Н.В. Клиначев, Н.В. Клиначева

О способе формализации применения законов Ома и Кирхгофа
до уровня программных алгоритмов

Предложен способ применения законов Ома и Кирхгофа, который полностью исключает потребность у робота-исполнителя (у компьютера) в рассуждениях. Способ можно использовать в программах математического моделирования поведения систем (для моделирования электрических схем). Представлены блок-схемы моделей электрических элементов (R, L, C, E, J, идеальный диод, узел), использующие технику итерации потенциалов. Предложена новая форма графического представления моделей в виде гибрида из электрических принципиальных схем и блок-схем

Применение законов Ома и Кирхгофа формализовано до уровня программных алгоритмов более двадцати лет назад и составляет ноу-хау программ Spice-семейства. Решением данной задачи является универсальный алгоритм полной деинкапсуляции произвольной физической принципиальной схемы через уровень схем замещения к уровню математической блок-схемы. Разработанная авторами библиотека SimLib4Visio исторически была первым инструментом, визуально демонстрирующим решение этой задачи.

Рис. 1. Гибрид электрической принципиальной схемы с блок-схемой. Щелчок мышью по элементам, при удержании клавиши Ctrl, вызывает переход в их субпространство, где расположены соответствующие модели. Для возврата на верхний иерархический уровень, нужно повторить описанное действие с той разницей, что щелкать надо по свободному месту поля чертежа. Для запуска процесса симуляции вызовите контекстное меню для свободного места поля чертежа, выберите пункт "Симуляция > Start".

Гибридный чертеж, состоящий из совокупности условно графических обозначений (УГО) физических элементов и математических блоков – это новая концепция представления математических моделей (см. рис. 1). Первая его особенность заключается в том, что на одном чертеже одновременно присутствуют два типа связей [1]. Связь первого типа (направленная) определяет схему передачи возвращаемых значений между математическими блоками. Связь второго типа (ненаправленная) предназначена для соединений физических элементов. Состояние любого элемента, преобразующего энергию, определяется двумя физическими величинами (разностью потенциалов и током), поэтому ненаправленные проводники можно воспринимать как шину из двух проводников первого типа. Вторая особенность гибридных чертежей математических моделей состоит в том, что УГО RLC и EJ-элементов могут варьироваться в зависимости от того, являются ли элементы пограничными (между блок-схемой и схемой физической принципиальной) или нет. На рисунке 2 первый R-элемент особенностей не имеет. Основной параметр второго элемента (номинал сопротивления) можно контролировать направленным графом. Третьим представлен элемент, чье состояние может быть передано направленному графу.

Рис. 2. Варианты УГО R-элемента

Техника моделирования поведения систем может быть основана на итерации токов или на итерации потенциалов. Последний вариант имеет ряд преимуществ. Авторами разработаны соответствующие модели: RLC, EJ-элементов, узла энергоцепи и идеального математического диода (D-элемент). Ниже приведено их подробное описание. Это универсальные математические модели с идеальными свойствами. Закрепленные за ними УГО допустимо менять для моделирования цепей с другой энергонесущей материей.

Активное сопротивление (R-элемент)

Модель R-элемента показана на рисунке 3. Из верхнего и нижнего шинных проводников от моделей узлов в блок-схему R-элемента поступают величины потенциалов. Сумматор вычисляет их разность, уточняя напряжение на элементе. Для вычисления тока выходной сигнал сумматора делится на параметр (сопротивление элемента). Далее, величина тока возвращается в шинные проводники для передачи к моделям узлов. Причем в один из узлов ток возвращается с инверсным знаком (раз из одного вытекает, значит в другой втекает). При смене полярности включения дополнительно меняется знак разности потенциалов (входы сумматора имеют разный знак). Таким образом, модель R-элемента не является несимметричной относительно выводов. Однако внутренние координаты модели i и u остаются чувствительными к полярности включения, и этот факт позволяет использовать их в качестве выходов датчика тока и разности энергетических потенциалов.

Рис. 3. Модель R-элемента

Реактивное сопротивление индуктивного характера (L-элемент)

Из верхнего и нижнего шинных проводников, от моделей узлов, в блок-схему L-элемента, поступают величины потенциалов (см. рис. 4). Сумматор вычисляет их разность, уточняя напряжение на элементе. Для вычисления тока выходной сигнал сумматора интегрируется и делится на параметр (индуктивность элемента). Далее, величина тока возвращается в шинные проводники для передачи к моделям узлов.

Рис. 4. Модель L-элемента

Реактивное сопротивление емкостного характера (C-элемент)

Из верхнего и нижнего шинных проводников, от моделей узлов, в блок-схему C-элемента, поступают величины потенциалов (см. рис. 5). Сумматор вычисляет их разность, уточняя напряжение на элементе. На дополнительный (верхний) вход сумматора поступает подбираемая величина, уравниваемая блок-схемой с напряжением на элементе, поскольку на выходе сумматора должен наблюдаться нулевой баланс. Упомянутое напряжение (выходная координата интегратора) является функцией другой итерируемой с помощью блока unknown координаты – тока элемента, который, после деления на параметр (емкость элемента), поступает на вход интегратора. Величина тока возвращается в шинные проводники для передачи к моделям узлов.

Рис. 5. Модель C-элемента

Источник движущей силы (E-элемент)

Из верхнего и нижнего шинных проводников, от моделей узлов, в блок-схему E-элемента, поступают величины потенциалов (см. рис. 6). Первый сумматор вычисляет их разность, уточняя напряжение на элементе. Второй сумматор используется для итеративного уравнивания вычисленного напряжения с заданным значением, которое поступает с блока const (на выходе этого сумматора должен наблюдаться нулевой баланс). На величину уравниваемой разности потенциалов влияет другая итерируемая с помощью блока unknown координата – ток элемента, которая через шинные проводники передается к моделям узлов и влияет на разницу потенциалов. В один из узлов ток возвращается с инверсным знаком. Если сравнить модель источника, с моделями пассивных элементов, то можно заметить, что инверсии подвергается знак тока в другом шинном проводнике. Это объясняется тем фактом, что для активных и пассивных элементов условно положительное направление тока разное.

Рис. 6. Модель E-элемента

Источник тока энергонесущей материи (J-элемент)

Из верхнего и нижнего шинных проводников, от моделей узлов, в блок-схему J-элемента, поступают величины потенциалов (см. рис. 7). Сумматор вычисляет их разность, уточняя напряжение на элементе. Выходная координата блока const (ток элемента) через шинные проводники передается к моделям узлов.

Рис. 7. Модель J-элемента

Узел энергоцепи

Узел энергоцепи – это место разветвления энергонесущей материи. Процесс разветвления подчиняется постулату о сохранении материи. Условное графическое обозначение узла энергоцепи – это точка в месте соединения элементов на схеме физической принципиальной. Модель узла энергоцепи показана на рисунке 8. Как видно, она является свободно масштабируемой (количество шинных проводников поступающих от элементов цепи может быть любым). Из каждого шинного проводника на сумматор, поступает информация о токе элементов, подключенных к узлу. На выходе сумматора должен наблюдаться нулевой баланс, что отвечает требованию постулата о сохранении энергонесущей материи. Баланс обеспечивается итерацией потенциала узла с помощью блока unknown, выходной сигнал которого поступает ко всем подключенным к узлу моделям элементов энергоцепи. Вариация потенциала узла вызывает вариацию токов элементов, чем и достигается нулевой баланс.

Рис. 8. Модель узла

Сравним по блок-схемам терминалы шинных проводников у моделей узлов и у моделей элементов. Все модели элементов (RLC и EJ) имеют одинаковые терминалы шинных проводников – от модели в шину поступает координата тока, а из шины к модели передается координата потенциала. Таким образом, модели элементов невозможно соединить между собой. Ответным для терминалов элементов является только терминал узла. В частном случае это приводит к тому, что место соединения двух элементов, в котором не происходит ответвление энергонесущей материи, при математическом моделировании должно быть представлено моделью узла.

Идеальный математический диод (D-элемент)

Идеальный или математический диод – это идеализированная математическая модель пассивного элемента энергоцепи, который беспрепятственно пропускает энергонесущую материю в прямом направлении и не пропускает или оказывает очень большое сопротивление её движению в обратном направлении. Модель математического диода невозможно построить на параметрической модели R-элемента. Такая модель конфликтует с методическим ограничением итерационного решателя математических ядер, в случае если Rd → 0 или Rdb → ∞. Причина заключается в том, что использовать только разность потенциалов для переключений нельзя – на прямом участке характеристики она колеблется в итерациях вокруг нуля (погрешность решателя). Ток нельзя использовать на обратном участке по той же причине. Ситуация усложняется тем, что идея построения моделей на основе итерации потенциалов накладывает свое ограничение – ток должен быть сформирован самой моделью элемента.

Рис. 9. Модель D-элемента

Модель D-элемента показана на рис. 9. Ключом к пониманию принципа построения модели является тот факт, что когда выходной сигнал блока unknown меньше нуля, он ассоциируется с обратным напряжением на элементе, в противном случае – с прямым током.

Если математическое ядро находит баланс при положительном значении сигнала на выходе блока unknown, то состояние модели расшифровывается следующим образом. На выходе компаратора будет логический ноль, и мультиплексоры будут пропускать сигналы со среднего входа. Таким образом, выходной сигнал блока unknown – прямой ток диода – через правый мультиплексор будет возвращён в шинные проводники для передачи к моделям узлов. Через левый мультиплексор прямое падение напряжения (полученное по закону Ома умножением тока на параметр Rd) поступит на верхний сумматор для итерационного уравнивания разностью потенциалов, которая поступает с узлов и вычисляется нижним сумматором.

Если же математическое ядро находит баланс при отрицательном значении сигнала на выходе блока unknown, то состояние модели расшифровывается иначе. На выходе компаратора будет логическая единица, и мультиплексоры будут пропускать сигналы с нижнего входа. Следовательно, выходной сигнал блока unknown – обратное напряжение на диоде – через левый мультиплексор поступит на верхний сумматор для итерационного уравнивания с поступающей с узлов разностью потенциалов вычисленной нижним сумматором. Через правый мультиплексор обратный ток диода (полученный по закону Ома делением напряжения на параметр Rdb) будет возвращён в шинные проводники для передачи к моделям узлов.

И в том и в другом случае, к одному из узлов ток возвращается с инверсным знаком. Возможны вариации представленной блок-схемы. Например, при построении моделей более сложных устройств, на один из двух контрольных выходов удобней подавать не разность энергетических потенциалов u, а выходную координату компаратора, которая (в отличие от координат i и u) однозначно свидетельствует о том, на каком участке характеристики работает модель.

Унарный ввод в бинаправленную шину (B2W-элемент)

B2W-элемент – это терминал бинаправленной шины, для того ее конца, который подходит от узла к элементу (см. рис. 10). Он используется для графического представления деинкапсулированных до уровня блок-схемы моделей элементов схем замещений или физических устройств (см. рисунки 3-7, 9, но не 8). Типовой ситуацией применения B2W-элемента является отладка новой модели физического устройства или разработка альтернативной для "зашитой" в математическом ядре. При использовании элемента к направленным терминалам следует корректно подключать координаты тока и энергетического потенциала.

Рис. 10. B2W-элемент

Для проверки адекватности представленных моделей составлялись и простые (тестовые) схемы, и схемы, состоящие из 40-70 элементов (в эквиваленте до 400 математических блоков). Таким образом, используемое для симуляции моделей математическое ядро [2] конфигурировалось неоднократно, по-разному, и достаточно масштабно. Исследования проводились как во временном, так и в частотном домене. Временные характеристики проверенны методом сравнения с осциллограммами, снятыми с электрических схем. Идентичность результатов свидетельствует об отсутствии ошибок в представленном методе формализации применения законов Ома и Кирхгофа.

ЛИТЕРАТУРА

  1. Клиначёв Н. В. Основы моделирования систем или 7 доменов законов Ома и Кирхгофа: Избранные фрагменты. - Offline версия 3.6. - Челябинск, 2000-2005. - 88 файлов, ил.
    – Website: http://model.exponenta.ru/oms_lec.html.
  2. Клиначёв Н. В., Клиначёва Н. В. Библиотека SimLib4Visio и математическое ядро K2.SimKernel. – Website: http://model.exponenta.ru/simlib.html.

14.09.2006