Мастер Билинейного Преобразования

С некоторой точностью, любой системе линейных дифференциальных уравнений может соответствовать эквивалентная система разностных уравнений. Справедливо и обратное утверждение. Дифференциальные уравнения решаются с помощью интеграторов, разностные – с помощью регистров задержки. На регистре задержки можно реализовать дискретный квазианалог интегратора в соответствии с тремя численными методами первого порядка. А на интеграторе (реализованном тремя разными методами) можно реализовать фазовращающее звено – аппроксиматор регистра задержки. Замещая одно другим, осуществляют требуемый эквивалентный переход. Остается лишь пересчитать коэффициенты (сократить лишние действия). А три метода, которые были упомянуты – это прямой и обратный методы Эйлера, плюс метод трапеций (метод Тастина (Tustin)).

Дополняя сказанное, уточним, что в некоторых случаях удобно перейти к разностным уравнениям. Их решение, в сравнении с решением систем дифференциальных уравнений (в случае аппаратной реализации на микроконтроллере) требует меньших вычислительных ресурсов. Обратные ситуации тоже имеют место – синтез фильтров и систем управления (выбор коэффициентов передаточной функции) методом логарифмических частотных характеристик очень эффективен.

Задача пересчета коэффициентов требует автоматизации. Обычно опираются на метод Тастина, которому соответствует Билинейное преобразование. И, в инженерной практике, применяют его к особой форме записи системы уравнений – к передаточной функции (регулятора, звена коррекции, фильтра). Ниже по тексту представлена форма, к которой подключена программа, пересчитывающая коэффициенты полиномов числителя и знаменателя непрерывной передаточной функции в коэффициенты дискретной передаточной функции. Результат пересчета можно проверить, проконтролировав переходный процесс и частотные свойства дискретной передаточной функции, с помощью модели представленной на чертеже 1. Коэффициенты, из формы в модель, необходимо перенести вручную. Примите во внимание, что округление коэффициентов дискретной передаточной функции может сделать цифровой фильтр неработоспособным. С ростом порядка фильтра – чувствительность к округлению и требования к размеру мантиссы счетного устройства возрастают.

Другим важным фактором при синтезе цифрового фильтра является выбор периода дискретизации. Трижды запустите процесс расчета модели. Меняйте метод интегрирования: ERK11, DIRK12, DIRK11 (Эйлера с запаздыванием по фазе, Тастина, Эйлера с упреждением по фазе). Убедитесь в том, что из-за фазовой ошибки интеграторов меняется затухание переходного процесса (дифференциальное уравнение решается с погрешностью).

Чертеж 1

Калькулятор Билинейного Преобразования  
Параметры передаточной функции              

   k:                             s-mantissa: 
Числ: 
Знам: 

  dT:                           

Литература

Peter J. Pupalaikis. Bilinear Transformation Made Easy // International Conference on Signal Processing and Technology (ICSPAT), Dallas TX, 2000. – URL: http://mysite.verizon.net/petepope/sitebuildercontent/sitebuilderfiles/easybilinear.pdf. Дата обращения: 14.08.2014.

14.08.2014