Федосов Борис Трофимович
Рудненский индустриальный институт,
Рудный, Казахстан
Об авторе

УДК 681.51.01
Ф338

О свойствах нелинейных систем автоматического регулирования с релейными регуляторами

Если задаться вопросом, в чем польза от многочисленных строгих и инженерных методов математического описания, анализа и синтеза нелинейных систем для проектировщика систем автоматического управления, то ответ может быть таким. Важным промежуточным итогом работы проектировщика является модель работоспособной САР. Если проектировщик останавливает свой выбор на нелинейной САР с релейным регулятором, то такая САР, в дополнение к свойствам линейной САР, обладает еще и некоторым, весьма ограниченным набором свойств, которые и требуется придать САР, используя методы анализа и синтеза. Эти свойства перечисляются и иллюстрируются ниже. Рассмотрение позволит качественно прочувствовать свойства работоспособных нелинейных САР, не отвлекаясь на детали.

Введение

Нелинейные физические системы вообще обладают целым рядом свойств, отличающих их от линейных систем. Но разработчику системы автоматического регулирования необходимо просто получить модель работоспособной САР, т.е. такой, которая в состоянии следить и осуществлять стабилизацию с требуемой точностью. В ряде случаев выбор схемы САР определяется исходным заданием технолога, в котором уже присутствует как неотъемлемая часть существенно нелинейный элемент, например переключатель или выключатель. Регуляторы такого рода САР моделируются элементами типа реле.

Предлагаемое ниже рассмотрение предполагает знакомство читателя с основными понятиями описания нелинейных систем переменными состояния, в частности, фазовыми переменными и фазовыми портретами, и преследует цель создания у читателя общего, целостного представления об основных свойствах работоспособных нелинейных САР с релейным регулированием. Получение таких свойств нелинейных САР может служить в качестве цели при их оптимизации и синтезе.

Изложение предваряет краткое пояснение цели и смысла математического описания, анализа и синтеза (выбора оптимальных методов и средств построения) систем автоматического управления. Ясное понимание этого студентами облегчит им освоение непростого материала теории автоматического управления вообще, и нелинейных систем и объектов в частности.

1. Цель и смысл изучения и создания систем автоматического управления

Теория автоматического управления рассматривает методы описания, анализа и синтеза систем автоматического управления. Такие системы управления могут быть весьма сложными и их назначение состоит в том, чтобы определить, как наилучшим образом привести управляемый объект в требуемое состояние и обеспечить требуемое его поведение.

Несмотря на сложность и многообразность реализации систем управления, их структура состоит всего из двух основных типов подсистем. Это системы дискретного управления объектами, типа включить - выключить, алгоритмы управления в которых основываются на булевой алгебре, и в которых динамика поведения объекта в моменты переключения и вскоре после них либо совсем не рассматривается, либо это рассмотрение является второстепенной задачей.

Вторым важным типом подсистем, составляющих системы управления, являются системы непрерывного управления непрерывными объектами. Задача таких систем регулирования - обеспечение прямой пропорциональности управляемой величины объекта управления задающей величине, подаваемой извне на САР. Системы такого рода и рассматриваются ниже.

Несмотря на многообразие, сложность математического аппарата и массу нюансов, связанных с описанием систем управления непрерывными объектами, за которыми неискушенному читателю может привидеться что-то более значительное, чем даже это есть на самом деле, по существу все это описание и методы синтеза сводятся к тому, чтобы добиться того, чтобы управляемая величина объекта, скалярная или векторная, посредством воздействия на объект системы управления была бы практически все время прямо пропорциональна задающей величине. А задающая величина формируется некоторой информационной системой, например, человеком, на основе цели управления объектом и подается на систему управления им.

Особенно просто и наглядно смысл и цель функционирования системы автоматического регулирования, линейной или нелинейной структуры представляется в статике:


(1)

gif-file, 20KB

т.е. управляемая величина Y должна быть прямо пропорциональной задающей величине ХЗАД и практически не зависеть от возмущения ХВОЗМ, влияние которого на управляемую величину может быть нелинейной функцией и задания, и возмущения. Величина этой функции в САР хорошего качества стремится к нулю, она пренебрежимо мала по сравнению с управляемой величиной.

Как видно, все "нелинейности" САР, ее свойства, связанные с нелинейностью ее элементов, помещаются в малом слагаемом правой части (1), которое у хороших САР стремится к нулю, практически никак не сказываясь на свойствах САР, ее способности следить и стабилизировать. Тем не менее, хоть и в пренебрежимо малом размере, эффекты, связанные с нелинейностью элементов присутствуют и полезно посмотреть, как же они влияют на поведение САР, в чем состоит отличие в поведении нелинейной и линейной САР. Рассмотрение названных малых эффектов и будет проведено ниже.

Описание, оценка и обеспечение статических и динамических свойств САР необходимо для того, чтобы ее качество слежения и стабилизации, в частности, быстродействие, было не хуже требуемого. При выходе задания или его производных на некоторое время за пределы допустимых значений, а также при его значительном скачкообразном изменении, пропорциональность, определяемая (1) в динамике может на короткое время быть нарушена, но затем правильно работающая САР устранит возникшие недопустимые ошибки.

Обеспечение прямой пропорциональности управляемой величины заданию в течение практически всего времени функционирования, это все, к чему сводится конечная цель методов описания, анализа и синтеза систем непрерывного управления, развиваемых в теории автоматического управления.

Примечание. Имея линейную САР, не представляет труда построить нелинейную САР, т.е. такую, выходная, управляемая величина которой нелинейно и гладко (плавно) зависела бы от задания. Но практической пользы от такой САР никакой нет. Такой САР просто не удобно пользоваться. Поэтому на практике систему автоматического регулирования стараются сделать как можно ближе по свойствам к линейной.

Автора побудило сделать это отступление общение с бывшими студентами, а теперь магистрантами, когда они высказывают жалобы на то, что им трудно разобраться во всем этом многообразии методов ТАУ: нелинейные системы, управление многомерными объектами, функции Ляпунова, управляемость, задача Лурье, производные и скобки ЛИ, адаптивное управление нестационарными объектами и т.д. и т.п., что им, студентам, трудно понять, насколько они значимы и какую же конечную цель преследует рассмотрение этих методов, можно ли ее выразить просто и понятно.

Хотя рассмотрение этих методов при должной математической культуре читателя (которой в наше время определенно недостает большинству студентов) и доставляет эстетическое удовольствие, но может возникнуть впечатление, что в ряде случаев оно уже становится для авторов учебных пособий самоцелью, отрывается от практических потребностей, теряет конкретику применения. Такова традиция рассмотрения теории.

Так вот, весь этот сложный и красивый математический аппарат направлен только на то, чтобы обеспечить выполнение равенства (1), т.е. чтобы САР осуществляла слежение и стабилизацию. На первый взгляд это кажется что-то уж больно примитивным, но это так. И это вовсе не примитивно, учитывая какое важное значение системы автоматики имеют в жизни и практической деятельности человека, как широко они распространены, да и добиться этого не всегда легко.

В случае многомерного объекта, имеющего несколько управляемых величин, выбранных проектировщиком технологического объекта и системы управления этим объектом из множества величин, его характеризующих, система управления также в конечном итоге приводится к линейной многомерной. Она может быть описана в статике простейшим матричным уравнением, линейно связывающим векторы задающих ХЗАД и возмущающих ХВОЗМ и вектор управляемых Y величин:


(2)

gif-file, 20KB

здесь: KСАР — квадратная диагональная матрица коэффициентов усиления практически независимых каналов многомерной САР, размерности n×n;
a(ХЗАД, XВОЗМ) — вектор функций, определяющих влияние совокупности возмущений на соответствующую компоненту управляемой величины. Величина каждой из этих функций в допустимом диапазоне изменения возмущений пренебрежимо мала по сравнению с номинальным значением "своей" управляемой величины;
XВОЗМ — вектор возмущений, размерности m.

Как следует из (2) систему управления (регулирования) в конечном итоге можно представить в виде нескольких одномерных автономных САР, каждая из которых формально работает независимо от остальных, поддерживая свою управляемую величину пропорциональной своему заданию. И это несмотря на многосвязность элементов объекта, взаимовлияния его управляющих и управляемых величин.

Для управляемости объектом с выбранными управляемыми величинами, естественно нужно иметь по крайней мере столько задающих воздействий, а значит, и входов САР, сколько управляемых величин выбрано у объекта.

Как это не удивительно, но автору не приходилось встречать в литературе, даже учебной, уравнение (2) и пояснения его, иллюстрации им целей и задач любой системы непрерывного автоматического регулирования. Видимо авторы учебников традиционно полагают, что это уравнение самоочевидно. Но студенту догадаться об этом удается не сразу и не всегда. А ведь действительно, суть уравнения проста.

Одно дело открывать новый метод анализа или управления, здесь исследователь вправе пользоваться и пользуется всеми ему доступными средствами, изучает метод всесторонне, и простота изложения результатов, как одна из преследуемых целей, здесь или вовсе не ставится, или, в любом случае, не является главной. Совсем другое дело, изложение этого материала лектором или автором учебника. Здесь цель состоит прежде всего в последовательном упрощении изложения, придании ему должной наглядности, предметности и эстетики.

2. Характерное поведение работоспособных нелинейных САР с релейными регуляторами в автономном режиме

Нелинейность в разной степени присуща всем элементам замкнутой САР с управлением по отклонению, в том числе, объекту управления, регулятору, исполнительному устройству и датчику.

Типичная нелинейность, присущая типовым промышленным непрерывным объектам управления представляет собой ограничение. Однако как правило, технические требования по эксплуатации непрерывного объекта не допускают доведение его до "упора", объект должен работать в непрерывном рабочем диапазоне изменения управляемой величины, не достигая его границ. Поэтому, главная существенная нелинейность САР определяется наличием релейного элемента в регуляторе или другом месте контура. Если таковой имеется, то он , в сочетании с параметрами остальных элементов контура САР, и определяет свойства и саму способность САР осуществлять слежение и стабилизацию.

Если судить о свойствах нелинейных технических и физических объектов и систем вообще по их фазовым портретам, то наберется довольно много, десятка полтора, типичных видов поведения таких объектов, устойчивых и неустойчивых [1, 2], от устойчивого фокуса до странного аттрактора Лоренца. Однако, поскольку САР с релейным управлением должны решать только задачи слежения и стабилизации, то их основное поведение, как иллюстрируется ниже, сводится всего к трем основным типам. Это, естественно, существенно упрощает как изучение, понимание происходящих процессов, так и проектирование САР с нелинейными элементами.

Типичный промышленный объект управления это непрерывный инерционный объект, может быть с некоторым запаздыванием, с нелинейностью типа ограничение. Термин непрерывный означает что малое изменение управляющей величины или возмущения приводит к малому же изменению управляемой величины, она не изменяется скачкообразно на конечную величину при малых изменениях воздействий. Во многих нелинейных САР промышленного назначения регулятор содержит релейный элемент и, может быть, линейную часть, например ПИ- или ПД- регулятор.

Примечание. В настоящее время, когда регуляторы реализуются в виде цифровых процессоров, не представляет никакого труда сделать виртуальный регулятор "непрерывным". Реле же в значимых случаях, при дискретном управлении объектом (например, включение и выключение двигателя привода заслонки) при преобразовании схемы САР для удобства анализа переносится из исполнительного устройства в регулятор. И поэтому рассмотрение САР с релейным регулятором приобретает важное значение, поскольку распространение такого рода исполнительных устройств довольно широкое.

Систему, в том числе САР, называют нелинейной, если она содержит хотя бы один существенно нелинейный элемент. Однако, посмотрим внимательнее.

САР, состоящие как из только линейных, так и из нелинейных звеньев, решая задачи слежения и стабилизации, обеспечивают прямую пропорциональность управляемой величины задающей величине, а также компенсируют влияние возмущения на управляемую величину.

Отсюда вытекает, что несмотря на наличие нелинейных элементов как в объекте управления, так и в регуляторе, и других компонентах САР, она по существу должна быть системой, по свойствам очень близкой к линейной.

Рабочий диапазон САР определяется диапазоном работы объекта управления, в том числе нелинейного, внутри его интервала ограничений. Поэтому свойства нелинейной САР в номинальном режиме ее работы определяются типом и параметрами релейного регулятора и параметрами контура, в частности, его коэффициентом усиления.

2.1. Типичные фазовые портреты автономных САР

Описание свойств нелинейных САР удобно проводить с помощью т.н. фазовых портретов. Обычно такие портреты строятся для автономных систем второго порядка, поскольку для этого достаточно двумерного пространства, плоскости.

Фазовый портрет автономной системы это семейство параметрических траекторий в системе координат т.н. переменных состояния, в частности это могут быть такие величины: производная выходной величины - выходная величина САР. Переменные состояния, связанные операцией дифференцирования, называются фазовыми переменными САР. Каждая траектория фазового портрета определяется заданными начальными условиями, параметром траектории является время.

Фазовые траектории линейных систем в некотором смысле эквивалентны их переходным или весовым функциям, но более наглядно представляют всю совокупность свойств САР, поскольку отражают ее поведение при различных начальных условиях. Но для нелинейной системы теряет смысл понятие "переходная функция" и фазовый портрет остается единственным графическим инструментом представления динамики поведения нелинейной системы. В более общем случае на фазовом портрете отображаются т.н. переменные состояния, не обязательно связанные между собой простой операцией дифференцирования, т.е. не являющиеся фазовыми переменными.

Необходимым, но недостаточным, условием работоспособности САР, построенной из линейных элементов, является ее устойчивость в автономном режиме (при нулевых задании и возмущении). Для САР, содержащей существенно нелинейные звенья, необходимым условием работоспособности кроме того может являться устойчивость автоколебаний в контуре, причем амплитуда таких колебаний должна быть меньше требуемой ошибки слежения и стабилизации. Динамические процессы в автономно работающей САР развиваются (или затухают) при наличии начальных запасов энергии, расходующейся на это, и ее поступления извне, в случае неустойчивости. В моделях автономной САР наличию таких запасов энергии соответствуют ненулевые начальные условия, задаваемые начальными значениями выходных сигналов интеграторов модели.

Естественно, устойчивость или неустойчивость САР проявляется и при воздействиях на нее, но изучать собственно устойчивость САР, безотносительно к качеству ее работы в режиме регулирования, удобнее на автономной модели.

Фазовые портреты практически всех работоспособных САР с релейным управлением в автономном режиме могут иметь только один из трех видов, близких к представленным справа на рисунке:

gif-file, 20KB

Рис. 2.1.1. Фазовые портреты (верхний ряд) и соответствующее поведение выходных величин (нижний ряд) САР, обеспечивающих слежение и стабилизацию. Слева направо:
- устойчивый фокус в начале координат, свойственный фазовому портрету линейной САР;
- устойчивый фокус в одной из точек зоны нечувствительности САР с релейным регулятором,
- устойчивый цикл с центром в начале координат на фазовом портрете САР с релейным регулятором;
- устойчивый узел на фазовом портрете САР с релейным регулятором.
            Левая пара осциллограмм соответствует линейной САР, остальные - нелинейным с релейными регуляторами. Фазовые траектории линейной САР стремятся к началу координат (устойчивый фокус). Фазовые траектории нелинейных САР стремятся к началу координат, приближаясь, но не достигая его: либо к зоне нечувствительности, которая должна быть меньше, чем величина допустимой ошибки регулирования, либо переходят в устойчивый цикл, размеры которого также меньше допустимых ошибок.
            Правая пара осциллограмм показывает как можно ускорить переходный процесс введением в контур дифференцирующего звена, в результате чего отображающая состояние САР точка способна ускоренно скользить к началу координат (устойчивый узел), со временем переходя в устойчивый микроцикл или останавливаясь в зоне нечувствительности САР. Основание для включения скользящего режима в один из трех основных режимов поведения САР с релейными регуляторами состоит в том, что такая САР позволяет не только ускорить переход в конечное состояние объекта управления, но и стабилизировать неустойчивый объект.
            В нижнем ряду приведены осциллограммы, на которых показано поведение выходной, управляемой величины y1 каждой САР с течением времени. Это поведение, за исключением третьего примера, где намеренно для наглядности показаны установившиеся автоколебания заметной, значительной амплитуды, близко к монотонно-апериодическому, что и требуется при настройке САР на оптимум. Свободное поведение выходной величины y1 САР определяется начальными условиями и быстродействием САР

Рассмотрим приведенные выше фазовые портреты и осциллограммы подробнее.

Линейная САР

Как видно, фазовые траектории линейной САР (левые осциллограммы), функционирующей в автономном режиме, стремятся к началу координат, т.е. ее фазовый портрет имеет устойчивый фокус в начале координат. Можно показать, что САР с релейным регулятором практически не может иметь такого фокуса, разве что "случайно" отображающая точка попадет в зоне нечувствительности точно в начало координат при некоторых значениях начальных условий.

Устойчивая нелинейная САР

Вторая слева пара осциллограмм на рис. 2.1.1 представляет САР с зоной нечувствительности. Такое поведение САР может иметь место, если ее релейный регулятор имеет зону нечувствительности. Особенность такой САР состоит в том, что в зависимости от начальных условий конечная точка фазовой траектории может располагаться в любой точке зоны нечувствительности САР. Но, тем не менее, САР может справляться с задачами слежения и стабилизации, если ее зона нечувствительности меньше допустимого значения ошибки регулирования. Зона нечувствительности САР и зона нечувствительности ее релейного регулятора это разные, хотя и связанные величины.

Автоколебательная нелинейная САР

Третья пара осциллограмм на рис. 2.1.1 отображает поведение САР, в которой имеются устойчивые автоколебания. Так может вести себя система с релейным регулятором с достаточно малой или нулевой зоной нечувствительности. Несмотря на наличие автоколебаний, такая САР при правильной настройке способна решать свои задачи: осуществлять слежение и стабилизацию с должным качеством, если размеры устойчивого цикла на фазовом портрете не превышают допустимых значений ошибок регулирования. Выходная величина такой САР вне зависимости от значения начальных условий стремится к периодической функции некоторой амплитуды, которая и определяет размеры устойчивого цикла на фазовом портрете. Быстродействие такой САР определяется временем выхода на автоколебания с постоянной амплитудой.

Автоколебательная нелинейная САР со скольжением

Это нелинейная САР, фазовый портрет которой, благодаря релейному регулятору и дифференцирующему звену в контуре, имеет т.н. линию скольжения (правая пара осциллограмм на рис. 2.1.1). Фазовый портрет САР со скольжением, называемый узлом, асимптотически может иметь либо устойчивый цикл малого размера: с течением времени из любого начального положения САР переходит в режим устойчивых автоколебаний, либо, при наличии ненулевой зоны нечувствительности САР, фазовый портрет может иметь в ней устойчивый фокус.

Особенность САР со скольжением состоит в том, что при относительно малых начальных условиях фазовая траектория выходит на т.н. линию скольжения и отображающая состояние САР точка далее двигается по линии скольжения к началу координат. Это движение обусловлено последовательным переключением релейного регулятора. Если начальные условия относительно велики, то при первом достижении линии скольжения отображающей точкой, вследствие инерции системы отображающая точка "проскакивает" линию и только по мере уменьшения выходной величины выходит на линию скольжения в диапазоне "захвата" (отмечена красным прямоугольником) и стремится в начало координат. В этом проявляется нелинейность системы: вид траектории зависит от начальных условий.

Несмотря на указанную особенность, как видно на нижней правой осциллограмме, поведение во времени выходной, управляемой величины y1 объекта управления такой САР монотонно-апериодическое, соответствующее САР хорошего качества.

Свойство скольжения САР приобретает, если в контур вводится дифференцирующее звено, например, ПД - регулятор или параллельно пропорциональной обратной связи (датчику) включается еще и дифференцирующее звено. Скольжение ускоряет выход САР в устойчивый цикл. Более того, скольжением можно стабилизировать неустойчивый линейный объект.

Нелинейные САР с фазовыми портретами, представленными на рисунке 2.1.1 в принципе способны решать задачи слежения и стабилизации при условии, что размеры устойчивого цикла и зоны нечувствительности меньше допустимого значения ошибки регулирования.

Просто устойчивости для САР недостаточно, требуется еще и ее малая колебательность, а также нужное быстродействие при слежении и стабилизации.

Отметим, что применение в САР режима скольжения ускоряет переходный процесс и позволяет компенсировать завышенную колебательность и даже неустойчивость объекта управления, что является альтернативой линейным методам стабилизации, коррекции и оптимизации САР.

Подчеркнем, что фазовые траектории оптимальной САР должны выходить в конечную точку или на устойчивый цикл по возможно более короткому пути, части одного витка спирали: излишняя колебательность САР не желательна.

2.2. Примеры автономных САР

Рассмотрим для примера довольно представительный класс типовых промышленных САР с непрерывным объектом и управляющим устройством с ограничениями, например, в виде заслонки (задвижки), привод которой управляется дискретно (включить - выключить - реверс), в результате чего заслонка некоторое время плавно поворачивается в ту или иную сторону:

gif-file, 20KB

Рис. 2.2.1. Типичная схема САР в управляющим устройством в виде заслонки, привод которой управляется дискретно

Это могут быть САР температуры в печи, уровня воды в паровом котле и т.п. Модели конкретных САР можно посмотреть в [4,5].

Автономный режим работы САР предполагает отсутствие (равенство нулю) как задания, так и возмущения. Начальные условия задают, определяют состояние объекта управления и определяют фазовую траекторию в плоскости переменных состояния.

2.2.1. САР с "зоной нечувствительности"

При моделировании нелинейной САР с релейным управлением непрерывным объектом для упрощения модели имеет смысл реверсивный переключатель перенести в регулятор, а привод заслонки и ее саму отнести к объекту управления. Поскольку П - регулятор определяет чувствительность реле к ошибке, образуемой на выходе устройства сравнения (сумматора), то его можно учесть шириной зоны нечувствительности. Наконец, в контур после релейного элемента можно ввести и усилитель, обеспечивающий нормализацию величины статической характеристики реле на уровне плюс-минус единица. Модель САР в автономном режиме, т.е. при нулевых задающем и возмущающем воздействиях, функционирующая при разных начальных условиях (начальных значениях выходных сигналов интеграторов) представлена ниже.

Зона нечувствительности САР это диапазон изменения ее выходной, управляемой величины на фазовой плоскости, в который в конечном итоге попадает отображающая состояние САР точка при изменении начальных условий. Зона нечувствительности САР определяется зоной нечувствительности реле, но это не одно и то же, даже их размерности - разные.

gif-file, 20KB

Рис. 2.2.1.1. Модель САР с дискретным управлением непрерывным объектом, имеющей зону нечувствительности. Реверсивный пускатель двигателя заслонки перенесен в регулятор. Усиление П - регулятора задается шириной зоны нечувствительности реле. Усиление объекта нормировано так, чтобы значения выходного сигнала реле были -1, 0 и 1. В номинальном режиме работы САР заслонка не упирается в ограничители, поэтому она промоделирована просто интегратором. Как видно, САР устойчива и фазовые траектории заканчиваются в зоне нечувствительности САР, в точках, определяемых начальными условиями траекторий. Реле дважды подключает двигатель в реверсивном и прямом направлениях до того, как значение выходного сигнала устанавливается

Итак, рассмотренная САР устойчива, ее фазовый портрет таков, что отображающая точка с течением времени приходит в зону нечувствительности САР, т.е. управляемая величина (переменная состояния y1) стремится к некоторому постоянному, сравнительно малому значению, меньшему зоны нечувствительности.

2.2.2. Автоколебательная САР

Та же САР, при уменьшении зоны нечувствительности регулятора становится автоколебательной, ее фазовый портрет - устойчивый цикл:

gif-file, 20KB

Рис. 2.2.2.1. Автоколебательная САР: автоколебания устойчивые. При дальнейшем уменьшении зоны нечувствительности до нуля САР остается в устойчивом автоколебательном режиме, но размеры цикла и частота автоколебаний при этом практически не изменяются

2.2.3. САР со скольжением

Включение параллельно датчику дифференцирующей ветви ускоряет переходный процесс посредством быстрого многократного переключения реле. В устойчивой САР число переключений конечно и фазовый портрет автономной САР имеет устойчивый узел, фазовые траетктории заканчиваются в зоне нечувствительности. Если в САР обеспечиваются условия для устойчивых колебаний (или автоколебаний) сравнительно высокой частоты и малой амплитуды, то фазовый портрет асимптотически, после прохождения изображающей точкой линии скольжения, представляет собой устойчивый цикл малого размера.

Пример САР со скольжением и конечным числом переключений реле:

gif-file, 20KB

Рис. 2.2.3.1. САР со скольжением при нулевом задании обеспечивает ускоренный переход объекта в равновесное состояние после ряда переключений реле.
         Если начальные условия достаточно малы, то фазовая траектория, достигая линии скольжения, пилообразно продолжается по этой линии, и в пределе, если САР устойчива, заканчивается в одной из точек зоны нечувствительности. Если САР имеет автоколебательные свойства, то пилообразная фазовая траектория после линии скольжения асимптотически переходит в устойчивый цикл.
         Если начальные условия достаточно велики, то изображающая точка, двигаясь по фазовой траектории "по инерции" проскакивает линию скольжения, и только потом, после уменьшения переменных состояния, выходит на линию скольжения. Т.о. линия скольжения имеет конечный диапазон захвата фазовой траектории (изображающей точки).
         Отметим, что несмотря на высокую колебательность объекта управления правильно настроенная САР вплоть до попадания ошибки регулирования в зону нечувствительности не имеет колебательности. А когда, наконец, ошибка регулирования попадает в зону нечувствительности, что эквивалентно размыканию контура обратной связи, то остаточные затухающие колебания малой амплитуды, меньшей, чем ошибка регулирования, определяются только колебательными свойствами объекта управления

Если по окончании серии переключений в схеме рис. 2.2.3.1 реле остается в нулевом состоянии, то по существу контур размыкается и объект автономно стремится в устойчивый фокус в начале координат. Фазовая траектория может заканчиваться и микроциклом.

3. Характерное поведение нелинейных САР в режиме слежения

Как отмечалось выше, устойчивость нелинейной САР в автономном режиме необходимое, но не достаточное условие хорошего качества САР. Действительно, автономный режим работы САР это частный случай слежения и стабилизации, когда и задание, и возмущение равны нулю. Но САР должна работать при изменениях задания и возмущения хотя бы в некоторых рабочих диапазонах.

Обычно в учебной литературе рассматриваются методы анализа устойчивости автономных нелинейных систем, а затем проводится рассмотрение решения задачи управления, сформулированной в достаточно общей форме: как, путем конечного и даже минимального числа ограниченных по величине воздействий, перевести объект управления из одного состояния в другое [2,3]. Описание и анализ систем управления при этом осуществляется в довольно абстрактной форме, затрудняющей понимание сути дела.

Наглядности и повышения степени восприятия модели системы можно добиться рассмотрением переходных функций САР. На первый взгляд, поскольку САР содержит нелинейные элементы, то и сама она является нелинейной системой, а, следовательно, для ее описания не может быть применена переходная функция, ввиду того, что отклик нелинейной системы зависит от величины воздействия. Поэтому, для описания нелинейной САР пришлось бы использовать набор ее откликов на ступенчатые воздействия разной величины при разных начальных значениях задания. Да и в этом случае описание не было бы полным.

Сказанное было бы справедливым, если бы САР действительно была существенно нелинейной. Но, как показано и обосновано выше, работоспособная САР в диапазоне своей состоятельности весьма близка по свойствам к линейной, иначе бы она не смогла осуществлять слежение и стабилизацию, не была бы работоспособной. Действительно, слежение и стабилизация это обеспечение прямой пропорциональности управляемой величины заданию с требуемой точностью, т.е. линейность причинно-следственной связи. А раз так, то нет никаких оснований отказываться от такого наглядного представления типичного поведения САР, как переходная функция при естественном ограничении сверху величины входной ступеньки рабочим диапазоном САР.

Примечание. Автор вовсе не призывает отказаться от изучения классических фундаментальных учебников по ТАУ, напротив. Но перед этим весьма полезно познакомиться с поведением работоспособных САР, с тем, чтобы чтение традиционных учебников было более предметным.

3.1. САР с "зоной нечувствительности"

При правильно выбранных настроечных параметрах регулятора, САР с релейным регулятором, имеющим зону нечувствительности, осуществляет слежение и стабилизацию. Рассмотренная выше САР осуществляет слежение:

gif-file, 20KB

Рис. 3.1.1. САР с релейным пропорциональным управлением непрерывным объектом осуществляет слежение. Ненулевые начальные условия показывают, что САР способна выводить объект в установившийся режим из произвольного его начального состояния с хорошей динамикой. Поведение САР в начальный период выведения объекта в режим слежения позволяет оценить длительность переходного процесса в объекте (продолжительность затухания свободной компоненты). Время регулирования, время выхода САР в режим слежения, в данном случае определяется временем поворота заслонки, оно значительно больше длительности переходного процесса объекта. Вид фазового портрета - устойчивые фокусы в точках, определяемых значениями задания

Пропорциональное управление это управление, при котором обеспечивается прямая пропорциональность управляемой величины объекта его задающей величине. Коэффициент пропорциональности для схемы рис. 3.1.1 равен kСАР = 1/kдатч = 4. Пропорциональное управление может осуществляться как с помощью линейного регулятора (ПИ, ПИД и т.п.), так и с помощью релейного.

Естественно, поскольку рассматриваемые САР осуществляют управление по отклонению, то они способны не только следить, но и стабилизировать.

3.2. Автоколебательная САР

Уменьшение зоны нечувствительности релейного регулятора приводит к тому, что САР переходит в режим устойчивых автоколебаний, что, тем не менее, не мешает ей осуществлять регулирование:

gif-file, 20KB

Рис.3.2.1. САР следит в автоколебательном режиме: управляемая величина в режиме слежения прямо пропорциональна заданию. Точность регулирования определяется средним значением ошибки регулирования за период автоколебания. В данном случае точность высока

Отметим, что автоколебательный режим существенно улучшает динамику САР с такими нелинейными звеньями как люфт, зазор, сухое трение и т.п. [1, стр. 564]. Поэтому даже в устойчивых нелинейных САР вводят в задание дополнительный периодический сигнал сравнительно малой амплитуды, что придает устойчивой САР те же положительные свойства, что имеются у автоколебательной.

3.3. САР со скольжением

Режим скольжения ускоряет переход САР в устойчивое состояние или в режим устойчивых автоколебаний. Более того, используя режим скольжения можно стабилизировать неустойчивый объект.

Скольжение обеспечивается введением в контур дифференцирующего звена. Это можно сделать, или поместив его в обратную связь, т.е. получить гибкую обратную связь, или, ввести ПД - регулятор, поместив его перед релейным регулятором.

3.3.1. Гибкая обратная связь

Введение в контур САР гибкой обратной связи параллельно датчику позволяет ввести САР в режим скольжения:

gif-file, 20KB

Рис. 3.3.1.1. САР со скольжением. Объект управления с самовыравниванием, колебательное звено. САР следит со статической ошибкой, равной 10% задания. Отметим, что колебательный переходный процесс объекта управления в свободном, автономном режиме длится примерно 20 сек (см. рис. 1.2.3.1). Рассматриваемая САР со скольжением имеет время регулирования примерно равное 4 сек, т.е. скольжение позволяет существенно компенсировать инерционность объекта управления. Осуществляя слежение, САР асимптотически выходит в режим устойчивых автоколебаний с малой амплитудой

Недостатком скользящего режима является многократное или даже непрерывно-периодическое переключение релейного регулятора, что в практическом отношении в некоторых случаях может оказаться ненадежным решением.

Уменьшение зоны нечувствительности релейного регулятора предыдущей схемы в десять раз приводит к уменьшению статической ошибки регулирования до 3% задания:

gif-file, 20KB

Рис. 3.3.1.2. САР с регулятором с зоной нечувствительности равной 0.01 обеспечивает в статике ошибку слежения, равную 3% задания. САР асимптотически выходит в режим устойчивых автоколебаний с малой амплитудой

3.3.2. ПД - регулятор

Для получения САР со скользящим режимом нужно ввести в контур, содержащий релейный регулятор, звено дифференцирования. Это можно сделать и с помощью ПД - регулятора:

gif-file, 20KB

Рис. 3.3.2.1. САР с ПД - релейным регулятором работает в режиме скольжения. Рассматриваемая САР асимптотически выходит в режим устойчивых автоколебаний с малой амплитудой

В принципе, изменяя зону нечувствительности можно настроить контур так, чтобы САР следила, будучи устойчивой. Тогда фазовая траектория будет заканчиваться в точке, определяемой величиной задания, плюс-минус половина зоны нечувствиетльности.

3.3.3. Стабилизация неустойчивого объекта нелинейной САР со скольжением

САР в режиме скольжения способна управлять не только устойчивым, но и неустойчивым объектом, осуществлять регулирование, т.е. слежение и стабилизацию:

gif-file, 20KB

Рис. 3.3.3.1. САР с ПД - релейным регулятором стабилизирует неустойчивый линейный объект. Регулирование как в статике, так и в динамике осуществляется с хорошим качеством

Принцип стабилизации непрерывного неустойчивого объекта с помощью комбинированного ПД - релейного регулятора состоит в том, что регулятор вовремя переключает управляющую величину так, что при еще небольшом изменении управляемой, выходной величины объекта, стремящегося ввиду неустойчивости пойти "вразнос", управляющая величина меняет знак, заставляя управляемую величину возвращаться обратно, и так периодически. В результате, управляемая величина поддерживается вблизи задающей, что и означает слежение и обеспечение динамической устойчивости объекта. Неустойчивость объекта компенсируется устойчивым автоколебательным контуром.

Заключение

Основные свойства САР, в состав которых входят существенно нелинейные элементы, например релейный регулятор, управляющие непрерывными объектами, практически ничем не отличаются от свойств линейных САР. Действительно, САР с нелинейными элементами обеспечивают слежение и стабилизацию, т.е. прямую пропорциональность управляемой величины заданию, причем осуществляют это с заданной точностью. Отсюда следует, что термин "нелинейные САР" не вполне корректен, если иметь в виду не их структуру, а их поведение, поскольку все САР являются практически, т.е. с необходимой точностью, линейными. Естественно, работа САР с нелинейными элементами отличается от работы линейной САР, но цель регулирования у этих видов САР одинакова - сведение ошибки регулирования к минимуму.

Если посмотреть на САР "снаружи", то по существу все ее нелинейные свойства сосредоточены в малых ошибках регулирования, слегка искажающих прямую пропорциональность управляемой величины заданию, которой добивается САР в процессе регулирования.

Нелинейные по структуре САР, САР с релейными регуляторами, способны осуществлять регулирование, т.е. слежение и стабилизацию не только будучи устойчивыми, но и в случае наличия в них устойчивых автоколебаний. Это позволяет исключить влияние нелинейностей контура, люфт, сухое трение и т.п. на качество регулирования. Поэтому для повышения качества регулирования устойчивых САР в задание намеренно вводят периодический сигнал сравнительно высокой частоты и малой амплитуды.

По свойствам, САР, содержащие нелинейные элементы, в рабочем диапазоне близки к линейным системам, причем чем качественнее САР, тем с большей точностью она регулирует и приближается по свойствам к линейной.

При более пристальном рассмотрении внешние отличия линейных и нелинейных САР проявляются в поведении ошибок регулирования. Ошибка регулирования САР с существенно нелинейными элементами в статике зависит от величины задания и может располагаться во всем диапазоне зоны нечувствительности релейного регулятора, если контур САР устойчив. Ошибка же линейной САР в статике определяется только коэффициентом усиления контура и пропорциональна заданию.

Если САР с нелинейными элементами неустойчива, находится в режиме устойчивых автоколебаний относительно высокой частоты или задание САР имеет высокочастотную компоненту сравнительно малой амплитуды, то ошибка регулирования, малая по сравнению с управляемой величиной, имеет периодический характер, и среднее за период автоколебаний (колебаний) значение ошибки может быть нулевым.

Автоколебательная САР или САР с периодическим сигналом в задании способна стабилизировать неустойчивый объект, осуществлять управление им, т.е. слежение, без потери им устойчивости, обеспечивая его устойчивость динамически.

Характерных манер поведения нелинейных САР с релейными регуляторами всего три и они характеризуются такими фазовыми портретами:

Ускорение процесса регулирования путем скольжения это нелинейная альтернатива компенсации инерционности объекта в линейной САР посредством введения ПИ- и ПИД - регуляторов в контур.

Литература

22.12.2010

<< К началу статьи