Федосов Борис Трофимович
Рудненский индустриальный институт,
Рудный, Казахстан
Об авторе

УДК 681.51.02
Ф338

Полиномы Чебышева
Свойства и примеры применения

Рассматриваются некоторые важные свойства и примеры применения полиномов Чебышева

Полиномы Чебышева [1, 2] обладают рядом замечательных свойств, которые позволяют использовать их для построения и описания моделей объектов в различных областях техники.

Во-первых, полиномы Чебышева обладают таким важным свойством: если на нелинейный элемент, статическая характеристика которого представляет собой полином Чебышева некоторой степени n, подать гармонический сигнал, например, косинусоидальный (синусоидальный), единичной амплитуды, то на выходе такого нелинейного элемента также будет гармонический сигнал единичной амплитуды, но с n-кратной частотой.

Во-вторых, полиномы Чебышева растут за пределами интервала [-1, 1] наиболее быстро из всех полиномов такой же степени. Их используют для синтеза линейных фильтров [2]. И такие фильтры при заданной неравномерности в полосе пропускания обладают наиболее крутой частотной характеристикой в полосе запирания по сравнению с другими фильтрами того же порядка.

В-третьих, полиномы Чебышева являются набором ортогональных с весом функций [1], что позволяет представить, например, однозначную статическую характеристику нелинейного безинерционного звена в виде довольно быстро сходящегося ряда.

Полиномы Чебышева имеют вид[1, 2]:



(1)

gif-file, 20KB

Графики первых пяти полиномов Чебышева представлены на рисунке:

gif-file, 20KB

Рис. 1.1. Полиномы Чебышева. Полином Чебышева на интервале (-1, 1) ограничен значениями (-1, 1), а за пределами этого интервала растет по абсолютной величине быстрее любого другого полинома той же степени, ограниченного тем же условием

Если вы впервые увидели полиномы Чебышева, то обратим внимание и на такое их представление:

(2)

gif-file, 20KB

что на первый взгляд непостижимым образом, но очень красиво связывает тригонометрию и алгебру.

1. Умножение частоты

Нелинейные безинерционные элементы и системы характеризуются статическими характеристиками, ставящими в соответствие значение выходного сигнала значению входного сигнала [3]. Ниже рассматриваются нелинейные элементы с однозначными статическими характеристиками.

Подача синусоидального сигнала на нелинейный элемент с однозначной статической характеристикой общего вида приводит к его отклику в виде периодического сигнала. Этот отклик может быть представлен рядом Фурье, состоящим из суммы синусоид с частотами, кратными частоте входной синусоиды нелинейного элемента. С помощью фильтра из выходного сигнала нелинейного элемента можно выделить синусоиду с частотой кратной частоте входного сигнала. Это и есть умножение частоты.

Полиномы Чебышева, как отмечено выше, обладают следующим замечательным свойством: если на нелинейный элемент, статическая характеристика которого представляет собой полином Чебышева некоторой степени n, подать гармонический сигнал, например, косинусоидальный (синусоидальный), единичной амплитуды, то на выходе такого нелинейного элемента также будет с гармонический сигнал единичной амплитуды, но n-кратной частоты:

gif-file, 20KB

Рис. 1.2. Идеальный безинерционный умножитель частоты имеет статическую характеристику в виде полинома Чебышева. Полином второй степени удваивает частоту гармонического сигнала единичной амплитуды (красная линия превращается в синюю), а полином третьей степени – утраивает (красная в зеленую). Линейный фильтр не требуется, поскольку гармоник других частот, кроме требуемой, на выходе нет

Принцип преобразования частоты в случае полинома Чебышева третьей степени поясним следующей анимацией:

gif-file, 20KB

Рис. 1.3 (анимация, 11 кадров ). Утроение частоты нелинейным элементом со статической характеристикой в виде полинома Чебышева 3-й степени. Значение входного сигнала мгновенно, безинерционно преобразуется нелинейностью в значение выходного. Прослеживать анимацию нужно с левого нижнего графика вверх и затем вправо

Кратность умножения частоты полиномом Чебышева равна его степени:

gif-file, 20KB

Рис. 1.4 (анимация 10 кадров). Умножение частоты синусоидального сигнала нелинейными элементами со статическими характеристиками в виде полиномов Чебышева различных порядков от 0 до 9

Недостаток такого умножителя частоты в том, что амплитуда входной синусоиды должна быть равна единице. Однако область определения (диапазон изменения аргумента) и область значений полиномов Чебышева можно привести к амплитуде подаваемой синусоиды или наоборот, амплитуда может быть нормирована.

2. Фильтры

Полиномы Чебышева используют для синтеза линейных фильтров [2]. И такие фильтры при заданной неравномерности в полосе пропускания обладают наиболее крутой частотной характеристикой в полосе запирания по сравнению с другими фильтрами того же порядка.

Пример 1. Вычисление и отображение на комплексной плоскости корней характеристического полинома фильтра Чебышева 3-го порядка

gif-file, 20KB

Рис. 2.1. Фрагмент рабочего поля Маткада. Корни характеристического полинома фильтра Чебышева располагаются на эллипсе слева от оси мнимых чисел. Фильтр устойчив

Для сравнения вычислим корни характеристического полинома фильтра Баттерворта.

Пример 2. Определение корней характеристического полинома фильтра Баттерворта 3-го порядка

gif-file, 20KB

Рис. 2.2. Корни полинома фильтра Баттерворта располагаются на окружности слева от оси мнимых чисел. Фильтр устойчив

Положение корней удобнее сравнивать, поместив их на одном графике:

gif-file, 20KB

Рис. 2.3. Корни характеристического полинома фильтра Чебышева располагаются на эллипсе и они ближе к мнимой оси, чем корни фильтра Баттерворта того же порядка, располагающиеся на окружности. Поэтому колебательность САР, настроенной как Чебышевский фильтр, выше чем у Баттервотовской

Рассмотрим порядок вычисления и сравним частотные характеристики фильтров

gif-file, 20KB

Рис. 2.4. Частотные характеристики фильтров Баттерворта и Чебышева 3-го порядка

Рассмотрим временные характеристики фильтров

gif-file, 20KB

Рис. 2.5. Vissim и Маткад. Положение корней характеристических полиномов фильтров Баттерворта и Чебышева третьего порядка (n = 3, ε = 1) на комплексной плоскости и частотные характеристики этих фильтров, а также их переходные функции. Избирательность фильтра Чебышева значительно выше, примерно на 10 дБ, чем у фильтра Баттерворта, но в полосе пропускания у него имеется некоторая, порядка 3 дБ неравномерность усиления, а переходная функция фильтра Чебышева входит в 5% - й коридор почти вдвое дольше

Как видно, при проектировании САР целесообразнее настраивать ее как фильтр Баттерворта. В случае проектирования радиоприемного устройства, когда требуется как можно лучше отфильтровать соседний канал, имеет смысл настраивать фильтр в соответствии с полиномом Чебышева.

Примечание. Выше приведены расчеты фильтров с частотой среза, равной 1 рад/сек. Для получения фильтра с частотой среза, равной ωв, отличающейся от единицы, нужно в формулах вместо ω вводить ω/ ωв = TChebω .

Выражения для передаточных функций фильтров, основанных на полиномах Чебышева приведены в Приложении.

3. Ортогональность полиномов Чебышева и ее применение

3.1. Ортогональность

Полиномы Чебышева являются набором ортогональных с весом функций [1]:




(3.1)

gif-file, 20KB

3.2. Представление нелинейности ортогональным рядом

Ортогональность полиномов Чебышева позволяет представить с их помощью, например, однозначную статическую характеристику нелинейного безинерционного звена в виде довольно быстро сходящегося ряда, что важно для практики, когда инженер ограничивается лишь несколькими слагаемыми ряда:


(3.2)

gif-file, 20KB

где коэффициенты ak определяются интегрированием произведения функции и полинома Чебышева соответствующей степени с весом [1, стр. 686]:




(3.3)

gif-file, 20KB

а коэффициент α масштабирует область определения (диапазон изменения аргумента) полиномов.

Отметим, что коэффициенты этого ряда находятся так же как у ряда Фурье, т.е. интегрированием произведения статической характеристики и полинома соответствующего порядка с весом [1, стр. 686].

gif-file, 20KB

Рис. 3.1. Полиномы Чебышева и их весовая функция

Достоинство системы ортогональных функций в том, что при разложении по ним некоторой функции добавление новых слагаемых не требует пересчета предыдущих коэффициентов, а при выбранном числе слагаемых автоматически обеспечивается минимум среднеквадратической ошибки аппроксимации.

gif-file, 20KB

Рис. 3.2 (анимация, 16 кадров). Аппроксимация статической характеристики нелинейного звена с нелинейностью вида усиление с ограничением конечной суммой полиномов Чебышева на интервале (-1, 1). Как видно, точность аппроксимации довольно хороша и при пяти членах ряда и улучшается, хотя и не очень быстро, при увеличении числа слагаемых

gif-file, 20KB

Рис. 3.3. Статическая характеристика вида усиление с ограничением хорошо аппроксимируется уже пятью членами ряда полиномов Чебышева в интервале (-5,5), а за его пределами отличия аппроксимации от аппроксимируемой функции очень, чрезвычайно велики

Приведем пример расчета коэффициентов разложения в ряд по полиномам Чебышева статической характеристики нелинейного элемента типа усиления с ограничением, построения аппроксимирующей функции и оценки ошибок аппроксимации:

gif-file, 20KB

Рис. 3.4. Пример вычисления в Маткаде коэффициентов разложения симметричной функции, определенной на интервале (-5, 5) в ряд полиномов Чебышева и иллюстрация точности аппроксимации для 6 и 21 члена ряда. Отметим, что ввиду симметрии аппроксимируемой функции четные коэффициенты разложения ra2n равны нулю, что по существу вдвое сокращает число членов разложения

Как видно, учет шести слагаемых на самом деле позволяет использовать только три из них, поскольку остальные равны нулю, а учет 21 слагаемого всего 10. Максимальная ошибка аппроксимации при увеличении числа фактических слагаемых с трех до 10, т.е. втрое, уменьшается примерно втрое.

Как и для ряда Фурье периодического сигнала, нелинейность также можно представить в виде спектра полиномов Чебышева: зависимостью коэффициентов разложения от номера, порядка полинома

gif-file, 20KB

Рис. 3.5.Нелинейность вида усиление с ограничением и ее чебышевский спектр. Как видно, заметную величину имеют только первые три нечетные дискреты, что согласуется с тем, что для удовлетворительной аппроксимации этой нелинейности достаточно только пяти первых, а фактически трех полиномов: первого, третьего и пятого, см. рис. 3.3

3.3. Метод гармонической линеаризации

Этот метод применяется при анализе устойчивости нелинейных систем автоматического управления [4]. Исследуемая САР приводится к виду контура с двумя последовательно включенными в нем элементами: нелинейным и линейным [5]

gif-file, 20KB

Рис. 3.6. Схема для анализа устойчивости системы с одним нелинейным элементом

Основой описания нелинейного элемента в этом случае служит т.н. амплитудная характеристика нелинейного элемента: зависимость усиления им гармонического сигнала от амплитуды этого сигнала. Под усилением в данном случае понимается отношение амплитуды первой гармоники выходного сигнала к амплитуде входной синусоиды.

В общем случае амплитудная характеристика нелинейного элемента является комплексной функцией частоты [4, 5]:


(2.1)

gif-file, 20KB

Отметим, что коэффициенты разложения нелинейности в ряд Чебышева и ряда Фурье реакции нелинейного элемента на синусоидальное воздействия одинаковы, т.е. разложения однозначной нелинейности в ряд по полиномам Чебышева и выходного сигнала этого нелинейного элемента в ряд Фурье эквивалентны.

gif-file, 20KB

Рис. 3.7. Амплитудные спектры Чебышева нелинейности и Фурье ее выходного сигнала при действии на входе нелинейного элемента гармонического сигнала

Суммируя гармоники спектра можно получить выходной сигнал нелинейного элемента:

gif-file, 20KB

Рис. 3.8. Определение реакции нелинейного элемента на синусоидальное воздействие с использованием коэффициентов разложения нелинейности в ряд по полиномам Чебышева эквивалентно получению аппроксимации выходного сигнала нелинейного элемента с помощью ряда Фурье

Определим амплитудную и инверсную амплитудную характеристики нелинейного элемента:

gif-file, 20KB

Рис.3.9. Вычисление амплитудной характеристики нелинейного элемента типа усиление с ограничением. При малых входных сигналах усиление постоянно, поскольку нелинейный элемент работает в линейном режиме. При превышении амплитудой входного сигнала величины 2.25 проявляются нелинейные свойства элемента и усиление, рассчитываемое по первой гармонике выходного сигнала, уменьшается с ростом амплитуды входного сигнала

Для оценки устойчивости контура рис. 3.6 применяется т.н. инверсная амплитудная характеристика нелинейного элемента:

gif-file, 20KB

Рис. 3.10. Инверсная амплитудная характеристика нелинейности типа усиление с ограничением. На комплексной плоскости (нижний график) характеристика при изменении амплитуды от нуля до бесконечности идет из точки -1.25 влево по оси действительных чисел в минус бесконечность

Заключение

Свойства полиномов Чебышева позволяют использовать их для гладкой аппроксимации различных характеристик реальных устройств, в том числе и полученных экспериментально с ограниченным числом точек.

Маткад, принимая на себя всю полноту рутинных вычислений, делает доступным для инженера использование полиномов Чебышева в текущей работе.

Литература и Интернет

Приложение
Фильтры Чебышева

П 1. Передаточные функции

gif-file, 20KB

Рис. П 1. 1. Передаточные функции фильтров Чебышева первых четырех порядков. Для фильтра четвертого порядка приведены передаточные функции, обеспечивающие неравномерность в полосе пропускания, определяемую значениями 1, 0.82 и 0.35 соответственно

П 2. Частотные характеристики

gif-file, 20KB

Рис. П 1.2. Частотные характеристики фильтров Чебышева. Величина неравномерности АЧХ в полосе пропускания определяется коэффициентом неравномерности ε