Федосов Борис Трофимович
Рудненский индустриальный институт,
Рудный, Казахстан
Об авторе

УДК 681.51.01
Ф338

Описание и моделирование нелинейных объектов управления
Аппроксимация статических характеристик, имеющих экстремумы

Содержание

Введение

       Уровень знаний и навыков, требуемых и используемых человеком в быту и в профессиональной деятельности существенно зависит от целей, преследуемых при их использовании. Чаще всего человек использует уровень пользователя, когда не вдаваясь в подробности, ему необходимо в соответствии в известным алгоритмом быстро получить результат. Например, чтобы посмотреть телепередачу человеку нужно только знать, как включить телевизор и выбрать требуемый канал. Понятное дело, что такого объема знаний совершенно не достаточно, чтобы разработать новый телевизор, отдельные его чипы и печатные платы. Здесь уже требуется профессиональный уровень знаний. Аналогично, чтобы послать письмо, пользователь должен только знать, как запустить почтовую программу, где и как ввести адрес корреспондента, где и как написать текст, где щелкнуть, чтобы соединиться с Интернетом и отправить письмо. Естественно, таких знаний недостаточно, чтобы разработать и реализовать почтовую программу.

       Для освоения уровня пользователя, например при аппроксимации статических характеристик с экстремумами, чему посвящена настоящая статья, не требуется затратить много усилий. Достаточно посмотреть в Википедии и в шпаргалках Маткада, да найти алгоритм, в соответствии с которым и определить аппроксимирующую функцию. Но если разработчик сам строит модель объекта управления, то суть аппроксимации нужно понимать более глубоко, на профессиональном, а не пользовательском уровне. Освоить такой уровень можно самостоятельно, путем размышлений и исследований, что займет очень много времени, либо, прочитав пространную статью, где достаточно подробно рассматриваются методы и средства решения задачи. Это займет много времени, но меньше, чем при самостоятельном решении задачи. Именно поэтому предлагаемая статья изложена достаточно пространно.

Существует довольно широкий класс задач автоматического управления, в которых требуется вывести объект на оптимум функционирования и поддерживать его в таком состоянии несмотря на изменение внешних условий. Простейшие примеры: минимизация расхода топлива при движении автомобиля, когда качество дороги меняется, максимизация скорости бурения скважины, когда с глубиной меняется крепость пород. Оптимум функционирования определяется статическими характеристиками объекта управления, которые являются нелинейными функциями нескольких переменных, в простейшем случае функциями управляющей и возмущающей величин, а эти функции имеют экстремумы (максимумы и минимумы), значения которых зависят от вышеназванных переменных.

Моделирование систем управления объектами, имеющими экстремальные статические характеристики, требует достаточно простого и точного математического описания таких характеристик. Виды аппроксимации статических характеристик могут быть весьма разнообразными и ограничиваются лишь фантазией исследователя. Но требование простоты и наглядности в значительной мере сужает круг возможных кандидатов-функций на выполнение такой аппроксимации.

Моделирование объектов с монотонными нелинейностями, включая аппроксимацию статических характеристик, подробно рассмотрено в [1, 2, 3].

В настоящей статье предлагается, в частности, проводить аппроксимацию статических характеристик с экстремумами степенными функциями или коротким рядом таких функций, параметры которых могут быть определены с использованием логарифмического масштаба. Такое определение для статических характеристик с экстремумами имеет некоторые особенности по сравнению с определением параметров аппроксимирующих функция для случая монотонных нелинейных статических характеристик [4].

1. Степенная и полиноминальная аппроксимация статических характеристик с экстремумами

1.1. Основные понятия и определения

Реальный нелинейный объект способен функционировать должным образом только в некотором более или менее широком диапазоне (области) изменения воздействий на него, при этом и управляемые величины также ограничены некоторой областью или диапазоном. Эти области назовем рабочим диапазоном (областью) нелинейного объекта управления. При выходе одного или нескольких воздействий за пределы допустимой области объект переходит в аварийное состояние.

Обычно, разработчиков систем управления прежде всего интересует поведение объекта в рабочем диапазоне и способность системы управления, в частности САР, должным образом управлять объектом, поддерживая его в рабочем диапазоне. Моделированию статических свойств объекта в его рабочем диапазоне и посвящена данная статья.

Тем не менее, в реальности может наступить и аварийная ситуация, связанная с выходом из строя, а может быть даже и с разрушением объекта, что требует моделирования поведения объекта при выходе воздействий на него и управляемых величин за допустимые пределы, с тем, чтобы оценить характер, размер и результаты последствий аварии. Однако это может быть целью специального рассмотрения.

Статические характеристики, определяющие свойства нелинейного объекта управления, могут быть гладкими, когда управляемая величина плавно изменяется при плавном изменении воздействий на объект, и содержать разрывы, например, релейного характера.

Характеристики с разрывами обычно аппроксимируются кусочно, часто кусочно-линейно.

Гладкие статические характеристики нелинейных объектов управления удобно либо аппроксимировать функциями нескольких переменных, либо задавать в таблично - матричном виде.

В математике для рассматриваемых понятий используются следующие термины. Область допустимых изменений входных воздействий объекта управления с точки зрения функции, описывающей его статические характеристики в математике называется областью определения этой функции, а область изменения выходной величины, если аргументы функции находятся в области определения, областью значений функции.

Рабочая область изменения входных воздействий (управляющих и возмущающих) может как включать их нулевые значения, так и не включать. В первом случае объект может в реальности разгоняться из исходного, выключенного состояния в рабочее, и это может быть промоделировано. Во втором случае объект может функционировать только при отличных от нуля значениях воздействий, здесь же только и будет состоятельна и модель объекта.

Аппроксимация статических характеристик объекта может быть локальной, и полнодиапазонной. При локальной аппроксимации область определения аппроксимирующей функции меньше рабочей области объекта. При полнодиапазонной аппроксимации эти области совпадают.

Диапазон, в котором аппроксимирующая функция должна соответствовать статической характеристике реального объекта определяется назначением модели САР, в которой будет использоваться аппроксимирующая функция. Если требуется моделировать САР в сравнительно узком диапазоне изменения воздействий, поступающих на объект управления, когда управляемая величина близка к оптимальной, то достаточно ограничиться локальной аппроксимацией. При этом и управляющая величина, как и возмущение, должны изменяться в сравнительно небольших пределах.

Если же требуется моделировать САР в режиме пуска объекта и выхода его на оптимальное функционирование, тогда придется аппроксимировать статические характеристики во всем диапазоне изменения их управляющей и возмущающей величин. Экстремумы статических характеристик (максимумы или минимумы) могут быть симметричными или несимметричными, что на практике определяет особенности их аппроксимации.

1.2. Виды экстремальных статических характеристик

1.2.1. Локальная аппроксимация экстремума. Симметричный и несимметричный экстремумы

Для объекта с одной управляемой величиной, одним управляющим и одним возмущающим воздействиями семейство статических характеристик задается функцией двух переменных.

Рис. 1.2.1.1. Функциональная схема нелинейного объекта управления

Рис. 1.2.1.1. Функциональная схема нелинейного объекта управления с экстремальными статическими характеристиками

Типичные статические характеристики с экстремумами, отражающие влияние на управляемую величину как управляющего воздействия, так и возмущения имеют вид:

Рис. 1.2.1.2. Типичный вид симметричных в районе экстремума статических характеристик

Рис. 1.2.1.2. Типичный вид локальных семейств симметричных в районе экстремума статических характеристик некоторых объектов управления. Приведены результаты экспериментального определения и их сглаженные варианты. Показаны области состоятельности модели объекта. Эти области могут определять и рабочий диапазон переменных, в котором происходит нормальное функционирование объекта управления. Как видно, зависимости управляемой величины от управляющей могут иметь как максимумы, так и минимумы, причем значения этих экстремумов могут как возрастать, так и убывать при изменении возмущения, а также, в свою очередь иметь экстремум. Острота экстремума также может зависеть от величины возмущения

Статические характеристики с симметричными экстремумами наиболее просто аппроксимируются выражением, в основе которого четная степенная функция, центрированная относительно экстремума:


(1.2.1.1)

F1211

Здесь:
            u - управляющее воздействие;
            xв - возмущение;
            y(u,xв) - управляемая величина объекта управления;
            a(xв) - коэффициент, который определяет "остроту" экстремума и его вид (минимум - положительный знак, максимум - отрицательный), а также зависимость величин этих параметров от величины возмущения;
            b(xв) - определяет значение управляющего воздействия, при котором статическая характеристика приобретает экстремум, это значение зависит от величины возмущения;
            с(xв) - определяет величину экстремума и его зависимость от возмущения;
            st(xв) - показатель степени. Положительное число, определяющее "плоскостность" экстремума и скорость изменения ветвей характеристики.

Достоинство такой аппроксимации в том, что из формулы видно как значение аргумента, при котором наступает экстремум, так и его величина.

Несимметрические статические характеристики могут иметь вид:

Рис. 1.2.1.3. Типичный вид семейства несимметричных локальных статических характеристик

Рис. 1.2.1.3. Типичный вид семейства несимметричных локальных статических характеристик, имеющих минимум

Такие характеристики наиболее просто аппроксимируются выражением, в основе которого лежит сумма гиперболы и параболы:


(1.2.1.2)

F1212

Гипербола определяет поведение левой ветви характеристики, парабола - правой, а свободный член уточняет значения экстремума в зависимости от величины возмущения.

Достоинство такой аппроксимации в простоте определения параметров функции с использованием логарифмического масштаба (см. ниже), а недостаток в том, что не видно сразу положения экстремума.

1.2.2. Полиноминальная аппроксимация статической характеристики во всем рабочем диапазоне

Рассмотренные выше аппроксимации позволяют строить состоятельные статические модели объектов управления только в некоторой области вокруг экстремумов. Для некоторых объектов эти области могут совпадать со всем диапазоном допустимых изменения управляющего и возмущающего воздействий и управляемой величины. Однако, существуют и объекты, у которых диапазон изменения управляющей величины и возмущения простирается от нуля до некоторого значения. И для правильного моделирования такого рода объектов не только при работе в номинальном режиме, но и в режиме их запуска, необходимо аппроксимировать статические характеристики во всем рабочем диапазоне.

Рис. 1.2.2.1. Типичный вид полнодиапазонных семейств односторонних статических характеристик

Рис. 1.2.2.1. Типичный вид полнодиапазонных семейств односторонних статических характеристик. Значения экстремумов и пологость (скорость изменения) характеристик в их районе могут как расти, так и убывать с увеличением возмущения

Аппроксимацию таких характеристик проще всего осуществить полиномом второй - третей степени:



(1.2.2.1)

F1221

Значения коэффициентов полинома довольно просто определяется с использованием логарифмического масштаба или полуавтоматически в программе Маткад, см. ниже.

Если диапазон допустимых изменений воздействий простирается от отрицательного до положительного значения, имеет смысл использовать две ветви аппроксимации, переключаясь на нужную в зависимости от знака и величин воздействий. Возможны и другие варианты аппроксимации.

2. Логарифмический способ определения параметров аппроксимирующих функций

Рассмотрим порядок определения параметров аппроксимирующих функций для отдельных статических характеристик, имеющих экстремумы.

2.1. Симметричный локальный экстремум

Если требуется определить аппроксимирующую функцию для отдельного локального экстремума, например, минимума, то для этого полезно воспользоваться логарифмическим масштабом представления центрированной характеристики.

Формула аппроксимации при фиксированном значении возмущения (xв = const) примет вид:



(2.1.1)

F211

Пусть заданы экспериментальные значения статической характеристики, симметричной в районе минимума. По значениям сразу можно определить величины коэффициентов b и с. Далее следует отцентрировать значения характеристики и представить ее в логарифмическом масштабе, что в Маткаде делается парой щелчков:

Рис. 2.1.1.

Рис. 2.1.1. Экспериментальные значения статической характеристики, их центрирование, представление в логарифмическом масштабе и линии аппроксимации. Показаны значения параметров аппроксимирующей функции, которые определяются по графику

Полезная особенность логарифмического масштаба состоит в том, что если функция на каком-то интервале изменения ее аргумента пропорциональна степенной функции, то в логарифмическом масштабе на этом интервале график функции линеен, причем коэффициент пропорциональности определяет степень функции, а значение при логарифме аргумента, равном единице, определяет коэффициент пропорциональности.

Для получения значения степени следует на графике, представленном в логарифмическом масштабе, найти отношение приращения управляемой величины, выраженного в декадах, к соответствующему приращению управляющей величины, также выраженному в декадах. Значение коэффициента определяется как значение управляемой величины при управляющей, равной единице.

Подставляя полученные значения в (2.1.1.) получим:



(2.1.2)

F211

Результат аппроксимации приведен на рисунке:

Рис. 2.1.2. Аппроксимация статической характеристики, имеющей симметричный экстремум

Рис. 2.1.2. Аппроксимация статической характеристики, имеющей симметричный экстремум

Если симметричный экстремум является максимумом, то наряду с центрированием нужно изменить и знак функции, другими словами, знак коэффициента а на обратный, с тем, чтобы ветви характеристики смотрели бы вверх. А по окончании вернуть нужный знак коэффициенту а.

2.2. Несимметричный локальный экстремум

Вариант 1

Один из возможных вариантов аппроксимации несимметричного экстремума это использование формулы (сумма гиперболы и параболы):



(2.2.1)

F221

Исходные значения статической характеристики, полученные экспериментально, нужно представить в логарифмическом масштабе и провести прямые линии - асимптоты к крыльям минимума. Значения асимптот при управляющем воздействии, равном единице, дает значения коэффициентов k1 и k2 соответственно, а отношение приращений, выраженное в декадах, дает значения показателей степеней st1 и st2:

Рис.2.2.1.

Рис.2.2.1. Исходные экспериментальные данные и определение параметров функции, аппроксимирующей статическую характеристику с минимумом

Построив аппроксимирующую функцию в натуральном масштабе можно сравнить результаты определения с исходными и, в случае необходимости, методом проб уточнить значения коэффициентов и степеней. В итоге получается:

Рис.2.2.2. Аппроксимирующая функция и исходные значения статической характеристики

Рис.2.2.2. Аппроксимирующая функция и исходные значения статической характеристики. В данном случае свободный член аппроксимирующей функции равен нулю

Если требуется аппроксимировать характеристику, имеющую максимум, можно отразить ее относительно горизонтальной оси, а в результате изменить знаки коэффициентов на противоположные.

Вариант 2

Пусть статическая характеристика при некотором фиксированном значении возмущения в районе несимметричного экстремума задана на интервале [х1, х2] экспериментальными значениями. Тогда она может быть аппроксимирована смещенным полиномом, т.е. выражением:



(2.2.2)

F222

Рис. 2.2.3. Аппроксимация статической характеристики с экстремумом смещенным степенным рядом

Рис. 2.2.3. Аппроксимация статической характеристики с экстремумом смещенным степенным рядом. Коэффициенты определяются с использованием логарифмического масштаба. Как видно, вторая степень в аппроксимирующем полиноме отсутствует, что упрощает выражение

2.3. Полная типовая экстремальная статическая характеристика

Если требуется аппроксимировать характеристику с экстремумом и перегибами, то ее можно выполнить аналогично предыдущей, используя формулу:



(2.3.1)

F231

Рис.2.3.1. Определение параметров аппроксимирующего полинома

Рис.2.3.1. Определение параметров (значений коэффициентов и степеней) аппроксимирующего полинома

Рис. 2.3.2.

Рис. 2.3.2. Предварительная аппроксимирующая функция и ее уточнение методом проб и ошибок, отметим, что хорошие результаты дает не только изменение коэффициентов, но даже и значений степеней

Как видно, результат аппроксимации довольно простое выражение. Наличие малого числа коэффициентов позволяет уточнить их методом проб и ошибок.

3. Аппроксимация семейства статических характеристик

Покажем на примере как можно аппроксимировать аналитической функцией двух переменных статические характеристики нелинейного объекта управления во всем его рабочем диапазоне.

Рис. 3.1.

Рис. 3.1. При аппроксимации коэффициенты полиномов являются функциями возмущающего воздействия на объект управления

Рабочий диапазон статических характеристик может как функция двух переменных быть показан в трехмерном пространстве:

Рис.3.2. Трехмерное представление статических характеристик

Рис.3.2. Трехмерное представление статических характеристик нелинейного объекта управления, имеющих максимум, зависящий как от управляемой величины, так и от возмущения

Задача САР заключается в поддержании такого значения управляющей величины, чтобы при текущем значении возмущающего воздействия на объект, его выходная величина имела оптимум, в данном случае максимум.

4. Моделирование объекта со статическими характеристиками с экстремумами с помощью а программы VisSim

4.1. Модель вида Expression

Имея аналитическое выражение в виде функции двух переменных для статических характеристик объекта управления, нетрудно построить модель такого объекта в программе VisSim:

Рис. 4.1.1. Семейство статических характеристик нелинейного объекта управления

Рис. 4.1.1. Семейство статических характеристик нелинейного объекта управления. Каждая характеристика соответствует своему значению возмущения

Блок Expression программы VisSim выбирается в меню Blocks - Expression.

4.2. Модель с блоком map

Для тех, кто слабоват в анализе функций, и поэтому считает, что аналитические методы в описании статических характеристик устарели, или просто не хочет возиться с аналитической аппроксимацией, VisSim предоставляет блок map, используя который можно задать численную модель нелинейного объекта управления, не занимаясь аппроксимацией характеристик. Нужно только достаточно подробно интерполировать значения функции в области изменения ее аргументов (управляющего и возмущающего воздействий).

Для блока map (Blocks - Nonlinear - map) нужно создать таблицу со значениями функции в узлах координатной сетки управляемая величина - возмущение:

Рис. 4.2.1. Свойства блока map программы VisSim

Рис. 4.2.1. Свойства блока map программы VisSim и таблица значений статической характеристики

Создание модели нелинейного объекта управления на основе блока map, в частности, задание таблицы значений, подробно рассмотрено в [1].

В результате, получается модель нелинейного объекта:

Рис.4.2.2. Модель нелинейного элемента

Рис.4.2.2. Модель нелинейного элемента, построенная с использованием блока map при достаточно малом шаге сетки обеспечивает хорошую точность представления семейства статических характеристик. Следовательно, модель состоятельна

5. Аппроксимация статической характеристики нелинейного объекта стандартными средствами Маткада

Для аналитической аппроксимации, т.е. получения гладкой функции, повторяющей экспериментальные данные, можно просто воспользоваться шпаргалками Маткада (DATA ANALYSIS. Nonlinear Curve Fitting Using Genfit).

Рис. 5.1. Фрагмент рабочего поля Маткада

Рис. 5.1. Фрагмент рабочего поля Маткада. Исходные значения статической характеристики и аппроксимирующий полином

Рис.5.2. Аппроксимирующий полином и его коэффициенты

Рис.5.2. Аппроксимирующий полином и его коэффициенты

Как видно, Маткад в полуавтоматическом режиме, поскольку частные производные выбранной исследователем аппроксимирующей функции, а также исходные значения элементов вектора vg, нужно определять заранее и отдельно, обеспечивает вполне приличную точность аппроксимации.

Заключение

Моделирование динамических объектов (летательных аппаратов, автомашин, технологических процессов и установок) может состоять в составлении системы дифференциальных уравнений, опирающихся на физические законы, характеризующие отдельные элементы объекта и их взаимосвязи, и связывающих реакцию объекта и совокупность внешних воздействий на него.

Однако, во многих случаях достаточно сложных в описании объектов (самолетов, гоночных автомашин, технологических процессов), такой способ не дает должной точности соответствия модели реальному объекту. Поэтому для улучшения теоретической модели проводятся физические испытания реальных объектов или их масштабных моделей, например, продувки в трубах самолетов и автомобилей. На основании таких экспериментов уточняются параметры теоретических моделей.

В случае технологических процессов и установок, которые во многом разрабатываются на основе опыта проектировщиков, дифференциальные уравнения могут быть вообще недоступны или давать весьма неудовлетворительную точность, поскольку процессы определяются многочисленными трудно учитываемыми факторами. В этом случае целесообразно проводить построение моделей на основе их экспериментально снятых характеристик. Сначала нужно создать статическую модель, а уже затем дополнить ее динамическими свойствами. При этом важным вопросом становится выбор аппроксимации статических характеристик объекта управления.

Во многих случаях, при аппроксимации статических характеристик оказывается достаточной кусочно-линейная аппроксимация. Но также во многих задачах требуется гладкая аппроксимация, например, при выведении объекта управления на оптимум функционирования в меняющихся внешних условиях.

Рассмотренные выше методы позволяют получить достаточно простые, гладкие и точные функции двух переменных, приближающие статические характеристики реальных объектов управления, полученные экспериментальным путем.

Получив выражение для семейства статических характеристик нелинейного объекта можно провести аналитическое исследование его свойств. Это выражение позволяет строить и цифровые (виртуальные аналоговые) модели объекта управления в статике. Эти модели можно развивать далее, учитывая в них динамические свойства объекта, с тем, чтобы получить полную инерционную нелинейную модель.

Литература и Интернет

6.05.2011

* * *

<< К началу статьи