Методы расчета цепей

Существует большое разнообразие цепей преобразующих ту или иную энергонесущую материю. Какова бы ни была энергонесущая материя (например, электрический ток), и в каком бы режиме ни функционировала преобразующая энергию цепь, существует ограниченный набор универсальных методов для их анализа и расчета. Цель расчета цепей состоит в уточнении величин токов и падений напряжения на элементах во всех режимах работы. Познакомимся с наиболее универсальными методами.

Закон Ома

Каждое конкретное электрическое или электронное устройство описывается конкретной системой дифференциально-алгебраических уравнений. Сравнительный анализ большого количества математических описаний позволил выявить лишь три модели, которые признаны фундаментальными. Им соответствуют реально существующие, пассивные, преобразующие энергию элементы:

Преобразование электрической энергии R, L и C элементами описывается законом Ома. Форма записи закона Ома индивидуальна для каждого элемента:

gif-file, 2KB

Закон Ома наглядно демонстрирует, как физические величины первого и второго рода (ток и напряжение) связаны свойством преобразующего энергию элемента, т.е. активным индуктивным или емкостным сопротивлением.

Насколько бы сложной ни была энергопреобразующая электрическая цепь, и каким бы методом мы не пользовались для ее расчета — системы уравнений всегда составляются на основе этих формул. Существует большое количество чисто математических приемов, которые позволяют рассчитывать цепи (в том числе с L и C элементами) не прибегая к дифференциальному исчислению.

Законы Кирхгофа

Законы Кирхгофа являются вариантом формулировки постулатов о сохранении материи и энергетического потенциала для электрических энергопреобразующих цепей. Введем определения.

Узел электрической цепи
Место соединения трёх и более ветвей. В схемах электрических принципиальных обозначается точкой.
Ветвь электрической цепи
Участок электрической цепи, содержащий только последовательно включённые элементы.
Контур электрической цепи
Замкнутый путь, проходящий через несколько узлов и ветвей электрической цепи.

I закон Кирхгофа — является следствием закона сохранения заряда, согласно которому в любом узле заряд не может ни накапливатся, ни убывать. Закон формулируется как для цепей постоянного, так и для цепей переменного тока.

Для цепей постоянного тока алгебраическая сумма токов в узлах равна нулю.

Для цепей переменного тока геометрическая сумма токов в узлах равна нулю.

II закон Кирхгофа — является следствием закона сохранения энергии, в силу которого изменение потенциала в замкнутом контуре равно нулю. Закон формулируется как для цепей постоянного, так и для цепей переменного тока.

Для цепей постоянного тока алгебраическая сумма падений напряжения в контуре равна нулю.

Для цепей переменного тока геометрическая сумма падений напряжения в контуре равна нулю.

Опираясь на законы Ома и Кирхгофа можно рассчитать абсолютно любую электрическую цепь. Другие методы расчета цепей разработаны исключительно для уменьшения объема требуемых вычислений.

Последовательность действий:

  1. Произвольно назначают направления токов в ветвях.
  2. Произвольно назначают направления обхода контуров.
  3. Записывают У - 1 уравнение по I закону Кирхгофа. (У — число узлов в цепи).
  4. Записывают В - У + 1 уравнение по II закону Кирхгофа. (В — число ветвей в цепи).
  5. Решают систему уравнений относительно токов и уточняют величины падений напряжения на элементах.

Примечания:

Правильность расчетов можно проверить, составив баланс мощностей. В электрической цепи сумма мощностей источников питания равна сумме мощностей потребителей:

gif-file, 2KB

Следует помнить, что тот или иной источник схемы может не генерировать энергию, а потреблять ее (процесс зарядки аккумуляторов). В таком случае направление тока, протекающего по участку с этим источником, встречное направлению ЭДС. Источники в таком режиме должны войти в баланс мощностей со знаком "-".

Эквивалентные преобразования электрических цепей

Разнообразие и сложность преобразующих электрическую энергию схем мнимые. Существуют лишь четыре способа соединения электрических элементов:

...

Основные принципы и свойства линейных цепей

Все методы расчета цепей были разработаны на базе фундаментальных принципов функционирования энергопреобразующих цепей и их общих свойств. Познакомимся с их сутью:

Принцип суперпозиции

Действие любого количества источников электрической энергии на линейную электрическую цепь независимо. Ток в любой ветви схемы равен алгебраической сумме токов, вызываемых каждым источником в отдельности.

Принцип компенсации

Любой пассивный участок цепи (ветвь или ее часть) с известным напряжением может быть замещён источником ЭДС соответствующего номинала, а любая ветвь цепи с известным током может быть замещена источником тока той же величины. Режим работы оставшихся элементов при этом не изменится.

Принцип взаимности

Для любой линейной электрической цепи ток, протекающий в какой-то k-той ветви, который вызван действием ЭДС, находящейся в ветви m, будет равен току, протекающему в ветви m, вызванному действием ЭДС, находящейся в ветви k, которая численно равна первой ЭДС.

Электрические цепи, для которых этот принцип не соблюдается, называются необратимыми цепями. К ним относятся нелинейные цепи.

Свойство однозначности состояния

Линейные электрические цепи обладают свойством однозначности электрического состояния всех элементов.

Режимы работы цепей

Многие методы расчета цепей в своей основе опираются на особые, часто встречающиеся и легко идентифицируемые техническими средствами режимы работы энергопреобразующих цепей. Познакомимся с ними:

Режим холостого хода

Режим короткого замыкания

Режим номинальной работы

Режим согласованной работы

Эквивалентные замены E и J

Достаточно часто, до использования того или иного метода расчета цепей требуется несущественная предварительная трансформация электрической схемы, которая заключается в эквивалентной замене всех источников тока источниками ЭДС или наоборот. Познакомимся с сутью этих трансформаций:

Метод эквивалентных преобразований

Метод эквивалентных преобразований используется в случае, если цепь содержит лишь один источник электрической энергии. Если это не так, то можно пользоваться принципом суперпозиции, однако придется повторить расчеты столько раз, сколько источников содержит цепь (в таких случаях другие методы потребуют меньше вычислений).

Последовательность действий:

  1. С помощью эквивалентных преобразований сводят схему к одному эквивалентному сопротивлению, подключенному к источнику.
  2. Уточняют первый неизвестный ток (потребляемый схемой от источника).
  3. С помощью обратных преобразований, постепенно восстанавливают схему, попутно уточняя неизвестные токи и напряжения.

Метод пропорциональных величин

Метод эквивалентного генератора

Метод двух узлов

Метод контурных токов

Метод применяется в тех случаях, когда число уравнений, которые должны быть записаны для электрической цепи на основании II-го закона Кирхгофа, меньше, чем число уравнений, которые должны быть записаны на основании I-го закона Кирхгофа.

При расчёте методом контурных токов полагают, что в каждом независимом контуре схемы течет свой контурный ток. Уравнения составляют и решают относительно контурных токов. Токи в смежных ветвях уточняют по принципу суперпозиции. Число неизвестных в методе равно числу уравнений, которые необходимо было бы составить по II закону Кирхгофа.

Последовательность действий:

  1. Выбор К контуров с минимальным количеством элементов (К = В - У + 1).
  2. Запись К уравнений по II закону Кирхгофа в матричной форме и решение на ЭВМ.
  3. Расчет токов в смежных ветвях.

Рекомендации к применению метода:


Линейные цепи постоянного тока

Простейшая электрическая цепь

Электрическая цепь – совокупность электротехнических устройств, обеспечивающий замкнутый контур для электрического тока (направленное движение заряженных частиц).

Ток: gif-file, 2KB – количество электричества через единицу площади поперечного сечения за единицу времени – постоянный ток.

gif-file, 2KB – мгновенное значение тока – переменный ток.

Напряжение – работа, совершаемая электрическим полем по перемещению заряда от точки высшего потенциала к точке нижнего потенциала.

Основными элементами цепи являются: источники, потребители, соединительные провода, измерительные приборы, коммутационный аппарат.

Источник – устройство, преображающее различные виды энергии в электрическую.

Основной вид – генератор: преобразует механическую энергию в электрическую.

gif-file, 2KB

Гальванический элемент (батарея): преображает энергию химической реакции в электрическую.

gif-file, 2KB

Каждый источник характеризуется тремя параметрами:

ЭДС источника [E] – работа сторонних сил по перемещению заряда от точки низшего потенциала к точке высшего потенциала.

Внешнее сопротивление источника [ro].

КПД источника [η]:

gif-file, 2KB

gif-file, 2KB

Напряжение нагрузки: U12 = U34; gif-file, 2KB ; U=E – ΔU; E=Ir + Ir0.

Следует помнить, что мы рассматриваем только источники напряжения!

ro<<<r

Ir = U; Ir0 = ΔU; U = E – Ir0; U = f(I)

gif-file, 2KB

Чем больше ток, тем меньше напряжение на зажимах источника.

gif-file, 2KB

мощность вырабатываемая источником: P = EI;

мощность потребителя: Рпотр = I2 r

мощность потерь в самом источнике gif-file, 2KB

Потребители – устройства, преобразующие электрическую энергию в другие.

электрическую энергию в механическую.

gif-file, 2KB

электрическую энергию в тепловую (печи сопротивления, нагревательные печи).

gif-file, 2KB

электрическую энергию в световую и тепловую ( электрическая лампа).

gif-file, 2KB

Соединительные провода характеризуются сопротивлением: gif-file, 2KB

Измерительные приборы: амперметр включают с нагрузкой:

gif-file, 2KB

Напряжение измеряется вольтметром, который включается параллельно нагрузке. Сопротивление обмотки должно быть больше, чем сопротивление нагрузки.

gif-file, 2KB

Активная мощность имеет токовую обмотку и обмотку напряжения, начала которых соединены в одну точку.

gif-file, 2KB

Коммутационный аппарат: замыкает и размыкает цепь.

Режимы работы электрической цепи

1. Режим холостого хода

gif-file, 2KB

I = 0; U = E; η = 0

Желательно исключить такие режимы.

2. Номинальный режим

Это тот режим , для которого и предназначена электрическая цепь. В этом режиме она может работать сколь угодно долго, и температура всех элементов цепи не будет превышать допустимого значения.

3. Режим короткого замыкания

gif-file, 2KB

gif-file, 2KB

Это аварийный режим.

4. Режим согласованный

Это режим, при котором во внешней цепи передается максимальная активная мощность при заданной мощности источника.

gif-file, 2KB

Методы расчета линейных цепей постоянного тока

Основные законы электрических цепей:

gif-file, 2KBgif-file, 2KB gif-file, 2KB gif-file, 2KB

Узел электрической цепи – точка, в которой сходятся не менее трех токов.

gif-file, 2KB

Ветвь электрической цепи – участок цепи, составленный последующим соединением из сопротивлений, источников, на которых протекает один и тот же ток.

gif-file, 2KB

Ветвь – это участок цепи между двумя узлами.

I закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов сходится в одном узле и равна нулю.

II закон Кирхгофа: В любом замкнутом контуре алгебраическая сумма ЭДС, входящих в этот контур, равна алгебраической сумме падений напряжений на всех участках этого контура. При составлении уравнений условно задаются направлением обхода контура. И ЭДС, совпадающая с обходом контура, берется со знаком "+", а не совпадающая – со знаком "-".

При симметрии падений напряжений те напряжения, на участке которых ток совпадает с направлением обхода, берутся со знаком "+", а те напряжения, на участке которых ток не совпадает с направлением обхода, соответственно со знаком "-".

gif-file, 2KB

gif-file, 2KB

Расчет простейших цепей

Простейшей цепью называется цепь, содержащая один источник питания.

Рассмотрим виды соединения простейших электрических цепей.

1) Последовательное соединение потребителей (резисторов)

gif-file, 2KBgif-file, 2KB

По II закону Кирхгофа:

Е = U1 + U2 + U3 + U4,

U1 = I··r1,

U2 = I·r2,

U3 = I·r3,

U4 = I·r4,

E=I(r1 + r2 + r3 + r4)=I·rэкв, где rэкв =r1 + r2 + r3 + r4,

gif-file, 2KB, EI=I2·rЭКВ – условие баланса цепей.

2) Параллельное соединение потребителей (резисторов)

gif-file, 2KBgif-file, 2KB

По I закону Кирхгофа:·

I = I1 + I2 + I3,

I1 = E/r1 = E·g1, g1=1/r1, где g-проводимость,

I2 = E/r2 = E·g2,

I3 = E/r3 = E·g3,

I = E(g1 + g2 + g3) = E·gэкв, где gэкв = g1 + g2 + g3,

Rэкв=1/gэкв, I = E/rэкв,

EI = I12 r1+I22 r2+I32 r3.

3) Смешанное соединение

gif-file, 2KBgif-file, 2KBgif-file, 2KB

gif-file, 2KB

Расчет сложных электрических цепей

Сложной электрической цепью называется цепь, содержащая несколько источников энергии, несколько контуров.

Метод по уравнениям Кирхгофа – универсальный метод расчета сложных электрических цепей.

Считаются заданными значения всех ЭДС источников и значения всех сопротивлений. Нужно определить токи. Для этого:

1. Определить число ветвей (число токов) – n;

2. Определить число узлов – m;

3. Условно задать направление токов в ветвях и составить (m-1) уравнений;

4. Определить необходимое число уравнений (по II закону Кирхгофа) и выбрать соответствующее число замкнутых контуров n-(m-1).

5. Выбрать условное направление обхода контуров, составить необходимое число уравнений по II закону Кирхгофа;

6. Решить полученную систему уравнений и определить все токи. Если в результате токи получились со знаком +, то направление было выбрано правильно.

7. Произвести проверку баланса мощностей.

gif-file, 2KB

gif-file, 2KB

n=6, m=4

1). узел A: I1 + I2 + I6 = 0

2). узел B: I5 - I1 - I3 = 0

3). узел С: I4 + I3 - I2 = 0

4). контур I: Е1 - Е2 - Е3 = I1 (r1 + r6) - I2·r2 - I3·r3

5). контур II: E2 + E4 = I2·r2 + I6·r7 + I4·r4

6). контур III: E3 + E5 - E4 = I5 (r5 + r8) + I3·r3 - I4·r4