Федосов Борис Трофимович
Рудненский индустриальный институт,
Рудный, Казахстан

УДК 681.51.01
Ф338

О расчете и построении частотных характеристик
линейных систем в Маткаде

Рассматриваются простые, но эффективные приемы построения и компактного отображения частотных характеристик, существенно ускоряющие время счета

  1. Неравномерный шаг
  2. Отображение годографа Михайлова
  3. Отображение годографа Найквиста
  4. Вывод
  5. Литература

Частотные характеристики широко используются в ТАУ, электронике, радиотехнике и других научных и технических дисциплинах для анализа и синтеза систем и электронных схем. При этом важно представить их так, чтобы они были наглядны и позволяли отображать свойства системы в широком диапазоне частот, а кроме того, вычислялись быстро.

1. Неравномерный шаг

Для ускорения построения ЛАЧХ и ЛФЧХ в Маткаде, целесообразно использовать неравномерный шаг, задавая постоянный шаг в показателе.

ЛАЧХ (логарифмическая амплитудно-частотная характеристика)

gif-file, 20KB

Рис.1. Сокращение времени вычисления и построения ЛАЧХ путем применения неравномерного шага, изменяющегося по показательному закону. В данном примере число вычисляемых значений сокращается в 1000 раз при сохранении точности построения графика частотной характеристики (ЛАЧХ)

ЛФЧХ (логарифмическая фазо-частотная характеристика)

gif-file, 20KB

Рис. 2. Маткад вычисляет главные значения аргумента комплексного коэффициента передачи. Чтобы ЛФЧХ выглядела привычно нужно опустить ее правую часть на 3600

Д.т.н., профессор кафедры систем автоматического управления Николай Николаевич Макаров (Тульский государственный университет) любезно подсказал, что построить ЛФЧХ можно и не привлекая инструменты программирования Маткада. Решение было предложено учеником Николая Николаевича, Есиповым Александром Николаевичем. Поскольку сотни студентов с этим решением сталкивались, оно, по словам Николая Николаевича, уже стало как бы народным.

Зададим массив частот длиной n, для которых будет вычисляться фаза. Частоту в массиве будем изменять не линейно, а логарифмически, чтобы точки равномерно располагались на логарифмической шкале

gif-file, 20KB

Рис.2a. Вычисление и построение ФЧХ через приращение аргументов

gif-file, 20KB

Рис.3. Опустите самостоятельно отрезки ЛФЧХ на свои места. В общем случае для этого нужно написать программу для φ2w(ω) на языке Маткада

Альтернативный способ построения, применяемый на кафедре систем автоматического управления Тульского государственного университета:

Зададим массив частот длиной n, для которых будет вычисляться фаза. Частоту в массиве будем изменять не линейно, а логарифмически, чтобы точки равномерно располагались на логарифмической шкале

gif-file, 20KB

Рис.3a. Вычисление и построение ФЧХ контура со звеном запаздывания через приращение аргументов

Vissim иногда смещает ЛФЧХ вверх. При построении ЛФЧХ САР со звеном запаздывания в контуре Vissim это звено не учитывает.

ПК «МВТУ» строит ЛАЧХ в классической форме:

gif-file, 20KB

Рис. 4. ЛФЧХ контура со звеном запаздывания, построенная в ПК «МВТУ». По горизонтальной оси отложены не частота, а ее логарифм, что не очень удобно

2. Отображение годографа Михайлова

Часто для того, чтобы проследить поведение годографа в большом диапазоне частот, приходится строить его в различных масштабах:

gif-file, 20KB

Рис. 5. Для отображения поведения годографа Михайлова приходится строить его в разных масштабах

При построении годографа Михайлова важно правильно отобразить его поведение в районах пересечения осей, а также его стремление к бесконечности.

Эти задачи решает изменение по логарифмическому закону модуля функции, годограф которой строится, за пределами окружности радиуса 2 единицы с центром в начале координат. Внутри этой окружности сохраняется натуральный масштаб, а на окружности линии соединяются (припасовываются):

gif-file, 20KB

Рис. 6. Годограф Михайлова (годограф характеристического полинома САР). Представление модуля характеристического полинома за пределами окружности радиусом 2 единицы в логарифмическом масштабе позволяет показать поведение годографа для очень большого диапазона изменения частоты. В частности, здесь хорошо видно, что годограф системы третьего порядка при стремлении частоты к бесконечности тяготеет асимптотически к мнимой оси, т.е. аргумент действительно изменяется на -2700, что трудно увидеть и почувствовать на графике, построенном в натуральном масштабе (см. рис. 5).

3. Отображение годографа Найквиста

При построении годографа Найквиста (годографа комплексного коэффициента передачи разомкнутого контура САР) важно правильно отобразить углы (аргументы ККП), а также поведение годографа, когда модули ККП велики, например, когда в контуре имеются интеграторы при частоте, стремящейся к нулю.

Для того, чтобы проследить поведение годографа в большом диапазоне частот, приходится его строить в различных масштабах:

gif-file, 20KB

Рис. 7. Годограф комплексного коэффициента передачи разомкнутого контура САР построен в натуральном масштабе

Использование логарифмического масштаба для модуля ККП за пределами окружности радиуса 2 позволяет рационально представить годограф, сохраняя правильное отображение аргумента ККП:

gif-file, 20KB

Рис. 8. Годограф ККП построенный в натуральном масштабе в пределах окружности с радиусом, равным 2, и в логарифмическом масштабе за пределами круга. Диапазон частот очень широк и одновременно отображение аргумента ККП производится правильно.
Справа приведена альтернативная формула для вычисления модуля ККП в натурально-логарифмическом масштабе и показана концентрическая сетка координат для упрощения отсчитывания значения этого модуля (добавлено 30.04.2010)

Вывод

Два простых приема: использование неравномерного шага и логарифмического масштаба за пределами окружности радиуса 2, позволяет ускорить время счета и отобразить на графиках поведение частотных характеристик в большом диапазоне частот.

Литература

10.04.2006

Добавление 20.02.2009

Добавление 23.09.2012

Л.Н. Данилович со своими курсантами предложил в 2005 году альтернативные способы представления годографа Михайлова. Такое представление может иметь определенный методический интерес. Например, искажение годографа позволяет нагляднее представлять какой из членов полинома влияет в наибольшей степени в данном частотном диапазоне.

***