Яковлев Владимир Александрович

Электрические цепи постоянного тока и методы их расчета

1.1. Электрическая цепь и ее элементы

В электротехнике рассматривается устройство и принцип действия основных электротехнических устройств, используемых в быту и промышленности. Чтобы электротехническое устройство работало, должна быть создана электрическая цепь, задача которой передать электрическую энергию этому устройству и обеспечить ему требуемый режим работы.

Электрической цепью называется совокупность устройств и объектов, образующих путь для электрического тока, электромагнитные процессы в которых могут быть описаны с помощью понятий об электрическом токе, ЭДС (электродвижущая сила) и электрическом напряжении.

Для анализа и расчета электрическая цепь графически представляется в виде электрической схемы, содержащей условные обозначения ее элементов и способы их соединения. Электрическая схема простейшей электрической цепи, обеспечивающей работу осветительной аппаратуры, представлена на рис. 1.1.

gif-file, 2KB

Рис. 1.1

Все устройства и объекты, входящие в состав электрической цепи, могут быть разделены на три группы:

1) Источники электрической энергии (питания).

Общим свойством всех источников питания является преобразование какого-либо вида энергии в электрическую. Источники, в которых происходит преобразование неэлектрической энергии в электрическую, называются первичными источниками. Вторичные источники – это такие источники, у которых и на входе, и на выходе – электрическая энергия (например, выпрямительные устройства).

2) Потребители электрической энергии.

Общим свойством всех потребителей является преобразование электроэнергии в другие виды энергии (например, нагревательный прибор). Иногда потребители называют нагрузкой.

3) Вспомогательные элементы цепи: соединительные провода, коммутационная аппаратура, аппаратура защиты, измерительные приборы и т.д., без которых реальная цепь не работает.

Все элементы цепи охвачены одним электромагнитным процессом.

В электрической схеме на рис. 1.1 электрическая энергия от источника ЭДС $E$, обладающего внутренним сопротивлением $r_0$, с помощью вспомогательных элементов цепи передаются через регулировочный реостат $R$ к потребителям (нагрузке): электрическим лампочкам $EL_1$ и $EL_2$.

1.2. Основные понятия и определения для электрической цепи

Для расчета и анализа реальная электрическая цепь представляется графически в виде расчетной электрической схемы (схемы замещения). В этой схеме реальные элементы цепи изображаются условными обозначениями, причем вспомогательные элементы цепи обычно не изображаются, а если сопротивление соединительных проводов намного меньше сопротивления других элементов цепи, его не учитывают. Источник питания показывается как источник ЭДС $E$ с внутренним сопротивлением $r_0$, реальные потребители электрической энергии постоянного тока заменяются их электрическими параметрами: активными сопротивлениями $R_1$, $R_2,~…,~R_n$. С помощью сопротивления $R$ учитывают способность реального элемента цепи необратимо преобразовывать электроэнергию в другие виды, например, тепловую или лучистую.

При этих условиях схема на рис. 1.1 может быть представлена в виде расчетной электрической схемы (рис. 1.2), в которой есть источник питания с ЭДС $E$ и внутренним сопротивлением $r_0$, а потребители электрической энергии: регулировочный реостат $R$, электрические лампочки $EL_1$ и $EL_2$ заменены активными сопротивлениями $R,~R_1$ и $R_2$.

gif-file, 2KB

Рис. 1.2

Источник ЭДС на электрической схеме (рис. 1.2) может быть заменен источником напряжения $U$, причем условное положительное направление напряжения $U$ источника задается противоположным направлению ЭДС.

При расчете в схеме электрической цепи выделяют несколько основных элементов.

Ветвь электрической цепи (схемы) – участок цепи с одним и тем же током. Ветвь может состоять из одного или нескольких последовательно соединенных элементов. Схема на рис. 1.2 имеет три ветви: ветвь bma, в которую включены элементы $r_0,~E,~R$ и в которой возникает ток $I$; ветвь ab с элементом $R_1$ и током $I_1$; ветвь anb с элементом $R_2$ и током $I_2$.

Узел электрической цепи (схемы) – место соединения трех и более ветвей. В схеме на рис. 1.2 – два узла a и b. Ветви, присоединенные к одной паре узлов, называют параллельными. Сопротивления $R_1$ и $R_2$ (рис. 1.2) находятся в параллельных ветвях.

Контур – любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям. В схеме на рис. 1.2 можно выделить три контура: I – bmab; II – anba; III – manbm, на схеме стрелкой показывают направление обхода контура.

Условные положительные направления ЭДС источников питания, токов во всех ветвях, напряжений между узлами и на зажимах элементов цепи необходимо задать для правильной записи уравнений, описывающих процессы в электрической цепи или ее элементах. На схеме (рис. 1.2) стрелками укажем положительные направления ЭДС, напряжений и токов:

а) для ЭДС источников – произвольно, но при этом следует учитывать, что полюс (зажим источника), к которому направлена стрелка, имеет более высокий потенциал по отношению к другому полюсу;

б) для токов в ветвях, содержащих источники ЭДС – совпадающими с направлением ЭДС; во всех других ветвях произвольно;

в) для напряжений – совпадающими с направлением тока в ветви или элемента цепи.

Все электрические цепи делятся на линейные и нелинейные.

Элемент электрической цепи, параметры которого (сопротивление и др.) не зависят от тока в нем, называют линейным, например электропечь.

Нелинейный элемент, например лампа накаливания, имеет сопротивление, величина которого увеличивается при повышении напряжения, а следовательно и тока, подводимого к лампочке.

Следовательно, в линейной электрической цепи все элементы – линейные, а нелинейной называют электрическую цепь, содержащую хотя бы один нелинейный элемент.

1.3. Основные законы цепей постоянного тока

Расчет и анализ электрических цепей производится с использованием закона Ома, первого и второго законов Кирхгофа. На основе этих законов устанавливается взаимосвязь между значениями токов, напряжений, ЭДС всей электрической цепи и отдельных ее участков и параметрами элементов, входящих в состав этой цепи.

Закон Ома для участка цепи

Соотношение между током $I$, напряжением $UR$ и сопротивлением $R$ участка аb электрической цепи (рис. 1.3) выражается законом Ома

gif-file, 2KB
Рис. 1.3

(1.1)

gif-file, 2KB или $U_R = RI$.

В этом случае $U_R=RI$ – называют напряжением или падением напряжения на резисторе $R$, а gif-file, 2KB – током в резисторе $R$.

При расчете электрических цепей иногда удобнее пользоваться не сопротивлением $R$, а величиной обратной сопротивлению, т.е. электрической проводимостью:

gif-file, 2KB.

В этом случае закон Ома для участка цепи запишется в виде:

$I = Ug$.

Закон Ома для всей цепи

Этот закон определяет зависимость между ЭДС $E$ источника питания с внутренним сопротивлением $r_0$ (рис. 1.3), током $I$ электрической цепи и общим эквивалентным сопротивлением $R_Э=r_0+R$ всей цепи:

(1.2)

gif-file, 2KB.

Сложная электрическая цепь содержит, как правило, несколько ветвей, в которые могут быть включены свои источники питания и режим ее работы не может быть описан только законом Ома. Но это можно выполнить на основании первого и второго законов Кирхгофа, являющихся следствием закона сохранения энергии.

Первый закон Кирхгофа

В любом узле электрической цепи алгебраическая сумма токов равна нулю

(1.3)

gif-file, 2KB,

где $m$ – число ветвей подключенных к узлу.

При записи уравнений по первому закону Кирхгофа токи, направленные к узлу, берут со знаком «плюс», а токи, направленные от узла – со знаком «минус». Например, для узла а (см. рис. 1.2) $I-I_1-I_2=0$.

Второй закон Кирхгофа

В любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжений на всех его участках

(1.4)

gif-file, 2KB,

где $n$ – число источников ЭДС в контуре;
$m$ – число элементов с сопротивлением $R_k$ в контуре;
$U_k=R_kI_k$ – напряжение или падение напряжения на $k$-м элементе контура.

Для схемы (рис. 1.2) запишем уравнение по второму закону Кирхгофа:

$E=U_R+U_1$.

Если в электрической цепи включены источники напряжений, то второй закон Кирхгофа формулируется в следующем виде: алгебраическая сумма напряжений на всех элементах контру, включая источники ЭДС равна нулю

(1.5)

gif-file, 2KB.

При записи уравнений по второму закону Кирхгофа необходимо:

1) задать условные положительные направления ЭДС, токов и напряжений;

2) выбрать направление обхода контура, для которого записывается уравнение;

3) записать уравнение, пользуясь одной из формулировок второго закона Кирхгофа, причем слагаемые, входящие в уравнение, берут со знаком «плюс», если их условные положительные направления совпадают с обходом контура, и со знаком «минус», если они противоположны.

Запишем уравнения по II закону Кирхгофа для контуров электрической схемы (рис. 1.2):

контур I: $E = RI + R_1I_1 + r_0I$,

контур II: $R_1I_1 + R_2I_2 = 0$,

контур III: $E = RI + R_2I_2 + r_0I$.

В действующей цепи электрическая энергия источника питания преобразуется в другие виды энергии. На участке цепи с сопротивлением $R$ в течение времени $t$ при токе $I$ расходуется электрическая энергия

(1.6)

$W = I^2Rt$.

Скорость преобразования электрической энергии в другие виды представляет электрическую мощность

(1.7)

gif-file, 2KB.

Из закона сохранения энергии следует, что мощность источников питания в любой момент времени равна сумме мощностей, расходуемой на всех участках цепи.

(1.8)

gif-file, 2KB.

Это соотношение (1.8) называют уравнением баланса мощностей. При составлении уравнения баланса мощностей следует учесть, что если действительные направления ЭДС и тока источника совпадают, то источник ЭДС работает в режиме источника питания, и произведение $EI$ подставляют в (1.8) со знаком плюс. Если не совпадают, то источник ЭДС работает в режиме потребителя электрической энергии, и произведение $EI$ подставляют в (1.8) со знаком минус. Для цепи, показанной на рис. 1.2 уравнение баланса мощностей запишется в виде:

$EI = I^2(r_0 + R) + I_1^2R_1 + I_2^2R_2$.

При расчете электрических цепей используются определенные единицы измерения. Электрический ток измеряется в амперах (А), напряжение – в вольтах (В), сопротивление – в омах (Ом), мощность – в ваттах (Вт), электрическая энергия – ватт-час (Вт-час) и проводимость – в сименсах (См)

Кроме основных единиц используют более мелкие и более крупные единицы измерения: миллиампер (1 мA = 10–3 А), килоампер (1 кA = 103 А), милливольт (1 мВ = 10–3 В), киловольт (1 кВ = 103 В), килоом (1 кОм = 103 Ом), мегаом (1 МОм = 106 Ом), киловатт (1 кВт = 103 Вт), киловатт-час (1 кВт-час = 103 ватт-час).

1.4. Способы соединения сопротивлений и расчет эквивалентного
сопротивления электрической цепи

Сопротивления в электрических цепях могут быть соединены последовательно, параллельно, по смешанной схеме и по схемам «звезда», «треугольник». Расчет сложной схемы упрощается, если сопротивления в этой схеме заменяются одним эквивалентным сопротивлением $R_{экв}$, и вся схема представляется в виде схемы на рис. 1.3, где $R=R_{экв}$, а расчет токов и напряжений производится с помощью законов Ома и Кирхгофа.

Электрическая цепь с последовательным соединением элементов

gif-file, 2KB
Рис. 1.4
gif-file, 2KB
Рис. 1.5

Последовательным называют такое соединение элементов цепи, при котором во всех включенных в цепь элементах возникает один и тот же ток $I$ (рис. 1.4).

На основании второго закона Кирхгофа (1.5) общее напряжение $U$ всей цепи равно сумме напряжений на отдельных участках:

$U = U_1 + U_2 + U_3$ или $IR_{экв} = IR_1 + IR_2 + IR_3$,

откуда следует

(1.5)

$R_{экв} = R_1 + R_2 + R_3$.

Таким образом, при последовательном соединении элементов цепи общее эквивалентное сопротивление цепи равно арифметической сумме сопротивлений отдельных участков. Следовательно, цепь с любым числом последовательно включенных сопротивлений можно заменить простой цепью с одним эквивалентным сопротивлением $R_{экв}$ (рис. 1.5). После этого расчет цепи сводится к определению тока $I$ всей цепи по закону Ома

gif-file, 2KB,

и по вышеприведенным формулам рассчитывают падение напряжений $U_1,~U_2,~U_3$ на соответствующих участках электрической цепи (рис. 1.4).

Недостаток последовательного включения элементов заключается в том, что при выходе из строя хотя бы одного элемента, прекращается работа всех остальных элементов цепи.

Электрическая цепь с параллельным соединением элементов

Параллельным называют такое соединение, при котором все включенные в цепь потребители электрической энергии, находятся под одним и тем же напряжением (рис. 1.6).

gif-file, 2KB

Рис. 1.6

В этом случае они присоединены к двум узлам цепи а и b, и на основании первого закона Кирхгофа (1.3) можно записать, что общий ток $I$ всей цепи равен алгебраической сумме токов отдельных ветвей:

$I = I_1 + I_2 + I_3$, т.е. gif-file, 2KB,

откуда следует, что

(1.6)

gif-file, 2KB.

В том случае, когда параллельно включены два сопротивления $R_1$ и $R_2$, они заменяются одним эквивалентным сопротивлением

(1.7)

gif-file, 2KB.

Из соотношения (1.6), следует, что эквивалентная проводимость цепи равна арифметической сумме проводимостей отдельных ветвей:

$g_{экв} = g_1 + g_2 + g_3$.

По мере роста числа параллельно включенных потребителей проводимость цепи $g_{экв}$ возрастает, и наоборот, общее сопротивление $R_{экв}$ уменьшается.

Напряжения в электрической цепи с параллельно соединенными сопротивлениями (рис. 1.6)

$U = IR_{экв} = I_1R_1 = I_2R_2 = I_3R_3$.

Отсюда следует, что

gif-file, 2KB,

т.е. ток в цепи распределяется между параллельными ветвями обратно пропорционально их сопротивлениям.

По параллельно включенной схеме работают в номинальном режиме потребители любой мощности, рассчитанные на одно и то же напряжение. Причем включение или отключение одного или нескольких потребителей не отражается на работе остальных. Поэтому эта схема является основной схемой подключения потребителей к источнику электрической энергии.

Электрическая цепь со смешанным соединением элементов

Смешанным называется такое соединение, при котором в цепи имеются группы параллельно и последовательно включенных сопротивлений.

gif-file, 2KB

Рис. 1.7

Для цепи, представленной на рис. 1.7, расчет эквивалентного сопротивления начинается с конца схемы. Для упрощения расчетов примем, что все сопротивления в этой схеме являются одинаковыми: $R_1=R_2=R_3=R_4=R_5=R$. Сопротивления $R_4$ и $R_5$ включены параллельно, тогда сопротивление участка цепи cd равно:

gif-file, 2KB.

В этом случае исходную схему (рис. 1.7) можно представить в следующем виде (рис. 1.8):

gif-file, 2KB

Рис. 1.8

На схеме (рис. 1.8) сопротивление $R_3$ и $R_{cd}$ соединены последовательно, и тогда сопротивление участка цепи ad равно:

gif-file, 2KB.

Тогда схему (рис. 1.8) можно представить в сокращенном варианте (рис. 1.9):

gif-file, 2KB

Рис. 1.9

На схеме (рис. 1.9) сопротивление $R_2$ и $R_{ad}$ соединены параллельно, тогда сопротивление участка цепи аb равно

gif-file, 2KB.

Схему (рис. 1.9) можно представить в упрощенном варианте (рис. 1.10), где сопротивления $R_1$ и $R_{ab}$ включены последовательно.

Тогда эквивалентное сопротивление исходной схемы (рис. 1.7) будет равно:

gif-file, 2KB.

gif-file, 2KB
Рис. 1.10
gif-file, 2KB
Рис. 1.11

В результате преобразований исходная схема (рис. 1.7) представлена в виде схемы (рис. 1.11) с одним сопротивлением $R_{экв}$. Расчет токов и напряжений для всех элементов схемы можно произвести по законам Ома и Кирхгофа.

Соединение элементов электрической цепи по схемам «звезда» и «треугольник»

В электротехнических и электронных устройствах элементы цепи соединяются по мостовой схеме (рис. 1.12). Сопротивления $R_{12},~R_{13},~R_{24},~R_{34}$ включены в плечи моста, в диагональ 1–4 включен источник питания с ЭДС Е, другая диагональ 3–4 называется измерительной диагональю моста.

gif-file, 2KB
Рис. 1.12
gif-file, 2KB
Рис. 1.13

В мостовой схеме сопротивления $R_{13},~R_{12},~R_{23}$ и $R_{24},~R_{34},~R_{23}$ соединены по схеме «треугольник». Эквивалентное сопротивление этой схемы можно определить только после замены одного из треугольников, например треугольника $R_{24}~R_{34}~R_{23}$ звездой $R_2~R_3~R_4$ (рис. 1.13). Такая замена будет эквивалентной, если она не вызовет изменения токов всех остальных элементов цепи. Для этого величины сопротивлений звезды должны рассчитываться по следующим соотношениям:

(1.8)

gif-file, 2KB; gif-file, 2KB; gif-file, 2KB.

Для замены схемы «звезда» эквивалентным треугольником необходимо рассчитать сопротивления треугольника:

(1.9)

gif-file, 2KB; gif-file, 2KB; gif-file, 2KB.

После проведенных преобразований (рис. 1.13) можно определить величину эквивалентного сопротивления мостовой схемы (рис. 1.12)

gif-file, 2KB.

1.5. Источник ЭДС и источник тока в электрических цепях

При расчете и анализе электрических цепей реальный источник электрической энергии с конечным значением величины внутреннего сопротивления $r_0$ заменяют расчетным эквивалентным источником ЭДС или источником тока.

gif-file, 2KB
Рис. 1.14

Источник ЭДС (рис. 1.14) имеет внутреннее сопротивление $r_0$, равное внутреннему сопротивлению реального источника. Стрелка в кружке указывает направление возрастания потенциала внутри источника ЭДС.

Для данной цепи запишем соотношение по второму закону Кирхгофа

(1.10)

$E = U + Ir_0$ или $E = U - Ir_0$.

Эта зависимость напряжения $U$ на зажимах реального источника от тока $I$ определяется его вольт-амперной или внешней характеристикой (рис. 1.15). Уменьшение напряжения источника $U$ при увеличении тока нагрузки $I$ объясняется падением напряжения gif-file, 2KB на его внутреннем сопротивлении $r_0$.

gif-file, 2KB

Рис. 1.15 Рис. 1.16

У идеального источника ЭДС внутреннее сопротивление $r_0<<R_н$ (приближенно $r_0≈0$). В этом случае его вольт-амперная характеристика представляет собой прямую линию (рис. 1.16), следовательно, напряжение $U$ на его зажимах постоянно ($U=E$) и не зависит от величины сопротивления нагрузки $R_н$.

gif-file, 2KB
Рис. 1.17

Источник тока, заменяющий реальный источник электрической энергии, характеризуется неизменным по величине током $I_к$, равным току короткого замыкания источника ЭДС gif-file, 2KB, и внутренним сопротивление $r_0$, включенным параллельно (рис. 1.17).

Стрелка в кружке указывает положительное направление тока источника. Для данной цепи запишем соотношение по первому закону Кирхгофа

$I_к = I_0 + I$; gif-file, 2KB.

В этом случае вольт-амперная (внешняя) характеристика $I(U)$ источника тока определится соотношением

(1.11)

$I = I_к - I_0 = I_к - U/r_0$

и представлена на рис. 1.18.

gif-file, 2KB
Рис. 1.18 Рис. 1.19

Уменьшение тока нагрузки $I$ при увеличении напряжения $U$ на зажимах ab источника тока, объясняется увеличением тока $I_0$, замыкающегося в цепи источника тока.

В идеальном источнике тока $r_0>>R_н$. В этом случае можно считать, что при изменении сопротивления нагрузки $R_н$ потребителя $I_0≈0$, а $I≈I_к$. Тогда из выражения (1.11) следует, что вольт-амперная характеристика $I(U)$ идеального источника тока представляет прямую линию, проведенную параллельно оси абсцисс на уровне $I=I_к=E/r_0$ (рис. 1.19).

При сравнении внешних характеристик источника ЭДС (рис. 1.15) и источника тока (рис. 1.18) следует, что они одинаково реагируют на изменение величины сопротивления нагрузки. Покажем, что в обоих случаях ток $I$ в нагрузке определяется одинаковым соотношением.

Ток в нагрузке $R_н$ для схем источника ЭДС (рис. 1.14) и источника тока (рис. 1.17) одинаков и равен gif-file, 2KB.

Для схемы (рис. 1.14) это следует из закона Ома, т.к. при последователь-ном соединении сопротивления $r_0$ и $R_н$ складываются. В схеме (рис. 1.17) ток gif-file, 2KB распределяется обратно пропорционально сопротивлениям $r_0$ и $R_н$ двух параллельных ветвей. Ток в нагрузке $R_н$

gif-file, 2KB,

т.е. совпадает по величине с током при подключении нагрузки к источнику ЭДС. Следовательно, схема источника тока (рис. 1.17) эквивалентна схеме источника ЭДС (рис. 1.14) в отношении энергии, выделяющейся в сопротивлении нагрузки $R_н$, но не эквивалентна ей в отношении энергии, выделяющейся во внутреннем сопротивлении источника питания.

Каким из двух эквивалентных источников питания пользоваться, не играет существенной роли. Однако на практике, особенно при расчете электротехнических устройств, чаще используется в качестве источника питания источник ЭДС с внутренним сопротивлением $r_0$ и величиной электродвижущей силы $E$.

В тех случаях, когда номинальное напряжение или номинальный ток и мощность источника электрической энергии оказываются недостаточными для питания потребителей, вместо одного используют несколько источников. Существуют два основных способа соединения источников питания: последовательное и параллельное.

Последовательное включение источников питания (источников ЭДС) применяется тогда, когда требуется создать напряжение требуемой величины, а рабочий ток в цепи меньше или равен номинальному току одного источника ЭДС (рис. 1.20).

gif-file, 2KB

Рис. 1.20

Для этой цепи на основании второго закона Кирхгофа можно записать

$E_1 + E_2 + E_3 = I(r_{01} + r_{02} + r_{03} + R_н)$,

откуда

gif-file, 2KB.

Таким образом, электрическая цепь на рис. 1.20 может быть заменена цепью с эквивалентным источником питания (рис. 1.21), имеющим ЭДС $E_э$ и внутреннее сопротивление $r_э$.

gif-file, 2KB
Рис. 1.21
gif-file, 2KB
Рис. 1.22

При параллельном соединении источников (рис. 1.22) соединяются между собой положительные выводы всех источников, а также их отрицательные выводы. Характерным для параллельного соединения является одно и то же напряжение $U$ на выводах всех источников. Для электрической цепи на рис. 1.22 можно записать следующие уравнения:

$I = I_1 + I_2 + I_3$; $P = P_1 + P_2 + P_3 = UI_1 + UI_2 + UI_3 = UI$.

Как видно, при параллельном соединении источников ток и мощность внешней цепи равны соответственно сумме токов и мощностей источников. Параллельное соединение источников применяется в первую очередь тогда, когда номинальные ток и мощность одного источника недостаточны для питания потребителей. На параллельную работу включают обычно источники с одинаковыми ЭДС, мощностями и внутренними сопротивлениями.

1.6. Режимы работы электрической цепи

При подключении к источнику питания различного количества потребителей или изменения их параметров будут изменяться величины напряжений, токов и мощностей в электрической цепи, от значений которых зависит режим работы цепи и ее элементов.

Реальная электрическая цепь может быть представлена в виде активного и пассивного двухполюсников (рис. 1.23).

gif-file, 2KB

Рис. 1.23

Двухполюсником называют цепь, которая соединяется с внешней относительно нее частью цепи через два вывода а и b – полюса.

Активный двухполюсник содержит источники электрической энергии, а пассивный двухполюсник их не содержит. Для расчета цепей с двухполюсниками реальные активные и пассивные элементы цепи представляются схемами замещения. Схема замещения пассивного двухполюсника П представляется в виде его входного сопротивления

gif-file, 2KB.

Схема замещения активного двухполюсника А представляется эквивалентным источником с ЭДС $E_э$ и внутренним сопротивлением $r_{0э}$, нагрузкой для которого является входное сопротивление пассивного двухполюсника $R_{вх} = R_н$.

Режим работы электрической цепи (рис. 1.23) определяется изменениями параметров пассивного двухполюсника, в общем случае величиной сопротивления нагрузки $R_н$. При анализе электрической цепи рассматривают следующие режимы работы: холостого хода, номинальный, короткого замыкания и согласованный.

Работа активного двухполюсника под нагрузкой $R_н$ определяется его вольт-амперной (внешней) характеристикой, уравнение которой (1.10) для данной цепи запишется в виде

(1.12)

$U = E_э - Ir_{0э}$.

Эта вольт-амперная характеристика строится по двум точкам 1 и 2 (рис. 1.24), соответствующим режимам холостого хода и короткого замыкания.

1. Режим холостого хода

В этом режиме с помощью ключа SA нагрузка $R_н$ отключается от источника питания (рис. 1.23). В этом случае ток в нагрузке становится равным нулю, и как следует из соотношения (1.12) напряжение на зажимах ab становится равным ЭДС $E_э$ и называется напряжением холостого хода $U_{хх}$

$U = U_{хх} = E_э$.

gif-file, 2KB

Рис. 1.24

2. Режим короткого замыкания

В этом режиме ключ SA в схеме электрической цепи (рис. 1.23) замкнут, а сопротивление $R_н=0$. В этом случае напряжение $U$ на зажимах аb становится равным нулю, т.к. $U=IR_н$, а уравнение (1.12) вольт-амперной характеристики можно записать в виде

(1.13)

gif-file, 2KB.

Значение тока короткого замыкания $I_{к.з}$ соответствует т.2 на вольт-амперной характеристике (рис. 1.24).

Анализ этих двух режимов показывает, что при расчете электрических цепей параметры активного двухполюсника $E_э$ и $r_{0э}$ могут быть определены по результатам режимов холостого хода и короткого замыкания:

(1.14)

$E_э = U_{хх}$; gif-file, 2KB.

При изменении тока в пределах gif-file, 2KB активной двухполюсник (эквивалентный источник) отдает энергию во внешнюю цепь (участок I вольт-амперной характеристики на рис. 1.24). При токе $I<0$ (участок II) источник получает энергию из внешней цепи, т.е. работает в режиме потребителя электрической энергии. Это произойдет, если к зажимам аb двухполюсника присоединена внешняя цепь с источниками питания. При напряжении $U<0$ (участок III) резисторы активного двухполюсника потребляют энергию источников из внешней цепи и самого активного двухполюсника.

3. Номинальный режим

Номинальный режим электрической цепи обеспечивает технические параметры как отдельных элементов, так и всей цепи, указанные в технической документации, в справочной литературе или на самом элементе. Для разных электротехнических устройств указывают свои номинальные параметры. Однако три основных параметра указываются практически всегда: номинальное напряжение $U_{ном}$, номинальная мощность $P_{ном}$ и номинальный ток $I_{ном}$.

Работа активного двухполюсника под нагрузкой в номинальном режиме определяется уравнением (1.12), записанном для номинальных параметров

(1.15)

$U_{ном} = E_э - I_{ном}r_{0э}$.

На вольт-амперной характеристике (рис. 1.24) это уравнение определяется точкой 3 с параметрами $U_{ном}$ и $I_{ном}$.

4. Согласованный режим

Согласованный режим электрической цепи обеспечивает максимальную передачу активной мощности от источника питания к потребителю. Определим параметры электрической цепи (рис. 1.23), обеспечивающие получение согласованного режима. При подключении нагрузки $R_н$ к активному двухполюснику (рис. 1.23) в ней возникает ток

gif-file, 2KB.

При этом на нагрузке выделится активная мощность

(1.16)

gif-file, 2KB.

Определим соотношение между сопротивлением нагрузки $R_н$ и внутренним сопротивлением $r_{0э}$ эквивалентного источника ЭДС, при котором в сопротивлении нагрузки $R_н$ выделяется максимальная мощность при неизменных значениях $E_э$ и $r_{0э}$. С этой целью определим первую производную $P$ по $R_н$ и приравняем ее к нулю:

gif-file, 2KB.

Так как выражение в знаменателе – конечное, то, отбрасывая не имеющее физического смысла решение $R_н=-r_{0э}$, получим, что значение сопротивления нагрузки, согласованное с сопротивлением источника

(1.17)

$R_н = r_{0э}$.

Можно найти вторую производную и убедиться в том, что она отрицательна gif-file, 2KB, поэтому соотношение (1.17) соответствует максимуму функции $P=F(R_н)$.

Подставив (1.17) в (1.16), получим значение максимальной мощности, которая может выделена в нагрузке $R_н$

(1.18)

gif-file, 2KB.

Полезная мощность, выделяющаяся в нагрузке, определяется уравнением (1.16). Полная активная мощность, выделяемая активным двухполюсником,

gif-file, 2KB.

Коэффициент полезного действия

(1.19)

gif-file, 2KB.

если $R_н = r_{0э}$, то gif-file, 2KB.

Для мощных электротехнических устройств такое низкое значение КПД недопустимо. Но в электронных устройствах и схемах, где величина $P$ измеряется в милливаттах, с низким КПД можно не считаться, поскольку в этом режиме обеспечивается максимальная передача мощности на нагрузку.

1.7. Расчет электрических цепей с использованием законов Ома и Кирхгофа

Законы Ома и Кирхгофа используют, как правило, при расчете относительно простых электрических цепей с небольшим числом контуров, хотя принципиально с их помощью можно рассчитать сколь угодно сложные электрические цепи.

При расчете электрических цепей в большинстве случаев известны параметры источников ЭДС или напряжения, сопротивления элементов электрической цепи, и задача сводится к определению токов в ветвях цепи. Зная токи, можно найти напряжения на элементах цепи, мощность, потребляемую отдельными элементами и всей цепью в целом, мощность источников питания и др.

Расчет цепи с одним источником питания

Электрическая цепь, схема которой приведена на рис. 1.25, состоит из одного источника питания, имеющего ЭДС $E$ и внутреннее сопротивление $r_0$, и резисторов $R_1,~R_2,~R_3,$ подключенных к источнику по смешанной схеме. Операции расчета такой схемы рекомендуется производить в определенной последовательности.

gif-file, 2KB

Рис. 1.25

1. Обозначение токов и напряжений на участках цепи.

Резистор $R_1$ включен последовательно с источником, поэтому ток $I_1$ для них будет общим, токи в резисторах $R_2$ и $R_3$ обозначим соответственно $I_2$ и $I_3$. Аналогично обозначим напряжения на участках цепи.

2. Расчет эквивалентного сопротивления цепи.

Резисторы $R_2$ и $R_3$ включены по параллельной схеме и заменяются согласно (1.7) эквивалентным сопротивлением:

gif-file, 2KB.

В результате цепь на рис. 1.25 преобразуется в цепь с последовательно соединенными резисторами $R_1,~R_{23}$ и $r_0$. Тогда эквивалентное сопротивление всей цепи запишется в виде:

$R_э = r_0 + R_1 + R_{23}$

3. Расчет тока в цепи источника. Ток $I_1$ определим по закону Ома (1.2):

$I_1 = U/R_э$

4. Расчет напряжений на участках цепи. По закону Ома (1.1) определим величины напряжений:

$U_1 = I_1R_1$; $U_{23} = I_1R_{23}$

Напряжение $U$ на зажимах ab источника питания определим по второму закону Кирхгофа (1.4) для контура $I$ (рис. 1.25):

$E = I_1r_0 + U$; $U = E - I_1r_0$.

5. Расчет токов и мощностей для всех участков цепи. Зная величину напряжения $U_{23}$, определим по закону Ома токи в резисторах $R_2$ и $R_3$:

gif-file, 2KB; gif-file, 2KB.

По формуле (1.8) определим величину активной электрической мощности, отдаваемую источником питания потребителям электрической энергии:

$P = EI_1$.

В элементах схемы расходуются активные мощности:

gif-file, 2KB; gif-file, 2KB; gif-file, 2KB.

На внутреннем сопротивлении $r_0$ источника питания расходуется часть электрической мощности, отдаваемой источником. Эту мощность называют мощностью потерь gif-file, 2KB:

gif-file, 2KB.

6. Проверка правильности расчетов. Эта проверка производится составлением уравнения баланса мощностей (1.8): мощность, отдаваемая источником питания, должна быть равна сумме мощностей, расходуемых в резистивных элементах схемы:

gif-file, 2KB.

Кроме того, правильность вычисления токов можно проверить, составив уравнение по первому закону Кирхгофа (1.3) для узла схемы:

$I_1 = I_2 + I_3$.

Расчет разветвленной электрической цепи с несколькими источниками питания

Основным методом расчета является метод непосредственного применения первого и второго законов Кирхгофа.

В качестве примера рассмотрим цепь, схема которой приведена на рис. 1.26. Схема цепи содержит 6 ветвей ($m=6$) и 4 узла: a, b, c, d ($n=4$). По каждой ветви проходит свой ток, следовательно число неизвестных токов равно числу ветвей, и для определения токов необходимо составить $m$ уравнений. При этом по первому закону Кирхгофа (1.3) составляют уравнения для ($n–1$) узлов. Недостающие $m–(n–1)$ уравнения получают по второму закону Кирхгофа (1.4), составляя их для $m–(n–1)$ взаимно независимых контуров. Рекомендуется выполнять операции расчета в определенной последовательности.

gif-file, 2KB

Рис. 1.26

1. Обозначение токов во всех ветвях. Направление токов выбираем произвольно, но в цепях с источниками ЭДС рекомендеются, чтобы направление токов совпадало с направлением ЭДС.

2. Составление уравнений по первому закону Кирхгофа. Выбираем 4–1=3 узла (a, b, c) и для них записываем уравнения:

узел a: $I_1 - I_2 - I_3 = 0$;

узел b: $I_2 - I_4 + I_5 = 0$;

узел c: $I_4 - I_5 + I_6 = 0$.

3. Составление уравнений по второму закону Кирхгофа. Необходимо составить 6–3=3 уравнения. В схеме на рис. 1.26 выбираем контура I, II, III и для них записываем уравнения:

контур I: $E_1 = I_1(r_{01} + R_1) + I_3R_3$;

контур II: $0 = I_2R_2 + I_4R_4 + I_6R_7 - I_3R_3$;

контур III: $-E_2 = -I_5(r_{02} + R_5 + R_6) - I_4R_4$.

4. Решение полученной системы уравнений и анализ результатов. Полученная система из шести уравнений решается известными математическими методами. Если в результате расчетов численное значение тока получено со знаком «минус», это означает, что реальное направление тока данной ветви противоположно принятому в начале расчета. Если в ветвях с ЭДС токи совпадают по направлению с ЭДС, то данные элементы работают в режиме источников, отдавая энергию в схему. В тех ветвях, где направления тока и ЭДС не совпадают, источники ЭДС работает в режиме потребителя.

5. Проверка правильности расчетов. Для проверки правильности произведенных расчетов можно на основании законов Кирхгофа написать уравнения для узлов и контуров схемы, которые не использовались при составлении исходной системы уравнений:

узел d: $I_3 + I_6 - I_1 = 0$

внешний контур схемы: $E_1 - E_2 = I_1(r_{01} + R_1) + I_2R_2 - I_5(r_{02} + R_5 +R_6) +I_6R_7$.

Независимой проверкой является составление уравнения баланса мощностей (1.8) с учетом режимов работы элементов схемы с ЭДС:

gif-file, 2KB.

Если активная мощность, поставляемая источниками питания, равна по величине активной мощности, израсходованной в пассивных элементах электрической цепи, то правильность расчетов подтверждена.

1.8. Основные методы расчета сложных электрических цепей

С помощью законов Ома и Кирхгофа в принципе можно рассчитать электрические цепи любой сложности. Однако решение в этом случае может оказаться слишком громоздким и потребует больших затрат времени. По этой причине для расчета сложных электрических цепей разработаны на основе законов Ома и Кирхгофа более рациональные методы расчета, два из которых: метод узлового напряжения и метод эквивалентного генератора, рассмотрены ниже.

Метод узлового напряжения

Этот метод рекомендуется использовать в том случае, если сложную электрическую схему можно упростить, заменяя последовательно и параллельно соединенные резисторы эквивалентными, используя при необходимости преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду. Если полученная схема содержит несколько параллельно соединенных активных и пассивных ветвей, как, например, схема на рис. 1.27, то ее расчет и анализ весьма просто можно произвести методом узлового напряжения.

Пренебрегая сопротивлением проводов, соединяющих ветви цепи, в ее схеме (рис. 1.27) можно выделить два узла: a и b. В зависимости от значений и направлений ЭДС и напряжений, а также значений сопротивлений ветвей между узловыми точками a и b установится определенное узловое напряжение $U_{ab}$. Предположим, что оно направлено так, как показано на рис. 1.27, и известно. Зная напряжение $U_{ab}$ легко найти токи во всех ветвях.

Выберем положительные направления токов и обозначим их на схеме. Запишем уравнения по второму закону Кирхгофа для контуров (1.4), проходящих по первой и второй ветви, содержащих источники ЭДС, совершая обход контуров по часовой стрелке.

Первая ветвь: $E_1 = I_1(r_{01} + R_1) + U_{ab}$.

Вторая ветвь: $-E_2 = -I_2(r_{02} + R_2) + U_{ab}$.

gif-file, 2KB
Рис. 1.27

Определим значения токов, возникающих в первой и второй ветвях,

(1.20)

gif-file, 2KB,

(1.21)

gif-file, 2KB,

где: gif-file, 2KB; gif-file, 2KB – проводимости соответственно первой и второй ветвей.

Запишем уравнения по второму закону Кирхгофа для ветвей (1.5), содержащих источники напряжений, совершая обход контуров также по часовой стрелке.

Третья ветвь: $U_{ab} - U_1 + I_3R_3 = 0$.

Четвертая ветвь: $U_{ab} + U_2 - I_4R_4 = 0$.

Определим значения токов, возникающих в третьей и четвертой ветвях,

(1.22)

gif-file, 2KB,

(1.23)

gif-file, 2KB,

где: gif-file, 2KB; gif-file, 2KB – проводимости соответственно третьей и четвертой ветвей.

Ток в пятой ветви определим по закону Ома:

(1.24)

gif-file, 2KB,

где gif-file, 2KB – проводимость пятой ветви.

Для вывода формулы, позволяющей определить напряжение $U_{ab}$, напишем уравнение по первому закону Кирхгофа (1.3) для узла a:

$I_1 - I_2 + I_3 - I_4 - I_5 = 0$.

После замены токов их выражениями (1.20) – (1.24) и соответствующих преобразований получим

gif-file, 2KB.

Формула узлового напряжения в общем случае имеет вид

(1.25)

gif-file, 2KB.

При расчете электрической цепи методом узлового напряжения после определения величины напряжения $U_{ab}$ значения токов в ветвях находят по их выражениям (1.20) – (1.24).

При записи формулы (1.25) следует задаться положительным направлением узлового напряжения $U_{ab}$. Со знаком «+» в (1.25) должны входить ЭДС, направленные между точками a и b встречно напряжению $U_{ab}$, и напряжения ветвей, направленные согласно с $U_{ab}$. Знаки в формуле (1.25) не зависят от направления токов ветвей.

При расчете и анализе электрических цепей методом узлового напряжения рекомендуется выбирать положительные направления токов после определения узлового напряжения. В этом случае при расчете токов по выражениям (1.20) – (1.24) положительные направления токов нетрудно выбрать таким образом, чтобы все они совпадали с их действительными направлениями.

Проверка правильности произведенных расчетов проводится по первому закону Кирхгофа для узла a или b, а также составлением уравнения баланса мощностей (1.8).

Метод эквивалентного генератора

Метод эквивалентного генератора позволяет произвести частичный анализ электрической цепи. Например, определить ток в какой-либо одной ветви сложной электрической цепи и исследовать поведение этой ветви при изменении ее сопротивления. Сущность метода заключается в том, что по отношению к исследуемой ветви amb (рис. 1.28, а) сложная цепь заменяется активным двухполюсником А (смотри рис. 1.23), схема замещения которого представляется эквивалентным источником (эквивалентным генератором) с ЭДС $E_э$ и внутренним сопротивлением $r_{0э}$, нагрузкой для которого является сопротивление $R$ ветви amb.

Если известны ЭДС и сопротивление эквивалентного генератора, то ток $I$ в ветви amb определяется по закону Ома

gif-file, 2KB.

Покажем, что параметры эквивалентного генератора $E_э$ и $r_{0э}$ можно определить соответственно по режимам холостого хода и короткого замыкания активного двухполюсника.

В исследуемую схему (рис. 1.28, а) введем два источника, ЭДС которых $E_1$ и $E_э$ равны и направлены в разные стороны (рис. 1.28, б). При этом величина тока $I$ в ветви amb не изменится. Ток $I$ можно определить как разность двух токов $I=I_э-I_1$, где $I_1$ – ток, вызванный всеми источниками двухполюсника А и ЭДС $E_1$ (рис. 1.28, в); $I_э$ – ток, вызванный только ЭДС $E_э$ (рис. 1.28, г).

Если выбрать ЭДС $E_1$ такой величины, чтобы получить в схеме (1.28, в) ток $I_1=0$, то ток $I$ будет равен (рис. 1.28, г)

gif-file, 2KB,

где $r_{0э}$ – эквивалентное сопротивление двухполюсника А относительно выводов а и b.

gif-file, 2KB

Рис. 1.28

Так как при $I_1=0$ (рис. 1.28, в) активный двухполюсник А будет работать относительно ветви amb в режиме холостого хода, то между выводами a и b установится напряжение холостого хода $U=U_{хх}$ и по второму закону Кирхгофа для контура amba получим $E_1=I_1R+U_{хх}=U_{хх}$. Но по условию $E_э=E_1$, поэтому и $E_э=U_{хх}$. Учитывая это, формулу для определения тока $I$ можно записать в такой форме:

(1.26)

gif-file, 2KB.

В соответствии с (1.26) электрическая цепь на рис. 1.28, а может быть заменена эквивалентной цепью (рис. 1.28, д), в которой $E_э=U_{хх}$ и $r_{0э}$ следует рассматривать в качестве параметров некоторого эквивалентного генератора.

Значения $E_э=U_{хх}$ и $r_{0э}$ можно определить как расчетным, так и экспериментальным путем. Для расчетного определения $U_{хх}$ и $r_{0э}$ необходимо знать параметры элементов активного двухполюсника и схему их соединения.

Для определения величины $r_{0э}$ необходимо удалить из схемы двухполюсника все источники, сохранив все резистивные элементы, в том числе и внутренние сопротивления источников ЭДС. Внутренние сопротивления источников напряжений принять равными нулю. Затем рассчитать известными методами эквивалентное сопротивление относительно выводов ab.

Для определения величины $E_э$ разомкнем цепь и определим по методу узлового напряжения напряжение $U_{ab}=U_{хх}=E_э$ между выводами ab активного двухполюсника.

Экспериментально параметры эквивалентного генератора можно определить по результатам двух опытов. Разомкнув ветвь с сопротивление $R$ (рис. 1.28, д), измеряем напряжение между выводами a и b $U_{ab}=U_{хх}=E_э$ (опыт холостого хода).

Для определения $r_{0э}$ проводится (если это допустимо) опыт короткого замыкания: заданная ветвь замыкается накоротко и в ней измеряется ток короткого замыкания $I_{кз}$. По закону Ома рассчитываем величину $r_{0э}=E_э/I_{кз}$.