Федосов Борис Трофимович
Рудненский индустриальный институт,
Рудный, Казахстан
Об авторе

УДК 681.51.01
Ф338

Ответы и решения задач олимпиады по курсу ТАУ
(теории линейных и нелинейных систем управления)

Содержание

       Глубокое освоение предмета в любой области человеческих знаний основывается на решении множества типовых и более сложных, нестандартных задач. Изучая только теорию, или, в дополнение, знакомясь с решением задач, выполненных кем-то, студент не сможет достаточно глубоко освоить теорию автоматического управления, ее методы и инструменты анализа и оптимизации систем управления, а также не сможет приобрести практические навыки решения задач.

       Представляемые ниже задачи давались на олимпиаде по ТАУ, проведенной в декабре 2010 года в Рудненском индустриальном институте. Студентам, бакалаврам, специалистам и магистрантам настоятельно рекомендуется сначала попробовать самостоятельно решить задачи, а потом соотнести решения с предлагаемыми. Особенность задач в том, что правильных решений может быть несколько, более того, в некоторых случаях и правильных ответов может быть несколько, что случается и при решении реальных задач. Даже если решение студенту не удается, но эта попытка тоже не будет потрачена зря: разбирая предлагаемые решения и соотнося со своими, студент сможет найти пробелы в своей подготовке и устранить их, тем самым он повысит уровень усвоения предмета.

       Задачи олимпиады в первую очередь направлены на проявление студентами творческого подхода при решении пусть простых, но нестандартных задач. Естественно, что студент должен владеть теорией и практикой, а также современными компьютерными средствами анализа и оптимизации систем автоматического регулирования, т.е. программами виртуального моделирования (Vissim, или ПК "МВТУ", или Simulink, или Jigrein), а также программами аналитического моделирования (Маткад или Matlab).

       Решения задач, особенно в Маткаде, на первый взгляд могут показаться весьма громоздкими. Но для получения результата нужно всего лишь ввести начальные формулы и значения исходных коэффициентов. Остальная работа проводится с использованием мыши, иногда при этом требуется удерживать нажатой еще и клавишу Ctrl. Поэтому, несмотря на наличие многих формул в промежуточных результатах, они получаются весьма легко.

Задания и задачи

Задача 1

Даны схемы моделей двух САР:

Рис. 1. Модели САР

Рис. 1. Модели САР

Определить отношение их статических коэффициентов усиления.

Начисление баллов: до 3 баллов.

- решение в Vissim'е - 1 балл;

- решение в Маткаде - 1 - 2 балла;

- решение ручкой на бумаге (или, что то же самое, в Ворде) с использованием калькулятора - 2 балла;

- решение в уме, с кратким аналитическим обоснованием на бумаге (в Ворде) - 3 балла

Решения задачи 1

1.1. Решение в Виссиме (1 балл)

Построить модели САР, определить их переходные функции. Установившиеся значения переходных функций и будут статическими коэффициентами усиления САР.

Рис. 1.1. Решение в Виссиме

Рис. 1.1. Решение в Виссиме

1.2. Решения в Маткаде (1 или 2 балла)

А. Определить передаточные функции САР и по ним определить коэффициенты усиления. Для примера см. 2.2.

Найти отношение этих коэффициентов. (1 балл)

Б. Получить передаточные функции САР, используя символьные операции. Построить переходные функции САР и по ним определить коэффициенты усиления.

Найти отношение этих коэффициентов. (1 балл)

1.3. Решение ручкой на бумаге (или, что то же самое, в редакторе формул Ворда) с использованием калькулятора - 2 балла

Вывести формулы передаточных функций САР, используя теоремы о соединении звеньев, определить по ним коэффициенты усиления САР и найти их отношение.

1.4. Решение в уме

А. Решение с обоснованием (привести на бумаге или в редакторе формул Ворда).

Данные САР астатические, поскольку в их контурах имеются интеграторы. Следовательно, ошибка установившегося режима этих САР равна нулю.


(1.4.1)

Отсюда






(1.4.2)

Для вычисления отношения статических коэффициентов САР нужно разделить коэффициент усиления обратной связи второй САР на такой же коэффициент первой САР (3 балла).

Б. Решение без обоснования

Для вычисления отношения статических коэффициентов САР нужно разделить коэффициент усиления обратной связи второй САР на такой же коэффициент первой САР (1 балл, поскольку нет обоснования).



Задача 2

Найти передаточную функцию САР, схема которой представлена. Выразить передаточную функцию в канонической форме.

Рис. 2. Схема САР

Рис. 2. Схема САР

Начисление баллов - до 4 баллов

Решения задачи 2

2.1. Решение в Vissim'е - 2 балла

Построить модель САР, подключить ее к генератору ступеньки и осциллографу, запустить моделирование. Выделить модель САР, а затем выбрать в меню Analyze - Transfer Functions Info. В появившемся окне выбрать и записать на бумаге коэффициент усиления, коэффициенты числителя (Numerator) и знаменателя (Denominator), а затем преобразовать дробь к каноническому виду (единичные свободные члены полиномов числителя и знаменателя). Построить переходные функции обеих моделей, для подтверждения правильности результата проведенных выкладок

Рис. 2.1. Схема САР

Рис. 2.1.1. Коэффициенты передаточной функции замкнутой САР

Преобразование к канонической форме удобнее провести в Маткаде:

Рис. 2.1.2. Коэффициенты передаточной функции замкнутой САР

Рис. 2.1.2. Преобразование коэффициентов передаточной функции замкнутой САР и результирующее выражение для передаточной функции

Ответ и проверка решения:

Рис. 2.1.3. Предаточная функция замкнутой САР в виде, даваемом VisSim'ом и в каноническом виде

Рис. 2.1.3. Выражения для предаточной функции замкнутой САР в виде, даваемом VisSim'ом и в каноническом виде приводят к одинаковым переходным функциям. Следовательно, выражения эквивалентны

Ответ в Worde:



(2.1.1)

2.2. Решение в Маткаде - 2 балла

Записать выражения для передаточных функций элементов САР. Пользуясь теоремами о соединении звеньев и символьными операциями Маткада получить передаточную функцию САР. Для проверки правильности решения построить переходную функцию САР

Рис. 2.2.1. Решение в Маткаде

Рис. 2.2.1. Решение в Маткаде. Передаточная функция разомкнутого контура

Рис. 2.2.2. Решение в Маткаде

Рис. 2.2.2. Решение в Маткаде. Передаточная функция замкнутого контура САР

Рис. 2.2.3. Решение в Маткаде

Рис. 2.2.3. Сравнение решений, полученных в Маткаде и в VisSim'е. Переходные функции совпадают, следовательно решения эквивалентные. Значения переходной функции, полученные в VisSim'е и выведенные там на осциллограф, сохранены в файле, а из файла вынесены на рабочее поле Маткада (переменная Per_Vis). В принципе, можно поступить и наоборот: вынести на рабочее поле VisSim'а блок Маткада, вычислять в нем переходную функцию и значения передавать на осциллограф

2.3. Решение ручкой на бумаге
(или, что то же самое, оформление в Ворде) с использованием калькулятора - 4 балла

Приближенное решение

Используя теоремы о соединении звеньев получить передаточную функцию системы. Убедиться, используя, например, критерий Воронова, в устойчивости САР. Упростить передаточную функцию САР, ограничившись моделью второго порядка, для которой по известной формуле переходной функции звена второго порядка построить переходную функцию.



Задача 3

Для схемы САР

Рис. 3.1. Схема САР

Рис. 3.1. Схема САР

определить показатели качества переходного и установившегося режимов: время регулирования, перерегулирование, степень астатизма и коэффициенты ошибок по положению с0 и скорости с1. Для этой же схемы определить частоту среза, частоту омега-пи (ωπ ), запасы устойчивости по фазе и амплитуде.

Начисление баллов - до 7 баллов

Решения задачи 3

3.1. Решение в Vissim'е - 3 балла
3.1.1. Показатели качества переходного режима:

Рис. 3.1.1. Показатели качества САР

Рис. 3.1.1. Показатели качества САР в переходном режиме. Время регулирования tp = 1.03 сек, перерегулирование сигма = 5%

3.1.2. Астатизм

Астатизм равен единице (ПИ-регулятор и объект с самовыравниванием в контуре).

3.1.3. Коэффициенты ошибок

Рис. 3.1.3. Коэффициенты ошибок САР

Рис. 3.1.3. Коэффициенты ошибок САР положению с0 = 0 и скорости с1 = 0.6

3.1.4. Запасы устойчивости по амплитуде и фазе

Рис. 3.1.4. Запасы устойчивости САР

Рис. 3.1.4. Запасы устойчивости САР по амплитуде и фазе

3.2. Решение в Маткаде - 3 балла
3.2.1. Передаточная функция разомкнутого контура

Рис. 3.2.1. Передаточная функция разомкнутого контура

Рис. 3.2.1. Передаточная функция разомкнутого контура

3.2.2. Маткад. Запасы устойчивости

Рис. 3.2.2.1. Запасы устойчивости на годографе Найквиста

Рис. 3.2.2.1. Запасы устойчивости на годографе Найквиста, построенном в натурально-логарифмическом масштабе

Рис. 3.2.2.2. Запасы устойчивости на ЛАЧХ и ЛФЧХ

Рис. 3.2.2.2. Запасы устойчивости на ЛАЧХ и ЛФЧХ. Графики справа в большем масштабе для более точного определеняи частоты среза ωср и частоты ωπ

3.2.3. Маткад. Передаточная функция замкнутого контура

Рис. 3.2.3. Передаточная функция замкнутого контура

Рис. 3.2.3. Передаточная функция замкнутого контура

3.2.4. Маткад. Переходная функция (качество переходного режима)

Рис. 3.2.4. Переходная функция САР

Рис. 3.2.4. Переходная функция САР

3.2.5. Маткад. Коэффициенты ошибок

Рис. 3.2.5. Коэффициенты ошибок САР

Рис. 3.2.5. Коэффициенты ошибок САР по положению с0, скорости с1 и ускорению с2



Задача 4

Может ли неустойчивая САР с типовым регулятором следить и стабилизировать? Если нет, то почему? Если да, то как и почему? Проиллюстрировать ответ простейшим примером.

Начисление баллов:

- устное обоснование - 1 балл

- пример в Vissim'е в качестве обоснования решения - 5 баллов.

Решения задачи 4

4.1. Устное обоснование (1 балл)

Вариант ответа 1

Не может, поскольку выходной сигнал неустойчивой линейной САР возрастает неограниченно.

Ответ засчитывается как частично верный - 1 балл.

Здесь студенту следует подчеркнуть слово "линейной", иначе, если это слово будет отсутствовать, ответ будет неверным.

Вариант ответа 2

Может, если неустойчивая САР нелинейная, например имеет релейный регулятор - 1 балл;

4.2. Пример в Vissim'е в качестве обоснования решения - 5 баллов

Неустойчивая нелинейная замкнутая САР с управлением по отклонению, и например, с релейным регулятором, способна как следить, так и стабилизоровать

Пример, такой или подобный:

Рис. 4.2. Неустойчивая нелинейная САР

Рис. 4.2. Неустойчивая нелинейная САР с релейным регулятором осуществляет слежение. Аналогично можно показать, что она способна осуществлять и стабилизацию. Достаточно лишь подать на модель объекта возмущение



Задача 5

Метод гармонической линеаризации

Определить амплитудную и инверсную амплитудную характеристики нелинейного элемента, статическая характеристика которого имеет вид, приведенный ниже. Построить эти характеристики.

Рис. 5.1

Рис. 5.1. Статическая характеристика нелинейного элемента

Начисление баллов:

- решение в Маткаде - 10 баллов;

- решение в Vissim'е (экспериментальное определение) - 10 баллов;

- решение аналитическое, ручкой на бумаге (или, что то же самое, в Ворде) с использованием калькулятора - 10 баллов

Решения задачи 5

5.1. Решение в Маткаде - 10 баллов
5.1.1. Выходной сигнал нелинейного элемента при синусоидальном воздействии на него

Рис. 5.1.1.

Рис. 5.1.1. VisSim. Выходной сигнал нелинейного элемента при синусоидальном воздействии на него

5.1.2. Исходные данные и осциллограммы сигналов

Рис. 5.1.2.

Рис. 5.1.2. Маткад. Исходные данные и осциллограммы сигналов

5.1.3. Амплитуда первой гармоники

Рис. 5.1.3.

Рис. 5.1.3. Маткад. Амплитуда первой гармоники

5.1.4. Амплитудная характеристика НЭ

Рис. 5.1.4.

Рис. 5.1.4. Маткад. Амплитудная характеристика НЭ

5.1.5. Инверсная амплитудная характеристика НЭ

Рис. 5.1.5.

Рис. 5.1.5. Маткад. Инверсная амплитудная характеристика НЭ

5.2. Контроль решения в Vissim'е

Контроль решения в Vissim'е см. схему из "3.4. Экспериментальное определение амплитудной характеристики нелинейного элемента " из Федосов Б.Т. Методические указания к выполнению лабораторной работы № 7-3 "Исследование устойчивости и оптимизация нелинейных САР":

Рис. 5.2.

Рис. 5.2. VisSim. Контроль решения



Задача 6

Дана переходная функция замкнутой САР, в контур которой еще не введен регулятор (т.е. используется П-регулятор с единичным усилением).

Рис. 6.1

Рис. 6.1. Переходная функция идентифицируемой САР, представленная в разных временных масштабах

Идентифицировать САР, т.е. построить по возможности более простую ее модель, состоящую из устойчивых типовых звеньев.

Начисление баллов: до 25 баллов

Решения задачи 6

Решение задачи предполагает построение модели контура САР, состоящей из устойчивых звеньев и интеграторов, аппроксимирующей поведение линейной системы, переходная функция которой представлена. Поэтому ПРАВИЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ задачи может быть НЕСКОЛЬКО. Примеры решения представлены ниже.

Первое решение более громоздкое, но оно позволяет студенту продемонстрировать владение техникой работы в Маткаде и VisSim'е, показать более глубокое знание свойств типовых звеньев и навыков их идентификации и моделирования.

Второе решение более простое, основано на стандартном подходе. Поэтому первое решение оценивается существенно выше, чем второе.

Третье решение, правильное на первый взгляд, является некорректным, см. пояснения ниже.

6.1. Первое решение
6.1.1. Построение предварительной модели из последовательно соединенных звеньев

Переходная функция вначале плавно, с малыми колебаниями выходит на уровень 5 единиц, и затем, с течением времени все более заметно колебательно возрастает по экспоненте.

Рис. 6.1.1.1

Рис. 6.1.1.1. Переходная функция идентифицируемой САР, представленная в разных временных масштабах

По переходной функции видно, что САР для начала можно промоделировать двумя последовательно включенными колебательными звеньями (это первая догадка в этой задаче): устойчивым, которое определяет начальное поведение переходной функции, и неустойчивым, все больше определяющим поведение переходной функции с течением времени.

Устойчивое колебательное звено

Переходная функция колебательного звена имеет вид:



(6.1.1)

Судя по переходной функции, устойчивое колебательное звено имеет перерегулирование примерно 5%. Это значит, что декремент затухания δ равен 0.707. Время регулирования tр примерно 3 сек, поэтому постоянная времени Т примерно равна 1 сек. Здесь пока не нужно обращать внимание на быструю колебательную компоненту. Коэффициент усиления колебательного звена равен 5.

Таким образом, передаточная функция устойчивого колебательного звена равна:


(6.1.2)

Неустойчивое колебательное звено

Предварительная оценка параметров неустойчивого колебательного звена, без учета ослабления устойчивым колебательным звеном растущего синусоидального напряжения:

Постоянная времени


(6.1.3)

Декремент и частота затухания


(6.1.4)

Тонкий момент. На самом деле, при последовательном соединении звеньев синусоидальные возрастающие колебания неустойчивого звена ослабляются устойчивым. Ослабление это определяется частотой колебаний:





(6.1.5)

Поэтому, уточненное значение декремента затухания (роста) неустойчивого звена будет равно:


(6.1.6)

Отсюда, передаточная функция неустойчивого звена будет равна:


(6.1.7)

Проверку промежуточного результата проведем в Vissim'е:

Рис. 6.1.1.2

Рис. 6.1.1.2. Проверка промежуточного результата в Vissim'е

Действительно, последовательное соединение неустойчивого и устойчивого звеньев второго порядка приводит к уменьшению скорости роста выходных колебаний по сравнению с их скоростью роста просто на выходе неустойчивого звена.

Как видно, полученная модель состоятельна.

Если решение выполнено до сих пор, то 5 баллов.

6.1.2. Определение структуры контура САР

Пока контура нет, но размыкание контура эквивалентно охвату САР положительной обратной связью, которая полностью компенсирует отрицательную обратную связь. В результате замкнутая САР, охваченная ПОС представляет собой ее разомкнутый контур.

В Vissim'е разомкнуть контур и определить его передаточную функцию:

Рис. 6.1.2.1

Рис. 6.1.2.1. Коэффициенты передаточной функции разомкнутого контура, полученные в Vissim'е

Для определения передаточной функции разомкнутого контура иcпользовать Analyze - Transfer Function Information, сохранить эту информацию в текстовом файле.

Проверить идентичность моделей:

Рис. 6.1.2.2

Рис. 6.1.2.2. Совпадение переходных функций моделей свидетельствует о их идентичнеости

Положительная и отрицательная единичные обратные связи взаимно компенсируют друг друга.

Внешнюю, отрицательную обратную связь верхней схемы можно рассматривать как отрицательную обратную связь идентифицируемой САР, а то, что у нее находится внутри (два исходных блока, охваченных единичной положительной обратной связью) это и есть модель разомкнутого контура САР. Утверждение подтверждается нижней моделью, параметры которой получены на предыдущем рисунке, и осциллограммой переходных функций, которые практически полностью накладываются одна на другую.

Если решение выполнено до сих пор, то 10 баллов.

В разомкнутом контуре звено представить в виде последовательного соединения звеньев первого и второго порядков. Для этого следует найти корни характеристического полинома контура. Проще всего это можно сделать в Vissim'е. Для определения корней разомкнутого контура иcпользовать Analyze - Transfer Function Information, сохранить эту информацию в текстовом файле.

Рис. 6.1.2.3

Рис. 6.1.2.3. Полюса передаточной функции разомкнутого контура

Для получения моделей типовых звеньев значения корней (нулей и полюсов) нужно ввести в числитель и знаменатель блоков Transfer Functions, предварительно вынеся их на рабочее поле. Действительные корни ввести в отдельные блоки, комплексно-сопряженные еще в один.

Рис. 6.1.2.4

Рис. 6.1.2.4. Задание в VisSim'е параметров передаточной функции введением значений нулей и полюсов

Останется только указать в одном из блоков общее усиление контура.

При щелчке по кнопке ОК Vissim покажет в блоке уже не корни, а сам характеристический полином.

Убедиться в идентичности моделей:

Рис. 6.1.2.5

Рис. 6.1.2.5. Проверка идентичности моделей. Переходные функции моделей совпадают, следовательно они идентичны

Если решение выполнено до сих пор, то 15 баллов.

6.1.3. Моделирование неустойчивых звеньев соединением устойчивых

Неустойчивые звенья промоделировать контурами с устойчивыми типовыми звеньями, при необходимости используя не только отрицательную, но и положительную обратную связь.

Неустойчивое звено второго порядка, имеющее колебательный развивающийся переходный процесс, невозможно промоделировать контуром, в котором интегратор и апериодическое звено, т.е. простейшим набором второго порядка: при ООС - невозрастающие колебания, или, как и при ПОС - апериодическое поведение.

Для аппроксимации неустойчивого звена второго порядка с колебательной переходной функцией, следует составить модель из устойчивых звеньев так, чтобы имелась возможность подобрать как частоту, так и скорость нарастания. Поэтому, поскольку наиболее простым вариантом неустойчивого контура с колебательной переходной функцией, составленного из устойчивых типовых звеньев и интеграторов, является звено третьего порядка, простейшее из способных терять устойчивость, два интегратора, усилитель и апериодическое звено (усилитель и постоянная времени апериодического звена позволяют изменять как частоту, так и скорость нарастания), то и составим и настроим такую модель.

Неустойчивое звено первого порядка проще всего промоделировать интегратором, охваченным положительной обратной связью:

Рис. 6.1.3.1.

Рис. 6.1.3.1. Представление неустойчивых звеньев комбинациями устойчивых и нейтральных (интеграторов), охваченных положительной или отрицательной обратной связью

6.1.4. Ответы в Vissim'е, с промежуточными результатами

В решении нужно показать, как получены промежуточные и конечный результаты.

Рис. 6.1.4.1.

Рис. 6.1.4.1. Ответы в Vissim'е, с промежуточными результатами. Как видно переходные функции промежуточных результатов и окончательного ответа весьма близки, что подтверждает эквивалентность исходной, полученной по заданным переходным функциям модели и модели, составленной из устойчивых и нейтральных (интеграторы) звеньев

Получилась модель САР из устойчивых звеньев, решение приближенное. Правильным будут считаться и те, в которых или структура, или параметры звеньев будут отличаться от представленных, но у окончательной модели переходная функция будет приблизительно, с точностью, не хуже 1%, совпадать с исходной. Это полное решение задачи - 25 баллов.

То же решение в Маткаде проводится аналогично.

6.2. Второе решение

Представление модели исключительно простейшими звеньями: интеграторами, усилителями и сумматорами:

Рис. 6.2.1

Рис. 6.2.1. Рабочее поле Маткада. Составление по полученной выше модели замкнутой САР ее дифференциального уравнения. Слева оставлена только старшая производная управляемой, выходной величины. Это позволяет легко построить аналоговую модель системы, описываемой дифференциальным уравнением

Рис. 6.2.2

Рис. 6.2.2. Рабочее поле VisSim'а. Модель, составленная из простейших звеньев состоятельна, поскольку ее переходные функции, построенные в разных масштабах времени, совпадают с исходными

За это решение начисляется 10 баллов

6.3. Третье, некорректное, решение

Рис. 6.3.1

Рис. 6.3.1. Замена неустойчивого звена колебательным звеном некорректна, поскольку колебательное звено всегда усточиво

Некорректность решения, хотя в выбранном временном диапазоне переходные функции и совпадают, объясняется тем, что аппроксимация неустойчивого звена второго порядка выполнена не точно. Поскольку аппроксимирующая схема этого звена имеет второй порядок, то она всегда устойчива.

Совпадение переходных функций обусловлено дискретным характером реализации виртуальной модели с шагом 0.001 сек. При шаге моделирования 0.0001 сек до 20-й сек результаты такие же, но при увеличении времени моделирования до 100 сек расхождения в скорости роста переходных функций исходной и окончательной моделей многократно различаются.



Задача 7

Стабилизировать неустойчивое звено второго порядка путем охвата его отрицательной обратной связью.

Рис. 7.1

Рис. 7.1. Неустойчивое звено второго порядка

Тип регулятора выбрать самостоятельно, определить его настройки и доказать, что полученная САР устойчива.

Начисление баллов: до 5 баллов.

Решение задачи 7

Необходимо догадаться применить и настроить ПД - регулятор: Ответ:

Рис. 7.1.1

Рис. 7.1.1. ПД-регулятор и его настроечные параметры обеспечивают устойчивость контуура САР

Рис. 7.1.1

Рис. 7.1.2. Контур с ПД-регулятором обеспечивает решение задачи слежения

Примечание. Ответ зачитывается и в том случае, если настроечные параметры регулятора отличаются от приведенных, но на осциллограмме выходная (управляемая) величина повторяет входную (задание). Более того, правильным результатом будет считаться и решение с другим типом регулятора, если оно существует и будет найдено.

Начисление баллов: до 5 баллов.



Задача 8

Даны два последовательно соединенных апериодических звена первого порядка:

Рис. 8.1

Рис. 8.1. Два последовательно соединенных апериодических звена первого порядка

Определить сколько звеньев представлено на схеме, как они соединены и какие это звенья.

Начисление баллов:

- Полный правильный ответ - 1 балл;

- Неполный или неправильный ответ - 1 балл.

Комментарий к решению задачи 8

Задача 8 в духе болонско-европейской системы образования.

Шутка, для эмоционально-психологической разгрузки участников олимпиады.



15.05.2011

* * *

<< К началу статьи