Федосов Борис Трофимович
Рудненский индустриальный институт,
Рудный, Казахстан
Об авторе

УДК 681.51.01
Ф338

Формы представления дискретных передаточных функций (ДПФ) и
свойства дискретных моделей линейных звеньев

Детективная инсценировка студенческой НИР

       Широкое внедрение цифровых методов реализации алгоритмов управления объектами определяет высокую значимость описания линейных систем посредством ДПФ. Однако, в литературе, в том числе в учебниках, такое описание осуществляется с высоким уровнем формальности, что не всегда позволяет почувствовать свойства и смысл моделируемых систем, а также и свойства самих моделей.

       Традиционно изучение линейных звеньев начинается с рассмотрения моделей непрерывных объектов и систем. Для таких моделей построена иерархическая классификация [1], основывающаяся на постепенном увеличении набора свойств, которыми обладают типовые звенья. Используя свойства непрерывных типовых звеньев, описываемых непрерывными моделями, ниже проводится рассмотрение «элементарных» дискретных звеньев, описываемых дискретной передаточной функцией, определяются их свойства, соотносимые со свойствами моделей непрерывных систем. Это позволит лучше чувствовать и легче воспринимать по виду ДПФ ожидаемые свойства звена или системы управления.

       Поскольку проведение такого исследования должно быть вполне по силам среднему аспиранту или студенту, то изложение проведено в стиле выполнения некоторым воображаемым студентом студенческой НИР (НИРС) с элементами «детективных» событий. Изложение проведено весьма подробно, чтобы читатель, в первую очередь студент, собирающийся заняться исследованиями, мог иметь представление об объеме проделанной работы и трудностях, возникающих при ее выполнении. Конечно, для публикации отчета материал придется существенно, может быть в десять раз сократить. Однако по такому отчету трудно будет судить об перепетиях и объеме поделанной работы.

Содержание

1. Формы представления дискретных передаточных функций (ДПФ)

Линейные звенья, объекты и системы описываются двумя эквивалентными способами [2]:
- передаточными функциями W(p) (p-передаточными функциями), основанными на преобразовании Лапласа;
- дискретными передаточными функциями W(z) (Z- передаточными функциями), базирующимися на Z-преобразовании.

Первый вид описания позволяет по виду P-передаточной функции непрерывного объекта судить о его динамических свойствах и отыскивать такие передаточные функции, чтобы свойства системы управления объектом были требуемыми.

Второй вид описания эффективен и полезен, прежде всего, при решении задач построения дискретных виртуальных регуляторов, при цифровой реализации алгоритмов управления объектом. Одновременно, для единообразия математического описания, с помощью ДПФ моделируются и физически непрерывные элементы объектов и систем управления.

Дискретные передаточные функции (ДПФ) традиционно в литературе и моделирующих программах представляются в двух видах:
- с нормированием по старшим коэффициентам полиномов числителя и знаменателя Z-передаточной функции.
- с нормированием по свободным членам полиномов числителя и знаменателя Z-передаточной функции;

Предложим еще одну форму представления ДПФ, полезную для анализа свойств модели:
- с нормированием по суммам коэффициентов полиномов отдельно числителя и отдельно знаменателя Z-передаточной функции.

Первая форма довольно широко используются, вторая скорее удовлетворяет только требованиям математической эстетики, а третья позволяет показать в явном виде некоторые характеристики модели звена, в частности, коэффициент усиления.

Vissim, программа моделирования динамических объектов [3], позволяет легко получать ДПФ звена по его лапласовой передаточной функции, с нормированием по старшим членам полиномов (второе сверху звено):

gif-file, 20KB

Рис. 1.1. Непрерывная и три дискретные модели колебательного звена, полученные в Vissim’е, это эквивалентные описания колебательного звена. Период дискретизации в нижнем звене (dT = 0.1 сек) в десять раз больше, чем в двух предыдущих. Нормирование полиномов ДПФ Vissim’ом проведено по их старшим коэффициентам, ниже проведено нормирование по свободным членам. Коэффициенты пропорциональности перед дробями ДПФ неявно связаны со статическим коэффициентом усиления звена и установившимся значением переходной функции, что уменьшает наглядность модели

Отметим, что при изменении периода дискретизации, вызванном внешними факторами, например, нестабильностью генератора дискретизатора, при сохранении значений коэффициентов ДПФ, свойства звена изменяются, и поэтому оно, в принципе, может даже потерять устойчивость.

Использование нормирования полиномов ДПФ по суммам их коэффициентов позволяет сразу в записи ДПФ увидеть коэффициент усиления звена:

gif-file, 20KB

Рис. 1.2. Нормирование Z-передаточной функции по сумме коэффициентов полинома позволяет в явном виде выразить коэффициент усиления звена (нижняя модель), который определяет установившееся значение переходной функции

gif-file, 20KB

Рис.1.3. Иллюстрация влияния округления коэффициентов полиномов ДПФ на точность модели

Таким образом, удачная форма представления Z-передаточной функции может упростить анализ свойств и характеристик дискретного звена.

2. Свойства элементарной дискретной модели линейного звена

Поскольку динамические объекты могут с равной степенью успеха моделироваться как непрерывными звеньями, так и дискретными, то небезынтересно рассмотреть динамические свойства простейших в отношении математического представления звеньев, описываемых ДПФ, и соотнести их со свойствами непрерывных моделей для нахождения возможных аналогов.

Классификация моделей непрерывных систем основывается на совокупности свойств, присущих типовым звеньям и в основном совпадает с классификацией по порядку дифференциального уравнения, описывающего систему или звено [1]. Имеет ли смысл классифицировать подобным образом дискретные звенья?

Начнем с простейшего в математическом описании звена. Очевидно, что наиболее простая Z-передаточная функция имеет вид:


(2.1)

gif-file, 20KB

Что же здесь интересного и что можно открыть нового, если все и так очевидно? - спросит студент, изучивший дискретные звенья в объеме традиционных учебников по ТАУ, и будет прав! Действительно, корень характеристического полинома такого звена один, и он действительный: z1 = - a1. Отсюда, если |a1| < 1, то звено устойчиво, а если нет, то не устойчиво:

gif-file, 20KB

Рис. 2.1. Область устойчивости дискретного звена пятого порядка – корни характеристического полинома должны располагаться внутри круга радиуса 1. В этом случае звено устойчиво

В случае, если k = 1 и a1 = 0 звено (2.1) это просто звено задержки на шаг дискретизации Т.

Научно-исследовательская работа предполагает, что находится человек, которому в отличие от других, приходит в голову поинтересоваться ближе тем, что всем остальным кажется совершенно очевидным и понятным, и поэтому не интересным. При этом фундаментальная наука не преследует цели получения некоей сиюминутной материальной пользы, сами новые знания, если их удается получить, уже являются полезными. Полезным итогом НИР, в которой такие знания получены, является опубликование ее результатов. Меркантильные цели преследуют прикладная наука и технологии.

Аналитическое решение поставленной задачи может быть связано с громоздкими выкладками. Имея в своем распоряжении программы моделирования, в частности Vissim – программу структурного моделирования динамических объектов и систем, а также Маткад, программу аналитического и численного моделирования, можно легко изучить свойства звена на конкретных примерах, оставив полное аналитическое решение до лучших времен.

2.1. Дискретное звено первого порядка с отрицательным свободным членом характеристического полинома

Интересно узнать, как влияет значение коэффициента a1 на динамические свойства этого звена,


(2.1.1)

gif-file, 20KB

другими словами, можно ли, и если да, то какой моделью непрерывного звена можно аппроксимировать это дискретное.

Рассмотрим несколько примеров при разных значениях свободного члена a1 характеристического Z-полинома. Модели в настоящей работе построены в ознакомительной версии 6 Vissim’а [3].

Непрерывный аналог дискретного звена с простейшей Z-передаточной функцией:

gif-file, 20KB

Рис. 2.1.1. Дискретная модель простейшего звена и ее непрерывный аналог. Отметим, что дискретное звено устойчиво при отрицательном свободном члене характеристического Z-полинома, т.е. правило Стодолы, справедливое для непрерывных звеньев, для дискретных не справедливо

Непрерывная модель построена основываясь на следующих соображениях. Переходная функция изучаемого дискретного звена похожа на переходную функцию апериодического первого порядка непрерывного звена, приподнятую на величину входной ступеньки. Установившееся значение переходной функции дает за вычетом единицы коэффициент усиления непрерывной модели, а треть длительности переходного процесса – постоянную времени звена, значение которой можно уточнить методом направленного подбора.

Как видно, при отрицательных значениях свободного члена характеристического Z-полинома звена с простейшей ДПФ, модель обладает свойствами апериодического звена. Действительно, его переходная функция это задержанная на шаг дискретизации затухающая экспонента на пьедестале, равном входной ступеньке. Постоянная времени непрерывного звена, аналогичного по свойствам звену с простейшей ДПФ, нелинейно увеличивается с увеличением модуля свободного члена Z-передаточной функции (зависимость приведена ниже). Увеличение коэффициента усиления звеньев определяется уменьшением суммы коэффициентов знаменателя Z-передаточной функции с изменением свободного члена от 0 до -1.

Итак, никаких сюрпризов не случилось, при изменении свободного члена простейшего дискретного звена первого порядка от 0 до – 1 звено устойчиво и характер устойчивости апериодический. Модель дискретного звена первого порядка включает наряду с непрерывным апериодическим звеном еще и параллельную ветвь, передающую на выход аналога входной сигнал. Это что-то новое, на что не указывали учебники, поскольку их авторы, вероятно, не задавались задачей поиска непрерывного аналога для дискретного звена. Задержка на шаг дискретизации в непрерывной модели зачастую малосущественна, но наличие параллельной ветви не может быть проигнорировано.

Особый случай дискретного звена, когда a1 = -1, это аналог динамического интегратора, с тем же пьедесталом в переходной функции:

gif-file, 20KB

Рис. 2.1.2. Интегратор (a1 = - 1), как предельный случай непрерывного апериодического звена первого порядка с постоянной времени, стремящейся к бесконечности, и апериодически (монотонно) неустойчивые звенья. Неустойчивые дискретные звенья имеют весьма хороший аналог в виде непрерывного неустойчивого звена первого порядка с параллельной единичной ветвью

Таким образом, при отрицательных значениях свободного члена знаменателя ДПФ простейшего звена оно проявляет апериодический характер, являясь устойчивым при модуле свободного члена меньшем единицы, и неустойчивым, при модуле большем единицы. Свободный член a1, равный -1, определяет граничный режим дискретного звена, при котором оно является интегратором. Все это отвечает основному условию устойчивости дискретного звена [2]: корень устойчивого звена располагается внутри окружности радиуса 1.

Непрерывный аналог дискретного звена первого порядка, имеющего отрицательный корень характеристического Z-полинома, представляет собой параллельное соединение апериодического звена первого порядка, со звеном задержки на такт дискретизации, и единичной связи.

2.2. Колебательность звена первого порядка?

Рассмотрим то же самое дискретное звено первого порядка


(2.2.1)

gif-file, 20KB

при положительных значениях свободного члена a1 характеристического полинома. Теория, например [2] говорит, что если модуль a1 меньше 1, то звено устойчиво, а если больше единицы, то не устойчиво. Проверим, как эти свойства проявляются в переходной функции звена:

gif-file, 20KB

Рис.2.2.1. Примеры переходных функций дискретного звена первого порядка с положительным свободным членом характеристического полинома, меньшим единицы. Как это ни удивительно, но переходная функция имеет хотя и затухающий, но колебательный характер! И частота колебаний составляет половину частоты дискретизации

Что это, открытие? Откуда взялась колебательность? Здесь колебательность проявляет дискретное звено первого порядка, которое в соответствии с теорией непрерывных систем, т.е. с рефлексами, вынесенными из изучения непрерывных звеньев, должно иметь просто монотонную переходную функцию? Колебательность - этого не может быть!

Действительно, в непрерывных системах колебательность возникает только при наличии пары комплексно-сопряженных корней, мнимые части которых и обеспечивают колебания, возрастающие или убывающие в зависимости от степени устойчивости. Казалось бы, и для Z- передаточных функций должен соблюдаться этот принцип, поскольку свободная составляющая решения разностного уравнения состоит из слагаемых, соответствующих корням Z-характеристического полинома, как линейная форма от собственных чисел системы:

(2.2.2)

y(k) = C1 λ1k + C2 λ2k + … + Cn λnk,

где Сi - коэффициенты линейной формы, которые вычисляются через начальные состояния системы;
             λi - простые действительные корни характеристического уравнения системы:

(2.2.3)

a0 λn + a1 λn-1 + a2 λn-2 + … + an = 0.

В исследуемом случае всего один отрицательный действительный корень λ = - a1 !! А колебания в непрерывных системах описываются мнимыми частями комплексно-сопряженных корней.

Или, для дискретных систем не обязательно требование наличия пары комплексно-сопряженных корней? Вроде бы впрямую в учебниках об этом не говорится?

В чем дело? Моя ошибка?! Посмотрим на схему Vissim’а. Да нет, где тут можно ошибиться? Схема простейшая, параметры моделирования выбраны разумно: шаг моделирования в десять раз больше шага дискретизации.

Тогда врет Vissim? В некоторых случаях было замечено, что Vissim ошибается, например, при построении АЧХ, но такие ошибки в нем весьма редки. Как проверить?

А Маткад зачем? Программы эти независимые, поэтому практически невероятно, чтобы обе они сделали ошибку в одном и том же месте.

Посмотрим:

gif-file, 20KB

Рис. 2.2.2. Маткад при положительных значениях свободного члена дает такие же колебательные переходные функции, как и Vissim, ошибки нет!

В чем же здесь дело?

А как в таких обстоятельствах поведет себя неустойчивое звено, т.е. звено с коэффициентом большим единицы? Посмотрим:

gif-file, 20KB

Рис. 2.2.3. Дискретное звено первого порядка с положительным свободным членом характеристического полинома неустойчиво, что и следовало ожидать, но неустойчивость эта колебательная!

Все это очень подозрительно! Не могут же учебники ошибаться! Конечно, в принципе могут, но, казалось бы, не в таком вопросе.

Попробуем рассмотреть подробнее полученные результаты и найти какие-то объяснения, и, может быть, соответствие традиционной теории.

Формально, с точки зрения математики здесь, в общем-то, ничего необычного не произошло: если делить числитель Z-передаточной функции на знаменатель, то будет получена последовательность отсчетов выходного сигнала (решетчатая весовая или, что то же самое, импульсная функция):







(2.2.4)

gif-file, 20KB

И эта последовательность знакопеременная, с возрастающей амплитудой потому, что приходится попеременно вычитать и прибавлять все большую величину, определяемую свободным членом. Но что это значит физически, если тут вообще можно говорить о физическом смысле?

Посмотрим внимательнее на вид переходной функции.

Во-первых, частота колебаний у всех переходных функций рис. 2.2.1, 2.2.2 и 2.2.3 одна и та же, причем она везде равна половине частоты дискретизации, что несколько подозрительно, см. например рис. 1.2, где частота затухающих колебаний значительно меньше половины тактовой.

Может быть, объяснить эту колебательность тем, что она не проявляется в реальных системах, поскольку велика частота? Действительно, дискретные передаточные функции используются на практике для реализации алгоритмов обработки ошибок регулирования в виртуальных регуляторах, которые воздействуют затем на непрерывные объекты. Частота дискретизации для таких объектов является «ненаблюдаемой», она слишком высока, так ее должно выбирать, чтобы восприниматься инерционными непрерывными объектами.

Во-вторых, на переходных функциях неустойчивых звеньев заметна асимметрия положительных и отрицательных полупериодов колебаний. Не растет ли при этом апериодически, точнее, монотонно, среднее за период колебаний значение переходной функции? Это позволит хоть как-то согласовать полученные результаты с тем, что при одном корне переходная функция должна быть апериодической, а не колебательной. Обратимся к Маткаду:

gif-file, 20KB

Рис. 2.2.4. Дискретные переходные функции построены для трех значений свободного члена характеристического полинома. Скользящее среднее сохраняет колебательность переходной функции (коричневый пунктир), а усреднение по каждому периоду отдельно дает монотонно растущую со временем функцию (розовый штрих-пунктир)

Ввиду быстрого роста и нарастания скорости роста переходной функции ее построение удобнее осуществлять в полулогарифмическом масштабе:

gif-file, 20KB

Рис.2.2.5. Как видно, если усреднять отдельно за каждый период, то действительно получается монотонно растущая переходная функция, причем переходная функция дискретного звена весьма точно аппроксимируется переходной функцией апериодического звена, поднятой на пьедестал, равный в данном случае 0.4. Значения переменных получены подбором

Приведем аналогичные построения для других значений свободного члена характеристического полинома:

gif-file, 20KB

Рис. 2.2.6. Лист Маткада. Сглаженные по отдельным периодам переходные функции дискретного звена первого порядка и их аппроксимации переходной функцией непрерывного апериодического звена с пьедесталом

Аппроксимация осуществлялась направленным подбором значений параметров. В известную общую формулу передаточной функции непрерывного апериодического звена первого порядка подставлялись в первую очередь значения постоянной времени, грубо определенные по нарастанию переходной функции. Затем, используя логарифмическое представление по оси ординат, подбирается линия с требуемым наклоном в области больших значений дискретного времени. Остается, подбирая значение коэффициента усиления, переместить аппроксимирующую линию на исходную, а затем подобрать значение пьедестала так, чтобы кривые совпали при малых значениях дискретного времени.

Для устойчивого дискретного звена с положительным свободным членом характеристического полинома также наблюдается колебательность, которую можно вроде бы сгладить усреднением по отдельным периодам:

gif-file, 20KB

Рис. 2.2.7. Устойчивое звено. Сглаживание скользящее и за отдельные периоды (попарное)

Но как же на обстоят дела на самом деле? Как сглаживает непрерывная часть типовой ветви АИСАР выходной сигнал дискретного звена: попериодно или скользяще? Посмотрим в Vissim’е:

gif-file, 20KB

Рис. 2.2.8. Сглаживающий фильтр не устраняет колебательность переходной функции, реальная система находит скользящее среднее, величина которого теряется на фоне амплитуд колебательной составляющей. Красивая версия с усреднением по отдельным периодам не проходит. :-( По крайней мере, удалось потренироваться в аппроксимации функций. :-) Раз так, то версию о попериодном усреднении , вероятно, не стоит отражать в окончательном отчете по НИРС, а жаль, аппроксимации получились красивые

Таким образом, дискретная переходная функция звена первого порядка с положительным свободным членом характеристического полинома проявляет в большей мере колебательность, и слабо монотонный характер. На среднее значение растущей переходной функции неустойчивого дискретного звена накладывается амплитудная модуляция с возрастающей и весьма быстро амплитудой.

Рассмотрим поведение дискретного звена первого порядка во всем диапазоне изменения свободного члена его характеристического полинома. По-хорошему, эту задачу нужно было бы решить аналитически, но при наличии Vissim’а и Маткада не оставляет искушение получить требуемые зависимости численно, моделированием звена и подбором параметров аппроксимирующих звеньев:

gif-file, 20KB

gif-file, 20KB

Рис. 2.2.9. Принцип определения параметров аппроксимирующего непрерывного апериодического звена, его постоянной времени и коэффициента усиления. Параметры определяются направленным подбором, на определение пары параметров требуется пара минут, и несколько запусков Vissim’а. Удобен в данном случае полулогарифмический масштаб: первые моменты времени определяют в основном значения коэффициента усиления, а последующие – искомую постоянную времени

Построение графика диапазонов устойчивости, неустойчивости, апериодичности и колебательности дискретного звена первого порядка удобно провести в Маткаде, дополнив его необходимыми надписями:

gif-file, 20KB

Рис. 2.2.10. Зоны и характер устойчивости и неустойчивости простейшего звена первого порядка, а также зависимости декремента затухания и постоянной времени эквивалентного непрерывнного апериодического звена первого порядка от величины свободного члена a1 характеристического Z-полинома дискретного звена первого порядка

Как видно, необходимое и достаточное условие устойчивости дискретного звена первого порядка: модуль коэффициента должен быть меньше единицы |a1| < 1.

Сформулируем и критерий удовлетворительного качества переходного процесса звена первого порядка: |a1| < 0.5. Здесь величина 0.5 выбрана довольно условно и может быть скорректирована в меньшую сторону в зависимости от вкусов исследователя или от требований, предъявляемых к алгоритму обработки.

Примечание. Часто в качестве дискретного звена первого порядка используется звено с передаточной функцией вида:


(2.2.5)

gif-file, 20KB

Здесь отличие от рассмотренного звена только в наличии z в числителе. Домножение на z-1 это задержка на такт решетчатого сигнала, следовательно, умножение на z это опережение на такт, т.е. в эквивалентных непрерывных схемах, рассмотренных выше, звено задержки на такт будет отсутствовать, компенсируясь числителем (2.2.5). Поэтому эквивалентный непрерывный аналог такого звена это апериодическое звено с параллельной согласной единичной ветвью.

Итак, в принципе, элементарное дискретное звено первого порядка может быть с довольно высокой точностью заменено эквивалентным непрерывным динамическим, состоящим из апериодического звена первого порядка и параллельной единичной ветви, а также звена задержки на такт дискретизации. Положительные значения свободного члена характеристического полинома определяют колебательный характер поведения дискретного звена, как в устойчивом, так и в неустойчивом состоянии. Отрицательные значения свободного члена определяют апериодический, монотонный характер поведения звена.

Таким образом, простейшее дискретное звено при изменении его свободного члена проявляет весь диапазон свойств динамических звеньев: пропорциональность, инерционность, апериодичность, колебательность, а также устойчивость и неустойчивость. А, кроме того, оно еще и задерживает на такт дискретизации реакцию.

3. Области устойчивости звена второго порядка

3.1. Траектории корней (корневые годографы)

Дискретное звено второго порядка


(3.1.1)

gif-file, 20KB

следующее по сложности математического описания после звена первого порядка. Интересно было бы посмотреть на области его устойчивости, а также определить тип, характер устойчивости в отдельных областях.

Для начала посмотрим, как перемещаются по комплексной плоскости корни звена, при изменении его параметров (коэффициентов характеристического Z-полинома):

gif-file, 20KB

gif-file, 20KB

gif-file, 20KB

Рис. 3.1.1. Лист Маткада. Траектории перемещения корней характеристического Z-полинома дискретного звена второго порядка при изменении коэффициентов полинома (приподняты или опущены на 0.1 и 0.05 во избежание наложения графиков на действительной оси). С увеличением коэффициента а1 и при положительных значениях коэффициента а2 первый корень перемещается из бесконечности, описывают полуокружность и направляется по действительной оси к началу координат при стремлении а1 к бесконечности. Второй корень перемещается из начала координат вправо по действительной оси, делает полукруг и далее отправляется в минус бесконечность по действительной оси при стремлении а1 к минус бесконечности.
При а2 = 2 области устойчивости не существует, при а2 = 0.5 существует диапазон изменения а1, при котором оба корня находятся в окружности радиуса 1, т.е. звено устойчиво

При отрицательных значениях коэффициента а2 корни просто перемещаются по действительной оси:

gif-file, 20KB

Рис. 3.1.2. Корни перемещаются справа налево, первый из бесконечности к началу координат, второй из начала координат в минус бесконечность. Действительность корней не может, как уже было показано выше, служить основанием для утверждения, что переходные процессы монотонно-апериодические, а не колебательные. Здесь тоже можно ожидать колебаний. Графики приподняты или опущены на 0.1 и 0.05 во избежание их наложения на действительной оси. При а2 = 0.5 существует диапазон изменения коэффициента а1, в котором звено устойчиво (оба корня одновременно находятся в круге радиуса 1)

Как сказывается соотношение между коэффициентами характеристического Z-полинома на свойствах звена, в частности, на его устойчивости и ее характере рассмотрим ниже.

3.2. Области и критерии устойчивости и качества дискретного звена второго порядка

Небезынтересно будет посмотреть, как выглядят области устойчивости и неустойчивости дискретного звена второго порядка. По аналогии с диаграммой Вышнеградского построим в координатах а1 и а2 такие области.

Имея в распоряжении Маткад можно не возиться с аналитическим выводом формул границ областей устойчивости, а предложить следующий способ определения областей устойчивости.

Вычислим и построим в области достаточно широкого изменения аргументов элементы матрицы, которые в области устойчивости, т.е. когда модуль корней характеристического Z-полинома меньше единицы, равны единице, а за пределами области устойчивости равны нулю:

gif-file, 20KB

Рис.3.2.1. Определение элементов матрицы областей устойчивости

gif-file, 20KB

Рис. 3.2.2. Трехмерное и двумерное представление области устойчивости дискретного звена второго порядка. Область одна и имеет форму треугольника

Примечание. Можно строить в 3D-пространстве не матрицу, а функцию двух переменных.

Получив столь запросто область устойчивости, да еще такого красивого вида, трудно удержаться от искушения, чтобы не сформулировать простые и удобные на практике достаточное и необходимое условия устойчивости дискретного звена второго порядка:

gif-file, 20KB

Рис. 3.2.3. Иллюстрация простых достаточного (но не необходимого) и необходимого (но не достаточного) условий устойчивости дискретного звена второго порядка:
- достаточное: сумма квадратов двух младших коэффициентов характеристического полинома должна быть меньше 0.5, т.е. а12 + а22 < 0.5. Это требуется для того, чтобы точка, соответствующая этим коэффициентам, находилась в пределах круга радиуса 0.707 с центром в начале координат, который не выходит за границы области устойчивости.
            Это условие для практического применения можно еще более упростить, вписав в закрашенный круг квадрат. В этом случае достаточное условие устойчивости сведется к тому, что модули обоих младших коэффициентов характеристического Z-полинома, при условии, что старший сделан равным единице, должны быть меньше 0.5, т.е. |а1| < 0.5 и одновременно |а2| < 0.5.
- необходимое: для того, чтобы звено был устойчиво, необходимо, чтобы коэффициенты находились в пределах прямоугольника, охватывающего треугольник устойчивости, шириной [-2, 2] и высотой [-1, 1], т.е. |а1| < 2 и, одновременно, |а2| < 1

Сформулированные условия позволят без труда оценивать устойчивость дискретного звена второго порядка в уме по виду его Z-передаточной функции. Именно из этого соображения условия и формулировались.

Присмотримся внимательнее к влиянию коэффициентов а1 и а2 характеристического Z-полинома на «динамические» характеристики дискретного звена второго порядка:

gif-file, 20KB

Рис. 3.2.4. Характер переходных процессов дискретного звена второго порядка в зависимости от соотношения коэффициентов его характеристического полинома. Отметим, что наряду с апериодическим и колебательным характером, свободная составляющая может представлять собой и колебания с биениями (например, A(z) = z2 + 1.8z + 0.9)

Из рассмотрения рисунка можно определить области апериодического (монотонного) и колебательного изменения переходной функции звена:

gif-file, 20KB

Рис. 3.2.5. Области апериодического (монотонного) и колебательного изменения переходной функции дискретного звена второго порядка в плоскости младших коэффициентов его характеристического Z-полинома

Наконец, можно ввести и критерий качества переходного процесса, определяющий завершение переходного процесса за довольно короткое время: а12 + а22 < 0.25 для звена (3.2.1):


(3.2.1)

gif-file, 20KB

gif-file, 20KB

Рис. 3.2.6. Критерий качества переходного процесса, определяемый его ограниченной длительностью, задает область в плоскости коэффициентов характеристического Z-полинома в виде круга радиуса 0.5, с центром в начале координат. Значение 0.5 выбрано довольно условно, но вполне целесообразно

Вписав квадрат в закрашенную окружность, можно еще более упростить условие удовлетворительного качества переходного процесса: модули обоих младших коэффициентов характеристического Z-полинома, при условии, что старший сделан равным единице, должны быть меньше 0.35, т.е. |а1| < 0.35 и одновременно |а2| < 0.35.

Полезно иметь и представление о связи переходной функции звена с двумя комплексносопряженными корнями характеристического Z-полинома с расположением этих корней на комплексной плоскости:

gif-file, 20KB

Рис. 3.2.7. Характер переходных процессов дискретного звена второго порядка в зависимости от положения комплексно-сопряженных корней его характеристического полинома.
                 Показана область предпочтительных значений корней, при которых переходный процесс длится не более десяти тактов дискретизации, это внутренность синей окружности. Желтым выделена область расположения корней, при которых затухающий процесс не только сравнительно короткий, но и монотонно-апериодический.
                 Положительные значения действительных частей корней определяют апериодический переходный процесс устойчивых звеньев и колебательный характер неустойчивости, с относительно низкой по сравнению с частотой дискретизации, частотой колебаний (колебательность 2-го типа, "медленная"). Отрицательные значения действительных частей корней определяют жесткий колебательный процесс с частотой, равной половине частоты дискретизации (колебательность 1-го типа, "быстрая")

Таким образом, как коэффициенты характеристического Z-полинома звена второго порядка, так и корни этого полинома у «хороших» в динамическом отношении дискретных звеньев группируются вблизи начала координат, в области, радиус которой не превышает 0.3 – 0.4. Это может послужить подсказкой, направляющим указанием при синтезе дискретного звена.

4. Об устойчивости звеньев старших порядков

Поскольку характеристический полином произвольного порядка с действительными коэффициентами может быть разложен на произведение полиномов первой и второй степени, то сложный алгоритм, определяемый передаточной функцией общего вида, может быть сведен к последовательному выполнению дискретных алгоритмов первого и второго порядков, свойства которых рассмотрены выше.

Кроме того, Z-передаточную функцию звена произвольного порядка в соответствии с теоремой Хевисайда можно разложить на элементарные слагаемые [7], к каждому из которых применимы сформулированные выше критерии устойчивости и качества:

gif-file, 20KB

Для того чтобы этот объект был устойчивым, устойчивыми должны быть элементарные звенья, составляющие эквивалентную схему объекта. Для упрощения изложения принято, что характеристический Z-полином не содержит кратных корней.

Т.о. достаточное условие устойчивости дискретного звена произвольного порядка: коэффициенты характеристических Z-полиномов элементарных звеньев, составляющих произвольное дискретное звено, должны располагаться внутри гиперпараллепипеда в гиперпространстве, т.е. |а11i| < 1, |а12i| < 0.5 и |а22j| < 0.5 для всех i и j, т.е. 0 < i < k+1, 0 < j < 2m+1.

Необходимое условие устойчивости : |а11i| < 1, |а12j| < 2 и |а22j| < 1 для всех i и j, т.е. 0 < i < k+1, 0 < j < 2m+1.

Аналогично можно ввести и критерий качества переходного процесса дискретного звена произвольного порядка: коэффициенты характеристических Z-полиномов элементарных звеньев, составляющих произвольное дискретное звено, должны располагаться внутри гиперпараллепипеда в гиперпространстве, т.е. |а11i| < 0.5, |а12j| < 0.35 и |а22ja22j| < 0.35 для всех i и j, т.е. 0 < i < k+1, 0 < j < 2m+1.

Конечно, эти критерии не так удобны, как те, что сформулированы для дискретных звеньев первого и второго порядков, поскольку требует предварительного разложения характеристического Z-передаточной функции на простые слагаемые.

Отметим, что поскольку характеристический Z-полином дискретного звена произвольного порядка может быть разложен на элементарные сомножители первого и второго порядка, то при этом достаточное и необходимое условия, как устойчивости, так и качества будут иметь аналогичный вид.

5. О некоторых свойствах дискретно-цифровых моделей произвольного линейного звена

Это раздел реферативного характера, основывающийся на [6].

Дискретные САР, в том числе и САР с цифровым управлением обладают особенностью: при определенном соотношении между коэффициентами Z-передаточной функции САР переходный процесс длится в течение конечного и относительно малого числа периодов дискретизации.

В случае, если период дискретизации в регуляторе задан весьма малым по сравнению с постоянными времени управляемого объекта, регулятор может быть построен так, что выходной сигнал с малозаметной задержкой будет мгновенно повторять входной, в том числе резко изменяющийся, например, ступенчато. Такая САР называется инвариантной по слежению. Она практически полностью компенсирует инерционность объекта. Это определенного рода идеализация при решении практических задач управления не столь значима, поскольку обладает рядом недостатков, в частности необходимостью подведения чрезвычайно больших мощностей к объекту управления, которые он должен выдерживать, чего далеко не всегда можно добиться на практике. Однако инвариантная САР дает представление о возможных пределах, которых можно в принципе достичь при цифровом управлении объектом.

Пусть имеется модель САР с непрерывным объектом, представленная Z-передаточной функцией. Определим влияние коэффициентов полиномов числителя и знаменателя (характеристического Z-полинома) на свойства САР.

gif-file, 20KB

Рис. 5 1. Переходный процесс дискретной модели САР, у которой характеристический полином имеет только старшую степень, заканчивается за число периодов, равных этой степени. Полином числителя Z-передаточной функции определяет число ступеней в переднем «фронте» нарастания переходной функции. Величина каждой ступени определяется коэффициентом у соответствующего члена полинома. Установившееся значение переходной функции модели определяется произведением коэффициента пропорциональности Z-передаточной функции и отношения суммы коэффициентов числителя к сумме коэффициентов знаменателя Z - передаточной функции. При прочих равных условиях целесообразно выбирать коэффициенты полинома числителя так, чтобы они сначала возрастали, а затем убывали и в сумме были равны единице, что приведет к S-образному переднему фронту переходной функции (розовая линия). Такой фронт будет несколько "мягче" восприниматься непрерывной системой

Рассмотрим влияние младших членов характеристического полинома на переходный процесс амплитудно-импульсной САР (АИСАР):

gif-file, 20KB

Рис. 5. 2. Младшие члены характеристического Z-полинома определяют апериордичность, колебательность и устойчивость дискретной модели САР. Увеличение значений младших коэффициентов характеристического Z-полинома увеличивает колебательность модели. Наиболее близкой к инвариантной является САР с единственным членом в знаменателе (верхняя)

Z - передаточную функцию системы или объекта полезно приводить к виду, когда сумма коэффициентов числителя, а также сумма коэффициентов знаменателя равны единице. Тогда коэффициент пропорциональности в Z-передаточной функции будет равен коэффициенту усиления звена и установившемуся значению переходной функции.

gif-file, 20KB

Рис. 5. 3. Увеличение значений младших коэффициентов характеристического полинома до относительно больших величин приводят к колебательной потере устойчивости модели (корни выходят из круга радиуса 1 - см. рис. 5. 5 ниже)

gif-file, 20KB

Рис. 5. 4. Отрицательные значения младших коэффициентов характеристического полинома затягивают апериодический переходный процесс, а затем, при увеличении их модуля модель становится апериодически неустойчивой (корни выходят из круга радиуса 1)

gif-file, 20KB

Рис. 5. 5. Все корни характеристического полинома устойчивой модели (красные кружочки) располагаются внутри окружности радиуса 1, а некоторые (коричневая точка) или все (розовые точки) корни характеристических Z-полиномов неустойчивых моделей располагаются вне круга радиуса 1

Проиллюстрируем дополнительно влияние коэффициентов числителя и знаменателя Z - передаточной функции на вид переходного процесса дискретной модели (модели АИСАР):

gif-file, 20KB

Рис. 5. 6. Коэффициенты числителя Z - передаточной функции модели САР определяют число и высоту ступеней в процессе нарастания переходной функции. Коэффициенты характеристического полинома определяют (при разложении в ряд Z-передаточной функции) характер переходного процесса, в данном случае он колебательный, а также величину ступеней при приближении к установившемуся значению переходной функции

gif-file, 20KB

Рис. 5. 7. Совместное влияние коэффициентов числителя и знаменателя Z- передаточной функции на переходную функцию. Числитель влияет только на нарастание и начальный размах переходной функции, а знаменатель и на начальный размах, и на процесс выравнивания, т.е. именно знаменатель определяет устойчиво или не устойчиво звено и характер и длительность переходного процесса

Пояснить указанное влияние числителя и знаменателя Z-передаточной функции на свойства дискретного звена в переходном и установившемся режимах можно следующим образом. Поведение переходной функции общего вида можно получить разложением Z-переходной функции в ряд Лорана, т.е., попросту разделив числитель Z-передаточной функции на знаменатель по примеру (2.2.4). Члены числителя участвуют в процессе делений «уголком» только на первых тактах, далее вниз опускаются только нули. Остаточное же влияние числителя сказывается только на исходном размахе переходной функции дискретного звена, см. рис. 5.7, но характер и скорость затухания переходного процесса остаются неизменными, они определяются коэффициентами знаменателя.

Примечание. Деление числителя Z-передаточной функции на знаменатель дает весовую решетчатую функцию, что слегка упрощает выкладки, а на приведенных выше рисунках построены переходные функции звеньев. Естественно, характер изменения, длительность переходной и весовой функций дискретного звена совершенно аналогичны друг другу, поскольку переходная равна интегралу по времени от весовой.

Таким образом, наименьшим временем переходного процесса обладает дискретная САР с передаточной функцией вида


(5.1)

gif-file, 20KB

Ее переходный процесс длится конечное время, он составляет n • Td.

Поскольку при проектировании цифрового регулятора период дискретизации Td выбирается много меньшим, чем характерные постоянные времени объекта управления, а степень характеристического Z-полинома, зачастую, меньше десяти, то длительностью такого переходного процесса, в несколько тактов дискретизации, во многих случаях можно пренебречь. Это позволяет считать САР с дискретным управлением, имеющую передаточную функцию вида (5.1) инвариантной или, по крайней мере, квазиинвариантной, т.е. осуществляющей слежение и стабилизацию безинерционно или почти безинерционно.

Выводы

1. Установившееся значение переходной функции дискретной САР, т.е. статический коэффициент усиления САР, определяется произведением коэффициента Z-передаточной функции и суммы коэффициентов полинома числителя, деленной на сумму коэффициентов характеристического полинома (полинома знаменателя Z - передаточной функции САР).

2. Коэффициенты числителя Z - передаточной функции САР определяют передний фронт и, вместе со знаменателем, начальный размах переходной функции и не сказываются на устойчивости САР.

3. Коэффициенты характеристического Z-полинома САР определяют ее устойчивость и, в случае устойчивости, характер, как нарастания переходной функции, так и приближения ее к установившемуся значению. Последнее может быть апериодическим, колебательным и безинерционным. Развитие переходного процесса в случае неустойчивой САР также определяется только ее Z-характеристическим полиномом.

6. Философские аспекты аппроксимации непрерывных звеньев дискретными и наоборот

Зададимся вопросом: почему звено запаздывания моделируется динамическими звеньями, описываемыми дробно-рациональной передаточной функцией, например апериодическими, только приближенно [4], в то время как дискретное описание динамических звеньев, т.е. описание любых линейных звеньев, опирающееся на звено задержки, точное? Почему существует такое неравенство методов описания линейных систем?

Название «динамические» восходит к тем временам, когда системы и объекты представляли собой связанные механические элементы: массивные тела, демпферы, пружины. Ну, например, повозка с рессорами, или теперь автомобиль. Означает термин «динамический» то, что простой или сложный объект под воздействием силы приходит в движение в пространстве в широком смысле этого слова [5], изменяется его выходная величина, например, пространственная координата некоторой точки объекта.

Первоначально под движением имелось в виду просто перемещение механического объекта или системы, а конкретно некоторой их точки, в обычном, евклидовом пространстве. Позднее выяснилось, что совершенно аналогично механическим описываются и объекты иной физической природы, например, электро- и теплотехнические, др. Речь здесь идет об объектах макромира, в котором мы живем, не микро, где работают принципы квантовой механики и не мега, масштабов всей Вселенной, которой занимаются астрофизики.

Существует два основных метода описания линейных динамических систем. Математически эти методы базируются: первый на дифференциальных уравнениях, второй - на разностных уравнениях.

Описание динамических объектов и систем дифференциальными уравнениями основывается на том свойстве, почерпнутом из наблюдений реальных объектов, что сила, воздействие, приложенное к объекту, приводит к появлению пропорциональной производной нулевого и более старших порядков выходной переменной объекта [5]. Точнее, старшая производная выходной величины является линейной комбинацией ее младших производных и входного воздействия и его производных.

Это позволяет построить классификацию динамических объектов по мере их сложности и обладания совокупностью некоторых свойств: пропорциональности, накопления (инерции), апериодичности, колебательности, устойчивости и неустойчивости [1]. Такая классификация предполагает мгновенную передачу воздействий от одного элемента к другому. Чтобы в достаточной мере описать реальную динамическую систему линейной моделью, потребовалось ввести и некоторую, косвенную модель протяженности элементов объекта в пространстве и расстояний между элементами, в котором телам и воздействиям требуется время на его преодоление. В результате, для исчерпывающей полноты описания, в дополнение к динамическим звеньям введено и звено запаздывания.

Для математического описания непрерывных динамических систем испльзуется аппарат дифференциальных уравнений. Например:


(6.1)

gif-file, 20KB

плюс начальные условия.

Решение уравнения (6.1) основано на применении операции интегрирования, т.е. использовании элементарного звена, обладающего фундаментальным физическим свойством, инерцией. Поэтому физическая основа описания реальных объектов как динамических звеньев заключается в инерции. Инерцией обладают интеграторы, моделирующие постепенное накопление воздействия и сохранения накопленного в его отсутствие.

Значения воздействия и младших производных выходной величины определяют величину старшей производной (6.1). А путем ее интегрирования определяется поведение объекта, изменение его выходной величины. Этого достаточно, чтобы определить траекторию движения динамического объекта в любой момент времени.

Математическим аппаратом описания дискретных линейных звеньев являются разностные уравнения. Они хоть и могут быть получены из соответствующих дифференциальных, но связывают последующее значение выходной величины только с ее предыдущими значениями и текущими и предыдущими значениями воздействия, формально не привлекая производных по времени. Например:


(6.2)

gif-file, 20KB

Физическая основа описания реальных непрерывных и дискретных объектов как дискретных звеньев основывается на явлении запаздывания, которым может трактоваться распространение сигнала в пространстве, например, света, электромагнитной волны, перенос масс лентой транспортера и т.п. Элементарным звеном, на котором основываются модели дискретных звеньев, является звено задержки на такт дискретизации.

Понятно, что любую задержку, в том числе конечную, заметную, значимую, можно смоделировать последовательным соединением достаточного числа звеньев запаздывания на такт дискретизации, период которой выбран должным образом, т.е. достаточно малым. Инерция, накопление, тоже происходит во времени, и только поэтому относительно небольшие запаздывания могут быть приближенно, для относительно медленно изменяющихся сигналов, аппроксимированы динамическими звеньями.

Но как все-таки звенья задержки на такт дискретизации позволяют моделировать не только собственно конечные задержки, но и динамические свойства звеньев? Да потому, что в принципе, из правой части разностного уравнения можно извлечь информацию о мгновенных значениях младших производных.

Итак, инерция и запаздывание это совершенно разные физические явления, которые в той или иной мере присущи реальным объектам. Инерция позволяет приближенно моделировать запаздывание, а запаздывание позволяет точно моделировать инерцию, а, следовательно, и все свойства динамических объектов, обладающих инерцией.

Заключение

Работа приобрела законченный вид, поэтому можно приступать к составлению отчета и его публикации. Это очень важный этап НИР. Например, Майкл Фарадей условно делил всю НИР на три этапа, равные по значимости: придумать, сформулировать задачу исследования, решить задачу и опубликовать результаты.

Как это ни жалко, придется 90% материала, приведенногго выше, опустить. Так принято, потому что длинные работы ни у кого нет времени читать. Правда, разбираться читателю в короткой публикации куда труднее, многое опущено и нужно или верить автору отчета, или самому проверять, на что уйдет много времени.

В работе показано, что представление Z-передаточной функции с нормированием по сумме коэффициентов полиномов числителя и знаменателя позволяет в явном виде выразить статический коэффициент усиления звена.

Даже дискретное звено первого порядка, имеющее простейшую Z-передаточную функцию, в зависимости от величины свободного члена характеристического Z-полинома, проявляет все динамические качества непрерывных звеньев: пропорциональность, инерцию, апериодичность, колебательность и устойчивость и неустойчивость, и, естественно, задержку. Частота колебаний в колебательном режиме такого звена всегда постоянна и равна половине частоты дискретизации. Т.е. изменить частоту колебаний изменением свободного члена характеристического Z-полинома первого порядка невозможно. Но ведь и без того изменение свободного члена изменяет свойства и характеристики дискретного звена в очень широком диапазоне, если рассматривать эти свойства через призму динамики.

Наличие широкого, практически полного спектра свойств уже у простейшего дискретного звена первого порядка не позволяет надеяться на возможность построения достаточно представительной и полезной иерархической классификации дискретных звеньев по их динамическим свойствам. Конечно, назначение у дискретных звеньев состоит в первую очередь в моделировании цифровых регуляторов, которые строятся в виде алгоритмов, а не в виде физических схем. Так что классификацию дискретных звеньев следует провести не по их динамическим свойствам, а, может быть, по свойствам алгоритмов обработки, описываемых ими.

Добавим и позитива в полученный отрицательный результат. Как ясно из вышесказанного, классификацию дискретных звеньев не имеет смысла проводить по степени динамических свойств, которыми они обладают, поскольку физической основой дискретных звеньев является задержка. И это, несмотря на то, что дискретное описание позволяет точно моделировать не только собственно дискретные, но и непрерывные системы. Кроме того, реальные объекты управления это как раз непрерывные динамические объекты, они так воспринимаются и описываются естественным образом.

Отсюда следует, что проводить синтез и оптимизацию систем автоматического управления целесообразно с помощью их непрерывных динамических моделей, а уж алгоритмы управления, алгоритмы работы регулятора, в том числе сложные, адаптивные и т.п., после этого можно реализовывать в цифровом виде с помощью аппарата Z-преобразования.

Итак, проявленное любопытство, во-первых, позволило подтвердить и на конкретных примерах почувствовать общую теорию в отношении устойчивости дискретного звена первого порядка: звено устойчиво, если модуль корня характеристического Z-полинома меньше единицы.

Во-вторых, оно позволило увидеть в явном виде процесс установления значения переходной функции устойчивых звеньев и характер развития переходного процесса неустойчивых звеньев.

В-третьих, выявлено, что развитие или установление переходного процесса дискретного звена первого порядка с положительным свободным членом характеристического Z-полинома происходит колебательно, что существенно отличает дискретное звено от непрерывного. Это может потребовать высокой точности вычислений в виртуальных регуляторах для правильного отображения поведения переходной функции при потере устойчивости.

В-четвертых, проведенное рассмотрение свойств дискретного звена второго порядка позволило, как и для дискретного звена первого порядка, определить область его устойчивости и сформулировать ряд критериев устойчивости и качества. Эти критерии позволяют одним взглядом на Z-передаточную функцию оценить многие свойства такого звена.

В работе был предложен и очень простой способ определения областей устойчивости и качества путем построения их в виде матриц или трехмерных функций в Маткаде.

Наконец, в работе представлено в явном виде влияние числителя и знаменателя Z-передаточной функции на передний фронт, размах и характер затухания, в случае устойчивой системы, или развития, в случае неустойчивой системы, переходного процесса.

Удобство использования математического аппарата, основанного на Z-преобразовании, состоит в том, что при таком описании естественным образом обеспечивается построение алгоритма цифрового управления непрерывным объектом. Обычно построение алгоритма исходит из задания непрерывного закона регулирования (ПИ, ПИД и т.п.) и последующей реализации его в цифровом виде. Проведенное рассмотрение, возможно, будет полезно при другом подходе к синтезу регулятора, когда его алгоритм изначально формируется в цифровом виде.

Описание реальных физических и технических объектов и систем с одной стороны в виде непрерывных динамических, а с другой в виде дискретных моделей опирается на такие фундаментальные натурфилософские понятия как протяженность пространства, движение, инерция и распространение воздействий в пространстве с конечной скоростью.

Непрерывные модели позволяют ввести иерархическую классификацию моделей, что упрощает обозрение реальных систем, в то время как дискретные модели естественным образом моделируют не только динамику, но и запаздывание сигналов, учитывающее протяженность объектов в пространстве. Кроме того, дискретные модели наряду с физическими объектами позволяют описывать и алгоритмы цифровой обработки информации при управлении объектами.

Остается выбрать самое главное из результатов проведенного исследования и изложить на трех-четырех страницах. И попробовать опубликовать, хотя бы в Интернете.

Словарь

Дискретное звено это цифровая модель регулятора, представляющая собой реализацию численного алгоритма обработки информации в некоторой технической системе, например, вычисления должного управляющего воздействия в системе автоматического регулирования на основании задающей величины и состояния объекта управления.

Дискретным звеном можно промоделировать не только регулятор системы управления, но и ее непрерывные динамические элементы, а также всю систему в целом. Такое моделирование полезно в построении виртуальных моделей реальных объектов и систем, например, для использования в симуляторах управления самолетом или автомобилем.

Недостатком дискретного описания непрерывных систем является отсутствие наглядности, оторванность от физического смысла работы реальных непрерывных систем. Поэтому наибольший практический эффект от применения дискретных звеньев дает моделирование и реализация регуляторов систем управления. Реальные непрерывные элементы системы целесообразнее моделировать динамическими звеньями, позволяющими в процессе оптимизации системы управлления увидеть и почувствовать физические свойства ее элементов и системы в целом.

Область устойчивости это область в одно-, двух- или многомерном пространстве параметров системы управления, соответствующая таким сочетаниям значений параметров, при которых система управления устойчива. Параметрами могут быть коэффициенты характеристического полинома системы, корни этого полинома и др.

Область качества переходного процесса это область в одно-, двух- или многомерном пространстве параметров системы управления, соответствующая таким сочетаниям значений параметров, при которых качество переходного процесса системы управления (длительность, перерегулирование) отвечает принятому критерию.

Критерий устойчивости – правило, в соответствии с которым судят о факте и даже степени устойчивости объекта или системы управления по их параметрам или характеристикам, а также численные значения, определяющие границы диапазонов параметров, сочетание которых дает устойчивую систему регулирования.

Критерий качества системы или объекта регулирования – правило, в соответствии с которым судят о качестве переходного процесса (длительности и перерегулировании) объекта или системы управления по их параметрам или характеристикам, а также численные значения, определяющие границы диапазонов параметров, сочетание которых дает систему удовлетворительного качества.

Формы представления дискретной передаточной функции:
- с нормированием по старшим коэффициентам полиномов числителя и знаменателя Z-передаточной функции;
- с нормированием по свободным членам полиномов числителя и знаменателя Z-передаточной функции;
- с нормированием по суммам коэффициентов полиномов отдельно числителя и отдельно знаменателя Z-передаточной функции.

Первая форма довольно широко используются, вторая скорее удовлетворяет только требованиям математической эстетики, а третья позволяет показать в явном виде некоторые характеристики модели звена, в частности коэффициент усиления.

Литература

1. Федосов Б.Т. Классификация типовых звеньев на основе свойств линейных систем. Рудный. 2002
                 http://model.exponenta.ru/bt/bt_0002.html

2. Лукас В.А. ТАУ. Изд. 3-е. Изд. УГГГА, Екатеринбург, 2002, – 675 стр.

3. Visual Solutions. Графический язык моделирования
                 http://vissim.com/

4. Федосов Б.Т. Об анализе САР со звеном задержки в контуре. Рудный. 2005
                 http://model.exponenta.ru/bt/bt_00115.html

5. Федосов Б.Т. Кинедины и прогнодины - элементарные инерционные и прогнозирующие объекты. Рудный. 2005
                 http://model.exponenta.ru/bt/bt_00413.htm

6. Федосов Б.Т. Виртуальные лабораторные стенды, краткая теория, задания и методические указания по выполнению лабораторной работы № 8-2 по курсам "ТАУ", системотехника и теория линейных и нелинейных систем на тему: Моделирование и исследование САР с дискретно-цифровым управлением непрерывными объектами. Для специальностей АУ (050702), ЭЭ (050718) и др. Рудный. 2008. Электронная книга формата chm. Файл пособия: 687 КБ, 22.03.2008
                 http://model.exponenta.ru/bt/bt_cont_3_Met.html#L3282
                 http://model.exponenta.ru/bt/TAU_Lab_8_2_080322.zip

7. Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции. Том 1. – Нью-Йорк, 1968. Пер. с англ. Под ред. проф. Тихонова В.И. –М., Сов. Радио, 1972, с. 599.

Благодарность

Автор выражает признательность д.т.н., профессору Жунусову Талгату Турлыбековичу, ректору Рудненского индустриального института за человеческое участие, позволившее выполнить эту внеплановую инициативную работу.