6.9. Практическое занятие №9. Магнитные и нелинейные цепи

6.9.1. Вопросы для подготовки к занятиям

1) Магнитные цепи с постоянным намагничивающим током

  1. Для чего сердечники электрических машин и аппаратов изготавливают из ферромагнитных материалов?
  2. Дать понятие об однородной и неоднородной, разветвленной и неразветвленной магнитной цепи.
  3. Закон полного тока для однородной и неоднородной магнитной цепи.
  4. Алгоритм решения прямой и обратной задачи для однородной магнитной цепи.
  5. Алгоритм решения прямой задачи для неоднородной магнитной цепи.
  6. Алгоритм решения обратной задачи для неоднородной магнитной цепи
  7. Как изменится индуктивность катушки при уменьшении длины воздушного зазора?
  8. Как изменится ток в катушке при увеличении длины воздушного зазора?
  9. Как изменится магнитный поток в сердечнике, если воздушный зазор заполнить прокладкой из ферромагнитного материала?
  10. Как нужно изменить магнитодвижущую силу катушки, чтобы сохранить неизменным магнитный поток при увеличении длины воздушного зазора?
  11. Как изменится индуктивность катушки, если в воздушный зазор положить ферромагнитную пластину?

2) Магнитные цепи с переменным намагничивающим током

  1. Какова форма тока в катушке и магнитного потока в сердечнике при синусоидальном приложенном напряжении?
  2. Привести схему замещения и векторную диаграмму идеализированной катушки с сердечником (R = 0, Xp = 0).
  3. Какие процессы в идеализированной катушке учитывают параметры ее схемы замещения?
  4. Привести схему замещения и векторную диаграмму реальной катушки с сердечником.
  5. Какие процессы в реальной катушке учитывают параметры ее схемы замещения?
  6. Записать уравнение электрического равновесия для катушки с ферромагнитным сердечником и без него.
  7. Зависит ли ток в катушке с ферромагнитным сердечником от материала сердечника и от наличия в нем воздушного зазора?
  8. Как изменится амплитуда магнитного потока при увеличении длины воздушного зазора в сердечнике?
  9. Как изменится ток в обмотке дросселя при увеличении длины воздушного зазора в сердечнике?
  10. Как изменится индуктивность обмотки дросселя, если воздушный зазор в сердечнике заполнить ферромагнитной прокладкой?
  11. Как изменится полное сопротивление обмотки дросселя, если увеличить длину воздушного зазора в сердечнике?
  12. Зависит ли активная мощность, потребляемая из сети (активное сопротивление обмотки принять равным нулю) от величины приложенного напряжения?
  13. Зависит ли потребляемая дросселем из сети активная мощность (при сопротивлении обмотки R = 0) от частоты источника питания?
  14. Зависит ли потребляемая дросселем из сети активная мощность (при сопротивлении обмотки R = 0) от длины воздушного зазора в сердечнике?
  15. Как изменится ток в обмотке дросселя при увеличении приложенного напряжения?
  16. Как изменится индуктивность обмотки дросселя, если увеличить длину воздушного зазора в сердечнике?

6.9.2. Примеры решения прямой и обратной задачи

Пример 1

Рассмотрим магнитную цепь на рис. 9.1.

gif-file, 2KB
Рис. 9.1. Магнитная цепь. Рис. 9.2. Кривая намагничивания стали

Пусть необходимо создать Ф = 0,0165 Вб. Определить IW = ?

Задана кривая намагничивания стали (рис. 9.2) из которой выполнены ферромагнитные участки изображенного контура магнитной цепи (рис. 9.1).

Решение. Используя рис. определяем геометрические размеры участков L1 = 0,975 м, L2 = 0,82 м, δ = 0,002 м, S1 = 0,15 × 0,15 = 0,0225 м2, S2 = 0,1 × 0,15 = 0,015 м2, Sδ = 0,1 × 0,15 = 0,015 м2.

Определим величину магнитной индукции на каждом участке

B1 = Ф / S1 = 0,0165 / 0,0225 = 0,735 Тл;
B2 = Ф / S2 = 0,0165 / 0,015 = 1,1 Тл;
Bвозд = Ф / Sδ = 0,0165 / 0,015 = 1,1 Тл.

Пользуясь кривой намагничивания для литой стали, определим напряжение магнитного поля в первом и во втором участках магнитной цепи:

H1 = 350 А/м; H2 = 940 А/м.

Напряженность в воздушном зазоре определяем из соотношения

Hвозд = 8 × 105 × Bвозд = 8 × 105 × 1,1 = 8,8 × 105 А/м.

Искомая намагничивающая сила обмотки

F = H1 L1 + H2 L2 + Hвозд δ = 350 × 0,975 + 940 × 0,82 + 8,8 × 105 × 0,002 = 2870 АВ.

Обратим внимание на то, что 60% намагничивающей силы затрачивается на поддержание магнитного потока в воздушном зазоре, в то время как ширина зазора δ составляет < 0,15 % от общей длины магнитной цепи (b1 + b2 + δ). Этот факт является характерным для всех магнитных цепей и заставляет конструкторов электрических машин (во избежании чрезмерного увеличения намагничивающих сил обмоток) делать в магнитных цепях ширину воздушных зазоров возможно малой.

Пример 2

Определить магнитный поток в воздушном зазоре магнитопровода (рис. 9.1), если намагничивающая сила обмотки F = 2000 A. Значения величины L1, L2, δ, S1, S2, Sδ взять из примера 1.

Решение. Для ориентировки предварительно определим магнитный поток Ф0 в цепи, учитывая только магнитное сопротивление воздушного зазора Rвозд = δ / (μ0 Sδ) и пренебрегая сопротивлением ферромагнитных участков цепи:

gif-file, 2KB.

Поскольку магнитное сопротивление всей цепи несколько больше, чем сопротивление воздушного зазора, искомый магнитный поток меньше Ф0 . Зададимся в предварительном расчете значением Ф ≈ 0,8 Ф0 = 0,015 Вб и определим соответствующую этому потоку намагничивающую силу.

Магнитная индукция на отдельных участках цепи:

B1 = Ф / S1 = 0,015 / 0,0225 = 0,67 Тл;
B2 = Ф / S2 = 0,015 / 0,015 = 1,0 Тл;
Bвозд = Ф / Sδ = 0,015 / 0,015 = 1,0 Тл.

По кривой намагничивания для литой стали (рис. 9.2) находим

H1 = 310 А/м, H2 = 700 А/м, Hвозд = 8 × 105 А/м.

Намагничивающая сила обмотки

F1 = H1 L1 + H2 L2 + Hвозд δ = 310 × 0,975 + 700 × 0,82 + 8 × 105 × 0,002 = 2470 АВ.

Далее зададимся еще значениями магнитного потока в 0,014 и 0,012 Вб и проведем аналогичные расчеты. Результаты всех расчетов сведены в табл. 9.1.

По данным табл. 9.1 построен график Ф(F) (рис. 9.3). Из графика находим, что заданной намагничивающей силе F =  2000 АВ соответствует магнитный поток Ф =  0,013 Вб.

Таблица 9.1

Ф,
Вб
В1,
Тл
В2,
Тл
Ввозд,
Тл
Н1,
А/м
Н2,
А/м
Нвозд,
А/м
Н1 L1,
А
Н2 L2,
А
Hвоздδ,
А
∑HL = F,
А
0,015 0,67 1,0 1,0 310 700 8×105 300 570 1600 2470
0,014 0,62 0,93 0,93 264 560 7,4×105 257 458 1480 2195
0,012 0,53 0,8 0,8 205 410 6,4×105 200 344 1280 1824

gif-file, 2KB
Рис. 9.3. График Ф(F) (к примеру 2)

Пример 3

Определить число витков и ток в обмотке дросселя (рис. 9.4), сердечник которого изготовлен из листовой электротехнической стали Э 41. Активным сопротивлением обмотки и потоком рассеяния пренебречь. Напряжение источника U = 230 В, частота тока f = 50 Гц, амплитуда магнитной индукции Bm = 1,4 Тл. Размеры сердечника: L1 = 14 см; L2 = 10 см; b1 = 2 см; толщина сердечника b2 = 3 см. Удельный вес стали γ = 7,8 г/см3. Стальные листы разделены изоляцией, занимающей 10 % всего объема.

Определить ток в обмотке, если в сердечнике выпилить зазор толщиной δ = 1 мм.

gif-file, 2KB
Рис. 9.4

Решение. Уравнение электрического равновесия для обмотки дросселя имеет вид:

gif-file, 2KB,

где R1 – активное сопротивление обмотки;
X1 – индуктивное сопротивление обмотки, обусловленное потоком рассеяния;
E = 4,44 W f Фm – противо-ЭДС, наводимая в обмотке основным магнитным потоком;
Фm – амплитуда основного магнитного потока.

Согласно условию задачи R1 ≈ 0, X1 ≈ 0 из уравнения равновесия получаем

U = E = 4,44 W f Фm,

Фm = Bm Sст = 0,9 Bm S,

где Sст – площадь поперечного сечения стали;
S – площадь поперечного сечения магнитопровода, включая изоляцию между листами: S = b1 b2 = 2 × 10-2 × 3 × 10-2 = 6 × 10-4, м2.

Число витков обмотки

gif-file, 2KB.

Рассмотрим ток в обмотке в виде двух составляющих: активной Ia, определяемой по мощности потерь в стали, и реактивной Ip (намагничивающий ток), зависящей от магнитный свойств цепи и определяемой по закону полного тока, тогда

gif-file, 2KB.

Активная составляющая тока

Iа = Pст / U, Pст = pст G,

где Рст – мощность потерь в стали
pст – удельная мощность потерь в стали (таблица 10.1);
G – вес стали.

Найдем вес стальной части (без изоляции) магнитопровода

G = γ Sст Lст = 0,9 γ Sст.

Длина средней силовой линии

Lст = 2 (L1 - b2) + 2 (L2 - b1) = 2 (12 + 8) = 40 см.

Вес стали G = 7,8 × 0,9 × 6 × 40 = 1,68 кг.

Удельная мощность потерь в стали определяется соотношением

pст = P Bm2 / 50,

в котором P / 50 = 1,35 Вт (кг×Тл2) – удельная мощность потерь для данной марки стали (таблица 10.1) при индукции 1 Тл и частоте 50 Гц.

Тогда pст = 1,35 × 1,42 = 2,646 Вт/кг, а мощность потерь в стали Pст = 2,646 × 1,68 = 4,445 Вт.

Активная составляющая тока

Ia = Pст / U = 4,445 / 230 = 0,019 A.

Рассматриваемая магнитная цепь является однородной, поэтому на основании закона полного тока найдем амплитудное значение намагничивающего тока

Iрm = Hm Lст / W.

Максимальное значение напряженности найдем по кривой намагничивания (таблица 10.1) для стали Э 41. При Вm = 1,4 Тл, Нm = 1300 А/м.

Действующее значение намагничивающего тока

gif-file, 2KB А.

Ток в обмотке

gif-file, 2KB А.

Полученные результаты говорят о том, что в катушке с ферромагнитным сердечником активная составляющая тока невелика и можно принимать I ≈ Ip.

Согласно уравнению электрического равновесия амплитуда магнитного потока Фm (или амплитуда магнитной индукции) пропорциональна приложенному напряжению U и не зависит от длины воздушного зазора.

С появлением зазора будет изменяться только реактивная составляющая тока, которую найдем при помощи закона полного тока

Iрm W = Hm Lст + H0m δ.

Здесь H0m δ – составляющая МДС катушки, идущая на создание магнитного поля в воздушном зазоре

H0m = Bm / μ0 = 1,4 / (4 π 10-7) = 11,146 × 105 А/м.
Iрm W = 1300 × 0,4 + 11,146 × 105 × 0,001 = 1634,6 АВ.

Таким образом, на создание магнитного поля в небольшом воздушном зазоре тратится большая част МДС. Действующее значение реактивной составляющей тока

gif-file, 2KB А.

Общий ток I ≈ Ip = 0,846 А.

Создание воздушного зазора длиной 1 мм привело к возрастанию тока в катушке в 3 раза.

6.10. Практическое занятие №10. Самостоятельная работа студентов

а) Магнитные цепи с постоянными намагничивающим токами

gif-file, 2KB
Рис. 10.1 Тороидальный магнитопровод. Рис. 10.2 П-образный магнитопровод

1. На тороидальный магнитопровод (рис. 10.1) равномерно намотана обмотка с числом витков W = 200, поперечное сечение кольца – прямоугольное, размеры кольца: D = 16 см; d = 10 см; толщина В = 4 см.

Определить ток в обмотке, при котором магнитный поток в сердечнике Ф = 12 × 10-4 Вб. Материал сердечника – электротехническая сталь Э 42 (таблица 10.1).

Ответ: 0,6 А.

Таблица 10.1

В, Тл Марка стали
Э 11, Э 12
Н, А/м
Э 41, Э 42
Н, А/м
Э 320
Н, А/м
Литая сталь
Н, А/м
Пермендюр
Н, А/м
Ковкий чугун
Н, А/м
0,5 171 85 30 400 82
0,8 318 185 60 682 91
1,0 502 300 75 920 97
1,2 840 540 165 1290 115 25
1,3 1140 770 200 1590 125 50
1,4 1580 1370 300 2090 140 100
1,5 2500 2750 480 2890 162 150
1,6 4370 5150 720 4100 200 250
1,7 7780 8900 1420 5750 260
Мощность удельных потерь в электротехнической стали при В = 1 Тл, f = 50 Гц, толщине листа 0,5 мм
Материал Э 11 Э 12 Э 21 Э 41 Э 42
Руд, Вт/кг 3,3 3,1 2,5 1,55 1,4

2. Найти индуктивность катушки, если ток в обмотке (рис. 10.2) I = 20 А, число витков W = 180, сердечник выполнен из стали Э 42. Размеры сердечника: L1 = 35 см; L2 = 20 см; толщина сердечника b = 6 см.

Ответ: 49,5 мГн.

3. В сердечнике задачи №1 (рис. 10.1) пропилили зазор толщиной δ = 0,1 см. Определить, как нужно изменить ток в катушке, чтобы магнитный поток в сердечнике не изменился.

Ответ: 4,6 А.

4. В сердечнике задачи №1 (рис. 10.1) сделан зазор толщиной δ = 0,2 см. Ток в обмотке I = 1,17 А. Определить величину магнитного потока, который будет создаваться в сердечнике при заданном токе.

Задачу решить приближенно и с помощью построения магнитной характеристики. Сравнить полученные результаты.

Ответ: 1,76 × 10-4 Вб; 1,7 × 10-4 Вб.

5. Определить магнитодвижущую силу катушки (рис. 10.3) с сердечником из стали Э 12, если Ф = 4 × 10-4 Вб, S = 4 см2, L = 100 см, δ = 0,02 см. Как изменится индуктивность катушки, если длину магнитного зазора увеличить?

Ответ: 661 А, уменьшится.

6. Определить магнитодвижущую силу катушки (рис. 10.4), размещенной на сердечнике из стали Э 12, чтобы магнитная индукция в зазоре составляла B0 = 0,852 Тл. Сердечник имеет одинаковую толщину. Размеры сердечника заданы: L1 = 23 см, L2 = 24 см, δ = 0,01 см, b = 4 см.

Ответ: 393 А.

gif-file, 2KB
Рис. 10.3 Рис. 10.4

б) Магнитные цепи с переменными намагничивающими токами

1. Даны показания приборов (рис. 10.5): Р = 50 Вт, U = 127 В, I = 0,5 А. Активным сопротивлением обмотки и потоком рассеяния пренебречь. Построить векторную диаграмму. Определить параметры последовательной и параллельной схем замещения.

Ответ: R0 = 200 Ом, Х0 = 157 Ом, R0 = 326 Ом, Х0 = 397 Ом.

gif-file, 2KB
Рис. 10.5

2. Показания приборов (рис. 10.5): Р = 150 Вт, U = 120 В, I = 10 А. После удаления сердечника приборы показали: Р = 72 Вт, U = 120 В, I = 12 А. Построить векторную диаграмму. Определить параметры последовательной схемы замещения. Потоком рассеяния пренебречь в катушке с сердечником.

Ответ: R = 0,5 Ом, R0 = 1 Ом, Х0 = 11,9 Ом.

3. Ток в катушке со стальным сердечником I1 = 2 А, мощность потерь Р1 = 20 Вт. Определить потери в меди и потери в стали, если при вынутом сердечнике ток и активная мощность имеют значения: I2 = 8 А и Р2 = 64 Вт.

Ответ: РCu = 4 Вт, Рст = 16 Вт.

4. К сети переменного тока подключена катушка со стальным сердечником. Определить напряжение сети, активную и реактивную составляющие тока, если задано: Фm = 0,01 Вб, I = 10 А, f = 50 Гц, W = 100, Р = 400 Вт.

Ответ: U = 222 В, Ia = 1,8 А, Iр = 9,84 А.

5. Сердечник из электротехнической стали вдвигаемой в катушку и служит для изменения индуктивности катушки. Напряжение сести U = 220 В, частота сети f = 50 Гц. Активное сопротивление катушки R = 10 Ом, потерями в стали пренебречь. Построить векторную диаграмму и определить индуктивность катушки для трех случаев: а) при полностью вставленном сердечнике, если I1 = 2 А; б) при частично вынутом сердечнике, если I2 = 8 А; в) при полностью удаленном сердечнике, если I3 = 15 А.

Ответ: 350 мГн; 81,7 мГн; 34,2 мГн.

6. Для катушки, приведенной в задаче 5, определить амплитуду магнитного потока, если число витков W = 1000. Как изменится Фm, если частота уменьшится в 2 раза?

Ответ: 99 × 10-5 Вб.

7. Катушка имеет W = 200 витков и питается от сети переменного тока с частотой f = 50 Гц, U = 127 В. Ток в катушке I = 6 А, потребляемая из сети активная мощность Р = 172 Вт. Сопротивление катушки, измеренное на постоянном токе, R = 2 Ом. Построить векторную диаграмму. Определить индуктированную в катушке ЭДС Е, амплитуду магнитного потока Фm, cos φ, мощность потерь в меди РCu и в стали Рст.

Ответ: 123,7 В; 278,6 × 10-5 Вб; 0,226; 72 Вт; 100 Вт.

8. Для определения амплитуды магнитной индукции Вm на сердечник катушки была намотана измерительная обмотка с числом витков W = 60. Площадь сечения сердечника Sст = 4 см2. При частоте f = 50 Гц напряжение на измерительной обмотке U = 7,5 В. Найти величину Вm.

Ответ: 1,41 Тл.