Федосов Борис Трофимович
Рудненский индустриальный институт,
Рудный, Казахстан
Об авторе

УДК 681.51.01
Ф338

О построении систем ортогональных функций

       Приведены две конструктивные теоремы о существовании связанных систем ортогональных с весом функций доказанных автором в 1973-1974 гг. Указан способ получения новой системы ортогональных с заданным положительным весом функций из известной, заданной системы ортогональных функций.

       Системы ортогональных функций, построенные на основе предлагаемого алгоритма, могут быть полезны при анализе одномерных и многомерных сигналов в весьма широком спектре научных и научно-прикладных дисциплин от медицины и биологии до нефтеразведки и т.п.

Содержание

Введение

Разложение функций, например функций времени, в ортогональные ряды, в частности ряд Фурье, представляет собой эффективное средство описания и изучения различных технических систем и процессов, а также физических явлений.

Построение ортогональных базисов в линейном пространстве в принципе это давно решенная в рамках высшей алгебры задача, см. например алгоритм Грама ― Шмидта. Известно также, что от одного ортогонального базиса линейным преобразованием можно перейти к другому базису.

Отличительной особенностью предлагаемого ниже алгоритма является то, что имеющаяся система ортогональных функций может быть одним махом преобразована в новую ортогональную с заданным весом систему функций. Алгоритм может быть применен при анализе нелинейных технических систем, в частности нелинейных систем автоматического регулирования, фильтров и т.п.

Относительно недавно был изобретен, точнее, нашел важное практическое применение, весьма изящный и простой инструмент анализа сигналов различного рода (кардиограмм, геологических структур, для выявления предвестников болезней или нефтеносности пластов) – вейвлеты. Метод, использующий вейвлеты, заключается в искажении с помощью «кривого зеркала» усреднения с выбранным весом, исследуемого сигнала, с тем, чтобы искомые предвестники выпячивались, а несущественные в данном, конкретном исследовании особенности сигналов затушевывались, относились в сторону. Выбор весовой функции при использовании вейвлетов может играть решающую роль и относится к области инженерного искусства. Вероятно, предлагаемый алгоритм построения систем ортогональных функций позволит повысить эффективность исследований на основе вейвлетов или вообще представлять для них альтернативу.

Как отмечено, теоремы были доказаны в 1973 – 1974 гг., но с публикацией им не повезло. Более подробно об истории формулирования, доказательства и попыток публикации рассказано ниже. Автор неоднократно пытался оценить новизну предлагаемых теорем, но не встретил в доступных источниках ничего подобного. Тем не менее, математика столь обширная область знаний и математики столь любопытны, что вполне могло оказаться, что такого рода теоремы уже доказаны, может быть и в более общем виде. Но поскольку автору о таких доказательствах и даже постановке задачи ничего не известно, то он счел своим долгом все-таки опубликовать теоремы ввиду того, что они могут оказаться полезными кому-то на практике и даже послужить толчком для развития исследования нелинейных технических систем и анализа сигналов и изображений.

Конечно, статью было бы полезно несколько переработать, учитывая, что это один из первых опытов, но в конце концов автор решил представить ее в том первоначальном виде, с некоторыми шероховатостями, в котором она была направлена на публикацию в Киев, в Институт кибернетики в 1974 году.

1. О разложении функций в ряды по системам ортогональных функций и построении систем ортогональных функций с произвольным положительным весом

Стр.1

Стр.2

Стр.3

Стр.4

Стр.5

Стр.6

Стр.7

Стр.8

Стр.9

2. Некоторые воспоминания, связанные с обстоятельствами доказательства теорем и их публикации

2.1. Принцип "гиперпозиции"

Весной 1973 года, в процессе выполнения дипломной работы по нелинейным радиотехническим системам на примере умножителя частоты на варикапе вначале под руководством блестящего лектора доц. Борукаева Т.Б., а затем под руководством к.т.н. Снурницына В.Р., обладавшего мощным аналитическим умом, в Новосибирском электротехническом институте у автора настоящей статьи возникла грандиозная, хотя и смутно формализованная идея осуществить попытку обобщения принципа суперпозиции на нелинейные системы, сформулировать что-то вроде принципа "гиперпозиции".

Суть идеи состояла в том, чтобы подобрать, построить такую систему ортогональных функций, разложение по которой статической характеристики нелинейного элемента позволяло бы переводить каждый из двух сигналов суммы входных сигналов, а также саму сумму в ортогональные (с соответствующим весом) выходные функции. Конечно, для разных входных сигналов и типов нелинейностей системы ортогональных функций должны были получаться разные. Но привлекало то, что реакция на каждый из двух суммируемых сигналов, а также реакция на сумму должны были быть взаимно ортогональными, а следовательно, нужный продукт мог быть получен линейной фильтрацией выходного сигнала. Статическая характеристика нелинейного элемента должна была бы представлена некоторым рядом ортогональных функций, либо на ней, как на исходном векторе должна была быть построена ортогональная система функций.

Тогда же, весной 1973 года автор воспользовался поездкой в Академгородок Новосибирска, где заканчивал НГУ его одноклассник по ФМШ Красноперов Л., а также случайно оказался другой одноклассник, студент Томского университета Давыдов А., чтобы обсудить постановку задачи, попытаться обосновать саму возможность "гиперпозиции" сигналов для нелинейных систем, понять, что это такое может быть. Неформальное обсуждение было интересным, но не принесло каких-либо позитивных результатов.

На первом этапе решения поставленной задачи предполагалось использовать то замечательное свойство, что преобразование гармонического сигнала нелинейным элементом со статической характеристикой, определяемой полиномом Чебышева, дает также гармонический сигнал, но кратной частоты, т.е. выходной сигнал при гармоническом воздействии ортогонален входному. Полиномы Чебышева дают удивительно красивую связь между казалось бы такими далекими друг от друга областями математики как полиномы и тригонометрия.

Если для произвольного сигнала удастся подобрать подходящую систему ортогональных функций, таких, что этот сигнал будет преобразован нелинейной системой произвольного вида в функцию, ортогональную исходному сигналу, то это будет обобщением свойства, связывающего такие ортогональные системы функций, как гармонические и полиномы Чебышева. Это автору удалось сделать. Ниже предлагается статья, подготовленная в 1974 году и направленная в Киевский институт кибернетики, занимавшийся разработкой вычислительной техники и программного обеспечения для нее. В этом институте была разработана и выпускалась серийно малая ЭВМ Мир-2.

2.2. Доказательство теорем и попытки публикации

Наряду с выполнением ряда других работ автору настоящих воспоминаний удалось в конце 1973 года сформулировать и доказать две теоремы, приведенные выше, конструктивно обобщающие свойства полиномов Чебышева. Эти теоремы позволяют строить новые системы ортогональных функций, связанных между собой так же, как гармонические функции связаны с полиномами Чебышева: реакция нелинейного звена с некоторой статической характеристикой на нормированное гармоническое воздействие представляется рядом, коэффициенты которого совпадают с коэффициентами разложения в ряд статической характеристики по полиномам Чебышева.

Для публикации пришлось искать подходящий журнал или сборник. В документации по ЭВМ Мир-2 удалось обнаружить несколько тематических выпусков сборников статей, публикуемых институтом кибернетики АН Украины. Там краткая теория сопровождалась примерами программ, реализованных на Алмире. Я так и поступил, написал статью и приложил, как иллюстрацию программу, которая по одному и тому же алгоритму могла раскладывать функцию либо в ряд Фурье, либо в ряд по полиномам Чебышева, достаточно только было установить соответствующее значение параметра.

Ответа на посланную статью, отсканированные листы третьего экземпляра которой приведены выше, автор не дождался и его отвлекли многие другие идеи.

Тем не менее, будучи проездом в Новосибирске в январе 1978 года, автор навестил в Академгородке Л. Красноперова, который тогда уже женился на нашей однокласснице, Азе Копбаевой, и они работали в разных НИИ Академгородка. Тогда-то автор и показал им статью. Главный вопрос был в том, насколько по их мнению теоремы были новы. Но поскольку товарищи по школе занимались на тот момент совсем другими делами, сказать что-то определенное по поводу новизны они не смогли.

В тот же приезд автор навестил и своего руководителя дипломного проекта, к.т.н., доцента Снурницына В.Р. и также показал ему пару статей, в том числе и ту, что здесь публикуется. Встреча была очень теплой и приятной, несмотря на трескучий мороз, что тогда стоял в Новосибирске, но вопрос о новизне остался без определенного ответа.

Спустя десяток лет, автор услышал на заседании Совета РИИ, где проходила или переизбиралась по конкурсу лектор по курсу высшей математики, что конкурсантка будучи аспиранткой занималась функциональным анализом. Автор обратился к ней с тем же самым вопросом, насколько нова, по ее мнению постановка вопроса по формулированию вышеназванных и рассмотренных теорем. К сожалению, и здесь какого-либо содержательного ответа на поставленный вопрос не последовало.

Где-то во второй половине 80 гг., автор по дороге с работы домой, совмещаемой с прогулкой, рассказал коллеге, толковому специалисту Лернеру З.Д. о том, что из одной системы ортогональных функций можно легко построить другую систему, ортогональных с заданным весом функций.

Каково же было удивление автора, когда Зиновий Давыдович принес ему на визирование статью, излагавшую именно тот метод, который был З.Д. Лернеру рассказан несколько ранее. Замечание об этом Лернер пропустил мимо ушей и попытался опубликовать статью в Изв. вузов по специальности "Радиосвязь". Статью почему-то не приняли к публикации, но в частной беседе с З.Д. Лернером его знакомый из Московского института связи с восхищением отозвался о методе. Суть отзыва сводилась к тому, что вот известно всего то несколько систем ортогональных функций: Фурье, Чебышев, Бессель и Ханкель, Лежандр, Эрмит, а пожалуй и все, т.е. каждая система это своего рода уникум. А предлагаемый метод позволяет построить сколько угодно систем ортогональных функций. Это все и рассказал автору Лернер З.Д. Так теоремы вновь не увидели свет, хотя бы под чужим именем.

Иногда, натыкаясь в бумагах на черновики или третий экземпляр статьи, автор думал было вернуться к вопросу о публикации, но всякие текущие или иные дела отвлекали. Тем не менее, видимо, является правильным публикация полученных тогда, в начале 70 гг. результатов, что и сделано выше. Может быть эти теоремы подтолкнут кого-то к дальнейшим исследованиям в этом направлении.

2.3. Малая ЭВМ Мир-2 в РИИ

По окончании НЭТИ автор поступил на работу в Рудненский филиал КазПТИ, где на кафедре электрификации и автоматизации горных работ в его распоряжении оказалась малая вычислительная машина МИР-2, которую только что приобрели и еще никто в институте не освоил и она по существу бездействовала. Иметь возможность работать чуть ли не на персональной вычислительной машине это в то время было более чем круто.

В НЭТИ, на пятом курсе, осенью 1972 года нам прочитали курс программирования на языке высокого уровня Алгол-60 и мы сдали зачет, где нужно было составить подпрограмму и оформить ее как библиотечную. Но к реальной вычислительной машине студентов в массовом порядке в те времена не допускали. Мы, весьма подробно изучали элементы и структуру ЭВМ, на предметах "Импульсная техника", "Вычислительная техника" и др., а также на военной кафедре, достаточно подробно изучали и пользовались аналоговыми вычислительными машинами (МН-7), но пользоваться цифровой ЭВМ не удалось.

Однажды автора настоящей статьи его руководитель дипломной работы, к.т.н. Снурницын В.Р. пригласил на совещание у энергичного заведующего кафедрой РП РПУ Машарского Е.И., на котором обсуждался ход выполнения какой-то НИР, выполняемой кафедрой по заказу предприятия. Один из аспирантов кафедры, В.А. Яковенко, представил результаты каких-то расчетов проведенных на ЭВМ, связанных с выполняемой кафедрой работой. Результаты были распечатаны на здоровенной бумажной простыне серовато-желтоватого цвета, на бумаге, близкой по качеству к газетной с перфорацией по сторонам, размером примерно метр шириной и метров пять длиной.

Сама мысль, что результат получен и напечатан на вычислительной машине и на него не пожалели такое количество бумаги, вызывал если не благоговение, то определенное уважение. Что нельзя было сказать о содержании результатов. Это была построенная в псевдографическом режиме кривая весьма похожая на переходную функцию колебательного звена. Она совершала несколько колебаний и успокаивалась.

Такую функцию я мог бы построить вручную, вычислив с помощью логарифмической линейки за полчаса. Но ведь этот результат, пусть и примитивный, был получен на ЭВМ! Соответственно, с апломбом держался и В.А. Яковенко. Позднее, особенно когда начали появляться персональные компьютеры в личном пользовании, мне неоднократно приходилось наблюдать такого рода снобизм "посвященных" у некоторых людей, связанных с вычислительной техникой, точнее, имеющей к ней доступ, неприятная черта характера.

ЭВМ МИР-2 была по тем временам более, чем великолепна! Ее внешний вид вызывал восхищение, она была более элегантна, чем самый роскошный рояль!

Фото Мир-1

Фото малой ЭВМ Мир-1 из Интернета. Эта конфигурация наиболее близка к той, что была у машины в 1973 году в Рудненском индустриальном институте и которая называлась в соответствии с документацией Мир-2. Однако эта блеклая фотография не передает всей восхитительной красоты и элегантности нашей машины

В РИИ Мир-2 состояла из трех основных элементов. Это блок питания, ящик, размером со сторонами примерно 30 - 40 см, очень тяжелый, на колесиках. Второй блок это куб со стороной размером примерно 1 м, на котором был помещен "Консул" - пишущая машинка производства ГДР, с дополнительными клавишами и кнопками управления режимами работы ЭВМ: ввод программы, старт, стоп и др.

Третий блок - стол-стойка, диной метра полтора, если не два и шиной сантиметров семьдесят. Столешница была черной лаковой, что вместе с молочно-белыми панелями, закрывающими внутренности стола, создавало впечатление чрезвычайной элегантности. На столе операционного блока бы помещен пульт контроля и управления, использовавшийся при отладке программ и проверке работоспособности машины, выявления неисправностей. Этот пульт был превосходен, на нем было несколько блоков лампочек, кажется неоновых, позволявших видеть в двоичной форме содержимое некоторых важных регистров Эти лампочки во время вычислительной работы машины быстро мигали. Кроме того, на пульте были и наборы ключей, позволявших задавать значения регистров при контроле работоспособности и ремонте машины, а также набор кнопок.

Наконец, на столе (операционном блоке) устанавливались еще и перфоратор бумажной ленты, имевшей ширину сантиметра два с половиной, и фотосчитыватель с такой же ленты, которые использовались как устройства ввода - вывода. Бумажная лента играла роль долговременной "энергонезависимой" памяти. Библиотеки программ хранились на бумажных лентах, который для экономии места сворачивались в рулончики.

Перфоратор по команде оператора с пульта Консула с оглушительным треском пробивал аккуратные круглые, диаметром примерно в 1 мм отверстия в ленте. Их было то ли семь, то ли восемь в ряд поперек ленты. Каждый ряд соответствовал одному символу программы или данных, кроме того посередине ленты, или, может быть, с некоторым смещением проходил ряд более мелких отверстий для привода ленты в движение зубчатым колесом.

Фотосчитыватель заправлялся куском перфоленты, длина которого состояла в зависимости от величины программы или подпрограммы от одного до нескольких метров. По команде считывания лента на взгляд мгновенно проскакивала приемную головку так, что за ней она на несколько мгновений располагалась горизонтально, а потом плавно опускалась, если фотосчитыватель успевал захватить конец ленты. Иногда он не успевал и лента вылетала и пулей летела до стены.

Внутри стола-стойки операционного блока располагалось множество печатных плат, несколько десятков, может быть, пара сотен. Почти на каждой помещалось несколько, четыре - восемь модулей, каждый из которых представлял собой законченный функциональный элемент, например, триггер, собранный на навесных элементах: отдельных транзисторах, сопротивлениях, конденсаторах. Выполнено все было очень красиво и культурно.

Оперативная память представляла собой куб, со стороной примерно 40 см, состоящий из 16 плоских плат, на которых помещались ферритовые кольца (кажется 128х128 штук), сквозь которые были пропущены провода записи и считывания.

Несмотря на сравнительно скромные технические характеристики: потребляемая мощность 5 кВт (!), производительность 200 операций с плавающей запятой в сек, объем оперативной памяти 4 КБ, машина, снабженная специализированным языком высокого уровня АлМир, набором стандартных функций и подпрограмм позволяла решать очень широкий спектр математических задач и достаточно эффективно.

Язык Алмир содержал служебные слова, набираемые в кавычках по-русски, например оператор цикла имел вид (без пробелов):

"ДЛЯ" P=1 "ШАГ" 1 "ДО" N+1 "ВЫП" (…)

Пример распечатки программы и результатов см. выше.

Мне приходилось видеть и распечатки программ для ЭВМ других типов на русском языке, при прохождении производственной практики в почтовом ящике НИАП (этот солидный НИИ в 90 гг. уничтожен, как и многие другие во имя "демократии, рынка и торжества общечеловеческих и либеральных ценностей").

Работа на Мир-2 доставляла удовольствие, но требовала повышенного внимания при вводе программы, которую предварительно многократно вручную записывали, переписывали и уточняли на бумаге. По окончании ввода программы, при недостатке опыта на несколько строк уходило до получаса, поскольку введя неверно некоторый символ, приходилось начинать ввод заново, можно было запускать программу на счет, нажав кнопку "СТАРТ".

Каково же было разочарование, когда после ее нажатия машина начинала немедленно что-то печатать. Дело в том, что прежде чем идти на счет, машина проверяла синтаксис, и если в программе была ошибка такого характера, то программа печаталась до того места, где машина предполагала ошибку, хотя ошибка могла быть совсем в другом месте. Распечатка с грохотом проводилась на бумаге, сматываемой с бобины, весящей килограммов пять, при переводе каретки весь огромный массивный блок, на котором располагался Консул, содрогался.

Теперь нужно было снова вводить всю программу.

Вот, наконец, программа введена без единой ошибки и машина проверив, отправлялась считать. Мигали лампочки на панели, ощущалась мощь проводимых вычислений. В зависимости от сложности программы, через несколько секунд или минут спустя начинался вывод результатов - распечатка на листе бумаги.

Под самый Новый год, 31 декабря 1973 года удалось отладить и запустить программу вычисления выходного сигнала нелинейной инерционной системы с использованием ядер Вольтерра и метода Монте-Карло. Несмотря на сложность вычислений, Мир-2 выдавал примерно по одной точке в пятнадцать минут, т.е. задача была машине практически по силам, несмотря на ее относительно низкое быстродействие, которое компенсировалось качеством встроенных вычислительных алгоритмов.

Слабым местом Мир-2 было печатающее устройство - пишущая машинка производства ГДР "Консул". В нем быстро выходил из строя приводной пластмассовый, со стальными нитями ремень, достать который было трудно. Некоторое время спустя, через год, к моему удивлению нового инженера этой машины отправили в командировку в Москву только за тем, чтобы он купил за наличные деньги в магазине печатных машин на Пушкинской этот злосчастный ремень. Ремень стоил 2 руб. 50 коп, да еще поездка обошлась вероятно, рублей в сто, поскольку билет до Москвы на самолете несколько подорожал, стал стоить 39 рублей вместо 33.

Году в 1975 РИИ получил машину армянского производства "Наири-К", имевшую объем оперативной памяти 16 КБ, Мир-2, к великому моему огорчению, списали, разобрали на части и, как и было положено по инструкции, уничтожили.

2.4. Вейвлеты

В середине 2000 гг. изредка в Интернете, а потом и чаще и даже в программах моделирования стал попадаться термин "вейвлеты" [1]. Посмотрев в Интернете, что это такое, автор ощутил восхищение и разочарование. Восхищение от того, что совсем недавно появился такой простой, но эффективный математический инструмент анализа сигналов и систем. А разочарование возникло от того, что такой простой аппарат в принципе мог изобрести и сам автор, знай он, что аппарат еще не известен, но нужен, и имей под рукой компьютер достаточной мощности. Вероятно, многие исследователи испытывали подобное чувство разочарования, или им еще предстоит его испытать.

Математический аппарат вейвлетов (всплесков, "маленьких волн") образно говоря представляет собой кривое зеркало, позволяющее так исказить наблюдаемый сигнал, изменяющийся во времени или графическое двумерное или многомерное изображение, чтобы выпятить значимые для данного конкретного исследования его свойства и отвлечься от несущественных деталей. Это позволило, например, обнаруживать перспективные геологические структуры для поиска нефти, на ранней стадии обнаруживать болезни, и многое другое, вплоть до сжатия изображения при записи в охранных системах.

Хотя первые работы по вейвлетам, как выяснилось позднее, относятся вовсе не к 90 гг., а к началу 20 в. (как и почему математики решают, что такими задачами нужно заниматься в то время, когда о их практическом применении речь не идет, загадка), практический интерес к вейвлетам возник в конце 20 в., когда Морле, работавшей в компании по разведке нефтяных месторождений применил их для поиска перспективных на нефть структур.

Интересно, судя по источникам в Интернете, через пару недель после своего изобретения Морле был уволен из компании, как неперспективный в творческом отношении работник в связи с достижением им пенсионного возраста (лет 55, кажется).

Несколько удивительно, что столь простая в принципе, хотя и полезная вещь, как вейвлеты, была признана математическим сообществом чуть ли не самым важным достижением математики конца 20 в., если судить по признанию, если не ошибаюсь, Президента международного математического союза (к сожалению, ссылка на эти слова утеряна). Казалось бы, математики занимаются столь абстрактными проблемами, что нужно много соли съесть только перед тем, как понять постановку задачи, ее смысл, не говоря уж о решении. Как видно, в случае вейвлетов это не так.

Вейвлет - аппарат с формальной точки зрения представляет собой вычисление в каждый момент времени, точнее, дискретно во времени, но достаточно часто, скалярного произведения исследуемого сигнала (изображения) и некоторой функции, масштаб которой изменятся, функция растягивается от нуля до бесконечности. Причем функции, по которым производится разложение даже не являются системой ортогональных функций! Поэтому, в частности, выбор образующей функции является своего рода инженерным искусством.

Морли, выбрал в качестве образующего вейвлет - сигнала гауссову огибающую, заполненную гармоническим сигналом. Такой сигнал на языке радиотехники называется радиоимпульсом. При устремлении длительности импульса Морли к бесконечности получается низкочастотный гармонический сигнал, а при устремлении его длительности к нулю в пределе получается некоторая производная дельта - функции [2].

Особенность вейвлет - анализа состоит в том, что вычисляется скалярное произведение исследуемой функции и континуального базиса, состоящего вовсе не обязательно из ортогональных функций. Конечно, никто не обязан присягать свойству ортогональности базиса, в котором проводится разложение исследуемого сигнала. Действительно, если разложение по базису не ортогональных функций позволяет выпятить искомое свойство сигнала, или, что то же, подавить несущественные его свойства, ну и прекрасно! Что еще нужно для практического применения!

Но в некоторых отношениях ортогональный базис все-таки может иметь предпочтения. Например, если заранее знать вид функции, определяющей некоторое физическое или геометрическое свойство объекта, то разложение исследуемого сигнала в базисе, одним из векторов которого является эта функция, автоматически будет минимизировать среднеквадратическую ошибку фильтрации.

Заключение

Предлагаемые теоремы о построении систем ортогональных с заданным весом функций могут быть полезны при исследовании нелинейных систем и анализе сложных сигналов. Для этого необходимо продолжить исследования для определения областей полезного применения этих систем функций.

Литература

18.04.2011

* * *

<< К началу статьи