Федосов Борис Трофимович
Рудненский индустриальный институт,
Рудный, Казахстан
Об авторе

УДК 681.51.01
Ф338

К краткому варианту

Уравнения состояния динамических объектов с запаздыванием

Содержание

Введение

       В современных учебниках по теории автоматического управления [1-6] часто можно встретить достаточно спорное утверждение, вероятно диктуемое просто научной модой, что описание динамических объектов и систем управления переменными состояния является наиболее продвинутым, эффективным и актуальным.

      Однако, традиционное рассмотрение многомерных динамических объектов и систем управления с использованием уравнений состояния как правило ограничивается объектами с сосредоточенными параметрами, т.е. являющимися точечными: воздействия в них распространяются мгновенно. Кроме того, при описании методом переменных состояния систем управления часто не разделяются и не указываются в явном виде такие важные для практики управления воздействия, как управляющие и возмущения.

      Ниже проводится обобщение записи уравнений состояния на нелинейные многомерные динамические объекты и системы управления, имеющие протяжение в пространстве и элементы транспортного запаздывания, а также представляются в явном виде управляющие воздействия и возмущения. Обобщение проводится путем включения звеньев запаздывания, наряду с интеграторами, в состав простейших динамических, т.е. таких, выходные величины которых трактуются как самостоятельные переменные состояния.

1. Традиционное описание уравнениями состояния сосредоточенных в пространстве
динамических объектов и систем

1.1. Автоматическое управление. Назначение, основные определения
и принципы математического описания

Динамика и динамический объект

Все физические и технические объекты, процессы, явления макромира в котором мы живем и который видим и ощущаем повседневно и ежеминутно, на которые иногда воздействуем и получаем от них реакцию, протекают в трехмерном пространстве и во времени.

Динамический объект это своеобразное отражение сознанием человека окружающей действительности: предметов, явлений, процессов, устройств и приборов и т.п., упрощенная, но состоятельная (соответствующая в той или иной мере действительности) модель очень широкого класса явлений и объектов, взаимодействующих с внешним миром.

Например, в качестве динамического объекта можно рассматривать как ложку, которой ловко орудует, зажав в кулачок малыш, отправляя кашу в рот, так и самолет, управляемый человеком или автоматической системой.

Рис. 1.1.1. Человек управляет различными приборами

Рис. 1.1.1. Человек управляет различными приборами, устройствами, технологическими процессами, рассматривая и воспринимая их как динамические объекты Польза от описания объекта как динамического состоит в том, что оно позволяет понять причинно-следственные связи между воздействиями на него и его реакцией на эти воздействия, и то, как таким объектом можно управлять и осуществлять это управление с пользой для человека.

Динамический объект это физический объект, явление или технологический процесс, подвергающийся внешним воздействиям и реагирующий на них изменением своего состояния и поведения. Состояние динамического объекта оценивается рядом физических величин, а его поведение – их изменением с течением времени. Отличительная черта динамического объекта это то, что он обладает инерцией и (или) взаимодействия между его элементами распространяются за конечное (не бесконечно малое) время.

Динамика это изменение состояния и свойств некоторого физического объекта с течением времени под воздействием внешних и (или) внутренних факторов.

Состояние объекта определяется значениями физических и (или) виртуальных (неких вспомогательных, воображаемых) величин, его характеризующих, а также тенденцией их изменения хотя бы на очень малый интервал времени вперед.

Поведение объекта это изменение его состояния с течением времени как на относительно которких, так и на протяженных интервалах времени.

Свойства объекта это характер восприятия объектом внешних воздействий и тип его реакции, отклика на эти воздействия, а также характер его поведения под действием внешних и внутренних факторов, например, запасенной энергии.

Частным примером динамики, который является предметом изучения механики, является движение материальных тел и субстанций в пространстве и времени под действием внешних и внутренних сил.

Движение тел и материальных субстанций бывает двух видов:

Инерционное движение вызывается внешней силой, действующей на объект. Характеристики движения инерционного объекта (положение, скорость, ускорение и т.п.) зависят от этой силы. Инерционное тело сопротивляется внешним воздействиям, стремящимся изменить его состояние, и пытается сохранить свое состояние в отсутствие внешних сил.

Транспортное движение это перемещение в пространстве-времени материи или энергии, значений физических величин (воздействий), что приводит к запаздыванию изменений этих величин в одних точках пространства относительно других.

Отметим некоторое внешнее физическое сходство, конвергенцию явлений инерции и перемещения (распространения) в пространстве и связанных с последним запаздываний во времени. Инерционными объектом можно приближенно промоделировать сравнительно небольшие временные запаздывания. С другой стороны, любое инерционное звено представляется пределом совокупности звеньев запаздывания (т.е. Z-передаточной функцией, разностными уравнениями) совершенно точно. Тут имеет место некоторая "конвергенция свойств" двух, принципиально отличающихся физически, а также математическим описанием, явлений:
- накопления, осуществляемого интегратором, центральным элементом инерционного звена, и
- запаздывания, связанного с перемещением материального объекта или распространением энергии в пространстве, а, следовательно, задержкой во времени.

Состояние и поведение динамического объекта

Состояние динамического объекта в теории управления и смежных дисциплинах определяется как исчерпывающая минимальная информация, достаточная для описания объекта, позволяющая определить значения всех динамических, в т.ч. физических величин, характеризующих объект, а также позволяющая предсказать его поведение на некоторый, бесконечно малый, конечный или бесконечный интервал времени вперед.

Величины (минимальный достаточный набор), полностью, исчерпывающе характеризующие состояние и ожидаемую тенденцию поведения динамического объекта без запаздывания называется его переменными состояния.

Поведение объекта это зависимость его переменных состояния от времени. Поведение объекта может быть свободным, в отсутствие внешних воздействий оно происходит вследствие наличия внутренних запасов и источников энергии. Поведение динамического объекта под внешними воздействиями можно рассматривать как совокупность свободного и принужденного.

Состояние инерционного динамического объекта без элементов запаздывания отображается точкой в многомерном пространстве состояний объекта. Поведение такого объекта отображается траекторией изображающей точки в многомерном пространстве состояний, т.е. зависимостью координат этой точки (переменных состояния) от времени.

Для чисто инерционных объектов, не имеющих звеньев запаздывания, т.е. сосредоточенных в точке, переменные состояния в некоторый момент времени полностью определяют его состояние и поведение на предстоящий, по крайней мере бесконечно малый интервал времени, т.е. состояние объекта можно отобразить положением изображающей точки в многомерном пространстве состояний.

Рис. 1.1.2. Материальная точка в пустом пространстве

Рис. 1.1.2. Материальная точка в пустом пространстве это простейший физический объект. Но как динамический объект это уже объект не простейший, а сложный, поскольку он исчерпывающе характеризуется не одной, а двумя переменными состояния: положением в пространстве и скоростью движения. Материальная точка – инерционный объект без запаздывания, поэтому его состояние в некоторый момент времени полностью характеризуется ее положением и скоростью. Значения этих переменных в любой момент времени можно отобразить в двухмерном пространстве состояний (т.е. на фазовой плоскости). Поведение материальной точки как динамического объекта отображается траекторией изображающей точки, траектории, показывающей изменение состояния объекта с течением времени, в пространстве состояний. Каждому моменту времени в общем случае соответствует свое состояние объекта, т.е. свое значение пары переменных состояния. В отсутствие воздействий, или если они известны, состояние материальной точки в некоторый момент времени определяет поведение этого объекта, т.е. его движение, на сколь угодно большой интервал времени вперед. По траектории изображающей точки в пространстве состояний нетрудно построить и зависимости переменных состояния, т.е. положения тела и его скорости от времени

Рис. 1.1.3 (анимация 29 кадров). Аттрактор Лоренца

Рис. 1.1.3 (анимация 29 кадров). Аттрактор Лоренца. Пример траектории изображающей точки в трехмерном пространстве состояний. Прореженная видеозапись экрана модели из библиотеки программы VisSim 8 (C:\VisSim80\Examples\Applications\Plot3D файл LorenzAttractor3D.VSM)

Управляемость и наблюдаемость

Понятия наблюдаемости и управляемости динамического объекта без элементов запаздывания введены Р. Калманом еще в конце 50-х годов прошлого века [9].

Привдем краткие, качественные, не очень строгие, но наглядные определения.

Динамический объект без элементов запаздывания является полностью управляемым, если его можно перевести с помощью некоторого конечного набора воздействий из исходного состояния в требуемое за конечное время.

Динамический объект без элементов запаздывания является полностью наблюдаемым, если по результатам измерения его выходных величин можно установить значение всех его переменных состояния.

Система управления

Система автоматического управления должна обеспечить требуемое состояние и поведение объекта управления воздействуя на него должным образом.

Система управления динамическим объектом любой сложности состоит из некоторого числа систем автоматического регулирования (САР) и контроля (измерения состояния) САК, работающих совместно. Каждая система регулирования (САР) управляет только одной величиной, характеризующей динамический объект управления. Разные САР, в принципе, могут конфликтовать, в частности, управляемая величина одной САР может являться возмущающей в другой САР.

Существует только три вида систем автоматического регулирования (САР). Это САР с непрерывным регулированием объектом (добавить – убавить), дискретным регулированием (включить – выключить) и комбинированные.

Отдельная САР решает только одну задачу: обеспечивает слежение, т.е. устанавливает прямую пропорциональность управляемой величины объекта управления так называемой задающей величине САР. Значение и изменение во времени задающей величины формируется человеком или специальным более или менее простым физическим или виртуальным устройством, или системой автоматического регулирования более высокого уровня иерархии, т.н. задатчиком, в соответствии с некоторым, заложенным в него алгоритмом. Другими словами, САР, воздействуя на динамический объект управления, вынуждает его управляемую, выходную величину повторять в некотором масштабе значение задания, изменяющегося с течением времени или постоянного.

Другие задачи, решаемые САР: задача стабилизации значения выходной величины, а также задача достижения некоторого оптимума выходной величины сводятся к решению задачи слежения.

      Таким образом, вся сложная и многообразная автоматика по существу сводится к решению задач слежения. Отсюда следует, что каков бы ни был математический аппарат, с помощью которого построена оптимальная в определенном смысле система управления, он эффективен, если позволяет быстро, просто и наглядно осуществить оптимизацию системы управления. Естественно, для общения с коллегами-автоматчиками необходимо знакомство со всеми основными методами описания и анализа объектов и систем управления. Однако усложнение математического аппарата вовсе не является гарантией получения системы управления с лучшими характеристиками, признаком высокого качества ее работы.

Методы описания динамических объектов и систем

Теория автоматического управления призвана обеспечить математическими средствами создание работоспособной системы автоматики. Для этого требуется дать математическое описание системы управления и на его основе определить наилучшую ее структуру и параметры, обеспечивающие требуемое управление объектом.

Система автоматического управления динамическим объектом, как и сам объект является динамической и математически описывается точно такими же уравнениями. Поэтому в смысле математического описания система управления и сложный динамический объект могут рассматриваться как эквивалентные понятия, тем более, что часто бывает, что одна, более простая САР является объектом управления для более сложной, находящейся в иерархии управления на более высоком уровне.

Метод Вход – Выход опосредовано связан с функциональной структурой динамического объекта и поэтому не вполне прозрачен с точки зрения физического смысла.

Метод описания динамических объектов уравнениями состояния, рассматриваемый ниже, является универсальным и строгим, но физически не наглядным, поскольку структура модели, как правило, вовсе не соответствует функциональной структуре объекта управления.

Метод функционально-структурной модели позволяет получить описание, наиболее близкое к физическому составу динамического объекта, и поэтому наиболее прозрачен и понятен физически.

Таким образом, математическое описание динамических систем позволяет создавать модели динамических объектов любой степени сложности, исследовать их свойства и оптимизировать параметры и даже структуру систем управления динамическими объектами с целью достижения требуемого человеку состояния и поведения динамического объекта. Однако сложность и строгость математического аппарата вовсе не является главным критерием его эффективности при оптимизации системы управления.

1.2. Уравнения и структура моделей динамических объектов

Математическое описание динамического объекта преследует цель изучения и оптимизации его свойств и структуры на основе построения достаточно простой, но состоятельной модели. Математический аппарат, позволяющий строить модели чрезвычайно широкого класса динамических объектов, это дифференциально-алгебраические уравнения. Они выводятся (записываются) на основании физических законов, выражающих причинно-следственные связи внутри отдельных элементов объекта и взаимодействия между ними. Суть этих уравнений состоит в том, что они связывают физические величины, характеризующие состояние и поведение объекта, с его структурой и внешними воздействиями на объект.

Для того, чтобы вывести, записать и даже просто прочитать, понять смысл, заключающийся в системе дифференциально-алгебраических уравнений, нужно знать правила составления этих уравнений и то, что они означают, включая каждый символ формул, смысл комбинации этих символов, иначе уравнения будут восприниматься как некие иероглифы, красиво написанные, но смысл которых не понятен:

Рис. 1.2.1. Виды иероглифов

Рис. 1.2.1. Виды иероглифов: египетские, китайский, иероглифы майя. Для прочтения и понимания смыла иероглифов нужно знать правила их написания и почтения. Каждый символ, линия, их конкретное сочетание несут некоторую информацию, смысл, непостижимый для тех, кто не владеет премудростью их чтения и понимания

Древнегреческие геометры практиковали такой способ формулирования и доказательства теорем. Они чертили чертеж, который, по их мнению, формулировал некоторое утверждение и доказывал его справедливость, и внизу писали: «Думай!». Естественно, чтобы прочитать такой «иероглиф» читателю нужно было или знать или даже догадаться, дойти самостоятельно, сформулировать правила чтения чертежа, понимания смысла изображенного: условия теоремы и метода ее доказательства. И далеко не всегда это было просто, требовало затрат времени и умственных усилий на понимание того, что уже понял доказавший теорему автор, но изложил в такой труднодоступной форме.

Примерно так же обстоит дело и с математическим описанием динамических объектов уравнениями в переменных состояния. В хороших традиционных учебниках берется система дифференциально - алгебраических уравнений, зачастую без указания как и откуда они получены, утверждается, что эти уравнения описывают некоторую динамическую систему и над ней тщательно осуществляется некоторая последовательность математических преобразований, в результате которой получаются некие формулы, из которых, на основании некоторых, доказанных ранее теорем, выводятся свойства моделируемой динамической системы. Физический смысл таких сложных и громоздких преобразований часто весьма темен, по крайней мере в первом прочтении, и поэтому может остаться непонятным, почему физические свойства моделируемого объекта именно таковы и как они связаны с физической структурой объекта, с его параметрами, которые можно измерить или изменить непосредственно, например, с коэффициентом усиления контура САР.

Математическое описание динамического объекта в переменных состояния традиционно включает векторное уравнение состояния, связывающее скорости изменения переменных состояния с воздействиями на объект и значениями самих переменных состояния, а также векторное уравнение, связывающее значения выходных величин объекта (или результатов их измерений) с его переменными состояния и воздействиями на него [1 - 9]:



(1.2.1)

F 121

Краткое пояснение смысла записи (1.2.1) дается в Приложении.

Итак, (1.2.1) - это система векторных дифференциально-алгебраических уравнений переменных состояния многомерного нестационарного сосредоточенного в пространстве (точечного) нелинейного динамического объекта управления.

Из уравнений (1.2.1) нетрудно вывести, что описание динамического объекта структурно содержит всего три типа операторов: линейный дифференцирующий (собственно динамический, инерционный) и два безинерционных нелинейных: элемент связи и элемент композиции:


(1.2.2)

F 123

Линейный дифференцирующий оператор описывает инерцию потому, что задает мгновенную скорость изменения переменной состояния, а, следовательно, определяет значение известной на текущий момент переменной на некоторый, пусть небольшой интервал времени вперед. Это и следует трактовать как инерцию, т.е. некоторую предопределенность поведения.

Рис. 1.2.2. Описание инерционного объекта и его структурная модель

Рис. 1.2.2. Описание инерционного объекта и его структурная модель. Дифференциальное уравнение, отражает причинно-следственную связь воздействия х(t) и реакции (отклика) y(t) простейшего инерционного звена: воздействие х(t) приводит к изменению выходной величины y(t) такому, что скорость этого изменения прямо пропорциональна воздействию. Интегратор – модель простейшего, фундаментального динамического (инерционного) элемента. Структурная модель отображает то, как причина, воздействие, преобразуется в следствие, выходную величину: модель простейшей (фундаментальной) инерционности обеспечивает накопление и сохранение воздействия

В линеаризованной модели объекта справедлив принцип суперпозиции и поэтому оператор композиции переменных представляет собой их взвешенную сумму, а оператор связи становится линейным:


(1.2.3)

F 123

Уравнения динамического объекта в переменных состояния можно представить и в интегральном виде, более наглядном для структурного моделирования:




(1.2.4)

F 124

Уравнение состояния описывает инерционность динамического объекта. Уравнение выхода учитывает помехи измерениям компонент вектора выходных величин.

1.3. Простейшие структурные элементы

Как видно их системы уравнений (1.2.4), для структурного моделирования динамического объекта, описанного уравнениями в переменных состояния, достаточно иметь и использовать элементы всего трех типов: интегратор, одномерный элемент связи и элемент композиции переменных.

Рис. 1.3.1. Структурные элементы модели точечного динамического объекта

Рис. 1.3.1. Структурные элементы модели точечного динамического объекта, представленной переменными состояния насчитывают всего три типа. Соединением должного числа таких элементов можно промоделировать точечный, сосредоточенный в пространстве динамический объект любой сложности

Переменные состояния точечного динамического объекта это выходные величины его простейших структурных моделей динамических элементов, т.е. интеграторов.

1.4. Линеаризованная модель

Линеаризация уравнений состояния приводит к стандартной традиционной форме структурной схемы модели объекта [1 - 7]:

Рис. 1.4.1. Структурная векторная модель линейного многомерного объекта

Рис. 1.4.1. Структурная векторная модель линейного многомерного объекта, описанная переменными состояния. Центральная часть модели является многомерным аналогом модели апериодического звена первого порядка. Начальные условия, т.е. значения переменных состояния в нулевой момент времени, задаются начальными значениями величин на выходах интеграторов. Матрица интеграторов системы четвертого порядка приведена для примера, Отметим, что в схеме матрицы умножаются на входные векторные сигналы, а не наоборот, поскольку умножение матриц и векторов некоммутативно. Апериодическое звено здесь названо «векторным» потому, что его входные и выходные величины являются векторами. Вектор помех при измерениях в данном случае – нулевой

Для линейного объекта с двумя входами и двумя выходами уравнения (1.2.4) могут, например, иметь вид:









(1.4.1)

F 141

1.5. Состояние и начальные условия

Для чисто инерционного динамического объекта его мгновенное состояние и тенденцию поведения хотя бы на бесконечно малый интервал вперед, отображается соответствующим положением изображающей точки в многомерном пространстве состояний, т.е. набором значений всех переменных состояния объекта в некоторый момент времени. Поскольку эта информация исчерпывающая, то координаты любой точки траектории изображающей точки могут рассматриваться как начальные условия для интегрирования уравнений состояния, т.е. для определения всей последующей траектории движения изображающей точки, другими словами, для определения поведения динамического объекта под внешними воздействиями или в отсутствие таковых.

В качестве иллюстрации того, что положение изображающей точки в пространстве состояний полностью характеризует как состояние, так и последующее поведение инерционного динамического объекта, не имеющего звеньев запаздывания, в отсутствие внешних воздействий приведем фазовые портреты (траектории движения изображающих точек объектов в двумерном пространстве состояний) для модели свободной колебательной системы с отличающимися начальными условиями:

Рис. 1.5.1. Фазовые портреты свободной инерционной колебательной системы при разных начальных условиях

Рис. 1.5.1. Фазовые портреты свободной инерционной колебательной системы при разных начальных условиях, соответствующих одной и той же фазовой траектории совпадают, т.е. координаты любой точки фазовой траектории могут рассматриваться как начальные условия, полностью определяющие дальнейшее свободное поведение объекта

Как видно, если задать начальные условия, соответствующие некоторой последующей точке фазовой траектории, то дальнейшее поведение объекта будет совпадать с поведением, определяемым начальными условиями предыдущей исходной изображающей точки. Конечно, здесь нет ничего удивительного или неожиданного.

Таким образом, поведение точечных (исключительно инерционных, не имеющих элементов запаздывания) динамических объектов полностью описывается уравнениями состояния и выхода, а также начальными условиями, представляющими собой значения всех переменных состояния объекта в некоторый момент времени, и отображается некоторой траекторией, а текущее состояние объекта характеризуется точкой в многомерном пространстве переменных состояния.

2. Уравнения состояния протяженных объектов с элементами запаздывания

Как это не удивительно, но чаще всего в литературе с помощью аппарата уравнений состояния рассматриваются только динамические объекты с сосредоточенными параметрами [1-6]. Известны редкие исключения (см., например [8, 9, 11]), где элементы запаздывания тем не менее, не трактуются как динамические, но задержки учитываются в правых частях уравнений состояния. Это не очень красиво и не позволяет получить уравнения в унифицированной стандартной форме для произвольного объекта, не всегда позволяет создать и применить стандартные методы исследования систем с запаздыванием на основе уравнений состояния.

Программа объектно-ориентированного моделирования VisSim имеет весьма удобный инструмент анализа структурных моделей динамических систем, позволяющий практически одним кликом получать матрицы уравнений состояния линеаризованного объекта. Однако, VisSim не «замечает» звеньев запаздывания в структуре модели, что существенно сужает область применения его инструмента анализа моделей, ограничивая ее только точечными объектами без задержек. Вероятно это вызвано тем, что авторами VisSim’а использовалась традиционная форма представления уравнений состояния, в которой учитываются только инерционности, но не запаздывания.

По всей видимости, в ограничении рассмотрения точечными объектами тяготеет традиция представления уравнений состояния, основывающаяся на том, что единственным элементарным динамическим объектом может быть только интегратор, а также возрастание сложности описания с появлением в объекте звеньев запаздывания. Тем не менее, в значительном числе объектов управления, в частности, технологических, имеются отнюдь не пренебрежимые запаздывания, связанные с конечными скоростью распространения сигналов в протяженных объектах, а также с переносом материалов на расстояние. Это требует учета явления запаздывания в моделях динамических объектов, обусловленного их пространственной протяженностью, путем корректного обобщения уравнений состояния на объекты с запаздыванием.

Учет звеньев запаздывания в моделях объектов как второго самостоятельного класса простейших динамических элементов, наряду с инерционными, позволит единообразно описывать в переменных состояния динамические объекты практически любой сложности.

2.1. Уравнения и структура моделей протяженных динамических объектов

Дифференциальная форма уравнений состояния протяженного объекта

Наличие элементов задержки в некоторых ветвях модели динамического объекта существенно, а часто и принципиально, изменяет динамические свойства объекта по сравнению с объектом без элементов запаздывания. Поэтому пространство состояний соответствующих только выходным величинам инерционных элементов (интеграторов) не в полной мере задает состояние и поведение объекта, имеющего звенья запаздывания.

Элемент запаздывания динамического объекта, также, как и инерционный, следует рассматривать как динамический, а его выходную величину – как отдельную переменную состояния.

Основание для отнесения звена задерживающего сигнал на конечный интервал времени к элементарным динамическим опирается на сходство и различия двух видов простейших динамических элементов моделей реальных объектов и состоит в следующем.

Внешнее отличие состоит в том, что инерционный элемент описывается элементарным дифференциальным уравнением, в то время как запаздывающий – алгебраическим.

Термин «динамический» относят к объектам, поведение которых под внешним воздействием можно предсказать хотя бы на бесконечно малый интервал. Инерционный элемент, интегратор, традиционно считающийся единственным динамическим, такому требованию отвечает. Но этому же требованию отвечает и звено запаздывания, если известна предыстория воздействия на него. В таком случает звено запаздывания позволяет жестко определить поведение его выходной величины на конечный интервал времени вперед. Т.о. звено запаздывания может быть отнесено к динамическим.

С другой стороны, звено запаздывания соответствует в реальных объектах либо переносу материалов («транспортное запаздывание»), либо задержке поступления сигнала (модели воздействия) на вход некоторого элемента объекта, связанной с распространением его в пространстве. Таким образом, звено запаздывания может быть отнесено и к элементам связи.

Нестационарный элемент запаздывания, обладающий дисперсией, и его частный случай, элемент чистой задержки, также как и простейший инерционный элемент является динамическим потому, что его выходной сигнал своеобразен, не может быть получен безинерционной композицией других, только инерционных переменных состояния. Это результат задержки по времени такой композиции.

Основная отличительная черта простейших динамических объектов в том, что их выходные величины, называемые переменными состояния, полностью определяют текущее состояние и предстоящее, хотя бы на небольшой интервал времени вперед, поведение объекта, т.е. изменение его состояния. Поэтому такими простейшими объектами и являются исключительно интеграторы (инерционность) и звенья запаздывания (временные задержки).

Для обобщения уравнений состояния точечных объектов, представленных в форме Коши, на протяженные объекты с запаздыванием формально введем оператор прогнозирования Fwd{τ} [7]:


(2.1.1)

F 211

Этот оператор в общем случае, естественно, физически не реализуем, поскольку должен абсолютно точно предсказывать значение переменной, на которую он воздействует, на конечный интервал τ времени вперед. Но этот оператор нужен всего лишь для формального «красивого» исходного представления уравнений состояния, а их структурное решение возможно с использованием реализуемого оператора запаздывания.

С другой стороны, оператор прогнозирования в уравнениях состояния действует только на переменную состояния такую, значения которой определяются предысторией поведения всех переменных состояния объекта с запаздыванием и входных воздействий, т.е. некоторой композиции таковых, и поэтому, в этом частном случае, он реализуем, поскольку прогноз жестко определяется предысторией.

Итак, запишем векторные уравнения переменных состояния протяженного динамического объекта в виде:




(2.1.2)

F 211

В (2.1.2) для удобства записи и чтения переменные состояния разделены на две группы. Переменные x(1) первой группы это переменные состояния простейших инерционных элементов объекта, их выходные величины. Переменные x(2) это переменные состояния, соответствующие выходам звеньев запаздывания объекта. Очевидно, что в принципе, «инерционные» и «запаздывающие» переменные состояния могут быть записаны и пронумерованы и в произвольном порядке и объединены в одном векторном уравнении.

Отметим, что обобщенная система уравнений состояния динамического объекта имеет только одну независимую переменную – время t. Пространственные же характеристики объекта в (2.1.2) описываются косвенно, путем учета вектора времен задержек τ, обусловленных распространением воздействий в пространстве с конечной (не бесконечной) скоростью или транспортным запаздыванием.

Альтернативный вариант

Рассмотрение динамических объектов с запаздыванием на основе описания их уравнениями состояния проводилось некоторыми авторами и ранее [8, 9, 11].

В [8] п. 2.1, (2.1.2), описание ограничивается указанием на задержки только в правых частях уравнений и не включает звенья запаздывания в структуру модели в качестве функционирующих элементов, определяемых собственными переменными состояния:

Громов и др.

Похожее исходное представление уравнений состояния используется и в [10], "1.5. Оптимальное управление системами с транспортным запаздыванием", стр.188 и далее, а также в [11].

Т.о. применявшееся в предыдущих публикациях рассмотрение не включает звенья запаздывания в структуру модели как функционирующие элементы, а просто задерживает соответствующие переменные состояния и внешние воздействия на некоторую величину.

Форма уравнений (2.1.2) настоящей статьи отличается от используемой в [8, п. 2.1, (2.1.2)] введением специальных переменных состояния, соответствующих выходным величинам звеньев запаздывания. Этим самым звенья запаздывания отнесены с простейшим динамическим и описание динамических объектов становится универсальным.

В предлагаемом в настоящей статье представлении динамического объекта текущее внутреннее состояние объекта полностью определяется вектором значений переменных состояния, соответствующих выходным величинам интеграторов и звеньев запаздывания, и предысторией их поведения.

Интегральная форма уравнений состояния протяженного объекта

Уравнения переменных состояния динамического объекта с запаздыванием могут быть представлены в интегрально-«запаздывающей» форме, которая, пожалуй, является более наглядной для составления структурной модели объекта:




(2.1.3)

F 213

Итак, (2.1.3) – интегрально-«запаздывающие» уравнения векторных переменных состояния многомерного протяженного нелинейного нестационарного динамического объекта. Часть переменных, соответствующая выходным сигналам простейших инерционных элементов и обозначенная вектором x(1), есть результат накопления (интегрирования) некоторой комбинации всех переменных, которая, как и сами переменные, а также входные воздействия, может изменяться с течением времени. Вторая часть переменных состояния, обозначенная x(2), представляет собой задержку некоторой комбинации всех переменных состояния, а также и входных воздействий объекта, на некоторое время τ (вектор), которое может в общем случае меняться с течением времени.

В соответствии с этими уравнениями могут быть построены структурные, в т.ч. виртуально-аналоговые, модели динамических объектов [7].

Начальные условия уравнений состояния протяженного объекта

В уравнениях (2.1.3) начальные условия для звеньев (операторов) задержки это не просто значения комбинаций переменных состояния и входных воздействий в нулевой момент времени, как это имеет место для интеграторов. Для однозначного решения этих уравнений требуется задать начальные условия для звеньев запаздывания в виде функций, определяющих историю поведения входных величин этих звеньев на тот интервал времени назад, на который они задерживают сигнал и более.

Т.о. звенья запаздывания, обладая «памятью», требуют больше информации для однозначного решения вопроса о поведении объекта: не просто вектор значений переменных состояния в некоторый, условно нулевой момент времени, как этого достаточно для интеграторов, но вектор функций (комбинаций переменных состояния и входных воздействий на объект), заданных на соответствующих звеньям запаздывания временных интервалах, предшествующих началу интегрирования.

Другими словами, состояние и поведение динамического объекта, как точки и траектории в пространстве состояний для систем с запаздыванием определяется не только положением точки в этом пространстве, но и ее предыдущей траекторий как в подпространстве «запаздываний» x(2), так и в подпространстве x(1) «инерционных» переменных, а также историей поведения внешних воздействий в течение тех интервалов времени, на которые происходит задержка в соответствующих звеньях запаздывания.

Аналогичное утверждение имеется и в [8], п. 2.1:

«Состояние непрерывного объекта с запаздыванием в произвольный момент времени характеризуется не только некоторым конечным числом параметров (имеются в виду переменные состояния – Ф.Б.Т.) (как в случае объектов без запаздывания), но и некоторыми функциями, определенными соответственно на интервале [t0 – τe, t0], [t0 – θr, t0]. Это значительно усложняет решение задач управления такими объектами».

Теперь понятно, почему в литературе обычно ограничиваются рассмотрением точечных объектов: чтобы избежать головной боли от учета поведения протяженного объекта в предшествующие текущему моменты времени. Но это ограничение точечными объектами, к сожалению, существенно сужает область применимости такого строгого и солидного математического аппарата для описания, анализа и оптимизации систем управления динамическими объектами.

Вообще говоря, проблема задания начальных условий для звеньев запаздывания свойственна не только описанию динамического объекта в переменных состояния, но и для других методов. Часто при моделировании динамических объектов с запаздыванием принимают начальную траекторию «запаздывающих» переменных, выходных величин звеньев запаздывания нулевой, т.е. буфер этого звена заполняется в исходном состоянии нулями.

Для упрощения решения в (2.1.3) казалось бы можно было предположить, что все время, от минус бесконечности до начала интегрирования набор «инерционных» переменных состояния неизменен, входные воздействия объекта принять равными нулю, тогда будут постоянными и входные сигналы звеньев запаздывания, а следовательно, постоянными и их выходные сигналы. Т.о. при «замороженном» начальном состоянии динамического объекта для звеньев запаздывания достаточно задать только вектор значений их начальных условий. Однако такая постановка задачи сужает область применения метода, ограничивая ее замороженными в исходном состоянии системами. Но таких систем практически не существует. Действительно, если например, «инерционные» переменные состояния являются фазовыми и они не равны нулю в некоторый момент времени, то они не равны нулю и в предыдущие, а следовательно, они изменялись и до текущего момента. Значит, менялись и входные сигналы звеньев запаздывания. Т.е. «замораживание» это довольно частный случай, например, случай включения технологической установки и вывод ее на номинальный режим работы.

В общем случае для звеньев запаздывания требуется задавать в качестве начальных условий вектор функций поведения всех переменных состояния и всех входных воздействий на интервалах, предшествующих начальному состоянию объекта.

Состояние динамического объекта с запаздыванием исчерпывающе характеризуется не просто точкой в пространстве состояний, но и жестко заданным предстоящим на некоторый интервал времени вперед изменением переменных состояния, относящихся к звеньям запаздывания объекта. Поскольку входной сигнал звена запаздывания, входящего в состав динамического объекта, представляет собой композицию переменных состояния, относящихся к другим звеньям, и воздействий на объект, то задание жесткого прогноза изменения выходного сигнала звена запаздывания эквивалентно заданию предыстории поведения названных переменных состояния и воздействий на тот же интервал времени.

Т.о. состояние динамического объекта с запаздыванием определяется положением изображающей точки в пространстве состояний и ее траектории в предшествующие моменты времени.

Рис. 2.1.1. Состояние динамического объекта

Рис. 2.1.1. Состояние динамического объекта с запаздыванием в некоторый момент времени характеризуется положением его изображающей точки в пространстве состояний, координатами которой являются значения переменных состояния в этот момент времени, а также траекторией этой точки в предшествующие текущему моменты времени. Многомерное пространство состояния можно представить в виде совокупности подпространства инерционных переменных состояния и подпространства «задержанных» переменных состояния

Таким образом, для точечных объектов положение точки в пространстве состояний в некоторый момент времени полностью определяет состояние динамического объекта и тенденцию его поведения в ближайшее время, в то время как для объектов, протяженных в пространстве, имеющих в своей структуре звенья транспортного запаздывания, их состояние и последующее поведение определяется не только текущим положением отображающей точки, но и траекторией ее движения в пространстве состояний в предшествующий, может быть достаточно большой, интервал времени.

Структура модели динамического объекта с запаздываниями

Для корректного учета элементов с запаздыванием, входящих в динамический объект, матрицу операторов, рис. 1.4.1 структурной модели следует модифицировать путем продолжения диагонали с интеграторами операторами задержки:


(2.1.4)

F 214

обратными по действию по отношению к оператору прогноза Fwd{.}.

Примечание. Распространение сигналов в некоторых средах сопровождается явлением дисперсии, когда компоненты сигнала, например его спектральные компоненты, распространяются с разными скоростями, а следовательно, имеют разные задержки при прохождении одинаковой дистанции. Это приводит к искажению формы сигнала. В принципе, это явление также может быть учтено в уравнениях динамики переменных состояния.

Рис. 2.1.2. Укрупненное схематическое изображение динамического объекта управления

Рис. 2.1.2. Укрупненное схематическое изображение основных структурных элементов модели наблюдаемого многомерного нестационарного протяженного в пространстве нелинейного динамического объекта управления. Собственные динамические свойства объекта определяются структурой, характеристиками и параметрами левого блока, блок преобразователя осуществляет преобразование переменных состояния в величины, которые могут быть измерены (или непосредственно в результаты измерений)

Рис. 2.1.3. Структура модели собственно динамического объекта

Рис. 2.1.3. Структура модели собственно динамического объекта, отражающая его внутренний «метаболизм», т.е. направления передачи значений воздействий и переменных, а также операции, осуществляемые над ними. Поведение объекта с запаздыванием определяется не только вектором начальных условий «инерционных» переменных состояния, но и предысторией всех переменных состояния, а также и предысторией воздействий на объект

Сложный динамический объект с функциональными элементами запаздывания структурно представляется двумя параллельными контурами, инерционным и «запаздывающим». Переменные состояния всего объекта это объединение инерционных и «запаздывающих» переменных состояния (выходных величин простейших инерционных элементов в структуре объекта, и «запаздывающих», т.е. выходных величин звеньев запаздывания.) в один вектор.

Отметим еще раз, что в общем случае, входной сигнал некоторого звена запаздывания определяется как всеми переменными состояния объекта, так и всеми воздействиями на него. Поэтому, для того, чтобы однозначно определить состояние, а затем и поведение объекта, необходимо знать предысторию поведения всех переменных состояния, а также всех входных воздействий объекта.

2.2. Простейшие структурные элементы протяженных объектов

Как видно из уравнений (2.1.2) и (2.1.3) состояния и выхода динамических объектов, для их описания достаточно всего четырех операторов. Математическое описание всех четырех простейших элементов (виртуальных аналогов этих операторов) динамических систем и объектов, имеющих пространственное протяжение и (или) транспортное запаздывание, опосредованно опирающихся на физические законы их описывающие, сводится к простым уравнениям, одно из которых линейное дифференциальное, а три остальные - алгебраические:



(2.2.1)

F 221

В общем случае, свойства этих элементарных объектов могут меняться с течением времени. Такие объекты называются нестационарными и этот факт выражается математически тем, что функции f3(.) и f4(.) представляют собой не только функции входных воздействий, но еще и функции времени. Важно, что эти формулы отражают однонаправленные причинно-следственные связи между воздействиями на простейшие элементы и их реакциями на эти воздействия. Однако в физических объектах могут отсутствовать реальные аналоги таких операторов, связь алгоритмической структуры модели в переменных состояния с функциональной структурой объекта часто является весьма опосредованной.

Первая формула в (2.2.1) представляет инерцию, а вторая ограниченную скорость распространения воздействий в пространстве между элементами объекта, на которое требуется время τ. Оба этих объекта, и инерционный и «запаздывающий» это простейшие динамические элементы и их выходные величины только и являются переменными состояния объекта.

Для однозначного описания уравнениями состояния поведения объекта управления необходимо указать начальные условия: значения «инерционных» переменных состояния, а также предысторию поведения входных величин звеньев запаздывания на интервалах, равных задержкам в них.

Рис. 2.2.1. Интегратор и стационарное звено запаздывания

Рис. 2.2.1. Интегратор и стационарное звено запаздывания – исчерпывающий набор видов элементарных динамических объектов. Эти простейшие динамические элементы моделей объектов с запаздыванием требуют для полного и однозначного описания состояния и поведения объекта задания начальных условий. Для интегратора это просто значение выходной величины в условный нулевой момент времени, для звена запаздывания «начальное» условие это поведение входной величины в предшествующие моменты времени на интервале [-τ, 0], или, что то же самое, прогноз поведения выходной величины звена запаздывания («запаздывающей» переменной состояния) на интервал [0, τ], равный времени задержки в звене

Третья формула в (2.2.1) отражает некоторую безинерционную, т.е. мгновенную связь, например, передачу выходной величины некоторого элемента на вход другого, выражаемую формулой f3(x), или реакции y простейшего элемента на некоторое воздействие x, например, выходная величина может быть прямо пропорциональной входной величине.

Четвертая формула в (2.2.1) это безинерционная реакция простейшего элемента, имеющего несколько входов, на композицию его входных воздействий, например, на их сумму. Все рассмотренные простейшие элементы моделей протяженных в пространстве динамических объектов и систем являются однонаправленными: входное воздействие определяет величину выходного, но не наоборот.

Рис.2.2.2. Простейшие (фундаментальные) элементы динамического объекта

Рис.2.2.2. Простейшие (фундаментальные) элементы общего вида структурной схемы динамического объекта как его математической модели насчитывают только четыре разного типа элементов. Элементов этих типов достаточно для моделирования сколь угодно сложного динамического объекта (технологической установки, системы управления ей и т.п.)

Комбинируя простейшие элементы можно построить состоятельную модель сколь угодно сложного динамического объекта. Составление системы дифференциально-алгебраических уравнений динамического объекта это неявный, опосредованный способ, некое «таинство», представления модели динамического объекта в виде набора взаимодействующих между собой однонаправленных простейших динамических элементов.

2.3. Наблюдаемость и управляемость объектов с запаздыванием

Из проведенного выше рассмотрения следует, что однозначное состояние динамического объекта с запаздыванием определяется не только текущими значениями переменных состояния, но и историей их изменения в предыдущие моменты времени, на конечном и достаточно протяженном интервале. Поэтому для таких объектов следует уточнить и понятия наблюдаемости и управляемости.

Управляемость динамического объекта с элементами запаздывания состоит в том, чтобы имелась возможность за конечное время конечным изменением вектора воздействий перевести объект из текущего состояния, которому предшествовало некоторое определенное поведение, в новое, требуемое состояние, которому предшествует заданная траектория изображающей точки в пространстве состояний.

Наблюдаемость объекта с запаздыванием определим как возможность нахождения текущего вектора переменных состояния в любой момент времени и конечный участок траектории в пространстве состояний, по которой изображающая точка попадает в текущее положение, по измерениям выходных величин объекта и их поведения в течение некоторого предшествующего интервала времени.

Более строгие определения понятий наблюдаемости и управляемости динамических объектов в представлении запаздываний в правых частях уравнений состояния можно посмотреть в [8]: «2.6. Управляемость и наблюдаемость систем с запаздыванием».

2.4. Состояние и начальные условия динамического объекта с запаздыванием

Текущее состояние динамического объекта с запаздыванием должно однозначно определять его поведение в последующие моменты времени, хотя бы на весьма короткий интервал. В отсутствие внешних воздействий на объект (свободное движение), или при известных внешних воздействиях, это время простирается до бесконечности.

Рис. 2.4.1. Фазовые портреты и поведение переменных состояния

Рис. 2.4.1. Фазовые портреты и поведение переменных состояния динамического объекта с запаздыванием в отсутствие внешних воздействий. Для полного описания состояния и тенденции поведения динамического объекта с запаздыванием требуется задать не только значения переменных состояния в некоторый момент времени, но и предысторию их изменения, помещенную в данном случае в буфер звена запаздывания. Разные предыстории приводят к разным траекториям фазового портрета, т.е. к разному поведению объекта. Прогноз поведения выходной переменной звена запаздывания (переменной состояния х3) эквивалентен предыстории поведения его входной величины, поскольку представляет собой задержанную на время запаздывания, в данном случае τ = 1 сек, эту самую предысторию

Поведение объекта с запаздыванием определяется не только начальными значениями его переменных состояния, но и предысторией поведения входных величин звеньев запаздывания, эквивалентных прогнозу «запаздывающих» переменных состояния. Интервал, на котором следует знать предысторию определяется величиной задержки в звене запаздывания.

Покажем более подробно модели простой колебательно-инерционной системы с запаздыванием с равными значениями инерционных переменных состояния и разными прогнозами поведения «запаздывающих» переменных состояния.

Рис. 2.4.2. Фазовые портреты

Рис. 2.4.2. Фазовые портреты и изменение переменных состояния от времени для двух одинаковых объектов с разными прогнозами «запаздывающих» переменных состояния, или, что эквивалентно, с разными предысториями всех переменных состояния существенно отличаются

Как видно, в качестве начальных условий, а также, что эквивалентно, однозначного описания текущего состояния динамического объекта с запаздыванием необходимо задать не только значения переменных состояния, но и их предысторию.

Рис. 2.4.3. Начальные условия

Рис. 2.4.3. Начальные условия, или что эквивалентно, состояние инерционно-динамических объектов и инерционно-динамических объектов с запаздыванием. Для чисто инерционного объекта для всестороннего описания его свойств достаточно знать значения всех переменных состояния в некоторый момент времени, а также, значения входных воздействий на объект, если таковые существуют. Объект с запаздываниями требует не только знания значений всех переменных состояния, как инерционных (выходных сигналов интеграторов модели), так и «запаздывающих» (выходных сигналов звеньев запаздывания модели), но и иметь прогноз поведения «запаздывающих»

Таким образом, для описания объектов с запаздыванием требуется значительно больше информации, чем для просто инерционных объектов, что усложняет их анализ и оптимизацию.

2.5. О полном пространстве состояний цифровой модели динамического объекта с запаздыванием и его состоятельном подпространстве

Цифровые модели реальных непрерывных инерционных динамических объектов могут быть построены как с использованием исключительно интеграторов (W(p) - модель), так и с использованием только элементарных звеньев запаздывания ( W(z)-модель):

Рис. 2.5.1. (анимация, 14 кадров) Модели инерционной колебательной системы

Рис. 2.5.1. (анимация, 14 кадров) Модели инерционной колебательной системы, построенные на базе интеграторов и на базе элементарных звеньев запаздывания, осуществляющих задержку на один такт, эквивалентны, как это видно по переходным функциям выходных величин, х1 и z1 соответственно. Естественно, переменные состояния этих моделей, соответствующие выходным величинам интеграторов и звеньев задержки сигналов на такт моделирования разные. Поэтому и траектории изображающих точек разных пар переменных – разные. Конечно, у модели на элементарных звеньях запаздывания траектория изображающей точки довольно «скучная», идет по диагонали, поскольку обе переменные отличаются на незначительную величину, что принципиально важно для обеспечения состоятельности модели

Рассмотренные модели опираются на аналитическое описание динамического объекта в виде передаточных функций W(p) и W(z), с учетом начальных условий.

Пара уравнений состояния (2.1.3) для верхней схемы рис. 2.5.1 сократится до верхнего, а для нижней – до нижнего.

В одной и той же виртуальной цифровой модели могут сосуществовать как интеграторы (1/p), так и звенья задержки на такт (1/z).

Отметим, что интеграторами нельзя промоделировать звенья с достаточно большим запаздыванием, в то время как такое запаздывание без проблем моделируется звеньями задержки на такт, достаточно только выбрать их достаточное число.

При численном моделирования динамического объекта с запаздыванием конкретные звенья запаздывания заменяются последовательностью звеньев задержки на такт, каждому из которых, в принципе можно приписать свою переменную состояния, что и делается внутри моделирующей программы. При этом регистр сдвига в качестве начальных условий заполняется дискретизированной предысторией поведения входной величины соответствующего элемента запаздывания, и затем, в процессе решения, входная величина по тактам обновляется, а величины в ячейках регистра последовательно сдвигаются к выходу. В этом случае в любой такт моделирования полное состояние динамического объекта управления исчерпывающе отображается положением изображающей точки в весьма многомерном пространстве состояний.

Формально, при дискретно-цифровом моделировании непрерывного по своей сути объекта, т.е. звена запаздывания, все это так, и при численной реализации алгоритма необходимо, но с методической точки зрения определение такого числа переменных состояния при записи уравнений состояния, которые, в принципе, могут исследоваться и аналитически, не представляется разумным, обозримым.

Действительно, для того, чтобы буфер, моделирующий звено запаздывания, не терял информацию, т.е не искажал дискретизированный сигнал, требуется в соответствии с теоремой Котельникова использовать в нем весьма значительное число элементарных звеньев запаздывания, обеспечивающих «микрозадержку» на один такт моделирования, которое может составлять десятки, сотни и более. Как же тогда графически представлять все эти элементы фазовых портретов: фокусы, узлы, циклы и т.п., являющиеся традиционными и наглядными инструментами анализа свойств динамического объекта в пространстве состояний, размерность которого составляет сотни, тысячи и более? Громоздко, ненаглядно, да и нет в этом надобности. Ну, а если вспомнить, что звено запаздывания является непрерывным, то введение такого неограниченного числа переменных вообще теряет практический смысл.

Рис. 2.5.2. Непрерывное звено запаздывания и его цифровые модели

Рис. 2.5.2. Непрерывное звено запаздывания и его цифровые модели. Переменная состояния, несущая содержательную, исчерпывающую информацию это выходная величина звена запаздывания с учетом предыстории поведения его входного воздействия. Выходные сигналы промежуточных элементов дискретной модели звена запаздывания формально можно отнести к переменным состояния, однако, поскольку информация в них повторяется со сдвигом, достаточно ограничиться только выходной величиной всего звена и рассматривать его как элементарное унитарное динамическое, состояние которого определяется не только значением выходной величины, но и ее прогнозом (предысторией входной величины). Буфер унитарной дискретной модели заполнен предысторией входной величины, поэтому прогноз переменной состояния жестко определяется этой предысторией

С методической точки зрения целесообразнее принять звено с конечным запаздыванием в качестве элементарного объекта, характеризуемого всего одним параметром – временем задержки в нем, и его переменной состояния считать его выходную величину. Естественно, для того, чтобы не потерять информацию о состоянии и поведении объекта, здесь потребуется задать и предысторию поведения входной величины звена запаздывания, которая при численном моделировании будет последовательно по тактам обновляться при запуске на счет. А эта предыстория складывается из предысторий всех переменных состояния и входных воздействий объекта. Собственно, объект с запаздыванием обладает, как принято говорить, памятью, поэтому учет ее в начальных условиях не должен вызывать отторжения.

Такое определение переменной состояния, отнесенной к звену запаздывания, собственно, равной последней величине микрозвеньев буфера запаздывания, позволяет использовать в качестве состоятельного пространства состояний подпространство пространства состояний, которое включает выходные величины элементарных звеньев, составляющих звено запаздывания. При этом размерность такого подпространства для реальных объектов будет как правило, невелика, а следовательно обозрима, позволит пользоваться при исследовании свойств объекта графическим представлением траекторий изображающей точки в сравнительно маломерном пространстве и никакой потери информации о свойствах и поведении динамического объекта при этом не произойдет.

Относительно малое число эффективных переменных состояния особенно важно при аналитическом исследовании динамического объекта и графическом представлении его результатов.

Таким образом, звено запаздывания на конечную величину может рассматриваться в дополнение к интегратору как простейший динамический элемент, выходная величина которого является переменной состояния, причем для полного и однозначного описания состояния объекта необходимо знать как положение изображающей точки в пространстве состояний, так и часть ее предыдущей траектории, т.е предысторию поведения объекта.

3. Управляющие и возмущающие воздействия в уравнениях состояния динамичского объекта

1. Объект общего вида

Анализ и синтез систем управления динамическими объектами на практике требует рассмотрения и учета действия на объект управления не только управляющих воздействий, но и возмущений. Это позволяет оценить качество работы отдельных САР не только в режиме слежения, но и в режиме стабилизации (компенсации влияния возмущений в процессе слежения). Поэтому интегральные уравнения динамического объекта в переменных состояния имеет смысл представить в виде:







(3.1.1)

F 311

Отсюда структура собственно объекта, его ядра, может быть представлена в виде:

Рис.3.1.1. Фрагмент структурной схемы динамического объекта

Рис.3.1.1. Фрагмент структурной схемы динамического объекта, показывающий наличие как управляющих, так и возмущающих воздействий на объект и их влияние на переменные состояния. Один из вариантов представления структуры

При наличии возмущений понятие управляемости должно быть скорректировано: это возможность переведения объекта из некоторого состояния в требуемое, с требуемой предысторией, и поддержание его там с требуемой точностью, путем изменения только вектора управляющих воздействий.

Линейные векторный оператор интегрирования и векторный оператор задержки delay(.) в (3.1) могут быть объединены в один оператор интегрирования-задержки. В результате:





(3.1.2)

F 311

Соответственно, дифференциально - предективная форма уравнений состояния протяженного объекта с учетом как управляющих воздействий, так и возмущений будет иметь вид:





(3.1.3)

F 311

3.2. Линейный объект

Важным и практически полезным методом исследования и оптимизации систем управления динамическими объектами является линеаризация уравнений и модели объекта.

Линеаризация уравнений (3.1.3) для стационарного объекта дает:





(3.2.1)

F 321

Естественно, два верхних уравнения состояния могут быть объединены в одно:





(3.2.2)

F 322

В форме, в явном виде представляющей как операторы инерции (интегрирования), так и операторы запаздывания:





(3.2.3)

F 323

или, просто




(3.2.4)

F 324

где IntDel {.} – оператор интегрирования – запаздывания, диагональная матрица которого имеет вид:







(3.2.5)

F 311

Структурная модель, соответствующая (3.2.5) очевидно может быть представлена в виде:

Рис. 3.2.1. Структура линейной модели протяженного динамического объекта управления

Рис. 3.2.1. Структура линейной модели протяженного многомерного динамического стационарного объекта управления, представленной в переменных состояния, с явным отображением как управляющих, так и возмущающих воздействий. Ядро модели динамического объекта это совокупность составляющих ее интеграторов и звеньев запаздывания, связанных между собой, которая и определяет собственные (внутренние) динамические свойства объекта. Переменные состояния – это выходные величины интеграторов и звеньев запаздывания. Вектор выходных (управляемых) величин это результат их измерений при наличии шумовых помех, сопровождающих измерения

Естественно, в уравнениях состояния динамического объекта с запаздыванием для их однозначного решения в качестве начальных условий должны быть заданы не только значения всех переменных состояния в нулевой момент времени, но и прогноз значений «запаздывающих» переменных состояния или, что эквивалентно, предыстория поведения всех переменных состояния и входных воздействий объекта.

Следует отметить, что новизна проведенного обобщения записи уравнений состояния на объекты с запаздыванием весьма относительная. Действительно, в практике создания программ моделирования динамических систем (VisSim, Simulink, Jegrein и т.п.) широко применяются такие структурные элементы, как регистры задержки на такт и звенья чистого запаздывания. Новизна может состоять в аналитическом представлении уравнений состояния для объектов с запаздыванием, что в принципе позволяет проводить аналитические исследования многомерных динамических объектов и их оптимизацию.

4. Области практического применения метода переменных состояния

Области практического применения строгого, аналитического, хотя и довольно абстрактного и громоздкого метода описания переменными состояния динамических объектов и соответствующего их анализа и оптимизации можно очертить следующим образом.

Если динамический объект не содержит звеньев запаздывания, то метод переменных состояния позволяет решать задачу управления в классической постановке: конечным числом воздействий переводить объект из произвольного состояния в требуемое. В результате находится и оптимизируется система управления объектом.

Если же динамический объект более сложен, имеет элементы запаздывания, то, во избежание трудностей с заданием его начального состояния в произвольный момент времени с учетом предыстории воздействий на него и его поведения, целесообразно решать задачи перевода объекта из нулевого состояния в требуемое, т.е. решать задачи включения объекта и выведения его на требуемый режим. Далее, можно продолжать решение задачи по переводу объекта из этого режима в новый требуемый. Однако, поскольку динамический объект с запаздыванием полностью характеризуется не просто текущим вектором переменных состояния, но и предысторией его изменения, то это существенно усложняет решение задачи управления в общем виде.

Например, рассмотрение ситуации, когда система управления на некоторое время теряет контроль над объектом, а потом старается его восстановить. В этом случае, для получения исчерпывающей информации о состоянии объекта придется провести не просто определение переменных состояния по измеренным выходным величинам объекта, но провести наблюдения за ними в течение некоторого времени, определяемого задержками в звеньях запаздывания объекта. При выборе метода анализа и его проведении это обстоятельство нужно иметь в виду.

Заключение

Динамические объекты с элементами, рассредоточенными в пространстве, а также имеющими элементы транспортного запаздывания давно и успешно моделируются, в том числе и структурно – алгоритмически, в программах объектно-ориентированного моделирования.

Традиционное аналитическое описание объектов и систем управления методом переменных состояния в настоящее время многими авторами определяется как современное, видимо, в частности, потому, что опирается на достаточно мощный аналитический аппарат исследования, созданный профессором Ляпуновым еще в позапрошлом веке и развитый его последователями, в частности Р. Калманом в середине прошлого века. Однако, то, что в таком описании в учебниках почему-то как правило не учитывается ни пространственная протяженность реальных технологических объектов, ни наличие в них транспортных элементов запаздывания, а также не проводится в явном виде разделение воздействий на объект на управляющие и возмущающие, может свидетельствовать о том, что метод переменных состояния приобрел некоторую «самодостаточность», оторвавшись от описания, исследования и оптимизации реальных, используемых на практике технологических объектов.

Звено запаздывания на конечную величину может рассматриваться в дополнение к интегратору как простейший динамический элемент, выходная величина которого является переменной состояния, причем для полного и однозначного описания состояния объекта необходимо знать как положение изображающей точки в пространстве состояний, так и часть ее предыдущей траектории, т.е предысторию поведения объекта.

Если не присягать на верность тому принципу, что состояние динамического объекта может быть полностью отображено в пространстве состояний точкой и только точкой, а принять, что это состояние для объектов с запаздыванием достаточно охарактеризовать точкой и предшествующей ее траекторией (предысторией), то описание объекта переменными состояния, соответствующими выходным величинам интеграторов и звеньев запаздывания, принимает содержательный и обозримый, достаточно компактный вид, что делает возможным использовать его не только для дискретно-цифрового моделирования, но и для аналитического исследования и оптимизации систем управления.

Проблема задания начальных условий, т.е. описание исходного состояния, динамического объекта с запаздываниями имеется не только для представления объекта уравнениями состояния (т.е. в форме Коши), но и для представления любой другой системой дифференциально-алгебраических уравнений: требуется задавать предысторию поведения переменных и внешних воздействий на достаточно длинный интервал, определяемый запаздываниями в объекте.

Предложенные формы описания протяженных объектов с запаздыванием с учетом возмущений, действующих на динамические объекты управления позволяют использовать метод переменных состояния не только для проведения отвлеченных исследований, но для решения задач анализа и оптимизации реальных, практически полезных объектов и систем управления ими. Однако этот метод описания, при всей своей строгости, довольно абстрактен, сложен и эффективность его сомнительна при решении практических задач оптимизации систем управления сравнительно простыми технологическими объектами.

Оптимальная система управления, если она уже реализована, существует объективно и ее характеристики не зависят от того, каким математическим аппаратом она была описана и с помощью каких математических инструментов она была оптимизирована. Поэтому простота математического описания системы управления, в частности САР, должна определяться сложностью системы, ей соответствовать.

Метод математического описания реальной системы управления не может добавить ей новые, лучшие свойства, поэтому выбор метода описания может осуществляться исследователем исходя из простоты аппарата, обеспечивающего состоятельность модели, и наглядности промежуточных и окончательных результатов исследования и оптимизации.

Литература и Интернет

Приложение

П 1. Общий смысл описания динамического объекта уравнениями состояния

В основе любой системы управления лежит САР – простейший функциональный элемент системы управления. САР имеет одну управляемую величину, одно управляющее воздействие и одно или несколько возмущающих воздействий. Назначение САР обеспечить прямую пропорциональность управляемой величины объекта заданию САР вопреки возмущениям.

Поэтому конечная цель любого математического описания динамического объекта и системы управления им состоит в получении согласованно работающего набора, композиции оптимальных в определенном смысле систем автоматического регулирования.

Попробуем кратко прояснить, насколько это возможно, смысл структурно-алгоритмической модели динамического объекта, представленной уравнениями состояния и связи ее параметров со свойствами моделируемого объекта.

Описание (физическое и математическое) динамического объекта состоит в установлении и выражении с помощью формул причинно-следственных связей между внешними по отношению к объекту воздействиями на него и физическими и (или) виртуальными (некими воображаемыми) величинами его характеризующими. Если известно состояние и поведение объекта под заданным классом внешних воздействий, а также в их отсутствие, то можно сказать, известны все динамические свойства объекта в этой области воздействий.

Для описания динамических объектов общего вида хорошо подходит математический аппарат дифференциальных уравнений в частных производных плюс алгебраические уравнения. Такой аппарат позволяет описать не только поведение точечных в пространстве объектов, но и протяженные в пространстве объекты, перенос материи, энергии (волновые процессы), процессы, протекающие в пространстве-времени. Однако, наряду с этим достоинством, аппарат дифференциальных уравнений в частных производных довольно сложен и может быть неоправданно трудоемок при решении множества частных, но важных в практическом отношении задач.

Обыкновенные дифференциальные уравнения значительно более простые, чем уравнения в частных производных, однако они не позволяют всесторонне описывать волновые процессы в пространстве-времени. Тем не менее, используя обыкновенные дифференциальные и алгебраические уравнения можно с достаточной для практики полнотой описать динамический объект и изменения его состояния и поведения как во времени, так и в пространстве.

Посмотрим подробнее на этот вопрос.

В общем случае, для описания динамических объектов используются системы дифференциально-алгебраических уравнений, часть из которых дифференциальные, а часть – алгебраические.





(П.1)

F П1

Система уравнений (П.1) это математический «иероглиф» – система векторных дифференциально-алгебраических уравнений переменных состояния многомерного нестационарного протяженного в пространстве нелинейного динамического объекта управления. Два верхних уравнения, дифференциальное и алгебраическое, назовем уравнениями состояния, третье, нижнее, алгебраическое называется уравнением выхода. Уравнения представлены в форме Коши, модифицированной для учета задержек сигналов, обусловленных конечным временем их распространения от одного элемента объекта к другому (смысл всей этой тарабарщины поясняется ниже) .

Рассмотрим вкратце смысл этого математического «иероглифа». Представленная система уравнений (П.1) описывает динамический объект весьма общего вида, может быть, любой динамический объект, с которым может встретиться человек в практической деятельности: стиральная или автомашина, технологическая установка на производстве, орган живого организма и сам организм, коллектив людей или популяция животных, воздушный змей, велосипед и т.д. и т.п.

Итак, здесь, в математической записи, сказано, что динамический объект подвергается нескольким (n) воздействиям, совокупность которых обозначена вектором u. Эти воздействия в принципе частично или полностью могут изменяться внешней по отношению к объекту системой управления, в частности, человеком, для обеспечения требуемого ему функционирования объекта. Но некоторые из этих воздействий могут быть и возмущениями (помехами), в том числе случайными, отклоняющими объект от требуемого поведения. Эти отклонения призвана устранять система управления должным образом воздействуя на объект путем изменения управляющих воздействий.

Физически воздействия воспринимаются объектом, передаваясь от одного его элемента к другому в соответствии с внутренними связями, формирующими его функциональную структуру.

В представленной выше системе уравнений предполагается, что динамический объект заменен, промоделирован набором связанных простейших однонаправленных динамических элементов двух типов:

Кроме того, математическая модель использует и алгебраические функции, которые описывают безинерционные звенья, входящие в состав объекта. Это звенья связи и нелинейные звенья.

Выходные величины (переменные) х инерционных звеньев и звеньев задержки (с учетом прогноза их на время запаздывания) структурной модели объекта полностью определяют его состояние и поведение. Т.е. зная значения всех переменных х и входные воздействия на какой-то момент времени и их предысторию, можно с помощью уравнений в переменных состояния определить их значения на следующий, близкий момент времени, а, значит, и на все последующее время. Поэтому выходные величины динамических звеньев х называются переменными состояния. Число переменных состояния m больше или равно числу n внешних воздействий, поскольку два воздействия не могут быть поданы на простейший динамический объект, имеющий всего один вход и один выход, а одно воздействие, в принципе, может быть подано на несколько динамических элементов.

Два верхних уравнения называются уравнениями состояния.

Переменные состоянии отражают, выражаясь языком биологов, внутренний «метаболизм» динамического объекта, точнее одной из его структурно-математических моделей. Этот «обмен веществ» может происходить как при наличии внешних воздействий на объект, так и в их отсутствие.

Векторные, в общем случае нелинейные, функции f1(t, x, u) и f2(t, x, u, τ) определяют то, как вся совокупность переменных состояния объекта и внешних воздействий на него влияет на скорость изменения во времени и задержки во времени переменных состояния. Эти функции и определяют структуру модели взаимодействия простейших динамических элементов, составляющих объект. Кроме того, аргументы этих функций показывают, что они в некоторых случаях изменяются с течением времени, что означает, что и свойства объекта изменяются с течением времени. Такие объекты называются нестационарными.

Человека или систему управления в процессе управления объектом могут интересовать вовсе не все его переменные состояния, а только некоторые. Более того, его могут интересовать некоторые величины, характеризующие динамический объект, которые не могут быть измерены непосредственно. Например, для определения производительности некоторой технологической установки (т/час), которую (производительность) невозможно измерить непосредственно, можно измерить такие переменные состояния, как скорость транспортировки материала (м/час) и текущую его погонную плотность (т/м) и перемножить. Этот процесс косвенного определения требуемых величин y, характеризующих процесс, но не поддающихся прямому измерению, описывает нижнее векторное уравнение, уравнение выхода.

В уравнении выхода может быть учтено и то, что измерения сопровождаются ошибками, вызываемыми случайными, шумовыми и детерминированными факторами, обозначенными вектором (набором помех) z.

Для обеспечения управления объектом очевидно нужно, чтобы для каждой выходной его величины, была бы по крайней мере одна входная, влияющая на эту выходную. На практике на каждую из нескольких выходных величин могут влиять сразу несколько входных. Чтобы объект был управляемым, нужно, чтобы имелась возможность так группировать с весами входные воздействия, чтобы каждая отдельная такая компоновка влияла бы только на «свою» выходную величину, не изменяя при этом другие выходные величины.

Отметим, что обобщенная система уравнений состояния динамического объекта имеет только одну независимую переменную – время t. Пространственные же характеристики объекта описываются косвенно, путем учета времени задержки, обусловленной распространением воздействий в пространстве с конечной (не бесконечной) скоростью. Такой подход существенно упрощает описание динамических объектов, хотя, как видно из вышеприведенного пояснения, не так-то уж все и просто.

Уравнения переменных состояния могут быть представлены в интегрально-«запаздывающей» форме, которая, пожалуй, является более наглядной:





(П. 2)

F A2

Система уравнений (П.2) это интегральные уравнения векторных переменных состояния динамического объекта с запаздываниями. Часть переменных, соответствующая выходным сигналам простейших инерционных элементов и обозначенная вектором х(1), есть результат накопления (интегрирования) некоторой комбинации всех переменных и воздействий на объект, которая, как и сами переменные, а также входные воздействия, может изменяться с течением времени. Вторая часть переменных состояния, обозначенная х(2), представляет собой задержку на некоторое время тау τ некоторой комбинации всех переменных и воздействий на объект, которое может в общем случае меняться с течением времени. В соответствии с этими уравнениями строятся структурные, в т.ч. виртуальные, модели динамических объектов [7].

Таким образом, чтение математического «иероглифа» дает очень много информации, иногда соизмеримой с текстом на многих страницах и десятках страниц. Поэтому и вникать, читать, рассматривать формулы нужно долго, выясняя смысл каждого символа и их композиции.

Конечно, студенту или специалисту-инженеру, изучившему классический курс теории автоматического управления, основанный на описании объектов передаточными функциями и нелинейными звеньями, а тем более, только приступающему к ее изучению, приведенные выше пояснения покажутся недостаточно понятными. Но здесь имелось в виду только показать, что математические «иероглифы», описывающие динамический объект очень содержательны и дать некоторое интуитивное представление о сути описания динамического объекта переменными состояния. До глубинного смысла этих «иероглифов» еще нужно докопаться, чтобы владеть этим математическим аппаратом. А такое владение необходимо, если студент хочет не просто внедрять, устанавливать по месту системы автоматики, разработанные кем-то в солидных фирмах, а самому разрабатывать такие системы, работая в этих фирмах.

Благодарности

Автор выражает признательность к.т.н., доценту Клиначёву Н.В (ЮУрГТУ, Челябинск) и д.т.н., профессору Колесову Ю.Б. (С-ПбГПУ ,С-Петербург) за полезное обсуждение вопросов, рассматриваемых в статье.

2.08.2011

* * *

<< К началу статьи