Воронин Сергей Григорьевич

Глава 1. Механика электропривода

1.1. Электропривод как механическая система

Любой электропривод представляет собой электромеханическую систему, состоящую из трех частей (рис. 1.1). Двигатель Д как элемент этой системы представляет собой источник или потребитель энергии. В механическую систему входит лишь ротор двигателя, который обладает моментом инерции, может вращаться с определенной скоростью и развивать движущий или тормозной момент.

png-file, 12 KB

Рис. 1.1. Элементы привода как механической системы

Преобразующий механизм ПМ осуществляет преобразование движения. При его помощи увеличивается или уменьшается скорость вращения (редуктор), изменяется вид движения – вращательное в поступательное (винтовые и зубчато-реечные передачи, барабан с тросом, кривошипно-шатунный механизм и т.п.), он характеризуется коэффициентом передачи, представляющим собой отношение скорости на входе к скорости на выходе, механической инерционностью и упругостью его элементов, зазором и трением.

Рабочий орган реализует подведенную энергию в полезную работу. Чаще всего он является потребителем энергии, тогда ее поток направлен от двигателя к рабочему органу. Иногда бывает наоборот: поток энергии направлен от рабочего органа к двигателю, и первый является ее источником. Рабочий орган характеризуется инерционностью, рабочим моментом при вращении или усилием при линейном движении.

Передача энергии от двигателя к рабочему органу и обратно связана с ее потерями в механических звеньях. Причина – трение в подшипниках, направляющих, зубчатых зацеплениях и т.п. Потери энергии покрываются двигателем при прямом потоке энергии и рабочим органом при обратном потоке.

1.1.1. Моменты, действующие в электроприводе

Допустим, что механическая система состоит из абсолютно жестких элементов и не содержит воздушных зазоров. Тогда движение одного элемента дает полную информацию о движении всех остальных, и движение системы можно рассматривать на этом элементе. Обычно за такой элемент берут двигатель. На механическую систему воздействует электромагнитный момент двигателя ($M$) и суммарный, приведенный к валу двигателя момент сопротивления – статический момент ($M_с$), включающий момент сопротивления механизма и момент от всех механических потерь в системе, в том числе и от механических потерь в двигателе.

Моменты можно разделить условно на три категории:

Реактивный момент, его еще называют моментом сухого трения – это момент от сжатия аморфных тел, трения, резания и т.п., характеризующий переход от состояния покоя к движению и изменяющий свой знак при изменении направления движения привода. Формально момент сухого трения описывается выражением

(1.1)

$M_{ст} = M_0 \sign ω$

где $M_0$ – модуль момента сухого трения, ω – скорость вращения. При линейном перемещении элементов привода вместо скорости вращения ω в выражение (1.1) необходимо подставлять скорость линейного движения ($V$).

Демпферный момент, его называют также моментом вязкого трения – это момент от перемещения тела в среде жидкости. Он пропорционален скорости вращения или линейного перемещения и изменяет свой знак при изменении направления движения. Формально он описывается выражением


(1.2)

$M_{вт} = k_{вт} ω$           png-file, 507B

где $k_{вт}$ – коэффициент вязкого трения (коэффициент демпфирования).

Активный момент – это момент от силы тяжести. В статике – от растянутых, сжатых и скрученных упругих тел. Его знак не меняется при изменении направления движения, а модуль может быть как зависимым (при скручивании и сжатии упругих тел), так и независимым от угла поворота или величины линейного перемещения (действие силы тяжести).

Реальные моменты, воздействующие на привод, чаще всего содержат все перечисленные составляющие, поэтому при их формальном описании используют приближенные аппроксимирующие зависимости, например, вида

(1.3)

$M_с = M_0 \sign ω + (M_н - M_0) (ω / ω_н)^s$,

где $M_н$, $ω_н$ – соответственно номинальные момент и скорость рабочего органа, $s$ – показатель степени, определяющий характер изменения его момента при изменении скорости. Например, при $s=0$ момент не зависит от скорости, т.е. остается постоянным, при $s=-1$ с ростом скорости момент уменьшается так, что мощность на валу остается неизменной, а при $s=2$ с ростом скорости момент растет пропорционально ее квадрату и такую нагрузку называют вентиляторной.

1.1.2. Механические характеристики элементов привода

Для представления связи механических координат (скорости и момента) в аналитической или графической форме вводится понятие механической характеристики, которая существует как для рабочего органа, так и для двигателя и представляет собой зависимость между моментом и скоростью. Формально она подставляется в виде зависимости $M=f(ω)$ для двигателя и $M_с=F(ω)$ для рабочего органа. Механические характеристики могут быть представлены и обратными зависимостями. Причем, для рабочего органа чаще всего независимой переменной является скорость, поэтому здесь целесообразно представлять характеристику в виде зависимости момента от скорости, а для двигателя лучше использовать обратные зависимости $ω = f_1(M)$, так как здесь чаще независимой переменной является момент. Хотя в зависимости от решаемых задач используется и та и другая форма записи.

В электроприводе в первую очередь вызывает интерес точка установившегося режима, т.е. значение скорости $ω_с$, при которой выполняется равенство $M=M_с$. Значение момента и скорости в установившемся режиме легко определить графически точкой пересечения механических характеристик двигателя и рабочего органа, если за отрицательное направление $M_с$ взять положительное направление $M$. Например, на рис. 1.2 кривая 1 представляет собой зависимость $ω = F(M_с)$, кривая 3 – зависимость $ω = F(–M_с)$, а кривая 2 – зависимость $ω = f(M)$. Установившийся режим определяется точкой пересечения кривых 2 и 3. В дальнейшем при изображении механических характеристик рабочего органа на одной плоскости с механическими характеристиками двигателя мы всегда будем брать $M_с$ с обратным знаком.

Для оценки формы механических характеристик вводится понятие их жесткости. Жесткость механической характеристики определяется соотношением

$β = ∂M/∂ω$.

Если механическая характеристика двигателя или рабочего органа линейна, то ее жесткость во всей области существования постоянна. Для нелинейной характеристики в каждой точке жесткость различна.

png-file, 12 KB

Рис. 1.2. К определению установившегося режима

Жесткость может быть положительной (кривая 3, рис. 1.2.) и отрицательной (кривая 2, рис. 1.2). Существует понятие абсолютно жесткой $β = ∞$ и абсолютно мягкой $β = 0$ характеристик. Первая параллельна оси абсцисс, а вторая – оси ординат.

Примечание: Любую линейную взаимосвязь принято обозначать строчной буквой $f$, а нелинейную – заглавной – $F$.

1.1.3. Приведение моментов и сил

Предположим, что мы имеем электропривод, состоящий из двигателя, редуктора с передаточным отношением $q$ и коэффициентом полезного действия η и рабочего органа, который совершает либо вращательное – со скоростью $ω_{ро}$, либо поступательное – со скоростью $V_{ро}$, движение. На рабочий орган действует соответственно, либо момент $M_{ро}$, либо сила $F_{ро}$ (рис. 1.3). Необходимо определить для каждого случая, какой момент действует при этом на вал двигателя. Такая операция называется приведением моментов и сил к валу двигателя.

Для решения задачи воспользуемся уравнением баланса мощностей, которое при прямом потоке энергии имеет вид:

(1.4)

$P_с = P_{ро} + P_п$

где $P_с$ – мощность на валу двигателя (в статике), $P_{ро}$ – мощность на валу рабочего органа, $P_п$ – потери в редукторе. Отсюда

(1.5)

$P_с = P_{ро} / η$

где

$η = P_{ро} / P_с$.

png-file, 12 KB

Рис. 1.3. К приведению статических моментов и сил

При вращательном движении мощности выражаются через момент и скорость соотношениями:

$P_с = M ω$,   $P_{ро} = M_{ро} ω_{ро}$,

при поступательном движении

$P_{ро} = F_{ро} V_{ро}$.

Подставим последние выражения для мощностей в уравнение (1.5) и получим:

при вращательном движении

(1.6)

$M ω = M_{ро} ω_{ро} / η$,

при поступательном движении

(1.7)

$M ω = F_{ро} V_{ро} / η$.

Разделим обе части последних уравнений на ω и получим искомые соотношения для приведения моментов и сил при прямом потоке энергии:

при вращательном движении

(1.8)

$M = M_{ро} / (q η)$,

при поступательном движении

(1.9)

$M = F_{ро} ρ / η$,

где $q = ω / ω_{ро}$, как мы уже отмечали, передаточное отношение редуктора, а

(1.10)

$ρ = V_{ро} / ω$

радиус приведения нагрузки. $1/ρ$ – коэффициент редукции обратимого преобразователя вращательного движения в поступательное.

При обратном потоке энергии от нагрузки к двигателю баланс мощностей записывается выражением

$P_с = P_{ро} - P_п$.

Отсюда

(1.11)

$P_с = P_{ро} η$.

Подставляя в (1.11) мощности, выраженные через моменты и раскрывая моменты согласно (1.6) и (1.7), получим уравнения для приведения моментов и сил при обратном потоке энергии:

при вращательном движении

(1.12)

$M = M_{ро} η / q$,

при поступательном движении

(1.13)

$M = F_{ро} ρ η$.

1.1.4. Приведение инерционных масс

Предположим, что электропривод состоит из двигателя, нескольких редукторов и рабочих органов. В связи с этим он содержит $j$ элементов, движущихся поступательно, и $k$ элементов, включая элементы редукторов, движущихся вращательно. Задача заключается в том, чтобы определить момент инерции некоторой маховой массы, установленной непосредственно на валу двигателя, эквивалентной воздействию всех фактических инерционных масс, движущихся линейно или вращательно. Операция нахождения указанной эквивалентной маховой массы называется приведением инерционных и маховых масс к валу двигателя.

Условием приведения является равенство суммарной кинетической энергии всех исходных движущихся масс и кинетической энергии эквивалентной маховой массы. Учитывая, что для вращающихся тел кинетическая энергия определяется выражением $W_k=Jω^2/2$, а для движущихся линейно $W_j=mV^2/2$, условие равенства кинетических энергий запишется уравнением:

png-file, 12 KB

Разделив обе части последнего уравнения на $ω^2/2$, получим:

(1.14)

png-file, 12 KB

Из (1.14) нетрудно получить уравнения для приведения одной вращающейся массы

(1.15)

$J_{пр} = J_{ро} / q^2$,

и одной движущейся линейно массы

(1.16)

$J_{пр} = m_{ро} ρ^2$.

Иногда возникает задача приведения маховой массы двигателя к валу рабочего органа. В этом случае по аналогии получим

(1.17)

$J_{пр} = J_{дв} q^2$.

1.1.5. Уравнение движения привода

При изучении движения привода возникает необходимость в определении различных механических величин – пути, угла поворота, скорости и ускорения, а также моментов и сил, вызывающих движение и определяющих его характер. Обычно при этом одно направление движения принимают положительным. Движение привода определяется действием двух моментов: момента, развиваемого электродвигателем и момента сопротивления – реактивного или активного.

В соответствии с основным законом механики для вращающегося тела векторная сумма моментов, действующих относительно оси вращения, равна производной момента количества движения:

png-file, 12 KB

В задачах электропривода последнее уравнение чаще всего используют для анализа движения ротора двигателя с учетом приведенных маховых масс, моментов и сил. Если режим работы привода двигательный, то момент сопротивления действует навстречу моменту двигателя. В результате уравнение движения ротора запишется в виде

(1.18)

$J dω/dt = M - M_с$.

i010_032.png, 793B             

В этом уравнении силы являются алгебраическими, а не векторными величинами, поскольку оба момента действуют относительно одной и той же оси. Левую часть уравнения называют динамическим моментом:

(1.19 а)

$M_{дин} = J dω/dt$.

Из уравнения (1.19) следует, что направление $M_{дин}$ совпадает с направлением ускорения. В зависимости от знака динамического момента различаются следующие режимы работы привода.

  1. $M_{дин} \gt 0$, т.е. $dω/dt \gt 0$ при $ω \gt 0$ разбег; при $ω \lt 0$ – торможение.
  2. $M_{дин} \lt 0$, т.е. $dω/dt \lt 0$ при $ω \lt 0$ разбег; при $ω \gt 0$ – торможение.
  3. $M_{дин}=0$, т.е. $dω/dt=0$: установившийся режим, т.е. $ω=\const$.

Момент двигателя не является постоянной величиной, а представляет функцию одной или нескольких переменных. Момент сопротивления также является функцией скорости, пути или времени. Подстановка этих функций в уравнение (1.18) приводит в общем случае к нелинейному дифференциальному уравнению движения.

Уравнение (1.18) в дифференциальной форме справедливо для постоянного радиуса вращающейся массы. В некоторых случаях он переменный (меняется $J$), например, в кривошипно-шатунных механизмах, некоторых манипуляторах и т.д. В этом случае можно воспользоваться интегральной формой записи уравнения движения. Такое уравнение получим, исходя из условия баланса кинетической энергии в системе:

$_0^t∫ P dt = J ω^2 / 2 - J_н ω_н^2 / 2$,

где $Jω^2/2$ – запас кинетической энергии привода в рассматриваемый момент времени, $J_н ω_н^2/2$ – начальный запас кинетической энергии привода.

Дифференцируя уравнение баланса по времени с учетом того, что момент инерции является функцией угла поворота, получим:

$P_{дин} = ω^2 / 2 × dJ/dφ × dφ/dt + J ω × dω/dt$.

Так как $P_{дин}=M_{дин}ω$, то, принимая за аргумент угол поворота, получим уравнение движения в форме

(1.19 б)

$M_{дин} = ω^2 / 2 × dJ/dφ + J ω × dω/dφ$.

1.1.6. Устойчивость установившегося режима

Установившийся режим характеризуется состоянием равновесия системы двигатель – нагрузка относительно координаты ω. Как и всякое состояние равновесия, установившийся режим может быть устойчивым и неустойчивым. Известно, что критерием статической устойчивости системы является условие возникновения усилия, стремящегося при выведении системы из состояния равновесия вернуть ее в это состояние. Чтобы сформулировать условие статической устойчивости электропривода рассмотрим электромеханическую систему, состоящую из двигателя и рабочей машины, механические характеристики которых представлены на рис. 1.4.а. При этом характеристика двигателя 1 имеет отрицательную жесткость ($β \lt 0$), а характеристика рабочего органа (рабочей машины) абсолютно мягкая $β_с = 0$.

png-file, 12 KB

Рис. 1.4. К определению статической устойчивости

В точке установившегося режима 1 привод имеет следующие координаты:

$M = M_с$,   $ω = ω_с$

Если внешним принудительным воздействием переместить рабочую точку привода из равновесного положения 1 в положение 2, мы получим отклонение скорости и момента:

$Δω = ω_2 - ω_с$,   $ΔM = M_2 - M_с$

где $ω_2$, $M_2$ – соответственно скорость и момент в новой рабочей точке привода. Согласно рис. 1.4.а имеем $Δω \gt 0$, $ΔM \lt 0$, т.е. в новой рабочей точке скорость возросла, а момент уменьшился. Если теперь внешнее воздействие убрать, то под действием отрицательного динамического момента $ΔM \lt 0$, как показано в предыдущем параграфе, привод получит отрицательное ускорение, т.е. будет замедлять скорость и рабочая точка переместится из 2 в 1. Таким образом, после снятия внешнего воздействия привод возвратится в состояние равновесия. Тоже можно показать, если принудительно перемесить рабочую точку в положение 3.

Теперь предположим, что в той же системе двигатель имеет характеристику 2 с положительной жесткостью ($β \gt 0$), рис. 1.4.б. Нетрудно показать, что в этом случае при принудительном перемещении рабочей точки из равновесного положения 1 в положение 2, привод не может вернуться в точку равновесия 1 (после снятия воздействия), так как динамический момент, возникший в результате выведения системы из равновесия ($ΔM \gt 0$), будет ускорять привод, т.е. способствовать дальнейшему увеличению скорости. Можно отметить, что в первом случае приращение момента и приращение скорости имели противоположный знак, а во втором – одинаковый.

Из этих двух примеров можно заключить, что необходимым и достаточным условием обеспечения устойчивости установившихся режимов является противоположность знаков приращения скорости и приращения момента, возникающих в результате принудительного выведения системы из состояния равновесия. Формально это условие запишется выражением

(1.20)

$β - β_с \lt 0$

Если момент сопротивления рабочего органа не зависит от скорости ($β_с=0$), то статическая устойчивость полностью определяется видом механической характеристики двигателя и условие устойчивости записывается выражением

(1.21)

$β \lt 0$

Если механические характеристики двигателя и рабочего органа линейны, устойчивость установившегося режима достаточно проверить по выражению (1.20) в одной точке. В противном случае, например, в приводах с асинхронными двигателями устойчивость необходимо проверять во всей области существования характеристик.

1.1.7. Учет потерь в передачах

При выводе уравнений приведения моментов и уравнений движения мы учитывали потери в редукторе либо через к.п.д., либо вообще не учитывали. Однако это часто приводит к ошибкам в расчетах, особенно в области малых статических нагрузок или при больших, до нескольких десятков тысяч, передаточных отношениях редуктора, когда потери на трение в нем составляют основную часть нагрузки.

Для уточненного определения момента сопротивления на валу двигателя в статическом режиме и для уточнения уравнений движения привода в динамическом режиме с учетом трения в редукторе рассмотрим механическую модель привода, представленную на рис. 1.5, состоящую из двигателя, редуктора и рабочего органа. При этом возможны два направления потока энергии: прямое направление от двигателя к рабочему органу (двигательный режим) и обратное направление от рабочего органа к двигателю (тормозной режим).

Статические режимы

Сначала предположим, что динамические моменты в приводе равны нулю. Тогда для модели, представленной на рис. 1.5, справедливо следующее уравнение баланса мощностей:

$P_с = P_{ро} ± P_{тр}$,

где: $P_с = M_с ω_1$ – статическая мощность, развиваемая двигателем, $P_{ро}=M_{пол}ω_2$ – мощность, развиваемая рабочим органом, $P_{тр}=M_{тр}ω_1$ – мощность потерь в редукторе, $M_с$ – момент сопротивления на валу двигателя, $M_{пол}$ – полезный момент на рабочем органе, $M_{тр}$ – момент трения в редукторе, $ω_1$ – скорость вращения двигателя, $ω_2$ – скорость вращения рабочего органа, знак (+) ставится при прямом потоке энергии, а знак (–) – при обратном потоке.

Раскроем мощности в соответствии с приведенными выражениями и разделим обе части уравнения баланса мощностей на $ω_1$ и получим:

(1.22)

$M_с = M_{пол} / q ± M_{тр}$.

png-file, 12 KB

Рис. 1.5. Механическая модель электропривода

В общем случае $M_{тр}$ является сложной функцией, как угловой скорости, так и передаваемого момента. Его величина меняется при переходе от состояния покоя к движению. Рассчитать $M_{тр}$ теоретически затруднительно, так как он зависит от конструкции, кинематической схемы и условий эксплуатации. С ростом передаваемого момента растет и момент трения. Поэтому условно примем, что $M_{тр}$ линейно зависит от передаваемого через редуктор момента и определяется выражением

(1.23)

$M_{тр} = M_{тро} + c M_п$

где $M_п$ – момент, передаваемый через редуктор, $M_{тро}$ – момент трогания редуктора (момент сухого трения), $c$ – конструктивный коэффициент, определяющий зависимость трения в редукторе от величины передаваемого момента. В статическом режиме передаваемый момент для прямого потока энергии определяется выражением

(1.24)

$M_п = M_{пол}$

Подставим $M_п$ из (1.24) в (1.23), а полученное значение $M_{тр}$ в (1.22). После преобразований получим общее уравнение для приведения моментов с учетом потерь в передаче при прямом потоке энергии в статическом режиме:

(1.25)

$M_с^* = M_{пол} (1 + c) / q + M_{тро}$.

Для обратного потока энергии согласно рис. 1.5:

(1.26)

$M_п = M_с$.

Подставляя (1.26) в (1.23), а затем результат в (1.22), после преобразования получим общее уравнение для приведения моментов с учетом потерь в передаче при обратном потоке энергии

(1.27)

$M_с^{**} = (M_{пол} / q - M_{тро}) / (1 + c)$.

Динамические режимы

Теперь рассмотрим динамический режим работы привода. В переходных процессах передаваемый через редуктор момент зависит еще и от динамических моментов, поэтому будет иметь две составляющие: статическую, определяемую полезным моментом, и динамическую, определяемую динамическим моментом, т.е. передаваемый момент при прямом потоке энергии:

(1.28)

$M_п = M_{пол} + J_2 dω_2/dt$,

где $J_2$ – момент инерции вращающихся частей рабочего органа, $ω_2$ – скорость вращения рабочего органа.

Подставим $M_п$ из (1.28) в (1.22) и получим

$M_{тр} = M_{тро} + c M_{пол} + c J_2 × dω_2/dt$.

Подставим полученное значение $M_{тр}$ в (1.22) со знаком (+) и найдем значение момента сопротивления, действующее на двигатель в динамическом режиме

(1.29)

$M_с = M_{пол} / q + M_{тро} + c M_{пол} + c J_2 × dω_2/dt$.

Перепишем уравнение движения привода (1.18), приведя маховые массы к валу двигателя в соответствии с описанным выше правилом приведения

(1.30)

$M - M_с = (J_1 + J_2 / q^2) × dω_1/dt$.

Подставим в полученное уравнение движения $M_с$ из (1.29) и после преобразований получим уравнение движения привода с учетом потерь в передаче при прямом потоке энергии:

(1.31)

$M - M_{тро} - M_{пол} (1 + c q) / q = (J_1 + J_2 (1 + c q) / q^2) × dω_1/dt$.

Для обратного потока энергии момент двигателя и динамический момент направлены навстречу друг другу, поэтому передаваемый момент записывается выражением

(1.32)

$M_п = M - J_1 dω_1/dt$.

Подставим $M_п$ из (1.32) в (1.23) и получим

$M_{тр} = M_{тро} + c M - c J_1 dω_1/dt$.

Подставим полученное значение $M_{тр}$ в (1.22) со знаком (–) и найдем значение $M_с$, действующее на двигатель в динамическом режиме при обратном потоке энергии:

(1.33)

$M_с = M_{пол} / q - c M - M_{тро} + c J_1 × dω_1/dt$.

Полученное значение $M_с$ подставим в уравнение движения (1.30) и после преобразований получим уравнение движения привода с учетом потерь в передаче при обратном потоке энергии:

(1.34)

$M - (M_{пол} + M_{тро}) / ((1 + c) q) = (J_1 + J_2 / (q^2(1 + c))) × dω_1/dt$.

Уравнения (1.31) и (1.34) позволяют учесть влияние редуктора на дифференциальные уравнения движения. Очевидно, что чем больше $M_{тро}$ и $c$, тем больше это влияние. И наоборот, если указанные параметры стремятся к нулю, то выражения (1.31) и (1.34) вырождаются в (1.18).

1.1.8. Учет упругости передач

Все звенья привода, находящиеся под воздействием механических усилий, деформируются. Без деформации вообще нет передачи усилия. Согласно закону Гука возникающие в упругом элементе усилия $F_у$ или моменты $M_у$ пропорциональны соответственно линейной ($Δl$) и угловой ($Δφ$) деформации:

$F_у = C Δl$,   $M_у = C Δφ$.

Коэффициент пропорциональности $C$ называют коэффициентом жесткости. Он зависит от площади поперечного сечения стержня или вала, от его длины и модуля упругости. Чем больше коэффициент жесткости, тем жестче механическая часть и меньшие деформации возникают в ней. Когда коэффициент жесткости мал, деформации существенно изменяют характер движения привода.

Коэффициент жесткости также приводится к валу двигателя (подобно статическим усилим и моментам): $C_{пр}=C·ρ^2$ – при растяжении и сжатии, $C_{пр}=C/q^2$ – при кручении. Маховые массы, разделенные упругим элементом, приводятся согласно уже полученному выражению (1.14). В результате все маховые массы привода сводятся к двум, одна из которых жестко связана с двигателем и обладает моментом инерции $J_1$, а вторая – $J_2$ отделена от двигателя упругим элементом. Тогда механическая часть привода представляется двухмассовой системой (рис. 1.6.)

png-file, 12 KB

Рис. 1.6. Механическая модель двухмассового привода с упругостью

png-file, 12 KB

Рис. 1.7. Схема замещения двухмассового привода с упругостью

Для математического описания движения такой системы упругий элемент мысленно разрезают, а к маховым массам прикладывают равный и противоположно направленный момент, возникающий в упругом элементе. Причем, как видно из рис. 1.6, на двигатель, находящийся слева от упругого элемента, $M_у$ действует со знаком (–), а на остальную часть привода, находящуюся справа от упругого элемента, $M_у$ действует со знаком (+). Тогда, принимая во внимание уравнение (1.18), уравнения движения для обеих частей привода с учетом упругости можно записать в виде

(1.35)

$M - M_у = J_1 dω_1/dt$,

(1.36)

$M_у - M_с = J_2 dω_2/dt$

где

(1.37)

$M_у = C Δφ = C (φ_1 - φ_2)$,

$ω_1=dφ_1/dt$, $φ_1$ – угол поворота вала до упругого элемента,
$ω_2=dφ_2/dt$, $φ_2$ – угол поворота вала после упругого элемента.

На вал двигателя и вал рабочего органа, кроме моментов от упругого элемента и момента сопротивления, могут действовать также моменты вязкого трения, обусловленные, например, вязким трением в редукторе. В упругом элементе при переменных деформациях из-за явления гистерезиса возникают дополнительные потери, которые можно рассматривать как потери на вязкое трение внутри упругого элемента. Приближенно можно принять для моментов вязкого трения следующие зависимости на валу двигателя и рабочего органа соответственно:

(1.38)

$M_{вт1} = β_1 ω_1$,   $M_{вт2} = β_2 ω_2$,

а в упругом элементе:

(1.39)

$M_{вт} = β (ω_1 - ω_2)$.

И для того, чтобы учесть в модели механической части привода все возможные моменты, предположим, что как на двигатель, так и на рабочий орган действует момент сухого трения. В двигателе этот момент обусловлен, например, потерями в стали, а в рабочем органе – характером нагрузки. Моменты сухого трения запишем выражениями для двигателя и рабочего органа соответственно:

(1.40)

$M_{ст1} = M_{01} \sign ω_1$,   $M_{ст2} = M_{02} \sign ω_2$.

С учетом моментов вязкого и сухого трения система уравнений, описывающая движения привода получит вид:

(1.41 а)

$M - M_у - β (ω_1 - ω_2) - β_1 ω_1 - M_{01} \sign ω_1 = J_1 × dω_1/dt$,

(1.41 б)

$M_у + β (ω_1 - ω_2) - β_2 ω_2 - M_{02} \sign ω_2 - M_с = J_2 × dω_2/dt$.

Выше мы отмечали, что в передаточном механизме привода возможно наличие зазора. Уравнения (1.41.а), (1.41.б) справедливы, когда зазор выбран и маховые массы, связанные с упругим элементом, движутся совместно. Более точно при отсчете разности углов от середины зазора уравнения (1.37) и (1.39) можно записать в виде

(1.42)

$M_у = C (φ_1 - φ_2 - δ_m / 2)$

(1.43)

$M_{вт} = β (ω_1 - ω_2)$,

при $|φ_1-φ_2| ≤ δ_m/2$, где $δ_m$ – приведенный к валу двигателя зазор в передаточном механизме. Если это условие выполняется, то

$M_у = M_{вт} = 0$.

Следовательно, если зазор не выбран, система уравнений (1.41) запишется в виде

(1.44 а)

$M - β_1 ω_1 - M_{01} \sign ω_1 = J_1 × dω_1/dt$,

(1.44 б)

$-M_с - β_2 ω_2 - M_{02} \sign ω_2 = J_2 × dω_2/dt$.

На основании системы уравнений (1.41) составлена структурная схема механической части привода как динамической системы (рис. 1.8), где зазор в передаточном механизме представлен типовой нелинейностью типа звена с зоной нечувствительности, а сухое трение – идеальным реле.

png-file, 12 KB

Рис. 1.8. Структурная схема механической части привода

1.2. Динамические возможности электропривода

1.2.1. Способы задания требуемых динамических свойств

Первичный источник питания, преобразователь напряжения, от которого питается двигатель, сам двигатель и редуктор, как мы отмечали, образуют энергетический канал электропривода, который, в конечном счете, определяет его динамические возможности. Действительно, в теории автоматического управления существуют методы, направленные на рационализацию структуры и параметров канала управления, позволяющие скомпенсировать влияние постоянных времени и нелинейностей статических характеристик элементов этого канала, увеличить быстродействие привода, полосу воспроизведения частот и т.д. Однако никакие мероприятия со стороны канала управления не позволят обеспечить заданные динамические свойства привода, например, перемещение рабочего органа на заданный угол за заданное время, если это перемещение физически не в состоянии воспроизвести энергетический канал. Следовательно, динамические возможности электропривода определяются, прежде всего, динамическими возможностями энергетического канала, а поскольку механическая часть привода составляет его основу, то и динамическими возможностями механической части. Для того чтобы правильно выбрать параметры механической части привода из условия обеспечения заданных динамических свойств, рассмотрим, в каком виде могут быть сформулированы технические требования к приводу с точки зрения динамики.

  1. Например, может быть задан угол $φ_0$, на который должен повернуться рабочий орган (осуществляя перемещение из одного неподвижного положения в другое) за время $t_0$. В таком виде требования формулируются для электропривода рулевых машин, манипуляторов и т.д.
  2. Может быть задана скорость вращения рабочего органа $ω_0$ и угол $φ_0$, на который он должен повернуться за время полного торможения или разгона до заданной скорости. В таком виде требования могут быть сформулированы для привода сканера компьютерного томографа, в приводе звукозаписывающей или воспроизводящей аппаратуры и др. Пример технического задания – спроектировать рекуперативный привод электропоезда способный затормозить состав, имеющий начальную скорость, менее чем за единицу пути.
  3. Может быть задана скорость вращения рабочего органа $ω_0$ и время $t_0$, в течение которого он должен до заданной скорости разогнаться. Так требования могут быть сформулированы для электроприводов ротора гироскопа и некоторых исполнительных механизмов. Пример технического задания – спроектировать привод способный разогнать электромобиль до скорости 100 км/ч. менее чем за единицу времени.
  4. Наконец, может быть задана частота Ω и амплитуда угловых колебаний рабочего органа $φ_а$. Это, как правило, электроприводы следящих систем и других систем автоматического управления.

Первый способ формирования технических требований базовый и рассматривается в особом порядке. Но все способы формулирования технических требований, по существу, могут быть сведены к заданию максимального ускорения, которое должен обеспечить привод. Нетрудно показать, что для первого способа требуемое ускорение рабочего органа определяется выражением

(1.xx)

$ε_0 = 4 φ_0 / t_0^2$,

для второго способа

(1.45)

$ε_0 = ω_0^2 / (2 φ_0)$,

для третьего способа

(1.46)

$ε_0 = ω_0 / t_0$,

для четвертого способа

(1.47)

$ε_0 = Ω^2 φ_а$.

В выражениях (1.45), (1.46) и (1.47) из всего разнообразия сочетаний частот и углов необходимо выбирать те, которые дают максимальные значения требуемого ускорения.

Таким образом, при выборе параметров механической части привода из условия обеспечения заданных динамических свойств можно руководствоваться двумя способами задания: отработка заданного угла за заданное время; обеспечение заданного ускорения. Все другие требования по динамике должны при этом выполняться автоматически.

1.2.2. Выбор параметров механической части привода из условия отработки заданного угла за заданное время

Под параметрами механической части мы будем понимать параметры рассмотренных ранее элементов электропривода как механической системы. Причем часть из них: номинальный момент инерции рабочего органа ($J_н$) и номинальный момент сопротивления на валу рабочего органа ($M_{сн}$) (полезный момент), – рассматриваются как исходные данные; а момент двигателя $M$, момент инерции ротора двигателя $J_{дв}$, передаточное отношение редуктора $q$ и его к.п.д. – подлежат определению или выбираются из условия обеспечения заданных динамических свойств. При этом во внимание принимается только физическая реализуемость требуемой динамики. Ограничения, обусловленные тепловыми режимами, будут рассмотрены ниже. Кроме того, предполагается, что первичный источник питания неограничен по мощности, и влияние преобразователя напряжения на характеристики последнего не учитывается. Как учесть это влияние также будет показано позже.

Определение требуемого момента двигателя при известных прочих параметрах механической части привода

Предположим, что как у двигателя, так и у рабочего органа механические характеристики абсолютно мягкие, т.е. $M(ω)=M=\const$ и $M_{сн}(ω)=M_{сн}=\const$. Тогда максимальное быстродействие при отработке угла привод может обеспечить только при реализации старт-стопного управления в соответствии с временной диаграммой рис. 1.8, т.е. в течение времени $t_1$ двигатель развивает положительный момент и разгоняется, а в течение времени $t_2=t_0–t_1$ – отрицательный момент ($-M$), двигатель тормозится. Причем длительность временных интервалов $t_1$ и $t_2$ и их соотношение выбираются так, чтобы в момент времени $t=t_0$ скорость стала равной нулю, а угол поворота достиг значения $φ=φ_0$. Такой способ управления является оптимальным с точки зрения быстродействия. Для обоих временных интервалов справедливо уравнение движения (1.18), где

(1.48)

$J = J_{дв} + J_н / q^2$,

(1.49)

$M_с = M_{сн} / (η q)$.

Момент двигателя при прямом включении (разгоне) $+M$, и при обратном включении (торможении) $-M$.

png-file, 12 KB

Рис. 1.8. Диаграмма движения привода при старт-стопном управлении

Тогда скорость двигателя при разгоне и торможении определяется выражениями

(1.50)

$ω_1(t) = ε_1 t$,

(1.51)

$ω_2(t) = ε_1 t_1 + ε_2 t$,

где

(1.52)
 

$ε_1 = (M - M_с) / J$,
$ε_2 = (-M - M_с) / J$,

и, как отмечалось, к концу цикла должны выполняться условия:

(1.53)

png-file, 12 KB

(1.54)

$ω(t_0) = ε_1 t_1 + ε_2 t_2 = 0$.

Решая систему уравнений (1.53), (1.54) и раскрывая $ε_1$, $ε_2$ согласно (1.52), мы получаем зависимости:

(1.55)

$φ_0 = (1 - μ^2) M t_0^2 / (4 J q)$,

(1.56)
 

$t_1 = (1 + μ) · t_0 / 2$,
$t_2 = (1 - μ) · t_0 / 2$,

(1.57)

$μ = M_с / M$.

Из уравнения (1.55) с учетом (1.48), (1.49) и (1.56) получим требуемое значение момента:

(1.58)

png-file, 12 KB

Если в техническом задании указано несколько сочетаний $φ_0$, $t_0$, то для определения момента необходимо выбирать сочетание, соответствующее его максимальному значению.

Комплексное определение параметров механической части

Выражение (1.58) удобно использовать для поверочного расчета момента. Для выбора двигателя оно не годится, так как в него входит неизвестный момент инерции ротора еще не выбранного двигателя. Из этого же выражения видно, что все, подлежащие выбору или расчету параметры – $M$, $J_{дв}$ и $q$ взаимосвязаны, поэтому выбор надо осуществлять комплексно. Оптимальное передаточное отношение редуктора найдем из условия отработки угла при минимальном моменте двигателя известным способом поиска экстремума функции, т.е. из уравнения

(1.59)

$∂M/∂q = 0$.

Если подставить в это уравнение $M$ из (1.58), то получим громоздкое выражение, которое сложно разрешить относительно $q$. Поэтому попробуем найти хотя и не строгое, но простое и достаточно точное выражение.

Для этого перепишем уравнение (1.55) в виде

(1.60)

png-file, 12 KB

Разрешим уравнение (1.60) относительно $M$:

(1.61)

$M = 4 φ_0 / t_0^2 · q (J_{дв} + J_н / (q^2 η)) + μ · M_{сн} / (η q)$ .

Полученное выражение момента содержит $M$ в обеих частях уравнения, так как $μ$ является функцией $M$. Однако на первом этапе выбора параметров, учитывая, что в динамических режимах всегда $μ \lt \lt 1$, можно задаться его предварительным значением, например, $μ = 0.1$, так же, как и некоторым значением к.п.д. редуктора, например, $η = 0.9$. В последующем предварительные значения относительного момента и к.п.д. редуктора могут быть уточнены. Подставим в (1.59) $M$ из (1.61), продифференцируем и решим уравнение относительно $q$. В результате получим:

(1.62)

png-file, 12 KB

Назовем параметр, характеризующий динамические свойства двигателя добротностью, определив ее соотношением

(1.63)

png-file, 12 KB

Физически добротность представляет собой удельную силу, обеспечивающую ускорение ротора.

Подставим $q_{опт}$ из (1.62) в (1.58) и разделим обе части полученного уравнения на png-file, 12 KB В результате получим выражение для определения, требуемого из условия отработки заданного угла за заданное время значения добротности:

(1.64)

png-file, 12 KB

Выбрав двигатель по добротности, необходимо проверить, обеспечит ли он максимальную требуемую для отработки угла мощность, которую можно определить из соотношения

$P_{max} = M ω_{max}$,

где $ω_{max}$ – максимальное значение скорости, которую развивает двигатель в процессе отработки угла. Из рис. 1.8 имеем

(1.65)

$ω_{max} = q · 2 φ_0 / t_0$.

Принимая во внимание уравнения (1.63), (1.62) и (1.65), получаем:

(1.66)

$P_{тр} = D_{тр} A · 2 φ_0 / t_0$.

По требуемой добротности, мощности и максимальной скорости нетрудно выбрать двигатель. Учитывая, что динамические режимы рассматриваемого вида, как правило, кратковременные, допустима перегрузка двигателя. Коэффициент перегрузки зависит от типа двигателя и общей циклограммы работы привода. При перегрузке, как это будет показано в последующем, уменьшается максимальное значение скорости.

Имея оценку требуемых значений передаточного коэффициента редуктора, выходной скорости и передаваемого момента, выбирают редуктор с некоторым стандартным значением $q = q_{ст}$ и к.п.д. $η = η_{ст}$. При известном моменте двигателя и передаточном отношении редуктора уточняют $μ$, $q_{опт}$ и $D_{тр}$. Если расхождение с предварительными расчетами большое – уточняют расчет, повторно выбирают двигатель и редуктор.

В практических расчетах одного цикла итерации вполне достаточно. Чаще всего достаточно предварительного расчета, так как неточность задания μ и η на конечный результат сказывается незначительно.

1.2.3. Комплексное определение параметров механической части из условия обеспечения заданного ускорения

Из уравнения движения привода (1.18) получим

$ε = dω/dt = (M - M_{сн} / (q η)) / (J_{дв} + J_н / (q^2 η))$.

Приняв во внимание, что ускорение двигателя и ускорение рабочего органа связаны соотношением $ε=ε_0q$ и решая это уравнение относительно $M$, найдем требуемое значение момента двигателя

(1.67)

$M = ε_0 q · (J_н / (q^2 η) + J_{дв}) + M_{сн} / (q η)$.

Оптимальное значение передаточного отношения редуктора, обеспечивающее заданное ускорение при минимальном значении момента определим тем же путем, что и в предыдущем пункте, т.е. из уравнения $∂M/∂q = 0$. В результате получим:

(1.68)

$q_{опт}=(A_1^2/J_{дв})^{1/2}$,   где $A_1^2 = J_н + μ · M_{сн} / (ε_0 η)$.

Подставим $q_{опт}$ из (1.68) в (1.67) и разделим обе части уравнения на png-file, 12 KB. В результате получим требуемую добротность двигателя

(1.69)

$D_{тр} = ε_0 (J_н / (A_1 η) + A_1) + M_{сн} / (A_1 η)$.

Максимальная требуемая мощность двигателя определяется соотношением

(1.70)

$P_{тр} = M · q_{опт} ω_0 = D_{тр} A_1 ω_0$.

Уравнение (1.70) справедливо для второго и третьего способа задания требуемых динамических свойств привода. Для четвертого способа задания, т.е. при заданной максимальной амплитуде и частоте колебаний вала рабочего органа, нетрудно показать, что максимальная мощность определяется соотношением

$P_{max} = M ω_{а~max} / 2$,

где $ω_{а~max} = q · Ω φ_а$ – амплитуда колебаний скорости двигателя. Тогда из условия обеспечения заданных частотных свойств привода требуемая максимальная мощность двигателя будет определяться соотношением

(1.71)

$P_{тр} = D_{тр} A_1 · Ω φ_а / 2$.

1.2.4. Упрощенные соотношения для приближенного выбора параметров механической части привода

Рабочие файлы: [Модели механической части привода]

Упрощенные соотношения просто вывести из полученных выше более точных выражений, если пренебречь моментом статическим на валу рабочего органа, что, как мы уже отмечали, часто допустимо. В этом случае для всех способов задания требуемых динамических свойств получим

(1.72)

$q_{опт}≈(J_н/J_{дв})^{1/2}$ .

Требуемую добротность определим из уравнений (1.64) и (1.69) при $M_с = 0$, раскрывая $ε_0$ согласно (1.45) – (1.47). В результате получим:

при заданных $φ_0$ и $t_0$

(1.73)

png-file, 12 KB

при заданных $φ_0$ и $ω_0$

(1.74)

png-file, 12 KB

при заданных $ω_0$ и $t_0$

(1.75)

png-file, 12 KB

при заданных $φ_а$ и $Ω$

(1.76)

png-file, 12 KB

Требуемую максимальную мощность определим в соответствии с выражениями (1.66), (1.70) и (1.71), где $D_{тр}$ выразим согласно (1.73), (1.74) – (1.76) и примем png-file, 12 KB В результате получим:

при заданных $φ_0$ и $t_0$

(1.77)

$P_{тр} = 16 J_н φ_0^2 / t_0^3$;

при заданных $φ_0$ и $ω_0$

(1.78)

$P_{тр} = ω_0^3 J_н / φ_0$;

при заданных $ω_0$ и $t_0$

(1.79)

$P_{тр} = 2 J_н ω_0^2 / t_0$;

при заданных $φ_а$ и $Ω$

(1.80)

$P_{тр} = Ω^3 φ_а^2 J_н$.

Приближенные соотношения удобны тем, что позволяют быстро найти область определения оптимальных значений параметров для их последующего уточнения, например, путем математического моделирования динамических режимов привода.