Работа № 2
Расчет электродинамических усилий в электрических аппаратах по энергетическому балансу

Рабочие файлы: [zdch_21.mcd]

Цель работы

Ознакомление с порядком расчета электродинамических усилий между обмотками электрических машин, приборов, аппаратов, имеющих общее магнитное поле. Приобретение навыка использования математической программы для статических расчетов – Mathcad.

Программа работы в лаборатории

  1. Прочитать условия задачи, теоретическое описание и методические рекомендации.
  2. Запустить Mathcad. Модифицировать рабочие файлы и решить задачи по варианту.
  3. Подготовить совокупность документирующих скриншотов. Составить отчет в Word'е.

Задача

Определить усилие, действующее между двумя круговыми витками 1, 2 (см. рис. и табл.), если по виткам протекают токи $I_1$, $I_2$. Радиусы витков $R_1$, $R_2$. Радиусы проводников, из которых витки изготовлены $r_1$, $r_2$. Расстояние между витками – $h$. Находятся они в воздухе – $μ_0=4π10^{-7}$, Гн/м. Вычислить усилия разрывающие витки, давления сжимающие проводники, а также определить направления усилий.

pz_02_01.png, 2,7kB

Рис. 1. Эскиз расположения витков с током

Таблица 1
Вар. $R_1$,
м
$R_2$,
м
$h$,
м
$r_1$,
мм
$r_2$,
мм
$I_1$,
кА
$I_2$,
кА

Вар. $R_1$,
м
$R_2$,
м
$h$,
м
$r_1$,
мм
$r_2$,
мм
$I_1$,
кА
$I_2$,
кА
1 0,5 1,0 0,50 10 10 10 15 11 0,2 0,3 0,20 5 5 4 2
2 0,6 1,0 0,60 10 10 10 15 12 0,4 0,6 0,40 8 8 7 5
3 0,3 0,6 0,30 10 10 10 15 13 0,3 0,5 0,30 8 8 7 7
4 0,2 0,4 0,20 5 5 5 5 14 0,4 0,8 0,45 10 10 8 12
5 0,2 0,4 0,15 5 5 3 2 15 0,5 0,8 0,50 10 10 12 12
6 0,2 0,3 0,20 5 5 2 2 16 0,3 0,5 0,40 10 10 15 15
7 0,1 0,2 0,10 2 2 2 1 17 0,6 1,0 0,50 8 8 10 10
8 0,1 0,2 0,10 3 3 1 3 18 0,6 1,0 0,70 10 10 12 12
9 0,3 0,5 0,25 3 3 3 1 19 0,6 1,0 0,80 10 10 15 15
10 0,3 0,5 0,30 5 5 3 3 20 0,3 0,6 0,30 2 2 4 4

Теоретическое описание

Существует простая аналитическая формула связывающая геометрию витка провода и его индуктивность. Поэтому задачи, связанные с расчётом электродинамических усилий в обмотках электрических машин и аппаратов легче решать по методу энергетического баланса. Приведем упомянутую формулу

pz_02_10.png, 3,7kB .

Деформировать проводники с током может лишь накопленная в них электромагнитная энергия $W$ (электростатическая энергия в обмотках любых электрических аппаратов пренебрежимо мала). Тогда ЭДУ в заданном направлении изменения геометрии витка (допустим по координате $g$) можно вычислить по приращению энергии $f=dW/dg$. Если речь идет о двух катушках или двух витках с общим полем – формулу можно уточнить

pz_02_05.png, 3,7kB ,   где: pz_02_02.png, 3,9kB .

Система двух витков с током – линейна, поэтому, используя принцип суперпозиции, действующую силу $f$ лучше разложить на составляющие. Во-первых, удобно рассматривать элементарные усилия, равномерно распределённые по окружности витка и стремящиеся увеличить его диаметр $f_R$ (действующие по радиусу). Во-вторых, если эти элементарные усилия проинтегрировать по половине дуги витка с учётом направления их действия, то получим силу, стремящуюся растянуть провод витка: $F_q=_0^{π/2}∫f_RR\sinφdφ=F_R/2π$. В-третьих, если рассматривать катушку, ток в витках которой сонаправлен, то будем иметь силу, стремящуюся, в соответствии с принципом суперпозиции, сжать витки и увеличить средний диаметр катушки.

Методические указания

Осевую составляющую усилия между витками следует вычислить, продифференцировав взаимную индуктивность по этому направлению

$F_h=I_1I_2·dM/dh=-I_1I_2μ_0R_1h/[h^2+(R_2-R_1)^2]$.

Знак минус свидетельствует о том, что с уменьшением расстояния взаимная индуктивность увеличивается.

Радиальные составляющие усилий вычисляются аналогично

pz_02_03.png, 7,9kB   и   pz_02_04.png, 5,1kB.

Знак минус во второй формуле свидетельствует о том, что сила сжимает виток 2 (виток 1 – растягивается). Примечание. Если привести результирующие силы к длинам дуг витков – результат по модулю должен быть равным.

Усилия, обусловленные собственными индуктивностями контуров, определяются по формулам

pz_02_06.png, 5,3kB   и   pz_02_07.png, 5,0kB.

Тогда результирующие силы, равномерно распределённые по дугам окружностей соответствующих витков и стремящиеся увеличить их диаметр

$F_{R1}=F'_{R1}+F''_{R1}$   и   $F_{R2}=F'_{R2}+F''_{R2}$.

Если элементарные усилия, стремящиеся увеличить диаметр витка, проинтегрировать с учётом направления их действия на половине окружности, то получим силу, стремящуюся растянуть провод витка: $F_1=F_{R1}/2π$ и $F_2=F_{R2}/2π$.

Для определения сил, сжимающих витки, необходимо вычислить

$F_{r1}=1/2×I_1^2dL_1/dr_1=-1/2×I_1^2μ_0R_1/r_1$   и   $F_{r2}=1/2×I_2^2dL_2/dr_2=-1/2×I_2^2μ_0R_2/r_2$.

Эти силы распределены равномерно по боковым поверхностям витков. Здесь знаки минус свидетельствуют о том, что происходит сжатие проводников. Следовательно, давления, действующие на боковые поверхности проводников

$p_1=F_{r1}/(2πr_1·2πR_1)$   и   $p_2=F_{r2}/(2πr_2·2πR_2)$.

27.08.2013