6.11. Практическое занятие № 11
Анализ переходных процессов в цепях постоянного тока классическим методом

6.11.1. Вопросы для подготовки к занятиям

  1. Объяснить причины возникновения переходных процессов в электрических цепях.
  2. Сформулировать первый и второй законы коммутации и объяснить их физический смысл.
  3. Что такое "постоянная времени" и что она характеризует?
  4. В чем заключается классический метод анализа переходных процессов?
  5. Как можно получить дифференциальное уравнение электрического состояния линейной электрической цепи при переходном процессе?
  6. Как можно представить полное решение дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами?
  7. Каков физический смысл принужденной и свободной составляющих решения дифференциального уравнения?
  8. Как определить необходимые для решения дифференциального уравнения начальные условия?
  9. В чем заключается алгоритм расчета переходного процесса классическим способом?

6.11.2. Анализ переходных процессов в цепях с одним и двумя накопителями энергии (реактивными элементами)

Задача 1. Измерение активного сопротивления обмотки трансформатора производится методом амперметра-вольтметра при питании обмотки от источника постоянного напряжения через дополнительный резистор (рис. 5.19). Напряжение U = 100 В. Показания приборов при замкнутом ключе SA: I = 10 А, U = 10 В. Индуктивность обмотки трансформатора L = 100 Гн. Сопротивление вольтметра RV = 5000 Ом. Сопротивление дополнительного резистора RД = 9 Ом.

gif-file, 2KB

Определить:

Решение. До размыкания ключа SA ток в обмотке трансформатора (при условии RV >> R) I = U / (RД + R) и напряжение на обмотке UV = IА R, откуда R = 1 Ом. В момент отключения обмотки согласно 1-му закону коммутации ток обмотки трансформатора и вольтметра iL(0) = i(0) = IA = 10 A. При этом напряжение на вольтметре UV(0) = iV(0) RV = 50 кВ.

Чтобы не повредить вольтметр, надо предусмотреть возможность его отключения прежде, чем будет разомкнут ключ. Поскольку при разомкнутом ключе принужденная составляющая тока равна нулю, ток в цепи определяется только свободной составляющей и уменьшается по экспоненциальному закону от Imax = IA до нуля:

gif-file, 2KB,

что является решением дифференциального уравнения

gif-file, 2KB.

Задача 2. Почему обмотку возбуждения мощной электрической машины при необходимости быстро снять возбуждение не отключают от источника постоянного напряжения, а замыкают на разрядный резистор (рис. 5.20)?

gif-file, 2KB

Ответ. Если просто разомкнуть цепь обмотки возбуждения, то даже при наличии электрической дуги при включении ток очень быстро уменьшается до нуля (скорость уменьшения тока di / dt очень велика). Так как обмотка возбуждения имеет большую индуктивность LВ, в ней возникает весьма значительная э.д.с. самоиндукции eL = -L di / dt, которая может пробить изоляцию на корпус машины или между витками.

Задача 3. Определить емкость С конденсатора из условия, что через время t1 = 20 мс после включения ключа SA (рис. 5.21) напряжение на конденсаторе при заряде его через резистор с сопротивлением R = 3,2 МОм достигает 20 В. Напряжение источника U = 200 В. До подключения конденсатор не был заряжен.

gif-file, 2KB

Решение. Выражение для напряжения на конденсаторе во время переходного процесса имеет вид uC(t) = U0(1 - e-t1/(RC)). Из последнего выражения найдем значение емкости конденсатора С. При t1 = 20 мс, uC(t1) = 20 В. Следовательно, 20 = 200 (1 - e-t1/(RC)) , откуда e-t1/(RC) = 180 / 200 = 0,9. Тогда -t/(RC) = ln 0,9, т.е. t1 = 0,1; RC = 20 мс.

Таким образом, C = 20·103 / (0,1·3,2·106) = 0,062 мкФ. Выражение для тока в цепи запишем в виде

gif-file, 2KB

Подставляя в это выражение значения U0 , R , C и t1, получаем

gif-file, 2KBмкА

Задача 4. Две параллельные ветви подключаются к источнику постоянного напряжения U (рис. 5.22). Определить емкость С конденсатора, при которой сразу после коммутации наступит установившийся режим тока i в неразветвленной части цепи, если L = 0,1 Гн, R1 = R2 = R = 20 Ом.

gif-file, 2KB

Ответ. Чтобы ток i в неразветвленной части цепи оставался постоянным, должно выполняться условие i = i1 + i2 = const. Учитывая, что i1 = U / R e-t/τ1; i2 = U / R (1 - e-t/τ2) можно записать: i = U / R (1 + e-t/τ1 - e-t/τ2) = U / R, т.е. τ1 = τ2, RC = L / R, откуда C = L / R2 = 250 мкФ.

Задача 5. Конденсатор С = 10 мкФ заряжается через резистор, сопротивление которого R = 9 Ом (рис. 5.24), от источника с э.д.с. Е = 100 В и внутренним сопротивлением R0 = 1 Ом (на схеме не показано). Через промежуток времени, равный удвоенной величине постоянной времени цепи зарядки, переключатель П переводится в положение 2. Определить энергию, израсходованную за время зарядки конденсатора.

gif-file, 2KB

Решение. Закон изменения напряжения на конденсаторе в процессе зарядки

uC(t) = E (1 - e-t/τ).

К моменту переключения рубильника напряжение достигает величины

gif-file, 2KB

Закон изменения тока в процессе зарядки конденсатора

gif-file, 2KB.

Энергия, израсходованная в сопротивлении R при зарядке конденсатора:

gif-file, 2KB

gif-file, 2KB

R3 = (R + R0) C = 10-4 C; W1 ≈ 450·10-4Дж

Задача 6. Рассчитаем переходный процесс в разветвленной цепи постоянного тока (рис. 2.23). Исходные данные: Е = 120 В, L = 500 мГн, С = 1 мкФ, R = 200 Ом, uC(0) = 50 В.

Задачу решаем классическим методом. Электрическое состояние цепи после коммутации описывается дифференциальными уравнениями для мгновенных значений на основании 1-го и 2-го законов Кирхгофа:

i = i2 + i3; L di2/dt = i3 R; E = uC + i3 R.

Учитывая, что i = C duC / dt, решаем систему уравнений относительно uC и получаем дифференциальное уравнение второго порядка:

gif-file, 2KB

Решение дифференциального уравнения состоит из принужденной и свободной составляющих:

uC(t) = uCпр(t) + uCсв(t).

Принужденная составляющая напряжения на емкости uCпр(t) = E, так как после окончания переходного процесса в цепи ток не протекает.

Для нахождения свободной составляющей напряжения на емкости uCсв(t) решим характеристическое уравнение

gif-file, 2KB

Корни уравнения

gif-file, 2KB

Подставляя значения, получаем

p1,2 = (-0,25·104 ± 0,206·104), c-1

Следовательно, p1 = -440 c-1, p2 = 4560 c-1. Так как корни действительные и различные, свободная составляющая напряжения на емкости

uCсв(t) = A1 e-440t + A2 e-4560t,

а искомое напряжение uC(t) = 120 + A1 e-440t + A2 e-4560t.

Постоянные интегрирования A1 и А2 находим, исходя из начальных условий и уравнений цепи:

uC(0-) = uC(0+) = -50 В; i2(0-) = i2(0+) = 0.

Для момента коммутации можно записать:

i1(0) = i2(0) + i3(0) = 0 + i3(0) = i3(0);
E = i3(0) R + uC(0);
i3(0) = (E - uC(0)) / R = 0,85 А,

так как

gif-file, 2KB, gif-file, 2KB

Продифференцировав выражение для uC(t) и подставив t = 0, будем иметь систему двух алгебраических уравнений для определения постоянных интегрирования A1 и А2:

A1 + A2 = -170;
- 440 A1 - 4560 A2 = 0,85·106.

Таким образом, получаем: А2 = -188,155, А1 = 18,155. Мгновенное значение напряжения на емкости

uC(t) = 120 + 18,155 e-440t - 188,155 e-4560t, B

Для определения тока i1(t) используем известное соотношение

i1(t) = C duC / dt = -7,988·10-3 e-440t + 0,858 e-4560t,

Ток i3(t) целесообразно определить из уравнения

i3(t) = (E - uC(t)) / R = -0,091 e-440t + 0,941 e-4560t.

Следовательно,

i2(t) = i1(t) - i3(t) = 0,083 e-440t - 0,083 e-4560t.

По полученным аналитическим выражениям мгновенных значений токов нетрудно построить временные диаграммы.

Длительность переходного процесса определяется от момента коммутации до момента времени, когда значение тока (напряжения) отличается от установившегося, например, не более чем на 5 %. Это время можно определить по аналитическим выражениям или по временным диаграммам.

6.11.3. Вопросы и задачи для самостоятельного решения

  1. Сформулируйте законы коммутации и объясните их физический смысл.
  2. Катушка с параметрами L и R подключается к источнику постоянного напряжения. Составьте для этой цепи дифференциальное уравнение переходного процесса. Начертите схему.
  3. Для случая, описанного в п. 2, выведите выражение тока для переходного процесса. Начертите соответствующую кривую тока.
  4. Как определить постоянную времени цепи по заданной кривой тока переходного процесса? Объясните смысл и значение постоянной времени.
  5. Через какой промежуток времени переходный процесс в цепи практически заканчивается?
  6. По катушке с параметрами L и R проходит постоянный ток I. Затем катушка замыкается накоротко. Выведите выражение для тока переходного процесса, начертите кривую тока.
  7. Катушка с параметрами L и R подключается к сети с синусоидальным выражением u(t) = Umsin(ωt + ψ). Составьте для данного случая дифференциальное уравнение переходного процесса. Напишите выражения для вынужденного, свободного и переходного токов.
  8. К сети с постоянным напряжением подключается цепь, состоящая из соединенных последовательно резистора R и конденсатора С. Чему равны напряжения на конденсаторе и ток в переходном процессе? Начертите соответствующие кривые.
  9. Изобразите схему простейшего RC-генератора, кривую изменения его напряжения и объясните работу.
  10. В цепи с последовательным соединением R = 3 Ом и L = 13,7 мГн напряжение источника U = 60 В. Определить:
  11. В цепи с последовательным соединением R = 6 Ом и L = 24 мГн, U = 120 В. Определить:
  12. В цепи с последовательным соединением R и C напряжение источника U = 60 В. Определить напряжения uR и uL в первый момент после включения рубильника и в установившихся режимах после включения и после выключения рубильника.
  13. В цепи с R = 6 Ом и С = 398 мкФ напряжение U = 90 В. Определить ток в цепи в первый момент после включения рубильника и в установившихся режимах после включения и после выключения рубильника.
  14. Построить график тока в цепи с R = 10 Ом, L = 0,1 Гн и U = 100 В при отключении цепи от источника и замыкании на разрядное сопротивление Rp: а) Rp = 10 Ом; б) Rp = 0 Ом.
  15. Катушка с параметрами R = 0,5 Ом, L = 0,1 Гн соединена параллельно с резистором Rp = 10 Ом и подключена к источнику постоянного напряжения U = 2 В. Определить ЭДС самоиндукции в катушке в момент отключения цепи от источника.
  16. В цепи (рис. 5.1) Е = 60 В, R0 = 6 Ом, R = 4 Ом. Определить ток, напряжения:
  17. Катушка электромагнитного реле, имеющая сопротивление R = 4 Ом, индуктивность L = 1 Гн, работает при постоянном напряжении U = 24 В. Какое сопротивление следует включить параллельно катушке, чтобы в момент ее отключения э.д.с. самоиндукции превышала рабочее напряжение не более чем в 2 раза?
  18. Как изменится продолжительность переходного процесса (реальная) при зарядке конденсатора, если изменить одну из следующих величин:
  19. Определить энергию, выделенную в резисторе, если конденсатор заряжался в течение t = 3 τ3 (по условиям задачи 5.9.19) и скорость изменения напряжения на конденсаторе при зарядке в моменты времени t1 = τ3, t2 = 2 τ3.
  20. Напряжение на зажимах источника в схеме (рис. 5.24) U = 100 В. После окончания процесса зарядки конденсатора переключатель П переведен из положения 1 в нейтральное положение, а затем в положение 2. Найти напряжение между контактами переключателя П (U13 и U) в случаях:
  21. Согласно условию задачи 20 после периода зарядки конденсатора t = 2 τ3 переключатель П переведен из положения 1 в положение 2. Определить энергию, израсходованную в цепи за время разрядки конденсатора.

    Решение. При зарядке конденсатора энергия, израсходованная в элементе цепи с сопротивлением R, равна убыли энергии электрического поля конденсатора в одно и то же время. Энергия электрического поля к концу зарядки конденсатора

    gif-file, 2KBДж

    Вся эта энергия выделяется в виде тепла в сопротивлении при разрядке конденсатора. Таким образом, общая энергия, выделенная в сопротивлении R при зарядке и разрядке, составляет

    W = W1 + WЭ = (450 + 375)·10-4 = 875·10-4 Дж

  22. Для задачи 21:
  23. Катушка с параметрами R = 3,14 Ом, L = 0,01 Гн подключается к источнику синусоидального напряжения частотой f = 50 Гц. Какой должна быть начальная фаза напряжения, чтобы сразу после включения наступил принужденный режим?
  24. Катушка с параметрами R = 10 Ом, L = 0,05 Гн включается в сеть синусоидального напряжения (U = 115,5 В, f = 50 Гц). Определить величину тока в цепи через полупериод после включения при условии, что в момент включения принужденный ток имел отрицательный максимум.