Федосов Борис Трофимович
Рудненский индустриальный институт,
Рудный, Казахстан
Об авторе

УДК 681.51.01
Ф338


Управление неустойчивыми объектами
Обратный маятник

       Возможность управления неустойчивыми техническими объектами теоретически рассматривалась уже давно, несколько десятков лет назад. Но практическое значение управление такими объектами приобрело сравнительно недавно. Дело в том, что неустойчивые объекты управления, если ими правильно управлять, обладают рядом полезных качеств, в том числе и быстродействием. Но при выходе из строя автоматической системы управления неустойчивый объект может представлять собой существенную угрозу, опасность и для человека, и для окружающей среды. В качестве катастрофического примера результатов отключения автоматического управления можно привести аварию на Чернобыльской АЭС. Но по мере того, как системы управления становятся все более надежными, все более широкий круг технических неустойчивых в отсутствие управления объектов применяется на практике.

       Приступать к изучению свойств систем управления неустойчивыми объектами целесообразно на простых примерах, одним из которых является классический обратный маятник. С одной стороны, эта задача сравнительно простая и наглядная, с другой, она подготавливает исследователя к построению весьма практически значимых моделей двуногих существ (людей, птиц и динозавров), а также антропоморфных устройств (роботов, киберов и др.), перемещающихся на двух опорах. В отличие от названных примеров, в рассматриваемой задаче положением маятника управляют перемещением его опоры не в трех, а всего в одном направлении, что делает процесс куда более инерционным.

       Многие программы моделирования физических и технических объектов и систем управления ими содержат простейшие примеры выведения обратного маятника в положение грузом вверх, однако пояснения по построению модели либо скупы, либо отсутствуют вовсе, что весьма затрудняет студенту понимание решения. Ниже решение задачи моделирования и исследования самого обратного маятника и системы управления им рассматривается обстоятельно, что, конечно, требует для изучения некоторого времени, но дает выигрыш читателю по сравнению с самостоятельным изучением примеров моделей.

       В Приложении предлагаются модели, созданные при подготовке этой статьи. Все модели работоспособны в исходном состоянии. Читателю предлагается выяснить, если это специально не оговорено, диапазоны изменения параметров модели, в которых они сохраняют свои свойства и просто являются состоятельными.

Введение

Технические объекты и системы в зависимости от их назначения могут проектироваться как устойчивые или неустойчивые в отсутствие управления ими. Например, самолеты. Пассажирский самолет проектируется, прежде всего, для достижения максимальной безопасности. Конечно, такие самолеты в отсутствие управления должны быть устойчивыми. Так, при уменьшении скорости полета задолго до того, как самолет пойдет в штопор, его нос опускается и скорость возрастает, сохраняя стабильное положение самолета в пространстве.

Самолет – истребитель проектируется для воздушного боя, и одна из его важнейших характеристик это маневренность. Маневренность достигается путем приближения свойств истребителя к границе устойчивости и даже с переходом через эту границу. Пилот не справится с задачей поддержания в устойчивом состоянии истребителя, но его система управления помогает пилоту выполнять эту задачу. Видный советский летчик-испытатель Ильюшин Владимир Сергеевич [1] так охарактеризовал в одном из телевизионных интервью последний из множества испытанных им самолетов, истребитель СУ-27: «Если говорить о любом из ранее испытанных мной самолетах, то я всегда чувствовал, что я «умнее» машины. Но в отношении СУ-27 я почувствовал, что этот самолет «умнее» меня».

gif-file, 20KB Слова испытателя можно понимать и так, что хотя СУ-27 в отсутствие управления является неустойчивым объектом, но система автоматического управления полностью освобождает летчика от решения задачи стабилизации полета, оставляя ему возможность пилотировать истребитель так, как это требуется в сложившейся обстановке.

Многие традиционные технические устройства имеют как устойчивые, так и не устойчивые состояния и режимы работы. Характерный пример – асинхронный электродвигатель. Многие десятилетия он верой и правдой служил на производстве в качестве привода различных машин и механизмов, автоматически при запуске выходя в установившийся режим. При этом его характеристики, связанные с потреблением энергии из электрической сети не оптимальные. Десятка полтора лет назад возникла идея так называемого «векторного» управления асинхронным двигателем, когда задавая, частоту и начальные фазы трехфазного напряжения питания двигателя, поддерживают его в неустойчивом режиме, близком к критическим значениям скольжения. Это позволяет получить возможность тонкого управления частотой вращения асинхронным двигателем при одновременной оптимизации энергетических его характеристик (минимизации косинуса фи и др.).

Естественно, при проектировании системы управления неустойчивым объектом необходимо позаботиться о том, чтобы при потере управления, вызванного той или иной причиной, срабатывала система защиты и сигнализации, обеспечивающая минимизацию потерь, связанных с таким инцидентом.

Важной задачей управления является поддержание вертикального положения антропоморфных технических устройств (роботов, киберов и т.п.). Аналогичную задачу решает система управления человека, поддерживая его на ногах, или когда человек держит на руке длинную рейку.

Последние примеры, указывая на значимость задачи балансирования, могут быть исследованы путем моделирования т.н. обратного маятника.

Автору посчастливилось в летней физматшколе в Академгородке Новосибирска в 1966 году слушать лекцию академика Будкера Г.И., тогда директора института ядерной физики. Лектор выставил на кафедре какой-то приборчик, напоминающий метроном с маятником, включил его, зажужжал электромоторчик, приводя в колебательно-вращательное движение опору маятника. Лектор поднял маятник вверх и качнул его. Маятник стал устойчиво колебаться, не падая вниз. В отличие от маятника метронома, у которого центр тяжести располагается ниже опоры шарнира или колеблется между двумя ограничителями, в наблюдаемом эксперименте центр тяжести маятника явно располагался выше шарнира и маятник не имел ограничения хода, но благодаря тому, что моторчик тряс шарнир, маятник устойчиво качался в перевернутом состоянии.

Ниже подробно и поэтапно рассматривается задача моделирования обратного маятника и управление им, состоящее в приведении его в вертикальное положение из произвольного положения путем перемещения шарнирной опоры маятника вдоль горизонтальной оси, в плоскости качания матяника. Виртуальное моделирование выполняется в программах объектно-ориентированного моделирования Vissim (версия 6, ознакомительная) [8], MVS [9] и Маткад [10]. Результаты моделирования сравниваются с примерами управления обратным маятником, имеющимися в других известных солидных программах.

1. Обратный маятник
Математическое описание

Рассмотрение задачи управления маятником важно по ряду причин.

Во-первых, маятники входят в состав реальных объектов управления.

Во-вторых, изучая управление обратным маятником можно переносить многие его свойства и на другие, неустойчивые в отсутствие управления, объекты.

Наконец, в-третьих, обратный маятник, как неустойчивый объект управления сравнительно просто моделируется, как и система управления им.

1.1. Простейший обратный маятник

Маятник рассматривается еще в школьном курсе физики. Это груз, подвешенный на нити и способный раскачиваться и возвращаться в нижнее, устойчивое положение с течением времени.

Тот же маятник, представляющий собой груз (например, свинцовый шарик, диаметром 4.5 см, имеющий массу 1 кг), закрепленный на конце жесткого стержня, второй конец которого закреплен в шарнире называется обратным маятником, если задача управления им состоит в выведении груза наверх и поддержании его там.

В отсутствие управления обратный маятник, как объект управления, в соответствии с классификацией Ляпунова, является неустойчивом в малом и устойчивом в большом. Действительно, установленный вертикально грузом вверх маятник при малейших воздействиях выходит из этого положения и уже не возвращается в него, но начинает качаться вокруг нижнего своего положения:

gif-file, 20KB

Рис.1.1.1 (анимация, 77 кадров). Обратный маятник имеет одно неустойчивое положение (груз вверху) и одно устойчивое положение (груз внизу)

Первоначально, задумывая эту работу, я хотел всего лишь обратить внимание читателя на значимость задачи управления неустойчивым объектом и проиллюстрировать ее решение примерами управления обратным маятником, реализованными в различных программах моделирования. С вопросом о том, имеются ли такие примеры в программах моделирования, я и обратился к нескольким знакомым разработчикам.

Разработчик программы MVS, д.т.н., профессор Ю.Б. Колесов отметил, что такой модели в MVS еще нет, но если есть уравнения, то модель, включая трехмерную анимацию, построить нетрудно. Однако «уравнения для маятника на подвижном основании не такие уж и простые (это явно уравнения Лагранжа), но они явно есть в учебниках по теоретической механике или в Интернете».

Это заставило меня приуныть: уравнения Лагранжа записать и решить, конечно, можно, но вряд ли мне удастся разъяснить читателям, на которых ориентируется эта работа, а именно и прежде всего студентам, будущим инженерам и бакалаврам, пусть и не сильным, но не потерявшим еще, несмотря на менеджмент образованием на основе подходов болонского соглашения, интереса к пониманию предмета, причинно - следственные связи в объекте и системе управления им. Действительно, мне в курсе ТАУ приходится разъяснять студентам смысл законов Ньютона, тут уж не до уравнений математической физики.

Тем не менее, удалось найти методику достаточно простого изложения, которая позволяет построить модели обратного маятника и системы управления им, не привлекая столь мощного математического аппарата, как принцип наименьшего действия и уравнения Лагранжа, а основываясь только на законах Ньютона. Ниже и проведено такое изложение.

Прежде всего, построим простейшую аналитическую модель обратного маятника, не учитывающую ни трение, ни сопротивление воздуха, реализуем ее в виртуальном аналоговом виде и посмотрим, каковы особенности этой модели.

gif-file, 20KB

Рис.1.1.2. Сила тяжести при малейшем отклонении маятника от вертикали смещает его все далее из вертикального положения, не позволяя ему вернуться обратно. Обратный маятник нелинейный, он не устойчив в исходном состоянии (в малом), но устойчив в большом: он перейдет в нижнее положение и станет качаться вокруг него. Здесь и далее все величины, направленные вправо, вдоль оси абсцисс, а также по часовой стрелке, считаются положительными

Уравнение маятника вытекает из рис. 1.1.2 в соответствии со вторым законом Ньютона для вращающейся материальной точки:


(1.1.1)

gif-file, 20KB

Обратим внимание на знак правой части уравнения. Он положительный, показывая, что угловое ускорение груза маятника направлено в ту же сторону, что и угловое отклонение, и действие компоненты силы тяжести, отклоняющей маятник. В результате, маятник неустойчив при верхнем положении груза и устойчив при нижнем.

Для построения модели в Vissim’е следует оставить слева старшую производную:


(1.1.2)

gif-file, 20KB

Как видно, поведение обратного маятника в отсутствие сопротивления воздуха не зависит от массы грузика.

Тогда нелинейная модель обратного маятника в Vissim’е примет вид:

gif-file, 20KB

Рис.1.1.3. Обратный маятник без трения – консервативная система, т.е. это система, не потребляющая и не расходующая энергию и колебания продолжаются бесконечно (см. файл M1_Inv_Pend_Simplest.vsm в Приложении). Модель представляет собой замкнутый контур: два, последовательно включенных интегратора, охваченных положительной обратной связью. Характер колебаний маятника периодический, но не синусоидальный ввиду нелинейности связи между ускорением и текущим углом наклона маятника. Начальные условия, т.е. исходные значения угла наклона и угловой скорости маятника, передаются в интеграторы по именам переменных

Отметим, что особенность виртуальных аналоговых моделей, реализуемых численно в программах ООМ, состоит в том, что вблизи границы устойчивости объекта на результаты моделирования начинает существенно влиять шаг моделирования [2, 3]. Это проявляется и на консервативной, не учитывающей силу сопротивления воздуха и трение в шарнире, модели обратного маятника, при увеличении времени моделирования:

gif-file, 20KB

Рис.1.1.4. Потеря устойчивости численной (виртуальной аналоговой) консервативной модели обратного маятника, обусловленная накоплением ошибки, вызванном недостаточно малым шагом интегрирования, при увеличении времени моделирования. Для правильной работы модели необходимо существенно уменьшить шаг моделирования

Отметим, что учет трения в шарнире маятника и (или) сопротивления воздуха существенно снижает требования к величине шага интегрирования [2, 3]. Кроме того, использование алгоритма Рунге-Кутты, а также алгоритмов с автоматическим выбором шага также существенно улучшает сходимость решения.

1.2. Маятник с учетом сопротивления воздуха

Тело, движущееся в воздухе, испытывает его сопротивление, сила которого Fc пропорциональна квадрату скорости движения [5]:


(1.2.1)

gif-file, 20KB

Для конкретного тела


(1.2.2)

gif-file, 20KB

Для свинцового шара (плотность 11.35 т/куб.м), массой 1 кг и диаметром 5.5 см сила сопротивления воздуха на уровне моря равна:


(1.2.3)

gif-file, 20KB

Шар из бальзы, диаметром 5.5 см имеет массу 11 г, а из пробки 21 г.

gif-file, 20KB

Рис.1.2.1. Сила сопротивления воздуха направлена против направления движения тела

С учетом сопротивления воздуха уравнение движения маятника примет вид:


(1.2.4)

gif-file, 20KB

или


(1.2.5)

gif-file, 20KB

Как видно, поведение маятника с учетом сопротивления воздуха определяется и массой груза.

Отсюда, модель обратного маятника, с учетом сопротивления воздуха, примет вид:

gif-file, 20KB

Рис. 1.2.2. Модель обратного маятника с учетом сопротивления воздуха (см. файл M2_Inv_Pend_Air.vsm в Приложении). С течением времени из-за сопротивления воздуха амплитуда, как и период колебаний, уменьшаются, а частота их увеличивается. Начальные условия (исходные значения выходных сигналов интеграторов) задаются передачей значений по именам переменных исходных угла наклона и угловой скорости маятника

Модель представляет собой двухконтурную систему, причем контур по углу отклонения образует положительную обратную связь, «выталкивающую» маятник из верхнего неустойчивого положения, а контур по угловой скорости маятника образован отрицательной обратной связью, отражающей торможение воздухом колебаний, причем сила торможения пропорциональна квадрату угловой скорости маятника.

1.3. Учет ветра

Если дует ветер вдоль оси Х, то он тоже сказывается на движении маятника:

gif-file, 20KB

Рис. 1.3.1. Определение силы сопротивления воздуха Fв, обусловленной вращением маятника и ветром

Определим силу сопротивления воздуха вращению маятника Fс следующим образом.

Квадрат скорости груза маятника относительно воздуха, складывающейся из движения груза по кругу и скорости поступательного, вместе с тележкой, движения груза относительно воздуха по теореме Пифагора:


(1.3.1)

gif-file, 20KB

После преобразований, учитывая направления векторов и знаки, получим:


(1.3.2)

gif-file, 20KB

где


(1.33)

gif-file, 20KB

Уравнение маятника с учетом ветра примет вид:


(1.34)

gif-file, 20KB

Или, в полной форме выражение для углового ускорения примет вид:


(1.35)

gif-file, 20KB

Первое слагаемое справа определяет компоненту углового ускорения, обусловленную силой тяжести, второе слагаемое определяет торможение грузика воздухом (или разгон его ветром на некоторых интервалах периода колебаний).

gif-file, 20KB

Рис. 1.3.2. Модель обратного маятника, учитывающая сопротивление воздуха движению маятника и ветер (файл M3_Inv_Pend_Wind.vsm в Приложении). Ветер сдувает маятник из неустойчивого положения грузом вверх и маятник начинает качаться. Постепенно частота колебаний несколько увеличивается, а амплитуда уменьшается, что обусловлено сопротивлением воздуха и действием ветра. Форма колебаний со временем стремится от "прямоугольной" к синусоидальной

Уменьшение массы груза приводит к значительно более быстрому затуханию колебаний:

gif-file, 20KB

Рис. 1.3.3. Легкий груз (парафин) m = 0.11 кг. Колебания затухают значительно быстрее и груз в покое устанавливается внизу на 5.4 углового градуса от вертикали по ветру

Отметим, что при наличии ветра со скоростью 10 м/сек, практически не зависимо от его направления, маятник успокаивается значительно быстрее, чем в отсутствие ветра. На первый взгляд это не кажется очевидным. Действительно, половину периода, говоря упрощенно, ветер тормозит, а вторую – ускоряет маятник. Дело здесь в том, что сила торможения пропорциональна квадрату скорости груза относительно воздуха. Когда скорости ветра и груза направлены в одну сторону, получается квадрат разности скоростей, а когда направления противоположные, получается квадрат суммы, который значительно больше квадрата разности. В результате торможение происходит значительно эффективнее, чем ускорение. Нетрудно провести натурный эксперимент, повесив грузик на нитке, и качать его, обдувая вентилятором. Качественно результаты получаются теми же самыми.

Если груз легкий, то результат получается быстрее и он особенно нагляден:

gif-file, 20KB

Рис. 1.3.4. Очень легкий груз (m = 0.012 кг – бальза, шар, диаметром 5.5 см). Осциллограммы колебаний маятника без ветра (красная линия) и при его наличии (коричневая линия). Ветер со скоростью 10 м/сек очень быстро успокаивает колебания и далее поддерживает маятник отклоненным на 33.70 от нижнего положения

Рассмотренный выше в моделях ветер идеальный, он воздействует на груз с постоянной силой, пропорциональной скорости. В реальности ветер имеет и случайную компоненту скорости, дует порывами.

2. Простые системы удержания маятника в вертикальном положении

В принципе, управлять положением маятника и, в частности, приводить его в вертикальное положение уже можно, путем его обдува потоком воздуха. Но оставим в стороне столь экзотичный и неуклюжий способ управления, и обратимся к постановке задачи в традиционной форме.

Шарнир обратного маятника закреплен на подвижной тележке некоторой массы, способной перемещаться по горизонтальной оси в плоскости качания маятника. Требуется, воздействуя на тележку, переводить маятник из некоторого произвольного положения в вертикальное, грузом вверх.

gif-file, 20KB

Рис. 2.1. Перемещая опору маятника можно заставить его колебаться в перевернутом состоянии, поэтому он называется обратным. Стрелка внизу показывает скорость и направление движения тележки, на которой закреплен шарнир маятника

2.1. Математическое описание управляемого обратного маятника

2.1.1. Выбор математического аппарата

Зачастую, в качестве аппарата, описывающего управляемый обратный маятник, выбирают уравнения Лагранжа, опирающиеся на принцип наименьшего действия [6], например, так сделано в программе моделирования SimulationX [7]:

gif-file, 20KB

Рис. 2.1.1.1. Исходные уравнения обратного маятника в форме Лагранжа и их решение. SimulationX 3.2

Принцип наименьшего действия привлекает математиков и специалистов по математической физике общим подходом к решению множества сложных задач, не требуя описывать и не изучать непосредственно взаимодействие между элементами системы. Но с точки зрения физической, инженерной, здесь оставляется за рамками рассмотрения описание главного: причинно – следственных связей.

Решение уравнений рис. 2.1.1.1 дает в результате экономную траекторию приведения маятника в вертикальное положение и то, как при этом должна изменяться сила, воздействующая на тележку. С точки зрения теории управления такую систему управления можно рассматривать как программное управление, когда при заданных начальных условиях (положении маятника) его траектория заранее известна и от системы управления требуется ее воспроизвести, воздействуя на объект управления. Однако с инженерной точки зрения более интересна система управления, которая в текущем режиме оценивает мгновенное состояние объекта управления и вырабатывает управляющие воздействия, необходимые в данной ситуации.

Поэтому, учитывая необходимость в явном виде выразить причину движения маятника и ее следствие – само движение, целесообразно записать уравнение, связывающее воздействие на систему тележка – обратный маятник, т.е. силу, приложенную к тележке, и характер движения обратного маятника: его наклон, угловые скорость и ускорение, а также положение тележки и его производные.

С точки зрения физики причиной движения всех механических систем и объектов является сила, к ним прикладываемая. Описывать систему из двух связанных масс (груза маятника и тележки), способную вращаться вокруг шарнира на тележке, да еще и перемещаться вдоль оси в плоскости качания маятника с помощью законов Ньютона достаточно трудоемко. Это одна из причин применения принципа наименьшего действия и функции Лагранжа для описания такой системы. Но уравнения эти не очень-то прозрачны, в них трудно увидеть причинно-следственные связи в явном виде.

Однако, к счастью, в теории управления в качестве управляющей величины может быть выбрана не только сила. Может быть выбрана любая физическая величина, являющаяся причиной изменения выходной, управляемой величины.

Действительно, если представить, как управляет длинной рейкой мальчишка, поддерживая ее, стоящую на руке, в вертикальном положении, то можно понять, что он для поддержания баланса реагирует на наклоны и скорости поворота рейки, задавая не силу, а положение, ускорение и скорость руки.

Это и позволит нам существенно упростить математическое описание управления обратным маятником: выберем в качестве управляющей величины ускорение опоры шарнира, или, что то же самое, тележки, на которой закреплен шарнир маятника. А требуемую силу, для создания нужного ускорения пусть обеспечивает некоторая вспомогательная система управления. Это аналогично тому, например, как от идеального усилителя, т.е. пропорционального звена, требуется усилить в некоторое число раз входной сигнал. При этом считается, что вся, необходимая для этого мощность, поступает в требуемых размерах, но как это делается, в такой модели усилителя не описывается.

Привод тележки в движение осуществляет некоторый двигатель, например, электрический. Развиваемый двигателем вращающий момент с учетом коэффициента передачи трансмиссии преобразуется в силу, двигающую тележку. Вспомогательная система управления (САР) должна, имея в качестве задания требуемую величину ускорения тележки, обеспечивать слежение управляемой величины, углового ускорения вала двигателя, за задаваемым ускорением тележки. В процессе слежения двигатель, встречая сопротивления тележки и матяника, будет развивать необходимый вращающий момент, который посредством трансмиссии обеспечит такую силу, ускоряющую тележку, которая приведет к требуемому значению ее ускорения.

Предлагаемый подход позволяет исключить из рассмотрения массу тележки, что существенно упрощает математическое описание, позволяя ограничиться законами Ньютона.

2.1.2. Простейший управляемый маятник

Итак, главной управляемой величиной выбирается угол наклона обратного маятника. Кроме того, весьма желательно, чтобы система управления, подняв груз маятника вверх, еще и вернула маятник в начало координат. Поэтому, дополнительной управляемой величиной выберем положение опоры маятника на оси Х, вдоль которой может перемещаться тележка с маятником.

Управляющей величиной выберем ускорение x'' опоры шарнира обратного маятника. Рассмотрим простейший случай, когда трение и сопротивление воздуха отсутствуют:

gif-file, 20KB

Рис. 2.1.2.1. Обратный маятник, опора шарнира которого может приобретать ускорение вдоль оси Х. Переходя, в соответствии с принципом Д’Аламбера в ускоряющуюся систему координат, связанную с тележкой, получаем силу инерции, воздействующую вместе с силой тяжести на грузик маятника

Примечание. Спрашивается, в каких пределах должна изменяться сила, прикладываемая к тележке вдоль оси Х, чтобы ускорение тележки составило требуемую величину?

Ответ такой. Если θ = 0, то для перемещения опоры маятника не требуется никакой силы и сила, приложенная к тележке, должна составлять F = mтел x''. Если θ = 900, то F = (mтел + mгруза)·x''. В промежуточном положении маятника зависимость примет вид: F = (mтел + mгруза sin(θ))·x''. Это в статике и для простейшего маятника. В общем случае, в динамике сюда прибавляется еще и сопротивление воздуха. А, кроме того, нужно еще учесть и реакцию груза маятника, на который действует сила тяжести, на тележку (см. ниже).

Очевидно, что уравнение, описывающее движение грузика массы m, на жестком невесомом подвесе, основывается на втором законе Ньютона:


(2.1.2.1)

gif-file, 20KB

Отсюда, выражение для второй производной по времени управляемой величины, угла наклона маятника, примет вид:


(2.1.2.2)

gif-file, 20KB

Как видно, уравнение динамики превратилось в уравнение кинематики: в него не входит масса грузика маятника. А сила, действующая на тележку, в уравнении отсутствует, поскольку в качестве управляющей величины выбрано ускорение опоры шарнира маятника. Конечно, в реальности эта сила будет присутствовать, но генерировать ее будет отдельная, сравнительно простая САР, на основе требуемого ускорения, с учетом наклона маятника и его угловой скорости.

Для определения скорости и положения опоры маятника достаточно проинтегрировать с учетом начальных условий ускорение опоры, т.е. управляющую величину:


(2.1.2.3)

gif-file, 20KB


(2.1.2.4)

gif-file, 20KB

Модель объекта управления, описываемая этим уравнением, имеет вид:

gif-file, 20KB

Рис. 2.1.2.2. Модель простейшего обратного управляемого ускорением опоры шарнира маятника, помещенного в вакуум, состоит из двух, последовательно включенных, интеграторов, охваченных положительной и отрицательной обратными связями, отображающими влияние силы тяжести и ускорения опоры соответственно. Кроме того, в модель включена и цепь из двух интеграторов, позволяющая определить скорость и положение опоры маятника. Управляющая величина – ускорение опоры шарнира, управляемые – угол наклона маятника и положение его опоры. Начальные условия задаются начальными значениями выходных сигналов интеграторов: начальными угловой скоростью и наклоном маятника, а также начальными положением опоры маятника и скоростью ее движения по оси абсцисс

2.1.3. Управляемый маятник в воздушной среде

Учет сопротивления воздуха и влияние ветра, дующего вдоль оси абсцисс, а также учет скорости перемещения опоры маятника вдоль оси абсцисс можно провести аналогично тому, как это было сделано в п. 1.1.3. Необходимо только вычесть из скорости ветра скорость движения опоры маятника, поскольку эти скорости направлены вдоль оси Х:


(2.1.3.1)

gif-file, 20KB

Отсюда, объектная модель управляемого ускорением опоры маятника в воздухе примет вид:

gif-file, 20KB

Рис. 2.1.3.1. Ускорение опоры маятника в 0.1 м/сек2 при попутном ветре приводит к затуханию колебаний маятника с пробковым грузом, длиной 1 м примерно за 15 сек. Ветер 10 м/сек и ускорение опоры 0.1 м/сек2 направлены вправо. К 20-й секунде маятник отклоняется вправо от вертикали на 12.3o вследствие того, что на этот момент скорость ветра превышает скорость движения опоры маятника (2 м/сек). По мере увеличения скорости движения опоры отклонение будет увеличиваться (файл M4_Inv_Pend_Opor_Move.vsm Приложения) и к 1000-й секунде приблизится к 270o. На тот момент скорость тележки достигнет 100 м/сек

gif-file, 20KB

Рис. 2.1.3.2. Увеличение ускорения опоры до 1 м/сек2 и времени моделирования до 50 сек приводит к тому, что опора маятника к концу 50-й секунды разгоняется до 50 м/сек и маятник с легким грузом располагается сзади его опоры почти горизонтально (красная линия на левой осциллограмме). Ветер со скоростью 10 м/сек дует вправо, в направлении движения опоры маятника, поэтому груз маятника на 50-й секунде испытывает встречный напор воздуха со скоростью 40 м/сек (файл в Приложении M4_Inv_Pend_Opor_Move.vsm)

2.2. Управление при малых начальных углах наклона маятника

2.2.1. Управление обратным маятником с помощью ПИД - регулятора по каналу угла наклона

Первое, что сразу приходит в голову инженеру-автоматчику при построении системы слежения и стабилизации, это использовать ПИД – регулятор, хорошо себя зарекомендовавший в управлении многими объектами:

gif-file, 20KB

Рис. 2.2.1.1. В одноканальной схеме, когда в качестве управляемой величины выбран только угол отклонения маятника от вертикали, ПИД – регулятор энергично выводит маятник наверх при начальных углах отклонения, меньших плюс – минус 60 градусов, но не возвращает его основание в начало координат: маятник уезжает с постоянной скоростью все дальше вправо (файл в Приложении M5_Inv_Pend_Wind_PID_Control.vsm)

Для возвращения маятника в начало координат можно организовать еще одну обратную связь, по отклонению Х, суммируя его с весом с углом отклонения. Но более эффективным является добавление в эту сумму еще и производных по времени от угла отклонения и смещения опоры. Подобрав оптимальные коэффициенты, получим:

gif-file, 20KB

Рис.2.2.1.2. Управление по взвешенной сумме отклонений и скоростей позволяет приводить маятник в вертикальное положение, грузом вверх, и возвращать маятник в начало координат за 10 секунд. Отклонение опоры маятника не превышает 8 метров при начальных углах отклонения, меньших 60o (файл в Приложении M5_Inv_Pend_Wind_PID_Control_Begin_X.vsm)

Как видно, система управления на основе ПИД - регуляторов способна выводить маятник наверх, по крайней мере, при начальных отклонениях, меньших 60o.

2.2.2. Управление обратным маятником с помощью ПД - регуляторов

Для управления можно воспользоваться тем обстоятельством, что в модели обратного маятника, наряду с главной управляемой величиной, углом наклона, определяется еще и его угловая скорость, а также положение и скорость перемещения опоры. Поскольку, по условию задачи требуется привести маятник в вертикальное положение и вернуть его в начало координат, то формально требуется с помощью только одной управляемой величины, а именно ускорения опоры, управлять сразу двумя величинами: углом наклона и положением опоры. В общем случае это не возможно, но в данной задаче требуется свести к нулю и ту, и другую управляемую величину. В этом случае можно потребовать устремления к нулю суммы их взвешенных значений, а поскольку их производные все равно вычисляются в модели, то еще эффективнее устремить к нулю взвешенную сумму всех четырех величин.

Формально такой регулятор можно рассматривать как параллельную работу двух ПД - регуляторов, один из которых работает по углу отклонения и угловой скорости, а второй – по смещению опоры и скорости ее смещения.

Рассмотрим для начала управление простейшим маятником. Подобрав удачные значения коэффициентов усиления по разным каналам регулятора, получим, что система управления плавно выводит маятник наверх и примерно за 10 секунд, возвращает его в начало координат:

gif-file, 20KB

Рис. 2.2.2.1. Простая линейная система управления приведением маятника в вертикальное положение при начальных углах его отклонения, меньших 45o. Опора маятника смещается до пяти метров (файл M6_Inv_Pend_Simple_Control_L_1m.vsm в Приложении)

При настроечных параметрах регулятора 45, 10, 1 и 4 соответственно маятник приводится в вертикальное положение за 2 секунды, т.е. значительно быстрее, отклоняется на 3 метра и опора маятника возвращается в начало координат примерно за те же 10 сек:

gif-file, 20KB

Рис. 2.2.2.2. Сокращение времени выведения маятника наверх не приводит к уменьшению времени возвращения опоры шарнира в начало координат

Примечание. Системы управления обратным маятником довольно чувствительны к изменению коэффициентов усиления регуляторов, приводящему к потере устойчивости. Изменение одного из оптимального набора коэффициентов на 10% может привести к потере устойчивости системы выведения маятника наверх.

Как видно, система управления на основе ПД - регуляторов способна выводить маятник наверх при начальных отклонениях, меньших 45o. Правда, она действует значительно более коряво, чем мальчишка, балансирующий палкой. Дело в том, что в рассматриваемой модели управление осуществляется изменением ускорения опоры только по одной координате, в то время как мальчишка использует все три или, по крайней мере, две. Это и позволяет ему выводить маятник наверх и быстрее, и с куда меньшими отклонениями опоры (т.е. руки) в сторону. Более подробно вопросы антропоморфного управления маятником рассматриваются ниже.

Обратимся к управлению полной моделью маятника, учитывающей сопротивление воздуха.

gif-file, 20KB

Рис. 2.2.2.3. Система приведения полной модели маятника, учитывающей сопротивление воздуха, к нулевым значениям угла отклонения и смещения опоры шарнира (файл M7_Inv_Pend_Wind_PD_Control.vsm в Приложении)

Для начальных значений угла отклонения, меньших 68o система управления надежно выставляет маятник в вертикальное положение и приводит его основание в начало координат за 10 сек. Отклонение опоры в процессе регулирования не превышает 10 м, ускорение опоры не превышает 60 м/сек2, т.е. 6g.

При значениях начального наклона маятника, больших 68o система управления теряет устойчивость.

Итак, если начальное отклонение маятника от вертикального, грузом вверх, положения менее 1 радиана, то с управлением маятником справляются сравнительно простые линейные системы автоматического регулирования. Если начальный угол превышает 1 радиан, то линейная САР становится неустойчивой.



28.07.2009