Применение дискретных квазианалогов интеграторов
для моделирования цепей с JL- и EC-контурами

Представление энергопреобразующих цепей технических устройств разной физической природы в виде схем замещения – это наиболее простой способ составления их математического описания и построения моделей для компьютерного анализа. Этот способ предполагает возможность произвольных соединений моделей базовых RLC и EJ-элементов. Но существуют два варианта соединений элементов, которые требуют активации особого решателя моделирующей программы. Это JL- и EC-контуры, в которых отсутствуют активные потери.

Если активные потери в JL- и в EC-контурах отсутствуют, а источники программируются сигналом синусоидальной формы, то характеризующие состояние контуров координаты (токи и напряжения) будут сдвинуты строго на 90 градусов. Рассмотрим возможность получения этого решения с помощью интеграторов моделирующих программ. На чертеже 1 представлены варианты дискретных интеграторов, вычисляющие интеграл от сигнала синусоидальной формы. Запустите процесс расчета модели и убедитесь в том, что лишь один из трех интеграторов (собранный из простейших математических блоков в соответствии с методом трапеций) не вносит фазовую ошибку в решение.

Чертёж 1

Технические устройства, предназначенные для преобразования энергии, часто имеют обратные связи позволяющие контролировать процессы с помощью регуляторов. Запустите процесс расчета модели представленной на чертеже 2. Ознакомьтесь с характером проявления фазовых ошибок вносимых интеграторами в процессы движения замкнутых систем. Здесь движения вызваны ненулевыми начальными условиями. Фазовый сдвиг в контуре из двух интеграторов должен составлять величину -180°. В соответствии с критерием Найквиста системы должны находится на границе устойчивости. Убедитесь в том, что лишь у одной из трех систем (в которой интеграторы собранны в соответствии с методом трапеций) выходная координата движется в соответствии с ожиданием – по синусоиде (не затухает и не идет в разнос).

Чертёж 2

На чертеже 3 представлена еще одна модель подтверждающая тот факт, что для моделирования цепей желательно использовать интегратор функционирующий в соответствии с методом трапеций. Данное утверждение (хоть и проиллюстрировано примерами) приведено автором без строго математического обоснования. Существует большая совокупность альтернативных методов построения дискретных интеграторов. Но критерий наличия фазовой ошибки в решениях обнаруживает ситуацию, суть которой в том, что альтернативные интеграторы (высокого порядка) относятся либо к группе с запаздыванием по фазе, либо к группе с упреждением по фазе. Использовать для расчета схем замещений интеграторы вносящие запаздывание по фазе невозможно. Они имеют особенность, которая не позволяет получить решения для систем с алгебраическими уравнениями (пояснения будут даны ниже). Альтернативы методу трапеций автору неизвестны. Де-факто все программы Spice-семейства используют в блоке решателей метод трапеций. Некоторые – предоставляют пользователю возможность активировать метод Эйлера с упреждением по фазе. Методы интегрирования высших порядков с упреждением по фазе не используются – динамический диапазон сигналов, которыми в большинстве случаев характеризуются модели устройств представленные схемами замещений, не превышает 4..5 декад, поэтому погрешности от редко встречающихся старших составляющих ряда Тейлора в сигналах не достигают неприемлемых значений.

Чертёж 3

Являясь "методом по умолчанию" для расчета цепей, метод трапеций не позволяет получить верные решения для моделей имеющих JL- и EC-контуры. Запустите процесс симуляции модели представленной на чертеже 4. Ознакомьтесь с автоколебательным процессом, который в соответствии с принципом суперпозиции наложился на правильное решение.

Чертёж 4

Для выявления причины автоколебательного процесса можно упростить систему уравнений, описывающую движение координат в JL- и в EC-контурах. На чертеже 5 представлена соответствующая модель. Блок-схема простая. Для неё можно составить словесное описание. В результате получим утверждение. Автоколебательный процесс появляется в случае, когда математическая суть той или иной модели заключается в поиске производной известной координаты (осуществляемом с помощью итерационного решателя и дискретного интегратора функционирующего в соответствии с методом трапеций). Подобные задачи математики (специалисты по численным методам) называют жёсткими.

Чертёж 5

Можно стабилизировать интегратор вычисляющий производную известной координаты. Необходимо зашунтировать его параллельным безынерционным каналом с малым коэффициентом передачи сигнала равным половине шага симуляции (для метода трапеций). Как показано на чертеже 6.

Чертёж 6

Продемонстрированное решение гашения автоколебаний превращает дискретный интегратор функционирующий в соответствии с методом трапеций в интегратор Эйлера с упреждением по фазе. Это факт иллюстрирует блок-схема представленная на чертеже 7. Здесь библиотечный интегратор моделирующей программы замещен совокупностью более простых математических блоков. В блок-схеме присутствует блок масштабирования сигнала с параметром равным 0.5 (блок gain). Если упомянутый параметр равен 0.5, то блок-схема интегратора соответствует методу трапеций. Если тот же параметр увеличить на 0.5 (до единицы), то блок-схема интегратора будет соответствовать методу Эйлера с упреждением по фазе. Если же параметр будет равен 0, то – методу Эйлера с запаздыванием по фазе. В последнем случае между блоками итерационного решателя unknown и constrant (=0) не будет связи, и процесс подбора производной для известной координаты будет невозможен. Если проанализировать процессы в блок-схеме для случаев когда параметр равен 0.5 и 1, то можно разобраться в причине появления автоколебательного процесса.

Чертёж 7

В практике построения моделей цепей можно использовать простой способ гашения автоколебательного процесса в JL- и в EC-контурах. С этой целью в контуры можно включить активные сопротивления. Номиналы и способ включения сопротивлений можно считать с чертежа 8. В этом случае метод трапеций (активированный по умолчанию для интеграторов модели) позволит получить наилучшие результаты, а электрическое состояние контуров измениться несущественно.

Чертёж 8

Если моделирующая программа позволяет деинкапсулировать (с целью модификации) модели элементов схем замещений, то в реактивных элементах JL- и EC-контуров можно произвести замену библиотечных интеграторов на их дискретные модели с упреждением по фазе (DERK11). Подобный эксперимент, в познавательных целях, можно выполнить с моделью представленной на чертеже 4.

Примечание 1. Можно обратить внимание на интересный и важный факт. В большинстве случаев, интеграторы в моделях реактивных элементов не охватываются замкнутыми алгебраическими петлями. Следовательно, нет необходимости включать в их структуру итерационный решатель (т.е. можно использовать не DIRK, а DERK методы). В результате порядок якобиана понижается. Скорость расчета модели увеличивается. Именно эта особенность, позволяет программам Spice-семейства лидировать в соревнованиях на скорость расчета цепей. И она же не позволяет программам Spice-семейства поддерживать блок-схемы в чертежах электрических схем.

Примечание 2. Распространенное мнение о том, что JL- и EC- контуры не должны встречаться в схемах замещения технических устройств в силу существования законов коммутации – ошибочное. Четкая синхронизация процессов и плавные изменения координат не приводят к нарушению законов. Хорошим примером является модель асинхронной машины, имеющаяся в библиотеке программы Jigrein.

Примечание 3. По всей видимости, распространенная практика назначения метода интегрирования для модели в целом является спорной. Существуют модели, имеющие одновременно ортогональные цепи критичные к отсутствию фазовых ошибок и JL- или EC- контуры. Эксперименты автора с моделями асинхронных машин (см. библиотеку программы Jigrein) свидетельствуют в пользу данного утверждения.

22.11.2008