Федосов Борис Трофимович
Рудненский индустриальный институт,
Рудный, Казахстан
Об авторе

УДК 681.51.01
Ф338

Даже плавая на поверхности океана знаний,
можно достичь глубин
Девиз журнала "Знание - сила"

Частотные характеристики дискретных моделей линейных объектов и систем, устойчивость и оптимизация

       Это третья статья из цикла, посвященного подробному, количественному рассмотрению некоторых характеристик дискретных моделей непрерывных и дискретно-непрерывных систем управления и их связи с параметрами и свойствами дискретных моделей. Статья дополняет традиционное изложение, проводимое в классических учебниках и отличающееся скупостью и определенным формализмом, что не в полной мере дает студенту возможность почувствовать свойства дискретных моделей.

      

       Частотные характеристики линейных динамических непрерывных систем, т.е. АЧХ, ФЧХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ, а также годографы Михайлова и Найквиста позволяют оценивать свойства объектов управления и САР и оптимизировать их параметры и структуру. Это требуется для того, чтобы САР должным образом решала свои основные задачи, с нужными точностью и быстродействием осуществляла слежение и стабилизацию.

       Частотные характеристики могут быть построены и для дискретных моделей непрерывных САР и для САР с непрерывным объектом и дискретным (дискретно-цифровым) управлением. Ниже рассмотрены особенности частотных характеристик дискретных моделей и их связь с параметрами и свойствами этих моделей. Кроме того, предлагаются некоторые практические приемы, упрощающие построение частотных характеристик и анализ дискретных моделей.

       В качестве инструментов построения характеристик в настоящей статье используются программы Vissim и Маткад, но эти результаты могут быть воспроизведены и в Матлабе, в частности с использованием ее приложения Sumulink.

Содержание

1. Частотные характеристики линейных непрерывных и дискретных моделей

Частотные характеристики это зависимости коэффициента усиления звеном синусоидального сигнала и вносимого им фазового запаздывания от частоты синусоидального воздействия.

Особенность частотных характеристик дискретных звеньев, отличающих их от частотных характеристик непрерывных звеньев, обусловлена осуществлением в этих звеньях дискретизации сигналов. Характеристики дискретного звена начинают очень сильно отличаться от характеристик его непрерывного аналога, начиная с частот, близких к частоте дискретизации.

1.1. Фильтр Баттерворта. Частота Котельникова

Фильтр Баттерворта второго порядка это одна из удачных, оптимальных моделей САР, обеспечивающей хорошие показатели качества регулирования, поэтому имеет смысл именно на его примере рассмотреть особенности частотных характеристик непрерывных и дискретных его моделей.

Рассмотрим вид ЛАЧХ и ЛФЧХ непрерывных и дискретных моделей и определим области состоятельности точных и приближенных дискретных моделей.

gif-file, 20KB

Рис. 1.1.1.1. ЛАЧХ и ЛФЧХ непрерывной и точных (в том смысле, что коэффициенты не округлялись) дискретных, полученных преобразованием Тастина, моделей фильтра Баттерворта второго порядка. Характеристики совпадают только до частоты, равной fв = 1/dT рад/сек, где dT – период дискретизации. Для исключения полного наложения графиков на нижних частотах, ЛАЧХ дискретных звеньев опущены примерно на 1.2 – 1.4 дБ относительно непрерывной и друг друга, ЛФЧХ дискретных звеньев опущены на 2, 4 и 6 градусов относительно ЛФЧХ непрерывного звена. Переходные функции для большей наглядности показаны в диапазоне 100 сек, а частотные характеристики построены для диапазона модельного времени от 0 до 1000 сек, чтобы перекрыть весь диапазон градуировки

Частотные характеристики рис. 1.1.1.1 получены в Vissim’е, сохранены в файлы и затем импортированы из файлов на отдельные осциллограммы. Это позволяет совместить на одном графике несколько частотных характеристик и придать им красивый вид.

Отметим, что подстановка Тастина, которой пользуется Vissim для преобразования непрерывного звена в дискретное, весьма точна в области состоятельности дискретной модели. Как видно, частотная область состоятельности дискретной модели ограничивается сверху величиной fв = 1/dT рад/сек.

Предельная частота для дискретной модели это π/dT. Обратим внимание, что частота на графиках отложена в рад/сек, поэтому величина π/dT это половина частоты дискретизации. Частотные характеристики дают прозрачное понимание того, что по отношению к верхней частоте fв полосы пропускания частота дискретизации fд может трактоваться как частота Котельникова.

Анализировать поведение частотных характеристик за пределами состоятельности дискретных моделей не имеет смысла, нужно лишь помнить, что при анализе на такие модели не следует подавать сигналы с НЧ - спектром, более широким, чем fв = 1/dT рад/сек во избежание получения неверных значений спектра на высоких частотах.

Покажем, насколько чувствительны частотные характеристики к изменению, например, округлению параметров Z-передаточной функции дискретной модели.

gif-file, 20KB

Рис. 1.1.1.2. К параметрической чувствительности частотных характеристик дискретных моделей. ЛАЧХ и ЛФЧХ непрерывной и приближенной (с округленными коэффициентами, сумма коэффициентов не изменилась) дискретной моделей фильтра Баттерворта второго порядка.
Приближенные модели получены округлением коэффициентов характеристического Z-полинома и заменой числителя суммой его коэффициентов. Чем меньше период дискретизации, тем больше значащих цифр оставлено, с тем, чтобы сумма коэффициентов знаменателя не изменялась в результате округления коэффициентов.
Округление практически не сказалось на переходных характеристиках, но сказалось на ЛАЧХ за пределами состоятельности модели, и весьма сильно сказалось на ЛФЧХ, тем сильнее, чем больше период дискретизации dT

Как видно, хотя ЛАЧХ за пределами состоятельности дискретных моделей существенно изменились, что собственно не так и важно, но в области состоятельности совпадение характеристик по-прежнему отличное.

Что же качается ЛФЧХ, то для них область состоятельности, совпадения с ЛФЧХ исходной непрерывной модели, существенно сузилась. Собственно, у всех трех приближенных звеньев верхняя граничная частота для ЛФЧХ составляет 1 рад/сек. Если рассматриваемый фильтр Баттерворта 2-го порядка окажется в контуре, охваченный обратной связью, то паразитные фазовые задержки, обусловленные несостоятельностью моделей на частотах более высоких, чем допустимые, могут весьма отрицательно сказаться на устойчивости контура.

Для сравнения приведем и частотные характеристики фильтра Баттерворта 3-го порядка:

gif-file, 20KB

Рис. 1.1.1.3. ЛАЧХ и ЛФЧХ непрерывной и дискретной моделей фильтра Баттерворта третьего порядка. Как видно, округление коэффициентов с сохранением их суммы практически не сказывается на переходной функции и ЛАЧХ, но существенно влияет на ЛФЧХ. Частотная состоятельность дискретной модели с округленными коэффициентами сохраняется в полосе, на порядок более узкой, чем у модели с неокругленными коэффициентами. Отметим, что при округлении сохранено десять значащих цифр, т.е. очень много. Параметрическая чувствительность ЛФЧХ звена третьего порядка, каковым является фильтр Баттерворта, весьма велика

1.2. ПИ-регулятор

Поскольку основной, если не единственной, причиной использования дискретных моделей является удобство получения алгоритма цифровой обработки сигналов в регуляторе, то имеет смысл рассмотреть, что представляют собой частотные характеристики типовых регуляторов и их важных элементов, реализованных в виде дискретных звеньев.

Частотные и переходные характеристики различных моделей ПИ-регулятора представлены на рисунке:

gif-file, 20KB

Рис. 1.1.2.1. Логарифмические частотные характеристики непрерывной и дискретных моделей ПИ-регулятора и их переходные характеристики. Как видно, дискретные модели состоятельны при спектрах воздействий, ограниченных сверху частотой fв = 1/dT рад/сек (или, в пределе, частотой, равной половине частоты дискретизации π/dT), где dT – период дискретизации. ЛАЧХ дискретных звеньев поднята и опущена на 1 дБ, а ЛФЧХ соответственно на 2 градуса, чтобы не было наложения графиков. На частоте π/dT, равной половине частоты дискретизации (частоты Котельникова в применении к верхней частоте спектра) ЛФЧХ дискретных звеньев проваливается к -360 градусам, а затем возвращается к нулю. Округление коэффициента полинома числителя до трех значащих цифр никак не сказалось на ЛАЧХ и ЛФЧХ звена. Замена полинома числителя суммой его коэффициентов недопустимо, поскольку в этом случае теряется начальный пьедестал в переходной функции модели ПИ-регулятора

Из рассмотрения характеристик ПИ-регулятора можно сделать при желании оптимистический или пессимистический вывод.

Оптимистический: несмотря на ограниченность состоятельности дискретной модели в частотной области, переходная функция даже при скачкообразном изменении входного сигнала полностью повторяет переходную функцию непрерывной модели.

Пессимистический вывод: состоятельность дискретной модели в частотной области ограничена сверху половиной частоты дискретизации, поэтому при входных НЧ - сигналах, со спектрами более широкими, чем накладывает это ограничение, спектр выходного сигнала дискретного звена может не соответствовать спектру выходного звена непрерывного ПИ-регулятора.

Отметим, что сумма коэффициентов знаменателя Z-передаточной функции дискретной модели ПИ-регулятора равна нулю. Это не позволяет нормировать коэффициенты знаменателя по его сумме.

Поскольку задающее, и особенно возмущающее воздействия САР вполне могут содержать довольно широкополосный шум, полоса которого может быть шире полосы состоятельности дискретной модели регулятора, то эти воздействия перед подачей на цифровой регулятор целесообразно предварительно сгладить во избежание дополнительных ошибок, обусловленных дискретным характером обработки.

Частотные характеристики непрерывной и дискретной моделей ПИ-регулятора совпадают в частотном диапазоне состоятельности дискретной модели, определяемом половиной частоты дискретизации.

1.3. Дифференцирующее звено

Рассмотрим дифференцирующее звено. Такое звено может быть использовано, например, для реализации гибких обратных связей в САР.

Z-передаточную функцию дифференцирующего звена можно получить из р - передаточной функции непрерывного дифференцирующего звена простой подстановкой:


(1.1.3.1)

gif-file, 20KB

или подстановкой Тастина, которой пользуется Vissim::


(1.1.3.2)

gif-file, 20KB

gif-file, 20KB

Рис.1.1.3.1. Замена непрерывного «идеального» дифференцирующего звена дискретными с помощью разных подстановок. Простая подстановка работает, обеспечивает свойства дискретной модели, соответствующие идеальному звену дифференцирования вплоть до границы состоятельности, определяемой периодом дискретизации dT. Поскольку сумма коэффициентов числителей Z-передаточных функций дифференцирующего звена равна нулю, это не позволяет заменить числитель суммой его коэффициентов. Подстановка Тастина применена к «идеальному» дифференцирующему, т.е. реальному, инерционно-дифференцирующему непрерывному звену

«Идеальное» звено стремится к идеальному при стремлении его постоянной времени к нулю, а коэффициента усиления к бесконечности так, что kT = 1. «Идеальное» звено использовано потому, что Vissim отказывается рассматривать звенья с передаточными функциями, степень числителя которых больше степени знаменателя. Как известно, такие звенья не реализуемы.

Частотные и переходные характеристики различных моделей дифференцирующего звена представлены на рисунке:

gif-file, 20KB

Рис.1.1.3.2. Простая подстановка обеспечивает состоятельность дискретной модели идеального дифференцирующего звена вплоть до границы, определяемой периодом дискретизации, где ЛФЧХ (красная линия) начинает уходить вниз от значения + 90o. Непрерывная модель дифференцирующего звена может быть сделана состоятельной в сколько угодно широкой полосе частот. Для этого достаточно лишь задать соответствующие коэффициент усиления и постоянную времени. Подстановка Тастина хорошо аппроксимирует инерционно-дифференцирующее звено. Зеленая и синяя кривые опущены на 1 и 2 дБ, на верхнем графике и на 1 и 2 градуса фазы на нижнем

Частотные характеристики непрерывной и дискретной моделей дифференцирующего звена совпадают в частотном диапазоне состоятельности дискретной модели, определяемом половиной частоты дискретизации.

1.4. Звено запаздывания

Непрерывные звенья естественным образом моделируют динамические объекты, но моделирование звеньев даже с относительно небольшим запаздыванием непрерывная динамическая модель осуществляет с определенными затруднениями [6]. Моделирование звеньев с относительно большими, по сравнению с характерным временем изменения подаваемых на них сигналов, запаздываниями, непрерывным звеньям не под силу.

Напротив, если моделирование динамических объектов дискретное звено осуществляет с определенным приближением, модель имеет ограниченную область состоятельности, то при моделировании элементов САР с запаздыванием, дискретное звено находится в своей стихии.

gif-file, 20KB

Рис. 1.1.4.1. Частотные характеристики непрерывного и дискретных звеньев с запаздыванием, построенные в Vissim’е. Vissim способен строить характеристики дискретных звеньев с запаздыванием вплоть до 26-степени z. Модуль ККП получается с небольшими ошибками примерно в 5%, ФЧХ и ЛФЧХ дискретного звена запаздывания строятся правильно в пределах его состоятельности, определяемых частотой дискретизации

Как известно, Vissim «не замечает» звена непрерывной задержки, в том смысле, что отказывается строить для него частотные характеристики, но для дискретной модели он вполне работоспособен, как видно из рисунка, вплоть до степени характеристического Z-полинома, равного 26.

Частотные характеристики непрерывной и дискретной моделей звена с запаздыванием совпадают в частотном диапазоне состоятельности дискретной модели, определяемом не менее чем половиной частоты дискретизации.


<< К содержанию

<< К началу статьи


2. Алгебраические признаки устойчивости дискретной модели произвольного порядка

2.1. Экспресс-анализ устойчивости дискретной модели
по соотношениям между коэффициентами ее характеристического Z-полинома

Как известно, характеристический Z-полином дискретной модели можно представить в виде произведения элементарных сомножителей:


(2.1.1)

gif-file, 20KB

Дробно-рациональную Z-передаточную функцию линейной системы можно представить в виде суммы простейших дробей:




(2.1.2)

gif-file, 20KB

В обоих случаях элементарные полиномы сформированы одними и теми же корнями характеристического Z-полинома системы или объекта, и поэтому именно элементарные сомножители, или, что то же, характеристические полиномы элементарных дробей определяют характер и степень устойчивости всей дискретной модели.

Назовем для краткости точку, отображающую элементарный сомножитель в (2.1.1) или характеристический Z-полном элементарной дроби (2.1.2) на плоскости их коэффициентов, отображающей точкой.

Введем следующие определения.

Дискретная модель САР находится на границе динамической устойчивости, по крайней мере, частично, если хотя бы одна отображающая точка дискретной модели САР находится на этой границе.

Дискретная модель САР находится на границе динамической устойчивости полностью, если все отображающие точки дискретной модели САР находятся на этой границе.

Частичное нахождение на границе устойчивости включает и устойчивые САР, частично «попавшие» на границу, и неустойчивые, также частично «попавшие» на границу динамической устойчивости. Наконец частично неустойчивые включают в себя и системы, полностью находящиеся на границе динамической устойчивости САР. Понятно, что встретить САР высокого порядка, полностью находящуюся на границе устойчивости можно значительно реже, нежели САР такого же порядка, находящуюся на границе динамической устойчивости частично.

Проиллюстрируем рисунками связь расположения характеризующих САР отображающих точек в плоскости параметров их элементарных сомножителей.

gif-file, 20KB

Рис.2.1.1. Примеры расположения отображающих точек динамических моделей САР. САР находится полностью на границе динамической устойчивости (вверху слева), частично на границе динамической устойчивости и устойчивая (вверху справа), частично на границе устойчивости и неустойчивая (внизу)

Итак, объект порядка выше второго, может находиться на границе динамической устойчивости частично, а по другим параметрам иметь другие свойства, т.е. быть частично устойчивым и частично неустойчивым. Конечно, неустойчивость, если таковая имеется, превосходит все остальные свойства.

Объекты первого и второго порядка могут быть либо устойчивыми, либо неустойчивыми, либо, наконец, находиться полностью на границе устойчивости.

Сформулируем и докажем несколько полезных для анализа дискретных моделей САР утверждений.

Теорема 1

Для того чтобы Z-полином A(z) имел, по меньшей мере, один корень, равный единице, необходимо и достаточно, чтобы сумма коэффициентов этого полинома была равна нулю.

Теорема 2

Если САР находится на границе динамической устойчивости хотя бы частично, то сумма коэффициентов ее характеристического Z-полинома равна нулю.

Теорема 3

Если сумма коэффициентов характеристического Z-полинома произвольного порядка САР равна нулю, то САР находится на границе динамической устойчивости, хотя бы частично.

Следствие

Если сумма коэффициентов каждого из простейших сомножителей характеристического Z-полинома равна нулю, то САР находится полностью на границе динамической устойчивости.

Теорема 4

Если САР частично или полностью находится на границе динамической устойчивости, то ее характеристический Z-полином имеет, хотя бы один корень, равный единице.

Теорема 5

Если характеристический Z-полином САР имеет корень, равный единице, то САР находится на границе динамической устойчивости, хотя бы частично.

Следствие

Если характеристический Z-полином САР имеет корни, равные единице, у всех своих элементарных сомножителей, то САР находится полностью на границе динамической устойчивости.

Доказательство сформулированных выше теорем приведено в Приложении, чтобы не отвлекать внимание читателя от основной темы математическими подробностями. Теоремы эти можно было бы сформулировать и более компактно, но по соображениям методического характера оставим их в таком виде.

Примечание. Автор не встречал указанных выше теорем в литературе и Интернете. Поэтому здесь и приведены их формулировки и доказательства, для того, чтобы можно было ими воспользоваться при анализе дискретных моделей динамических непрерывных САР и на них ссылаться.

Однако, математики столь трудолюбивы и любопытны, а утверждения довольно просты, что вполне могло случиться, что кто-то уже и доказал и даже опубликовал что-то подобное. В отсутствие информации об этом будем ссылаться на приведенные в настоящей статье формулировки и доказательства.

Таким образом, равенство нулю суммы коэффициентов характеристического Z- полинома является характерным признаком нахождения САР на динамической границе устойчивости, по крайней мере, частично, а в дополнение, и того, что полином имеет хотя бы один корень, равный единице.

Отметим, что у САР находящейся на границе динамической устойчивости соответствующие корни характеристического Z-полинома только действительные, что подтверждает сделанный ранее [1,2] вывод о том, что эта граница соответствует апериодически-монотонному характеру переходного процесса САР.

Следует обратить внимание и на то, что сумма коэффициентов характеристического Z- полинома является характерным параметром только для границы динамической устойчивости. Эта сумма равна нулю только для САР, находящейся на этой границе области устойчивости, в частности, для Z-полинома дискретного звена второго порядка это «юго-западная граница» области (треугольника) устойчивости. И сумма коэффициентов не может быть равной нулю в других точках области устойчивости, в частности, на других, алгоритмических, границах, внутри или за пределами области устойчивости.

Дискретная модель произвольного порядка, все отображающие точки которой находятся вблизи границы динамической устойчивости, полностью соответствует реальной непрерывной динамической системе. Другими словами, такая модель реализуема.

2.2. Об упрощении Z-передаточной функции дискретной системы

Если сумма коэффициентов полинома Z-передаточной функции равна нулю, то это не позволяет заменять полином этой суммой или нормировать по ней его коэффициенты, как это предлагается в [1]. Сумма коэффициентов равна нулю, когда Z-полином имеет корень, равный 1, или несколько кратных таких корней (см. теоремы, сформулированные выше и доказанные ниже). Если характеристический Z-полином имеет корень, равный 1, то это означает, что в последовательной модели имеется интегратор и моделируемый объект или система находятся на границе устойчивости.

Дискретное звено с передаточной функцией W(z) = -(z-1) обладает дифференцирующими свойствами. Действительно, разностное уравнение соответствующее этому звену имеет вид:

(2.2.1)

gif-file, 20KB

Правда, исходя из принципа физической реализуемости, когда степень числителя Z-передаточной функции не должна превышать степень ее знаменателя, названную выше передаточную функцию, делят еще и на z:


(2.2.2)

gif-file, 20KB

отчего дифференцирующие свойства звена вовсе не страдают:

(2.2.3)

gif-file, 20KB

Последовательная модель (модель, составленная из последовательного соединения звеньев первого и второго порядков) работоспособной САР не может содержать интеграторов, поскольку звено с последовательно включенным интегратором является нейтральным объектом, объектом без самовыравнивания. Поэтому САР, имеющая последовательно соединенный с другими звеньями интегратор, не смогла бы выполнять свои функции, т.е. решать задачи слежения и стабилизации. Следовательно, Z-передаточная функция дискретной модели реальной САР не может иметь полюсов и нулей, равных 1, что позволяет нормировать коэффициенты ее полиномов по их сумме, а также заменять полином числителя суммой его коэффициентов.

Что же можно сделать для упрощения представления модели, если корни, равные 1, есть, что вполне может быть в дискретной модели, например, разомкнутого контура САР или отдельного звена?

Следует выделить и вынести за скобки сомножители вида (z-1), узнав об их наличии по сумме коэффициентов, равной нулю, а с оставшимися полиномами, если сумма их коэффициентов не равна нулю, можно проделывать то же самое: нормировать по сумме, заменять полином числителя суммой его коэффициентов. Если же у оставшегося полинома сумма коэффициентов равна нулю, то нужно еще раз вынести за скобки выражение (z-1), и так повторять до тех пор, пока сумма не станет отличаться от нуля.

Выводы

Экспресс-анализ дискретной модели по ее Z-передаточной функции общего вида имеет смысл осуществлять в следующем порядке.

Прежде всего, нужно найти сумму коэффициентов характеристического Z-полинома и проверить, равна ли она нулю. Здесь возникает вопрос, а с какой точностью нужно получать этот ноль? Практически сумма может считаться равной нулю, если она меньше единицы на несколько, например, десять, порядков.

Если сумма положительная и мала по сравнению с модулями коэффициентов Z-полинома (по существу мала по сравнению с единицей), то это говорит о том, что дискретная модель представляет собой модель устойчивой реальной динамической САР, в случае, если с коэффициентами числителя все в «порядке». А именно, при условии, что сумма коэффициентов числителя не равна нулю.

Если все как в предыдущем случае, но сумма коэффициентов полинома знаменателя отрицательная, то это свидетельствует о том, что САР не устойчивая.

Если сумма коэффициентов полинома числителя равна нулю, то это означает, что Z-передаточная функция имеет нуль при z = 1, т.е. полином числителя имеет такой корень, или несколько. Наличие этого корня свидетельствует о дифференцирующих свойствах звена. Такое звено или система с такими свойствами не могут выполнять функции САР, и, следовательно, если сумма коэффициентов числителя равна нулю, то рассматриваемая модель не является моделью реальной непрерывной динамической САР.

Если сумма коэффициентов знаменателя Z-передаточной функции равна нулю, то это означает, что модель, хотя бы частично, находится на границе динамической устойчивости. Z-передаточная функция при этом имеет хотя бы один полюс в точке z = 1, т.е. модель обладает интегрирующими свойствами. Такое звено является нейтральным звеном, звеном без самовыравнивания, а, следовательно, не может выполнять функции непрерывной устойчивой САР.

Наличие корня z = 1 в числителе или знаменателе Z-передаточной функции, о чем свидетельствует равенство нулю суммы коэффициентов соответствующего полинома, позволяет вынести множитель (z - 1) за скобки, и если после этого сумма коэффициентов оставшегося полинома не равна нулю, то можно нормировать знаменатель по этой сумме, а числитель заменять суммой его коэффициентов. А если равна, то следует повторять вынесение множителя (z - 1) до тех пор, пока сумма не станет отличаться от нуля.

Подстановка Тастина при переходе от непрерывной модели к дискретной хорошо работает с непрерывными моделями, в которых отсутствуют идеальные дифференцирующие звенья. Если непрерывная модель в ее последовательном представлении содержит операцию дифференцирования, то для нее подстановка Тастина не желательна. Дифференцирующее звено следует переводить из непрерывной модели в дискретную простой заменой p → (z - 1)/(dT·z).

Итак, нормирование коэффициентов полиномов Z-передаточной функции по их суммам возможно всегда, следует только, в случае, если эти суммы или одна из них, равны нулю, вынести за скобки члены вида (z-1), что в конечном итоге приведет к отличающимся от нуля суммам остатков.

3. Частотные критерии устойчивости дискретных моделей

При анализе устойчивости дискретных моделей объектов и систем управления могут быть использованы частотные критерии устойчивости. Рассмотрим технику применения частотных критериев и построения частотных годографов с использованием современных программ моделирования.

3.1. Критерий Найквиста

3.1.1. Устойчивая система

Рассмотрим непрерывную САР и ее дискретные аналоги. Пусть непрерывная САР имеет вид:

gif-file, 20KB

Рис. 3.1.1.1. Замкнутая САР с управлением по отклонению, разомкнутый контур которой представляет собой фильтр Баттерворта 3-го порядка

gif-file, 20KB

Рис. 3.1.1.2. Годографы комплексных коэффициентов передачи непрерывной и двух дискретных моделей разомкнутого контура. Одна из них получена подстановкой Тастина, а в другой еще и упрощен числитель. Усиление контура дискретных моделей с повышением частоты несколько уменьшается по сравнению с усилением исходной непрерывной модели. Как видно, тем самым годографы дискретных моделей завышают запас устойчивости. При этом завышение тем сильнее, чем больше период дискретизации dT

Годографы рис. 3.1.1.2 получены в Vissim’е, сохранены в файлы и затем импортированы из файлов на одну осциллограмму.

3.1.2. Особенности построения годографа Найквиста в программе Vissim

Для непрерывных моделей Vissim строит годограф Найквиста без проблем (Analyze - Nyquist Responce). Однако для дискретных аналогов непрерывных систем по выполнении этой команды появляется окно с графиком, не очень или вообще не напоминающим требуемый годограф.

Поэтому, следует поступать так. Построить годограф, задавая относительно малое значение начальной частоты (Analyze - Frequency Range) например, 10-6, сохранить его в файле, и блоком import вывести из этого файла график на осциллограф. Далее, следует изменить время моделирования так, чтобы на осциллографе отображалась только та часть годографа, которая соответствует изменению частоты от 0 до π/T (или чуть меньше). Этого же можно добиться, ограничивая диапазоны отображения графиков по осям в свойствах осциллографа.

Для правильного отображения годографа Найквиста при сравнительно большом периоде дискретизации следует увеличивать пределы частот, в которых проводится построение графика:

gif-file, 20KB

gif-file, 20KB

gif-file, 20KB

Рис. 3.1.2.1. Годографы Найквиста непрерывной модели и ее дискретных аналогов, которые строятся Vissim’ом при различных значениях периода дискретизации dT. При dT = 0.1 сек годографы имеют удовлетворительный вид. Годографы дискретных моделей на всех частотах дают слегка меньший коэффициент усиления (модуль ККП).
При dT = 0.01 сек малый диапазон изменения частоты дает лишь часть годографа, для построения всего графика нужно увеличивать диапазон частот, в котором график строится, и ограничить пределы отображения годографа по обеим осям

Диапазон соответствия годографа дискретной модели годографу исходной непрерывной модели лежит в диапазоне Котельникова, т.е. при частотах, более низких, чем половина частоты дискретизации.

3.1.3. Неустойчивая система

Рассмотрим и пример неустойчивой САР.

gif-file, 20KB

Рис. 3.1.3.1. Неустойчивая непрерывная модель САР и ее дискретные аналоги при периоде дискретизации dT = 0.1 сек и dT = 0.01 сек. Как видно, САР вблизи границы устойчивости особо чувствительна к шагу дискретизации, что требует его уменьшения для приближения свойств дискретной модели к ее непрерывному прототипу

gif-file, 20KB

Рис. 3.1.3.2. Годографы Найквиста неустойчивой системы, сохраненные в файлах и выведенные на один осциллограф. В частотном диапазоне состоятельности дискретных моделей годографы совпадают

Аналогичные построения могут быть проведены и в Маткаде (постоянная времени фильтра Баттерворта принята равной единице):

gif-file, 20KB

gif-file, 20KB

Рис. 3.1.3.3. Годографы Найквиста непрерывной и дискретных моделей, построенные в Маткаде. Как видно, упрощение числителя Z-передаточной функции заменой его на сумму его коэффициентов вполне допустимо, но округление коэффициентов с точностью даже до 10 значащих цифр (!), уже существенно искажает годограф дискретной модели. Т.о. чувствительность дискретных моделей к значениям и сумме коэффициентов характеристического Z-полинома очень высока.

Как видно из приведенных годографов комплексных коэффициентов передачи разомкнутого контура (годографов Найквиста), приведенных выше, полученные годографы дискретных звеньев, если не грешить округлением, начинаются практически в тех же точках, что и годографы непрерывных звеньев и заканчиваются в начале координат. Это отличает их от примеров, приводимых в классических учебниках по ТАУ (см., например [4], стр.516, рис.9.10), где годографы заканчиваются на действительной оси вне начала координат на частоте π/Т.

Отметим, что рассматривались примеры, когда частота дискретизации, ограничивающая состоятельность дискретных звеньев, в несколько раз и даже на порядки больше полосы пропускания их непрерывных прототипов.

Для виртуальных моделей прецизионное оперирование с сигналами и переменными и параметрами звеньев не представляет никакой проблемы, следует лишь задать достаточно высокие требования к точности вычислений. Но для моделирования реальных непрерывных САР такие высокие требования к точности представления коэффициентов, несомненно, представляют собой большой недостаток и могут вылиться в определенные проблемы при описании и оптимизации, а также при задании параметров регуляторов в реальных системах, о чем и следует помнить.

Таким образом, оценка устойчивости дискретных моделей реальных динамических САР, для которых период дискретизации много меньше характерного времени длительности переходного процесса, может проводиться по годографам Найквиста совершенно аналогично тому, как это делается для непрерывной модели САР.

3.2. Критерий Михайлова

Поскольку Vissim не позволяет строить годографы полиномов, то использовать классическую формулировку критерия Михайлова в нем не представляется возможным. Однако, можно воспользоваться альтернативной «инверсной» формулировкой критерия Михайлова [11]. Тогда, применяя инструмент построения годографа Найквиста, можно получать годограф инверсного полинома и по нему судить об устойчивости САР.

На рис. 3.1.3.2 собственно инверсным годографом Михайлова для разомкнутого контура является синяя линия на осциллограмме годографов. Это одновременно и годограф Найквиста для звена, числитель которого равен единице, а знаменатель представляет собой Z-полином.

Таким образом, как и следует из [11] по синей линии рис. 3.1.3.2 можно одновременно судить как об устойчивости разомкнутого контура по критерию Михайлова, что является практическим условием применения критерия Найквиста, так и об устойчивости замкнутого контура по критерию Найквиста. В данном случае разомкнутый контур устойчив, а замкнутая САР не устойчива.

Построение в Маткаде

Особых трудностей такое построение не представляет. Но дает несколько, может быть и не практичных, но интересных результатов.

gif-file, 20KB

Рис. 3.2.1. Годографы Михайлова, построенные в натуральном масштабе для непрерывной САР третьего порядка и ее дискретных аналогов

Натурально-логарифмический масштаб модуля полинома [12] позволяет проследить поведение годографа в более широком диапазоне частот и увидеть его стремление к мнимой оси:

gif-file, 20KB

Рис. 3.2.2. Годографы Михайлова, построенные в натурально-логарифмическом масштабе для непрерывной САР третьего порядка и ее дискретного аналога. Состоятельность дискретной модели простирается по частоте только до величины порядка 10 рад/сек, т.е. значительно меньше, чем до половины частоты дискретизации π/0.001

Натурально-логарифмический масштаб позволяет просмотреть поведение годографов и в еще более значительном диапазоне частот:

gif-file, 20KB

Рис. 3.2.3. По мере возрастания частоты годограф характеристического Z-полинома, с подстановкой z = exp(jω·dT) выходит на цикл с радиусом порядка 1010, в то время как годограф непрерывной модели уходит в бесконечность по мнимой оси. Годографы начинают существенно расходиться на частоте порядка 10 - 30 рад/сек

Дальнейшее поведение годографа характеристического Z-полинома с увеличением частоты представляет собой движение по циклам: поочередное возвращение к началу координат (малый цикл) и движение по окружности (большой цикл). Циклическое движение определяется эффектом нониуса или муаровым эффектом (термины привлечены из других областей техники), проявляющимся ввиду дискретного характера модели.

gif-file, 20KB

Рис. 3.2.4. Циклический характер поведения годографа характеристического Z-полинома дискретной модели фильтра Баттерворта третьего порядка

Таким образом, оценка устойчивости дискретных моделей реальных динамических САР, для которых период дискретизации много меньше характерного времени длительности переходного процесса, может проводиться по годографам Михайлова в диапазоне состоятельности дискретной модели совершенно аналогично тому, как это делается для непрерывной модели САР. Однако, диапазон состоятельности дискретной модели для годографа Михайлова (годографа характеристического Z-полинома САР) существенно меньше, чем частота Котельникова, т.е. частота дискретизации.

3.3. Композитная непрерывно-дискретная модель

Каковы возможности анализа композитной модели, составленной из непрерывных и дискретных звеньев средствами моделирующих программ? Проиллюстрируем ответ на этот вопрос следующими структурными моделями.

gif-file, 20KB

Рис. 3.3.1. Переходную функцию комбинированной непрерывно-дискретной модели САР Vissim строит охотно и без труда

Однако построение частотных характеристик вызывает у него затруднение:

gif-file, 20KB

Рис.3.3.2. Vissim отказывается строить годограф Найквиста для комбинированной системы, мотивируя это различием в значениях параметров моделирования непрерывных и дискретных элементов, а если и соглашается после такого предупреждения, то строит годограф не верно

Сконцентрируем внимание на самом факте того, что анализ частотных характеристик комбинированной непрерывно-дискретной модели встречает затруднения. Объяснением этого читатель может заняться самостоятельно, принимая во внимание и [4, стр. 511].

Частотный анализ модели САР можно провести, если преобразовать все звенья к эквивалентным непрерывным или дискретным:

gif-file, 20KB

Рис.3.3.3. Годографы комплексного коэффициента передачи дискретной модели разомкнутого контура САР при разных значениях диапазона развертки по частоте. Диапазон от 10-6 рад/сек до 0.1 частоты дискретизации, равной 31.4 рад/сек, позволяет построить годограф в полном объеме (красная линия). Превышение этого диапазона (до 4 рад/сек) соответствует добавлению части диапазона «отрицательных» частот (синяя линия), что является излишним для анализа устойчивости. Диапазон от 10-6 рад/сек до частоты 1 рад/сек в данном случае не позволяет просмотреть все поведение годографа (зеленая линия)

Для частотного анализа композитной непрерывно-дискретной модели все ее звенья целесообразно привести к однообразному представлению, непрерывному или дискретному.

4. Об оптимизации дискретных моделей САР

Как уже неоднократно отмечалось и обосновывалось ранее и выше, оптимизацию реальной динамической САР целесообразнее проводить для непрерывной модели, а, в случае необходимости, после этого реализовывать алгоритм работы регулятора в цифровом виде. Тем не менее, могут встретиться и задачи, в которых требуется оптимизировать САР, элементы которой представлены в дискретной форме. Такая модель может работать, например, в виртуальном виде, в каком-либо симуляторе автомобиля, самолета и т.п.

Рассмотрим принцип определения настроечных характеристик регулятора дискретной модели САР.

По условию, имеется дискретная модель неизменяемой непрерывной динамической части САР, осуществляющей управление по отклонению, и требуется определить настроечные параметры регулятора, другими словами определить алгоритм его работы.

Функционально-структурная модель САР:

gif-file, 20KB

Рис. 4.1. Функциональная схема комбинированной дискретно-цифровой модели САР. Неизменяемая часть реальной САР непрерывная и динамическая, регулятор – дискретно-цифровой

Формальное определение Z-передаточной функции регулятора

Знание Z-передаточной функции регулятора полностью определяет алгоритм его работы, что позволяет выбрать его физическую структуру и параметры настройки. Пусть в соответствии с характеристиками непрерывной части (объекта управления САР) получены требования к переходному процессу САР и некоторым образом, например, по номограммам [2, рис. 1.2.2], выбраны параметры Z-передаточной функции замкнутой САР. Пусть эта передаточная функция имеет вид:


(4.1)

gif-file, 20KB

Передаточная функция замкнутой САР рис. 4.1:


(4.2)

gif-file, 20KB

Отсюда Z-передаточная функция регулятора может быть определена по формуле:


(4.3)

gif-file, 20KB

Полученная передаточная функция Wp(z) может быть нереализуемой физически, но это, в общем-то, не препятствие для реализации вычислительного алгоритма. В то же время, лучше ввести дополнительный множитель вида zk в знаменатель Z-передаточной функции регулятора, с таким значением показателя k, чтобы степень знаменателя, как и положено, была равна или больше степени числителя.

Заключение

Частотные характеристики дискретных моделей при правильно выбранной частоте дискретизации повторяют частотные характеристики своих непрерывных аналогов в достаточно широкой полосе.

Дискретные модели непрерывных САР состоятельны с точки зрения частотных характеристик в полосе частот, меньших половины частоты дискретизации, и в некоторых случаях, например в случае годографа Михайлова, меньших и на порядок.

Требования к точности представления коэффициентов Z-передаточной функции весьма высоки.

Важным показателем Z- передаточной функции состоятельной дискретной модели непрерывной динамической САР является сумма коэффициентов полинома знаменателя, определяющая устойчивость и степень устойчивости САР, т.е. качество ее переходного процесса.

Равенство нулю суммы коэффициентов характеристического Z-полинома говорит о нахождении САР, хотя бы частично, на границе динамической устойчивости, а также о том, что этот полином имеет хотя бы один корень, равный единице.

Если сумма коэффициентов числителя Z-передаточной функции не равна нулю, то его можно заменить этой суммой, может быть, умножив ее на степень z, меньшую или равную степени полинома числителя. При этом свойства дискретной динамической модели практически не изменятся.

Если сумма коэффициентов числителя Z-передаточной функции равна нулю, то, поскольку он имеет корень, равный единице, можно вынести за скобку выражение (z - 1), столько раз, пока сумма коэффициентов остатка не станет отличаться от нуля, и уже остаток заменить этой суммой.

Моделирование, исследование и оптимизацию реальной динамической САР целесообразнее проводить для непрерывной модели, а, в случае необходимости, после этого реализовывать алгоритм работы регулятора в дискретно-цифровом виде.

Задания читателю

Рассмотрение одних вопросов вызывает другие, отнесем их на самостоятельную проработку читателю.

1. Оценить, как сказывается изменение параметров неизменяемой части САР, например коэффициентов усиления или постоянных времени, на параметрах оптимального дискретно-цифрового регулятора.

2. Синтезировать дискретный регулятор для заданной неизменяемой части САР такой, чтобы получилась робастая (грубая) САР, т.е. такая, изменение параметров объекта управления которой практически не сказывалось бы на свойствах САР: точности установившегося и переходного режимов и быстродействии.

Словарь

Граница динамической устойчивости это граница области устойчивости непрерывной динамической САР, описанной дискретной моделью, в которой период дискретизации много больше, в три – пять и более раз, длительности переходного процесса САР. Отображающие точки САР в пространстве коэффициентов характеристических Z-полиномов дискретных моделей реальных работоспособных непрерывных динамических систем управления тяготеют к границе динамической устойчивости.

Композитная непрерывно-дискретная модель объекта или системы управления это структурная модель, составленная из непрерывных и дискретных звеньев. Например, объект управления, исполнительное устройство и датчики реальной САР могут быть промоделированы непрерывными динамическими звеньями, а регулятор и задержки могут быть представлены дискретными звеньями. Для частотного анализа такой модели все ее звенья следует привести к одному виду, непрерывному или дискретному.

Отображающая точка это точка на плоскости коэффициентов полинома второго порядка, соответствующая одному из простейших сомножителей в разложении характеристического Z-полинома дискретной модели динамической системы. Автономные свойства системы управления, прежде всего ее усточивость, характеризуются набором всех отображающих точек системы на плоскости коэффициентов, их расположением относительно динамической границы усточивости..

Литература и Интернет


Благодарность

Автор выражает благодарность к.т.н. Скворцову Леониду Марковичу (МГТУ им. Н.Э. Баумана) за полезное обсуждение вопроса, связанного с нормированием коэффициентов полиномов Z-передаточной функции.


<< К содержанию

<< К началу статьи




Приложение

Докажем несколько утверждений, сформулированных выше, полезных при анализе и оптимизации дискретных моделей САР.

Теорема 1 Для того чтобы Z-полином A(z) имел, по меньшей мере, один корень, равный единице, необходимо и достаточно, чтобы сумма коэффициентов этого полинома была равна нулю.

Докажем, что это условие необходимое. Пусть имеется полином

(П.1.1)

gif-file, 20KB

Тогда, если корень z1 = 1 существует, то


(П.1.2)

gif-file, 20KB

Но тогда


(П.1.3)

gif-file, 20KB

и поскольку z = 1 это корень, т.е. A(1) = 0, то


(П.1.4)

gif-file, 20KB

Доказано.

Альтернативное доказательство:



(П.1.5)

gif-file, 20KB

Докажем, что условие достаточное. Пусть имеется полином


(П.1.6)

gif-file, 20KB

такой, что


(П.1.7)

gif-file, 20KB

Возьмем z = 1, тогда


(П.1.8)

gif-file, 20KB

Следовательно, z = 1 является корнем полинома А(z), или, что то же, решением уравнения А(z) = 0.

Доказано.

Теорема 2

Если САР находится на границе динамической устойчивости хотя бы частично, то сумма коэффициентов ее характеристического Z-полинома равна нулю.

Доказательство.

Характеристический Z-полином общего вида


(П.2.1)

gif-file, 20KB

можно разложить на элементарные сомножители первого и второго порядков с действительными коэффициентами:


(П.2.2)

gif-file, 20KB

Если САР находится на границе динамической устойчивости, то полином либо имеет корень, равный 1, и нулю равна сумма коэффициентов по крайней мере в одной из скобок первого произведения правой части, либо сумма коэффициентов по крайней мере одной из скобок второго произведения равна нулю, либо и то, и другое.

Но если сумма коэффициентов хотя бы в одной из скобок равна нулю, то и сумма всех коэффициентов A(z) рана нулю.

Например, если корень z1 = 1 существует, то


(П.2.3)

gif-file, 20KB

Но тогда


(П.2.4)

gif-file, 20KB

и поскольку z = 1 это корень, т.е. A(1) = 0, то


(П.2.5)

gif-file, 20KB

Доказательство проводится аналогично, если gif-file, 20KB хотя бы для некоторого k.

Доказано.

Теорема 3

Если сумма коэффициентов характеристического Z-полинома произвольного порядка САР равна нулю, то САР находится на границе динамической устойчивости, хотя бы частично.

Доказательство.

Пусть имеется характеристический Z-полином общего вида, такой, что


(П.3.1)

gif-file, 20KB

Тогда его можно представить в виде:


(П.3.2)

gif-file, 20KB

Сумма коэффициентов характеристического Z-полинома равна А(1), поэтому


(П.3.3)

gif-file, 20KB

Произведение рано нулю


(П.3.4)

gif-file, 20KB

если хотя бы одна из скобок gif-file, 20KB или gif-file, 20KB равна нулю. Это равнозначно нахождению САР, по крайней мере, частично, на границе динамической устойчивости. Действительно, уравнение границы динамической устойчивости

(П.3.5)

gif-file, 20KB

или, при zi = 1 это (1 - zi) = 0.

Следовательно, если одно или оба из этих равенств имеют место, то САР находится на границе динамической устойчивости хотя бы частично.

Следствие.

Если сумма коэффициентов каждого из простейших сомножителей характеристического Z-полинома равна нулю, то САР находится полностью на границе динамической устойчивости.

Доказано.

Теорема 4

Если САР находится на границе динамической устойчивости, то ее характеристический Z-полином имеет, хотя бы один корень, равный единице.

Доказательство.

Если САР находится на границе динамической устойчивости, то сумма коэффициентов ее характеристического Z-полинома, как следует из теоремы 2, равна нулю:


(П.4.1)

gif-file, 20KB

Если эта сумма равна нулю, то, как следует из теоремы 3, одна (или обе) из скобок в (П.3.4) равна нулю:

(П.4.2)

gif-file, 20KB

Очевидно, первая скобка, если равенство соблюдается, соответствует наличию корня, равного единице.

Рассмотрим второе уравнение gif-file, 20KB. Оно является частным уравнением границы динамической устойчивости и соответствует сомножителю характеристического Z- полинома, определяющему характеристическое Z-уравнение:

(П.4.3)

gif-file, 20KB

Подставляя, получим:


(П.4.4)

gif-file, 20KB

Тогда


(П.4.5)

gif-file, 20KB

Отсюда

(П.4.6)

gif-file, 20KB

Следовательно, на границе динамической устойчивости САР, ее характеристический Z-полином имеет корень, равный единице. Отметим, что второй корень, равный

(П.4.7)

gif-file, 20KB

также действительный, и равен a2k.

Доказано.

Теорема 5

Если характеристический Z-полином САР имеет корень, равный единице, то САР находится на границе динамической устойчивости хотя бы частично.

Доказательство.

Пусть



(П.5.1)

gif-file, 20KB

тогда, один из сомножителей


(П.5.2)

gif-file, 20KB

равен нулю


(П.5.3)

gif-file, 20KB

Это равенство есть уравнение границы динамической устойчивости САР. Если все скобки равны нулю, то САР целиком на границе устойчивости, если нулю равна хотя бы одна скобка, то САР частично на границе устойчивости.

Примечание. Скобки в (П.5.3), не равные нулю, должны быть малы по сравнению с единицей, поскольку рассмотрение ограничивается моделями реальных непрерывных устойчивых и неустойчивых САР.

Следствие

Если характеристический Z-полином САР имеет корни, равные единице, у всех своих элементарных сомножителей, то САР находится строго на границе динамической устойчивости.

Доказано.


<< К содержанию

<< К началу статьи