Федосов Борис Трофимович
Рудненский индустриальный институт,
Рудный, Казахстан
Об авторе

УДК 681.51.01
Ф338

О стабилизации линейных неустойчивых объектов охватом их обратной связью

Содержание

Более или менее сложные линейные динамические объекты состоят из устойчивых элементов, взаимодействующих друг с другом. Другими словами эти элементы связаны один с другим, в том числе, они могут быть охваченны обратными связями, включены встречно параллельно. Обратные связи потенциально могут делать объект неустойчивым.

Использовать в управлении неустойчивые объекты, обеспечивая их стабилизацию обратными связями, нежелательно, но в некоторых случаях некуда деваться. Например управление самолетом по схеме типа утка, векторное управление асинхронным электродвигателем и т.п.

Следует отметить, что при проектировании объекта управления проектировщик зачастую может, в принципе, построить его так, чтобы он не был неустойчивым. Для этого нужно проанализировать обратные связи, приводящие в объекте к потере его устойчивости и провести коррекцию.

Однако, автоматчику может быть предъявлен для построения системы автоматического управления уже неустойчивый объект, и управлять придется им.

1. Классификация типовых неустойчивых звеньев

Неустойчивые линейные звенья целесообразно разделить на типовые в соответствии с числом корней их характеристических полиномов, имеющих положительные действительные части. Типовых звеньев всего два:

Неустойчивое звено первого порядка имеет один положительный корень характеристического полинома. Передаточная функция и корень такого звена имеют вид:


(1.1)

gif-file, 20KB

где:
            k – коэффициент усиления;
            Т – постоянная времени.

Неустойчивость звена имеет апериодический характер.

Звенья второго порядка могут иметь либо два комплексно-сопряженных корня, с положительными действительными частями, либо два действительных положительных корня:


(1.2)

gif-file, 20KB

В первом случае неустойчивость типового звена второго порядка имеет колебательный характер, гармонически-экспоненциальный, во втором – монотонный, экспоненциальный.

Перечисленные звенья являются неустойчивыми в соответствии с определением Ляпунова [2].

Звено второго порядка с одним отрицательным и одним положительным корнями представляет собой композицию, последовательное соединение устойчивого апериодического звена и неустойчивого типового звена первого порядка и поэтому не входит в классификацию как особое неустойчивое звено второго порядка.

Более сложные неустойчивые звенья представляют собой композицию устойчивых и простейших, типовых неустойчивых звеньев.

Характер асимптотической неустойчивости сложных звеньев, их поведение при стремлении времени к бесконечности, определяется входящими в их состав типовыми неустойчивыми звеньями.

Неустойчивость нелинейных объектов проявляется более широким спектром свойств, чем линейных объектов. Отметим, например, так называемый странный аттрактор Лоренца (1963 г.), когда автоколебания системы развиваются с поочередным стремлением в двум разным аттракторам (точкам) на фазовой плоскости. Упомянем и о осцилляторе Ван-Дер-Поля (1922 г.), вероятно одном из первых описаний электронных автогенераторов. Ознакомиться с моделями названных объектов можно в библиотеке примеров программного комплекса «МВТУ».


<< К содержанию

<< К началу статьи


2. Критерий Найквиста для неустойчивых в разомкнутом состоянии систем

Охват неустойчивого объекта отрицательной обратной связью может привести к устойчивой системе, а может и не привести.

Доказательство критерия Найквиста в случае, если разомкнутый контур неустойчивый, сравнительно простое [1,2], поэтому ограничимся лишь приведением формулировки критерия:

для устойчивости замкнутой САР необходимо и достаточно, чтобы разность между числами положительных и отрицательных переходов частотным годографом комплексного коэффициента передачи разомкнутого контура САР, начинающемся на действительной оси, через интервал (-∞ , -1) отрицательной действительной полуоси, была бы равна m/2, где m – число корней характеристического полинома разомкнутого контура, лежащих в правой полуплоскости. Положительный переход это переход сверху вниз, отрицательный – снизу вверх.

Альтернативная и эквивалентная формулировка :

замкнутая САР устойчива тогда и только тогда, если годограф комплексного коэффициента передачи ее разомкнутого контура при изменении частоты от минус бесконечности до плюс бесконечности охватывает точку с координатами (-1, 0j) m/2 раз в положительном направлении, где m – число корней характеристического полинома разомкнутого контура, расположенных в правой полуплоскости комплексной плоскости, т.е. имеющих положительные действительные части.

Число охватов в затруднительных случаях определяется, например, как разность положительных и отрицательных переходов интервала (-∞ , -1).


<< К содержанию

<< К началу статьи


3. Стабилизация простых неустойчивых объектов

Характеристический полином линейной модели неустойчивого объекта имеет как минимум, один корень, действительная часть которого отрицательна.

В неустойчивый объект извне поступает достаточная мощность для ускоряющегося колебательного или монотонного увеличения выходной величины.

Один из способов стабилизации неустойчивых объектов, приведение их к устойчивому, а, следовательно, и управляемому состоянию, состоит в охвате их обратной связью.


<< К содержанию

<< К началу статьи


3.1. Неустойчивые объекты первого порядка и их стабилизация

Типовой неустойчивый объект первого порядка – простейшая модель неустойчивого объекта:

gif-file, 20KB

Рис. 3.1.1. Объект первого порядка, имеющий один положительный корень характеристического полинома, монотонно неустойчив

Охватив это объект отрицательной обратной связью можно получить при правильной настройке усилителя контура (регулятора) устойчивую систему:

gif-file, 20KB

Рис.3.1.2. Охват отрицательной обратной связью типового неустойчивого объекта первого порядка придает ему свойства, близкие свойствам апериодического звена первого порядка или статической САР первого порядка. Отличие о апериодического звена в том, что установившаяся ошибка такой САР отрицательная, а, следовательно, отрицательной является и ее коэффициент ошибки по положению

Таким образом, у устойчивой САР первого порядка, полученная охватом отрицательной обратной связью апериодического звена, положительный коэффициент ошибки по положению. А у устойчивой САР, полученной охватом отрицательной обратной связью неустойчивого звена первого порядка, коэффициент ошибки по положению отрицательный.

3.1.1. Стабилизация. П-регулятор

Рассмотрим подробнее описание типового неустойчивого звена первого порядка, охваченного отрицательной обратной связью и его стабилизацию охватом отрицательной обратной связью. Для того, чтобы замкнутый контур был устойчивым, в соответствии с обобщенным критерием устойчивости Найквиста годограф комплексного коэффициента передачи разомкнутого контура должен пересекать сверху вниз полуось (-∞, -1) m/2 раз, где m – число правых нулей характеристического полинома разомкнутого контура, т.е. корней, расположенных на комплексной плоскости правее мнимой оси. Для приведенного выше примера, рис. 3.1.2, годограф имеет вид:

gif-file, 20KB

Рис.3.1.1.1. Фрагмент рабочего поля Маткада. Характеристический полином разомкнутого контура имеет один положительный корень (m=1). Годограф ККП разомкнутого контура при коэффициенте усиления контура, равном 10, пересекает сверху вниз полуось (-∞, -1) «половину» раза, поскольку он на ней начинается, поэтому замкнутый контур в соответствии с критерием Найквиста будет устойчивым, как оно и есть на самом деле, см. рис. 3.1.2 выше

Изменяя коэффициент усиления контура можно получить как устойчивую, так и неустойчивую систему:

gif-file, 20KB

Рис. 3.1.1.2. Годографы ККП разомкнутого контура при разных значениях коэффициента усиления. При kп > 1, замкнутый контур устойчив, при kп < 1, замкнутый контур неустойчив, поскольку годограф не пересекает действительную ось сверху вниз левее -1

В общем виде неустойчивое звено первого порядка, охваченного отрицательной обратной связью описывается передаточной функцией:




(3.1.1.1)

gif-file, 20KB

Как видно, постоянная времени неустойчивого звена первого порядка не влияет на степень устойчивости контура, она определяет лишь его инерционность (быстродействие):

gif-file, 20KB

Рис.3.1.1.3. Переходные функции контура, образованного охватом неустойчивого звена первого порядка отрицательной обратной связью. Постоянная времени звена определяет инерционность замкнутого контура и не влияет на установившуюся ошибку, величина которой определяется коэффициентом усиления контура (П-регулятора). Увеличение постоянной времени неустойчивого звена затягивает переходный процесс замкнутой системы

Коэффициент усиления контура влияет и на быстродействие, и на установившуюся ошибку регулирования:

gif-file, 20KB

Рис. 3.1.1.4. Быстродействие замкнутого контура тем выше, и ошибка регулирования тем меньше, чем больше коэффициент усиления контура. Коэффициент ошибки по положению - отрицателен

Быстродействие замкнутого контура можно проиллюстрировать зависимостями:

gif-file, 20KB

Рис.3.1.1.5. Зависимость времени регулирования контура с неустойчивым звеном первого порядка от коэффициента усиления контура и постоянной времени звена

Показатели качества устойчивого контура с неустойчивым звеном первого порядка определяются выражениями:


(3.1.1.2)

gif-file, 20KB что справедливо для k > 2.

Таким образом, охват неустойчивого звена первого порядка отрицательной обратной связью делает контур устойчивым, если коэффициент усиления контура больше 2. При стремлении коэффициента усиления контура к бесконечности его свойства стремятся к свойствам безинерционного звена.

3.1.2. Стабилизация. ПИ-регулятор

Наличие форсирующего множителя в ПИ-регуляторе позволяет обеспечить устойчивость замкнутого контура при соответствующих настройках регулятора:

gif-file, 20KB

Рис. 3.1.2.1. Фрагменты рабочих полей Маткада и Vissim’а. Годографы Найквиста и переходные функции разомкнутого и замкнутого контура при разных коэффициентах усиления контура. Годограф ККП дополняется в бесконечности так, что он начинается на отрицательной действительной полуоси (половина пересечения вверх, т.е. -1/2), затем годограф пересекает действительную ось сверху вниз, если левее -1, то это плюс одно пересечение. Поскольку корень один, m=1, то половина числа корней равна числу пересечений действительной оси левее -1, замкнутый контур устойчив при kп > 1

Замкнутый контур в устойчивом состоянии имеет апериодический характер переходной функции, которая стремится к единице с течением времени. Следовательно, коэффициент ошибки по положению c0 такого контура САР равен нулю. Имеется перерегулирование

Степень устойчивости контура косвенно можно оценивать по расстоянию от ближайшей точки годографа к точке (-1, 0j) .


<< К содержанию

<< К началу статьи


3.2. Неустойчивые объекты второго порядка и их стабилизация

3.2.1. П- и ПИ-регуляторы

П-регулятор не позволяет стабилизировать типовой неустойчивый объект второго порядка путем охвата его отрицательной обратной связью:

gif-file, 20KB

Рис.3.2.1.1. Годограф Найквиста не может пересечь действительную ось, в том числе и на интервале (-∞, -1) ни при каких значениях коэффициента усиления П-регулятора (контура). Замкнутый контур с П-регулятором структурно неустойчивый

gif-file, 20KB

Рис.3.2.1.2. Модели замкнутых контуров при разных значениях коэффициента усиления контура (П-регулятора) не устойчивы

ПИ-регулятор также не позволяет стабилизировать типовой неустойчивый объект второго порядка путем охвата его отрицательной обратной связью. Рассмотрим случай с двумя, комплексно-сопряженными, корнями характеристического уравнения звена:

gif-file, 20KB

Рис.3.2.1.3. Годограф комплексного коэффициента передачи последовательного соединения типового неустойчивого звена второго порядка и ПИ-регулятора не пересекает действительную ось на интервале (-∞, -1) ни при каких значениях коэффициента усиления контура (ПИ-регулятора) и ни при каких значениях постоянной времени ПИ-регулятора. Замкнутый контур структурно не устойчив

Хотя ПИ-регулятор и имеет форсирующее звено в передаточной функции, тем не менее, интегратор, входящий в состав ПИ-регулятора компенсирует положительный вклад форсирующего множителя в аргумент ККП. Это и не позволяет стабилизировать с помощью ПИ-регулятора неусточивый объект второго порядка.

Ни П-, ни ПИ-регуляторы не доворачивают годограф по часовой стрелке на 90°, поэтому им не удается стабилизировать неустойчивый объект второго порядка, годограф которого не пересекает действительную ось левее нуля.

3.2.2. Стабилизация типового неустойчивого объекта второго порядка

3.2.2,а. ПИД-регулятор

ПИД-регулятор позволяет стабилизировать неустойчивое звено второго порядка:

gif-file, 20KB

Рис. 3.2.2.1. Контур с ПИД-регулятором в состоянии стабилизировать неустойчивое звено второго порядка с парой комплексно-сопряженных корней характеристического полинома. Увеличение коэффициента усиления ПИД-регулятора устремляет замкнутый контур к безинерционному звену

ПИД-регулятор доворачивает на верхних частотах годограф ККП на 90°, что и позволяет подобрать значение коэффициента усиления, при котором пересечение происходит левее -1, обеспечивая устойчивость замкнутого контура.

Как видно, переходная функция замкнутого контура асимптотически стремится к единице, следовательно, коэффициент ошибки по положению САР равен нулю.

Характер годографа Найквиста при паре положительных действительных корней такой же:

gif-file, 20KB

Рис. 3.2.2.2. Контур с ПИД-регулятором в состоянии стабилизировать неустойчивое звено второго порядка с двумя действительными отрицательными корнями характеристического полинома

Переходная функция асимптотически стремится к уровню, отличающемуся от единицы, следовательно, коэффициент ошибки по положению замкнутой САР не равен нулю. Он уменьшается с увеличением коэффициента усиления контура.

3.2.2, б. Инерционно-форсирующее корректирующее звено и ПД- регулятор

Инерционно-форсирующее звено также позволяет стабилизировать типовой неустойчивый объект второго порядка охватом его единичной отрицательной обратной связью:

gif-file, 20KB

Рис.3.2.2.3. Замкнутый контур устойчив при kп > 1. Устойчивость обеспечивает числитель инерционно-форсирующего звена, т.е. форсирующий множитель. Знаменатель форсирующего звена при малых значениях постоянной времени практически не влияет на степень устойчивости. Поэтому форсирующее звено может быть с успехом заменено ПД-регулятором. Переходная функция замкнутого контура асимптотически стремится к уровню, отличающемуся от единицы. Следовательно, коэффициент ошибки по положению замкнутой САР не равен нулю. Он уменьшается с увеличением коэффициента усиления контура

gif-file, 20KB

Рис. 3.2.2.4. Замена инерционно-форсирующего звена с относительно малой постоянной времени знаменателя на ПД-регулятор (форсирующее звено) не сказывается на свойствах замкнутого контура

Это видно и на годографах Найквиста, годографах комплексных коэффициентов передачи разомкнутых контуров:

gif-file, 20KB

Рис.3.2.2.5. Годографы Найквиста типового неустойчивого объекта при стабилизации с помощью ПД-регулятора и инерционно-форсирующего звена (ИФЗ). При относительно малой инерционности ИФЗ годографы практически совпадают

По существу, ПД-регулятор и инерционное звено, применяемое для стабилизации отличаются лишь возможностями реализации.

ПД-регулятор может быть реализован в цифровой (виртуальной) форме со сколь угодно высокой степенью точности, определяемой шагом интегрирования, шагом дискретизации при моделировании.

С другой стороны, в физической форме, в виде некоторого устройства или схемы, ПД-регулятор не может быть реализован. Но он с высокой точностью может быть аппроксимирован физическим инерционно-форсирующим звеном, если постоянную времени знаменателя устремить к нулю, сделать пренебрежимо малой по сравнению с постоянной времени числителя форсирующего звена.


<< К содержанию

<< К началу статьи


3.3. Неустойчивые объекты третьего порядка и их стабилизация

3.3.1. ПД – ПИД – регулятор

Проиллюстрируем возможность стабилизации типового неустойчивого объекта третьего порядка с парой комплексно-сопряженных корней с положительными действительными частями и действительным положительным корнем.

Для стабилизации придется применить последовательное соединение ПД- и ПИД – регуляторов:

gif-file, 20KB

Рис. 3.3.1.1. Фрагмент рабочего поля Маткада с дополнительной прорисовкой. Годограф Найквиста при kп = 100 начинается на действительной оси слева (дополнение в бесконечности), и идет вверх, по часовой стрелке. Это -1/2 пересечения интервала (-∞, -1). Затем годограф пересекает сверху вниз интервал (-∞, -1) дважды. В итоге, общее число пересечений равно 2 – 1/2 = 1.5, что, в свою очередь равно половине числа корней контура, имеющих положительную действительную часть. Замкнутый контур устойчив

Такие же результаты дает изучение переходной функции контура:

gif-file, 20KB

Рис.3.3.1.2. Использование в качестве корректирующего устройства последовательного соединения ПД- и ПИД-регуляторов с соответствующими настройками позволяет стабилизировать замкнутый контур

Варьирование параметров регуляторов позволяет изменять свойства контура:

gif-file, 20KB

Рис.3.3.1.3. Уменьшение коэффициента контура уменьшает запас устойчивости контура, увеличение постоянной времени ПД-регулятора повышает быстродействие и устойчивость контура

3.3.2. Инерционно-форсирующий ПД-регулятор или ПД- ПД-регулятор

Инерционно-форсирующее звено может заменить ПИД – регулятор в ПИД – ПД-регуляторе при стабилизации неустойчивого звена третьего порядка:

gif-file, 20KB

Рис.3.3.2.1. Годограф устойчивой в замкнутом состоянии системы пересекает интервал (-∞, -1) «полтора» раза

gif-file, 20KB

Рис.3.3.2.2. Переходные функции стабилизированных неустойчивых звеньев, охваченных отрицательными единичными обратными связями Собственно устойчивость обеспечивают форсирующие звенья, поэтому инерционно-форсирующее звено можно заменить ПД-регулятором, передаточная функция которого и есть форсирующее звено.

gif-file, 20KB

Рис. 3.3.2.3. Инерционно-форсирующий ПД-регулятор и ПД-ПД-регулятор одинаково эффективны


<< К содержанию

<< К началу статьи


4. Определение запасов устойчивости

Из рассмотренных выше примеров видно, что эффективным средством стабилизации неустойчивого объекта является охват его отрицательной обратной связью и использование регуляторов с передаточными функциями, содержащими форсирующие множители. Передаточные функции ПИ-, ПИД- и ПД-регуляторов, а также инерционно-форсирующие звенья содержат форсирующие множители, обеспечивающие стабилизацию.

Рассмотрим частотные характеристики типовых неустойчивых и корректирующих звеньев.

gif-file, 20KB

Рис. 4.1. Неустойчивое звено первого порядка. Запасы устойчивости показывают во сколько раз и на сколько градусов нужно изменить коэффициент усиления контура и его аргумент, чтобы вывести контур на границу устойчивости, когда годограф будет проходить через точку (-1, 0j) на комплексной плоскости

gif-file, 20KB

Рис. 4.2. Стабилизация неустойчивого звена второго порядка. ПД-регулятор или, что то же самое, форсирующее звено

gif-file, 20KB

Рис.4.3. Стабилизация неустойчивого звена третьего порядка. ПД-ПД-регулятор. Запасы устойчивости заданы невысокие, колебательность переходной функции повышенная

Форсирующие звенья, представляемые ПД-регуляторами, увеличивают аргумент ККП разомкнутого контура, поворачивая годограф ККП против часовой стрелки. Это позволяет годографу охватить точку с координатами (-1, 0j). Подбирая должным образом количество форсирующих звеньев и их параметры, можно стабилизировать неустойчивый объект, охватывая его отрицательной обратной связью.


<< К содержанию

<< К началу статьи


5. О философской стороне неустойчивости, лежащей в основе инерции

Математические модели реальных физических явлений и объектов описывают их с той или иной степенью точности и состоятельны, соответствуют реальности, в некоторой области параметров модели.

Динамические объекты это физические или технические объекты, способные воспринимать изменяющиеся внешние воздействия и реагировать на эти воздействия изменением некоторых величин, характеризующих объект.

Динамические объекты проявляют в процессе реакции на внешние воздействия свои инерционно-колебательные свойства и неустойчивость (устойчивость).

Математические модели динамических объектов, описывающие начало развития в объекте неустойчивого процесса, вполне можно ограничить классом линейных систем, поскольку на начальном этапе изменение переменных, характеризующих объект, относительно мало.

Как отмечалось выше, причиной потенциальной неустойчивости объекта или системы является наличие в них внутренних обратных связей и достаточная мощность источников энергии.

Рассмотрим описание объекта и объекта, охваченного отрицательной обратной связью.

gif-file, 20KB

Рис.5.1. По передаточной функции разомкнутого контура легко получить передаточную функцию замкнутого контура с отрицательной обратной связью. Но и наоборот, по передаточной функции замкнутого контура можно получить передаточную функцию разомкнутого контура, формально «разомкнуть» контур, даже если структура некоторого объекта или системы не известна. Отметим, что если исходная линейная модель охватывается отрицательной обратной связью, то для того, чтобы ее «разомкнуть», нужно охватить замкнутую модель положительной обратной связью

Физический смысл обратимости процедуры охвата звеньев обратными связями довольно прост:

gif-file, 20KB

Рис.5.2. Параллельные положительная и отрицательная обратные связи взаимно компенсируют друг друга

Отметим особо, что даже если реальная функциональная или структурная схемы некоторого объекта не известны, а задана только его передаточная функция, то можно формально «разомкнуть» такой объект, представить его в виде контура с ООС, не зависимо от того, есть ли на самом деле контуры в реальном объекте. Полученная «разомкнутая» модель, соответствуя свойствам моделируемого объекта, не обязательно будет повторять структуру реального объекта, скорее наоборот, поскольку для конкретный объект может быть промоделирован разными, но эквивалентными структурными схемами. Набор фундаментальных элементарных звеньев, из которых может быть построена линейная модель любого динамического объекта или системы состоит всего из четырех устойчивых звеньев:

Контур, построенный из таких элементов, может быть потенциально неустойчивым.

Обратимся к одному из двух фундаментальны звеньев, определяющих посредством инерционности и запаздывания инерционно-колебательные свойства объекта и его неустойчивость (устойчивость), к интегратору.

Если «разомкнуть» интегратор, аналитически или структурно, охватив его положительной обратной связью, то получится неустойчивое звено первого порядка:

gif-file, 20KB

Рис. 5.3. «Размыкание» интегратора дает неустойчивое звено первого порядка. И наоборот, охват неустойчивого звена первого порядка отрицательной обратной связью дает интегратор

Вот тут и возникает вопрос: неужели в основе интегратора, фундаментального звена любой линейной модели физического или технического объекта лежит неустойчивость, «сдерживаемая» отрицательной обратной связью? Насколько такая математическая модель состоятельна, соответствует реальности, и почему? И если нет, то почему?

Ответ на этот интереснейший вопрос предоставим читателю. И вовсе не потому, что автор уже знает ответ полностью и всего лишь предлагает читателю поупражняться в рассуждениях и обосновании ответа.

Отметим, что и неустойчивое звено первого порядка можно также разомкнуть:


(5.1)

gif-file, 20KB

Как видно, рассматриваемая модель интегратора представляет собой матрешку из неограниченного числа контуров. И чем глубже внутрь, тем больше положительный корень характеристического полинома разомкнутого контура, тем выше быстродействие.

Отметим также, что, как показано выше, изменение коэффициента контура, включающего усилитель (П-регулятор) и типовое неустойчивое звено первого порядка, от нуля до бесконечности изменяет свойства замкнутого контура с неустойчивого состояния, через интегратор к устойчивому, близкому по свойствам апериодическому звену.

Как же на самом деле устроен наш мир? Балансирует ли он, опираясь на внутреннюю структурную неустойчивость составляющих его объектов, компенсируемую достаточно сильными отрицательными обратными связями? Или это всего лишь математическая игра ума, выводящая модель физического объекта из области ее состоятельности? Но ведь линейная модель объекта описывается дифференциальными уравнениями, вытекающими из физических законов.


<< К содержанию

<< К началу статьи


Заключение

Внутренняя структура неустойчивого объекта управления может быть известна, что в принципе позволяет попробовать так ее изменить, чтобы сделать объект управления устойчивым, с сохранением всех его требуемых технологией функций. Однако, объект управления может быть представлен проектировщику системы управления им в виде «черного ящика», задан передаточной функцией, с запретом изменять конструкцию и свойства объекта. Именно в таком случае и приходится применять стабилизацию объекта путем охвата его обратной связью.

Недостаток такого технического решения состоит в том, что при нештатной ситуации, при разрыве обратной связи, объект потеряет устойчивость, что может привести к значительным экономическим и даже более серьезным потерям. Поэтому при стабилизации объекта охватом его обратной связью следует особо позаботиться о надежности функционирования этой связи.

Выше рассмотрена стабилизация типовых неустойчивых звеньев охватом их единичной отрицательной обратной связью. На практике контур может состоять не только из неустойчивых звеньев. Однако принцип стабилизации останется тем же.

Главным элементом, обеспечивающим устойчивость замкнутого контура, неустойчивого в разомкнутом состоянии, является форсирующее звено. Оно может быть реализовано в виде виртуального ПД-регулятора или в виде физического звена.

По существу, ПД-регулятор и инерционно-форсирующее звено, применяемое для стабилизации, отличаются лишь возможностями реализации.

ПД-регулятор может быть реализован в цифровой (виртуальной) форме со сколь угодно высокой степенью точности, определяемой шагом интегрирования, шагом дискретизации при моделировании.

С другой стороны, в физической форме, в виде некоторого устройства или схемы, ПД-регулятор не может быть реализован. Но он с высокой точностью может быть аппроксимирован инерционно-форсирующим звеном, если постоянную времени знаменателя устремить к нулю, сделать пренебрежимо малой по сравнению с постоянной времени числителя форсирующего звена.

Наличие дифференцирующего элемента в структуре ПД-регулятора, применяемого для стабилизации неустойчивых объектов, может увеличивать влияние высокочастотных аддитивных шумов на точность управления объектом. Учитывая это может оказаться более предпочтительным использовать не чистые ПД-регуляторы, а их аппроксимацию инерционно – форсирующими звеньями, соответствующим образом подбирая постоянные времени знаменателей их передаточных функций, для минимизации влияния шумов и при обеспечении требуемого качества регулирования.

Определение запасов устойчивости замкнутой САР, неустойчивой в разомкнутом состоянии, имеет свои особенности. Исключение запасов устойчивости вынуждает годограф ККП проходить через точку с координатами (-1, 0j).

Управление неустойчивым объектом включает и обеспечение его устойчивости [4].

Литература

4.10.2010

<< К содержанию

Отзыв

Ниже приводятся выдержки из письма к.т.н. Леонида Марковича Скворцова (МВТУ им. Баумана, Москва), с его любезного согласия, по вопросу неустойчивости и стабильности объектов и систем управления.

* * *

Вполне с Вами согласен, что понятия устойчивости и неустойчивости имеют не только научное, но и философское значение, а принцип (отрицательной) обратной связи является фундаментальным законом природы.

Ведь согласно современным представлениям, Вселенная возникла в результате взрыва, т.е. изначально была неустойчивой. И только по истечении некоторого времени возникли галактики, звезды, появилась жизнь. Т.е. образовались стабильные структуры, которые в принципе невозможны без обратных связей (иначе бы они сразу распались).

Я думаю, что чередование устойчивых и неустойчивых состояний лежит в основе любого развития. Ведь устойчивая система переходит в стабильное состояние, в котором может находиться бесконечно долго. Для изменения состояния нужно временно вывести систему из состояния устойчивости.

В природе это происходит в виде взрывов и катастроф, в результате которых появляются новые галактики, звезды, планеты.

В обществе это происходит в виде войн, революций, кризисов. Но я не думаю, что войны и революции есть неизбежное зло, необходимое для развития общества. Ведь существуют демократические процедуры смены власти и изменения вектора развития, а это и есть кратковременная потеря устойчивости. К сожалению, этого не понимают наши политики, которые говорят о необходимости преемственности власти ради сохранения стабильности. А стабильность - это застой, и если всеми силами удерживать эту стабильность, то рано или поздно произойдет взрыв. Таков закон природы.

Я немного занимался адаптивными системами, и моделировал их в ПК "МВТУ". И обратил внимание, что при изменении параметров объекта система временно теряет устойчивость (я смотрел корни характеристического многочлена). При этом система (объект + регулятор) может оставаться устойчивой, а неустойчивость проявляется в контуре адаптации. В стабильном состоянии контур адаптации устойчив, но находится вблизи границы устойчивости. При изменении параметров объекта устойчивость теряется, что обеспечивает оперативную перенастройку параметров регулятора.

Таким образом, адаптивная система все время балансирует на границе устойчивости, что обеспечивает возникновение поисковых сигналов, необходимых для перенастройки параметров регулятора при изменении параметров объекта. А периодически возникающая неустойчивость позволяет обеспечить устойчивое функционирование адаптивной системы. Думаю, что такой режим работы характерен для адаптивных и самонастраивающихся систем.

С уважением и наилучшими пожеланиями,

                  Скворцов Леонид Маркович

18.10.2010

* * *

<< К началу статьи