0 до 20 градусов над окружающей средой.

Цифровые системы управления всегда проектируют таким образом, чтобы входные и выходные координаты были приведены к относительным единицам. Это удобно. Например, регулирование мощности нагревателя осуществляется с помощью широтно-импульсного модулятора. Если модулирующий сигнал равен нулю – нагреватель выключен. Если равен единице – нагреватель работает с полной мощностью. Ноль и единица – это и есть два предела, по причине существования которых в замкнутой системе могут проявляться последствия от интегрального насыщения.

Модель системы регулирования температуры работает с предельно возможным быстродействием. И составлена таким образом, чтоб наглядно продемонстрировать это. Запустите вычислительный эксперимент. Ознакомьтесь, как организован переходный процесс для объекта без регулятора. Сравните скорость изменения температуры под контролем и без регулятора. Убедитесь в том, что в переходных режимах они совпадают. Обратите внимание на осциллограмму управляющего воздействия (см. составной блок PI-регулятора). Сопоставьте управление и осциллограмму температуры инкубатора.

САР температуры инкубатора

В цепи обратной связи есть составной блок с именем "4ЛАЧХ". Он передает сигнал с входа на выход без преобразования. В нем размещены лишь датчики библиотеки частотного анализа. Цифра 4 в названии – это английское слово "for" (для). Блок предназначен – для ЛАЧХ – для построения частотных характеристик разомкнутого контура. Запустите вычислительный эксперимент. Перейдите в составной блок для построения ЛАЧХ и ЛФЧХ. Выполните команду меню Анализ > ЧХ. Убедитесь в том, что система настроена на симметричный оптимум. Следует отметить, что в данном случае участок ЛАЧХ с наклоном -20 дБ/дек имеет минимальную длину. Разработчик системы должен оценивать пределы возможного изменения теплоемкости (загрузки инкубатора). А так же пределы потери теплоизолирующих свойств материала стен за 25 лет эксплуатации. Но это другой вопрос.

Итак, в модели представлены 4 версии PI-регулятора. Параметры у регуляторов одинаковые. Настроены они оптимально. Но движение координат объекта под их контролем отличается. Подключите линейный прототип регулятора (верхний в блок-схеме). На его выходе нет ограничителя. Он формирует управление без ограничения мощности, включая процесс активного охлаждения, что не соответствует возможностям реального объекта. Второй регулятор оборудован ограничителем на выходе. Это соответствует объекту. Запустите вычислительный эксперимент. Убедитесь в наличии существенного перерегулирования (последствие интегрального насыщения). Третий регулятор был описан в статье и имеет последовательную PD-I-структуру. Перерегулирования тут нет. А четвертый регулятор – цель описания. Это тот же PD-I-регулятор, но собран на регистрах задержки, и его структура подготовлена к написанию программного кода с учетом необходимых приведений к относительным единицам. В частности учтена особенность масштабирования сигналов. Масштабирование во всех регуляторах, всегда выполняется на выходе дифференциатора и на входе интегратора. Любые другие варианты приводят к неэффективному использованию мантиссы процессора / микроконтроллера с целочисленным АЛУ.

Следующий этап разработки цифрового регулятора связан с написанием прототипа программного кода, который будет подключен к модели системы. С одной стороны его можно будет отладить. Математическое ядро моделирующей программы – это не объект. При неправильном управлении выйти из строя или сварить содержимое инкубатора не может. С другой стороны код будет близко соответствовать программе, которую будет исполнять микроконтроллер. В силу особенности моделирующей программы прототип кода будет написан на языке JavaScript. Программа для микроконтроллера пишется на языке Си. Но хитрость в том, что разницы нет ни какой. Все что используют специалисты по цифровым управляющим системам – это три операции целочисленной арифметики. Сложение, умножение, двоичный сдвиг. Во всех языках программирования синтаксис соответствующих математических выражений одинаков.

Перейдите к документу
[Код программы PI-регулятора без интегрального насыщения]

20.05.2017