Федосов Борис Трофимович
Рудненский индустриальный институт,
Рудный, Казахстан
Об авторе

УДК 681.51.01
Ф338

3. Переведение маятника из произвольного положения в вертикальное и удержание его там

3.1. Управление обратным маятником с помощью линейной САР
Произвольные начальные углы отклонения маятника

Ослабив в предыдущей модели обратные связи регулирования по положению опоры шарнира и его скорости можно получить линейную САР, способную, пусть и медленно, с большими отклонениями опоры от начала координат, но выводить маятник наверх из любого положения:

gif-file, 20KB

Рис. 3.1.1. Замедление управления по отклонению опоры шарнира и его скорости, путем уменьшения соответствующих коэффициентов регулятора, позволяет переводить маятник в вертикальное положение из любых начальных углов примерно за 50 секунд (файл M8_Inv_Pend_All_Angle_Control.vsm в Приложении)

Линейная система управления способна выводить маятник вверх из любого его начального положения. Отметим в качестве недостатков САР ударный характер изменения управляемой величины - ускорения опоры маятника, и весьма значительные величины этого ускорения, достигающие 1000 м/сек2, т.е. 100g. Отклонения опоры в процессе регулирования достигают и превышают 150 м при начальных значениях угла отклонения маятника больших 90o.

Недостатком линейной системы управлония является необходимость создания очень больших ускорений, что, в свою очередь, потребует приложения значительных сил, а значит выработке значительной мощности для управления маятником. Тем не менее, система в принципе работоспособна при длине маятника, равном 1 м.

3.2. Управление обратным маятником с помощью нелинейной САР
Произвольные начальные углы отклонения маятника

3.2.1. Управление с использованием нелинейного регулятора

Снижения ускорений опоры обратного управляемого маятника можно добиться, используя нелинейный алгоритм управления. Отметим, что если угол отклонения маятника находится в районе 90o или -90o, то ускорение опоры маятника весьма слабо влияет на изменение углового ускорения маятника, но влияет на скорость опоры и ее положение. Поэтому целесообразно изменять значения коэффициентов усиления регулятора в зависимости от мгновенного значения угла наклона. При углах, близких 0 и 180o преимущество должны получать каналы управления по углу и угловой скорости с тем, чтобы быстрее переводить маятник в требуемое вертикальное положение. А при углах, близких 90o и - 90o преимущество должны получать каналы приведения маятника в начало координат, т.е. каналы по положению и скорости опоры шарнира маятника.

Кроме того, для увеличения быстродействия системы целесообразно организовать управление так, чтобы, если отклонение опоры велико, то для быстрейшего возвращения опоры в начало координат угол отклонения задается противоположным по знаку отклонению опоры и достаточно большим, вплоть до 1 радиана. А при приближении опоры к началу координат восстанавливать преимущество управления по приведению маятника в вертикальное положение.

Попытки реализации предлагаемого алгоритма с помощью блоков булевой логики приводят к очень громоздким схемам.

Однако, как оказалось, существует очень изящное решение, реализуемое путем использования гармонических функций для задания весовых коэффициентов каналов управления в зависимости от мгновенного значения угла отклонения маятника:

gif-file, 20KB

РРис. 3.2.1.1. Управление обратным маятником с помощью нелинейного регулятора. Значения коэффициентов усиления каналов регулятора определяются косинусоидами однократного и двойного аргументов. Имеется временной интервал, на котором маятник существенно отклонен в сторону для обеспечения эффективного торможения, а затем маятник плавно переводится в вертикальное положение параллельно с устремлением опоры в начало координат. Время возвращения примерно равно 20 секундам. Максимальное отклонение опоры достигает 50 м (файл M9_Inv_Pend_Control_L_1m_All_Angl_Cos.vsm в Приложении)

Пояснить влияние коэффициентов можно следующими графиками:

gif-file, 20KB

Рис. 3.2.1.2. Зависимость весовых коэффициентов каналов управления нелинейного регулятора от мгновенного значения угла наклона обратного маятника. Отметим, что на этом рисунке угол отклонения маятника откладывается от правой части оси абсцисс против часовой стрелки, а в рассматриваемых моделях угол отклонения мятника откладывается от вертикали по часовой стрелке

Как видно, при таком определении весовых коэффициентов каналов управления при малых, меньших 1 радиана, угловых отклонениях маятника, а также при углах, близких к 180o, система работает практически в линейном режиме. Однако при отклонениях, когда маятник находится в положениях, близких к горизонтальному (углы 90o и -90o, соответственно 90o и 270o на рис. 3.2.1.2), влияние канала угла отклонения становится сравнительно малым, оно стремится к нулю. В то же время управление по каналам скорости и смещения опоры при этих угловых отклонениях осуществляется в полной мере. При углах отклонения порядка 45o превалирует управление по углу отклонения.

В результате, как видно на рис. 3.2.1.1, система энергично переводит маятник в "положение транспортировки", когда он существенно наклонен для обеспечения эффективного торможения опоры, а после торможения система неспешно устанавливает маятник в вертикальное положение, одновременно выводя его опору точно в начало координат.

Максимальные значения ускорений, требуемые рассматриваемой нелинейной системой управления, на порядок меньше по сравнению со схемой с линейным регулятором, и составляют величину до 10g, что, впрочем, тоже не очень мало, хотя и значительно лучше.

3.2.2. Система управления для обратных маятников,
длина которых может быть задана в пределах 0.1 - 6 м

До сих пор рассматривалось управление маятником с длиной штока 1 м и массой груза 1 кг. Изменение длины штока может привести и приводит к потере устойчивости системы управления, поскольку значения коэффициентов регулятора становятся уже не оптимальными.

Исследуем зависимость оптимальных значений настроечных параметров регуляторов (коэффициентов усиления по отдельным каналам) от длины маятника. Длина штока маятника влияет только на два канала регулирования: по углу и угловому ускорению. Это видно из схемы модели и может быть проверено экспериментально. Значения усиления по этим каналам и следует оптимизировать. В результате получим зависимость приближенно оптимизированных значений коэффициентов усиления регулятора по каналам угла отклонения и угловой скорости от длины штока маятника в следующем виде:

gif-file, 20KB

Рис. 3.2.2.1. Зависимость настроечных параметров нелинейного регулятора системы выведения обратного маятника вверх от длины штока маятника. На интервале длин штока от 0.1 до 6 м экспериментальную зависимость можно аппроксимировать линейной функцией

Отсюда, модель САР примет вид:

gif-file, 20KB

Рис. 3.2.2.2. Настроечные коэффициенты по каналам углового отклонения и угловой скорости зависят от длины штока маятника. Вычисленные коэффициентов значения передаются в регулятор по имени переменной (файл M10_Inv_Pend_Control_L_01_6m.vsm в Приложении)

Система инерционная, вынуждает маятник при больших длинах штока смещаться на сотни метров, но, тем не менее, задачу проведения маятника в вертикальное положение для всех значений длин штока маятника из диапазона 0.1 - 6 м она решает. Отметим, что возвращение маятника в начало координат происходит при значительных углах наклона маятника, т.е. довольно энергично. Ускорения опоры при выведении маятника из нижнего положения наверх достигают значительных величин в 25g и более.

Рассмотренную САР можно классифицировать как жестко адаптивную. Действительно, САР меняет коэффициенты усиления регулятора в зависимости от длины маятника, приспосабливая алгоритм управления к начальным условиям. И зависимость эта заранее известна, следовательно, является жесткой.

Более совершенная адаптивная система должна бы была предварительно исследовать поведение конкретного маятника и на основе этого исследования определить и задать необходимые коэффициенты усиления регулятора и, может быть, и его структуру.

3.2.3. Минимизация времени регулирования маятника длиной 1 м
параметрическим изменением коэффициентов усиления нелинейного регулятора

При оптимизации значений коэффициентов усиления регулятора в п. 3.2.1 они выбирались таким образом, чтобы управление осуществлялось без потери устойчивости при любых начальных угловых отклонениях маятника со штоком длиной в 1 м. При этом при некоторых углах такие значения обеспечивали оптимальное управление как по быстродействию, так и по максимальному отклонению опоры маятника в процессе вывода его наверх и возвращении в начало координат. При других значениях начальных отклонений система не дает оптимума по быстродействию и отклонению, хотя и не теряет устойчивости и выполняет поставленную задачу.

Улучшить управление можно поставив в зависимость от начального углового отклонения маятника значения коэффициентов регулятора. К сожалению, зависимость эта плохо аппроксимируется аналитическим выражением и приходится обходиться ее табличными значениями, полученными при оптимизации кропотливым в данном случае методом направленного поиска и последовательных приближений.

gif-file, 20KB

Рис. 3.2.3.1. Система регулирования положения обратного маятника, оптимизированная по быстродействию заданием зависимости коэффициентов усиления регулятора от величины начального углового отклонения маятника (файл M11_Inv_Pend_Opt_Control_L_1m.vsm в Приложении )

Как видно, при начальных угловых отклонениях мятника, меньших 1 радиана оптимальные коэффициенты неизменны, а далее, с увеличением начального наклона маятника они меняются довольно причудливым образом, не проявляя какой-то яркой и простой закономерности, что затрудняет их аппроксимацию простой гладкой функцией.

В основном время регулирования составляет 5 - 10 сек, при некоторых больших начальных углах оно достигает 15 сек. Эти результаты значительно лучше результатов, полученных при фиксированных значениях коэффициентов усиления регулятора в п. 3.2.1.

Рассмотренную САР можно классифицировать как жестко адаптивную. Действительно, САР меняет коэффициенты усиления регулятора в зависимости от начального отклонения маятника, приспосабливая алгоритм управления к начальным условиям. И зависимость эта заранее известна, является жесткой.

Более совершенная адаптивная система должна бы была предварительно исследовать поведение конкретного маятника и на основе этого исследования определить и задать необходимые коэффициенты усиления регулятора и, может быть, и его структуру.

3.2.4. Компенсация влияния случайных порывов ветра
системой поддержания обратного маятника в вертикальном положении

В реальных условиях ветер не дует с постоянной силой, а порывами меняется с течением времени. Поэтому в более реалистичной модели следует задать случайное изменение скорости ветра. Здесь интересен вопрос, сможет ли система управления удержать обратный маятник наверху, несмотря на порывы ветра?

За основу возьмем модель управляемого маятника и систему управления с коэффициентами усиления регулятора, изменяющимися в соответствии с изменением длины маятника, рис. 3.2.2.2 и введем в нее случайный процесс:

gif-file, 20KB

Рис. 3.2.4.1. Поддержание обратного маятника в вертикальном положении при порывах ветра (файл M12_Inv_Pend_Control_L_6m_Noise_Wind.vsm в Приложении)

Как видно, ветер, дующий вправо вдоль оси абсцисс, со средней скоростью порядка 5 м/сек и с порывами от 4 до 8 м/сек, "сдувает" вправо примерно на 0.5 м маятник длиной 6 м с массой груза 1 кг. Система управления наклоняет маятник навстречу ветру примерно на 0.2 градуса для компенсации воздействия ветра.

Итак, рассмотренная система является статической с точки зрения ТАУ по управляемым величинам: углу отклонения маятника и смещению опоры его шарнира. САР справляется с задачей поддержания маятника в вертикальном положении во всем диапазоне изменения длины штока от 0.1 до 6 м.

Уменьшение массы груза маятника с 1 кг до 0.1 кг все еще позволяет системе поддерживать маятник в вертикальном положении, но с более значительными ошибками:

gif-file, 20KB

Рис. 3.2.4.2. Уменьшение массы груза и длины маятника ухудшает точность управления при ветре, тем не менее, маятник поддерживается в вертикальном положении с точностью в 1o - 2o, а отклонение опоры составляет 1 - 2 м при порывах ветра до 8 м/сек

3.3. Выводы

Обратный маятник это типичный нелинейный неустойчивый объект управления. Обратный маятник можно перевести из произвольного положения в вертикальное, грузом вверх, и поддерживать его там, с помощью как линейных, так и нелинейных систем управления. Нелинейная система управления, основанная на задании косинусоидального изменения весовых коэффициентов усиления по каналам углового отклонения и смещения опоры маятника, справляется с задачей и быстрее, и с меньшим потреблением мощности, чем линейная.

Управление обратным маятником можно осуществлять посредством задания ускорения опоры шарнира только по одной оси, направленной горизонтально в плоскости качания маятника. Такое управление позволяет уверенно выводить маятники длиной 0.1 - 6 м с массой груза от 0.01 до 10 и более кг в вертикальное положение за время 5 - 10 - 40 секунд в зависимости от начального угла отклонения маятника от вертикали и его угловой скорости в начальный момент времени.

Несмотря на внешнюю простоту задачи, система управления должна подстраиваться под управляемый объект при изменении длины штока и его массы, а также плотности среды, в которой колеблется маятник. Выше рассмотрены регуляторы с жесткой функциональной привязкой настроечных параметров к параметрам маятника. Имеет смысл рассмотреть и построить адаптивную систему управления, способную оценивать характеристики маятника и подбирать оптимальные настроечные параметры регулятора и, может быть, его структуру и алгоритм управления, в процессе выведения груза маятника наверх.

Человек, после непродолжительных тренировок, справляется с задачей выведения маятника в вертикальное положение значительно быстрее, чем рассмотренные системы регулирования, и затрачивая значительно меньшие усилия и мощность потому, что имеет возможность смещать опору маятника в двух направлениях: как горизонтальном, так и в вертикальном. Такого рода автоматическая адаптивная система также может быть построена, но ее реализация заслуживает отдельного рассмотрения.



28.07.2009