Федосов Борис Трофимович
РИИ, Рудный, Казахстан
Клиначёв Николай Васильевич
ЮУрГУ, Челябинск, Россия

УДК 681.51.01
Ф338

О методе синтеза линейных систем основанном на построении областей D-разбиения для контурного коэффициента усиления

Метод построения областей D-разбиения для одного параметра [1] предполагает расширение области его значений до всей комплексной плоскости, путем добавления ему свободной мнимой составляющей:

(1)

$k' = k ± jx$.

В последствии, области D-разбиения, построенные в комплексной плоскости, обрезаются до отрезков на оси вещественных чисел, в силу физической природы параметров.

Положим, D-разбиение выполнялось для контурного коэффициента усиления (см. пример 2 в статье [1]). Однако теперь, будем воспринимать временно вводимую для контурного коэффициента усиления мнимую составляющую (в частности на границе областей D-разбиения) чуть иначе:

(2)

$k' = a ± jb = k · e^{±jω_k} = k · e^{±jω_{ср}τ_{кр}} = k · e^{±jμ_1}$.

Сравнение форм записи комплексного коэффициента усиления (2) с передаточной функцией звена чистого запаздывания $e^{-jωτ}$ позволяет расширить интерпретацию результата D-разбиения. Итак, расстояние от начала координат до конкретной точки границы – есть значение контурного коэффициента усиления. Если при данном контурном коэффициенте усиления система устойчива, то угол до этого отрезка – есть запас устойчивости по фазе $μ_1$, который присущ системе.

Перечислим критерии, обеспечивающее системе хорошее качество регулирования при синтезе методом ЛАЧХ:

На рисунке 1 показана область комплексных значений контурного коэффициента усиления $k$, для которой выполняются перечисленные требования.

Формирование области допустимых значений контурного коэффициента усиления САР

Рис. 1. Формирование области допустимых значений комплексного контурного коэффициента усиления САР, в соответствии с требуемыми запасами по амплитуде и фазе

Пример 1. Выбор оптимального значения контурного коэффициента усиления $k$ для системы с ЛАЧХ вида 1-2 при заданном желаемом диапазоне запаса по фазе от $μ_{1min}$ до $μ_{1max}$

Для системы (см. источник [1], пример 2) с характеристическим уравнением:

$(0.02s+1)(0.5s+1)(6.2s+1)+k=0$.

область D-разбиения контурного коэффициента усиления $k$ имеет вид:

Область D-разбиения контурного коэффициента усиления k системы с ЛАЧХ вида 1-2

Рис. 2

Согласно желаемому диапазону запаса по фазе от $μ_{1min}=35°$ до $μ_{1max}=65°$ в плоскости D-разбиения контурного коэффициента усиления $k$ проводятся два луча под соответствующими углами. Отсеченный ими фрагмент границы D-разбиения соответствует диапазону допустимых значений контурного коэффициента усиления $k$. Оптимальным значением будет точка в центре диапазона (см. рис. 3).

Алгоритм выбора оптимального значения контурного коэффициента усиления k в области D-разбиения

Рис. 3. Фрагмент области D-разбиения, увеличенный вблизи оптимального значения контурного коэффициента усиления $k$

Литература

  1. Федосов Б. Т., Клиначёв Н. В. О построении области устойчивости линейной системы по некоторому параметру стандартными средствами программ математического моделирования. http://model.exponenta.ru/d_region.html, Рудный, Челябинск, 2002.
  2. Клюев А. С. Автоматическое регулирование. М., Энергия, 1973. стр. 280.

1.11.2002