Федосов Борис Трофимович
Рудненский индустриальный институт,
Рудный, Казахстан
Об авторе

УДК 681.51.01
Ф338

1.4. Основные свойства и механизмы функционирования динамических объектов

1.4.1. Способность к усилению и рассеянию энергии

Элементы физических, технических объектов и систем, и сами эти объекты и системы обладают свойством откликаться на воздействие, а также на его сравнительно малое и медленное изменение пропорциональным изменением реакции, выходной величины. Можно сказать, что в общем случае, названные выше системы и элементы осуществляют преобразование одной физической величины в другую, в частности, они осуществляют усиление или ослабление воздействия, причем в линейных системах это преобразование представляет собой обеспечение пропорциональности выходной величины (реакции) входной величине (воздействию).

Механизм этого усиления, если это специально не интересует исследователя, в ТАУ не описывается, но при этом неявно подразумевается, что усиление связано с преобразованием энергии, для которого требуется подвод внешней энергии к объекту или ее рассеяние при коэффициенте усиления меньшем единицы.

В линейных системах математически способность к усилению выражается алгебраически - пропорциональной зависимостью реакции объекта от воздействия на него, причем коэффициент пропорциональности (усиления) может быть и часто является размерным.

Простейшей моделью любого линейного непрерывного динамического объекта, выходная величина которого непрерывно изменяется во времени, является пропорциональное звено. Оно, как модель, способно безинерционно, т.е. мгновенно и в полной мере сразу откликаться на воздействие и его изменение пропорциональным изменением реакции. Эта модель предполагает пренебрежение инерционно-динамическими свойствами объекта, что позволяет сделать ее очень простой в описании и наглядной. Она состоятельна, адекватна не только простым, но даже очень сложным системам, при постоянных и относительно медленно изменяющихся воздействиях.

1.4.2. Инерционность

Инерционность это фундаментальное свойство динамических объектов и их элементов состоящее в противодействии объекта внешним воздействиям, их попыткам изменить его состояние и поведение. Т.е. динамический объект, сопротивляясь воздействию, препятствует изменению своей выходной величины, пытаясь сохранить ее значение и только постепенно, со временем откликается на воздействие изменением реакции. Естественно, что объект при этом противодействует источнику воздействия, в большей или меньшей мере влияя на его выходную величину.

Инерционность элементарного динамического объекта, обладающего таким свойством, т.е. интегратора, может быть определена как способность к накоплению и сохранению энергии (материи), получаемой от внешних воздействий, и отдаче энергии (материи). Интеграторы называют элементами с памятью в том смысле, что при отсутствии входного сигнала его выходной сигнал не изменяется. Интегратор как модель элементарного инерционного объекта - однонаправленный элемент.

Многие реальные объекты представляют собой некоторого рода емкости, способные получать, содержать (хранить) и отдавать материальную субстанцию или энергию. Это, например, собственно емкости для жидкостей, электрические емкости и индуктивности, способные запасать энергию, движущиеся поступательно или вращательно механические (инерционные) массы и др. Объем или уровень жидкости в емкости пропорциональны мгновенной скорости поступления жидкости в емкость и времени, и математически определяются интегралом по времени от этой скорости. Скорость изменения накопленной энергии или материи не может быть бесконечной, эта скорость конечна: энергия не может измениться скачком. В электротехнике это свойство определяет т.н. законы коммутации.

Элементарной математической моделью элемента, способного к накоплению, является интегратор. Это модель устройства, выходная величина которого пропорциональна интегралу по времени от входного воздействия. Его выходная величина зависит как от мгновенных значений воздействия, так и от общего времени, продолжительности воздействия.

gif-file, 20KB

Рис. 4.1. Примеры устройств, обладающих элементарной инерцией и которые в первом приближении могут считаться интеграторами, и реакция идеального интегратора на прямоугольное воздействие. Только те элементы динамических объектов и систем и их моделей, которые способны накапливать, сохранять и отдавать энергию, обладают инерцией, которая проявляется в том, что при конечных по величине воздействиях и конечных их изменениях, в том числе ступенчатых, выходной сигнал изменяется непрерывно, а при отсутствии воздействия, выходной сигнал постоянен

Элемент динамического объекта, составленный из нескольких накопительных элементов, последовательно влияющих один на другой, также является инерционным объектом. Модель его может состоять из одного или нескольких, включенных последовательно интеграторов. Число интеграторов определяет степень инерционности объекта.

Простейшими примерами проявления той или иной степени инерционности линеаризованных объектов являются объекты, подчиняющиеся следующим законам [2]:

В отсутствие воздействия (силы) перечисленные инерционные объекты сохраняют свое состояние на момент выключения силы: упругий элемент возвращается в исходное состояние, объект в вязкой среде останавливается, массивное тело продолжает равномерное движении. А объект третьего порядка двигается, хотя это кажется необычным, с ускорением и т.д.

gif-file, 20KB

Рис. 4.2. Элементарные объекты различной степени инерционности по-разному реагируют на одно и то же воздействие, и по-разному ведут себя в отсутствие воздействий. Чем больше степень инерционности объекта, тем "ленивее" он реагирует на воздействие и тем "энергичнее" может двигаться в их отсутствие

Реальные динамические объекты с нулевыми начальными условиями проявляют свойства элементарных объектов в начальные моменты времени действия на них внешних сил.

Как видно, второй закон Ньютона занимает важное, но не уникальное место в системе законов, характеризующих понятие инерционности.

Отметим также, что во Вселенной по мере разгона тела зависимость его движения от приложенной силы становится нелинейной (теория относительности).

В реальном объекте накапливающие элементы вовсе не обязательно представляют собой последовательную цепочку, но при моделировании структурную схему модели сложного объекта можно привести именно к последовательности интеграторов, охваченной обратными связями.

1.4.3. Динамическая реакция на изменения воздействий и прогнозируемость поведения динамического объекта

Прогнозирование это возможность определения выходной величины объекта в предстоящие моменты времени, на некоторый интервал вперед.

По существу, прогнозирование это не динамический, не энергетический процесс, а информационный, алгоритмический. В определенных условиях можно с некоторой точностью и некоторой степенью уверенности утверждать, в какое состояние перейдет динамический объект через короткое время, учитывая его инерционность.

Существует множество методов прогноза поведения сложных систем. В настоящей статье рассматривается прогноз в степенном базисе. Прогноз поведения некоторой величины осуществляется в таком случае по ее известному (измеренному) значению и значениям ее нескольких младших производных по времени.

Прогнозирование в степенном базисе целесообразно проводить при условии, что влияние шумовых аддитивных помех на сигналы и их младшие производные пренебрежимо малы.

Вопрос прогнозирования динамических объектов можно рассматривать в двух аспектах. С одной стороны это прогнозирование, определение поведения объекта в предстоящее время по его выходной величине и ее производным. С другой, это прогнозирующие свойства самого объекта, его способность, пусть приближенно, откликаться не только на само воздействие, но и на его изменения, на производные воздействий разных степеней.

Операцию дифференцирования сигнала можно осуществить кинематически, т.е. с помощью вычислительного алгоритма, посредством измерения приращения значений функции и вычисления производной. А можно приближенно реализовать путем использования некоторого динамического объекта, отклик которого на воздействие приближенно пропорционален производной воздействия по времени. Здесь можно говорить о реакции объекта на изменения воздействия, а значит, в некотором смысле и о его прогнозирующих свойствах.

1.4.3,а. Кинематическое дифференцирование и прогноз

Основу идеальной, нереализуемой модели прогнозатора (математики еще говорят и экстраполятора) составляет дифференцирующее звено (см. таблицу 1) или несколько таких звеньев, включенных последовательно.

Механизм кинематического реагирования прогнозатора на приращения, изменения во времени воздействий, должен содержать непрерывную по принципу действия линию задержки на малую величину и вычитающее устройство, выделяющее искомые приращения:

gif-file, 20KB

Рис. 4.3. Идеальный дифференциатор и иллюстрация его принципа действия. Кинематический дифференциатор относит разность текущего и предыдущего значения функции ко времени задержки, которое должно быть малым. Производная линейно растущего с пьедестала сигнала это дельта-функция, а далее константа

По существу, прогноз поведения объекта, опирающийся на измерение его выходной величины и ее младших производных, представляет собой информационный алгоритм, позволяющий по измеренным значениям функции времени и ее производных, используя ряд Тейлора получить прогноз значения и изменений функции на некоторое время вперед:


(4.1)

gif-file, 20KB

В этой формуле осуществляется кинематическое определение (т.е. измерение) значения функции и ее производных в условный нулевой момент времени, т.е. измерение и подстановка в формулу, реализуется численный алгоритм.

Отметим, что линейная модель состоятельна только при достаточно гладких выходных сигналах. Для получения верного кинематического прогноза необходимо отсутствие скачков не только в выходной величине, но и в ее нескольких младших производных, используемых в приведенном ряде.

1.4.3,б. Динамическое дифференцирование и прогноз

Если для пропорционального звена и интегратора существуют достаточно точные элементарные реальные аналоги, например рычаги и емкости (см. рис. 4.1 ), то для дифференцирующего звена подобрать такой элемент как единое целое не удается. На практике приходится использовать с некоторым приближением более сложные объекты, свойства которых близки к свойствам дифференцирующего звена, см., например рис. 4.4, соответствующим образом подавая на них воздействие.

gif-file, 20KB

Рис. 4.4. Пример динамического звена, близкого по свойствам к дифференцирующему при достаточно медленно изменяющихся воздействиях

Механизм реагирования динамического объекта на приращения состоит в динамическом уравнивании некоторой накапливаемой внутри объекта величины с входной величиной. Разность их значений дает выходную величину. В установившемся режиме такой объект приближенно осуществляет дифференцирование. Степень приближения можно регулировать изменением параметров объекта.

gif-file, 20KB

Рис. 4.5. Идеальный дифференциатор (внизу) и его динамический аналог - инерционно-дифференцирующее звено. Динамика реально-дифференцирующего звена приближается к поведению идеального дифференциатора. Реальное звено неизбежно обладает инерционностью, которая в данном случае на первой полусекунде приводит к определенному отличию выходного сигнала от величины производной, с течением времени эти отличия уменьшаются, а затем выходные сигналы звеньев совпадают при умеренно медленном увеличении входного сигнала. Интегратор иллюстрирует качество дифференцирования сигнала инерционно - дифференцирующим звеном путем восстановления входного сигнала идеального дифференциатора, который получил бы выходной сигнал реального дифференциатора

Механизм динамического прогноза поведения объекта состоит в определении его реакции на приращения воздействия.

При сравнительно медленных изменениях входного сигнала динамический дифференциатор работает в установившемся режиме практически так же, как и идеальный кинематический. В переходном режиме, при слишком быстрых скачках входного воздействия, динамический дает заметно отличающийся сигнал, соответствуя идеальному качественно, но не количественно.

gif-file, 20KB

Рис. 4.6. Инерционно - дифференцирующее звено, его модель и структура его модели (нижняя схема). Наличие накопительного, инерционного элемента в обратной связи позволяет при умеренно медленно изменяющихся и постоянных входных сигналах обеспечивать равенство выходного сигнала первой производной входного сигнала

Инерционная обратная связь позволяет динамическому объекту соответствовать идеальному дифференцирующему звену в установившемся режиме, при умеренно и медленно изменяющихся воздействиях. С другой стороны, это звено в переходном режиме, например при отклике на ступенчатое воздействие, из-за наличия инерционности не может полностью соответствовать идеальному дифференцирующему звену, оно соответствует ему только качественно.

Итак, идеальный дифференциатор осуществляет кинематическое (математическое) дифференцирование, а динамическое дифференцирование может осуществляться реальными устройствами.

Имея динамическую прогнозирующую модель объекта можно проводить прогноз и по ее поведению, подавая на нее непосредственно воздействие и определяя прогноз как взвешенную сумму реакций на само воздействие и его производные по времени.

Кинематическое определение воздействия и его младших производных, а также знание коэффициентов отклика gi (коэффициентов прогнозирования) объекта [7] позволяет сделать динамический прогноз поведения реакции объекта на некоторый, пусть короткий, промежуток времени:


(4.2)

gif-file, 20KB

Динамические прогнозирующие свойства некоторого элемента на практике чаще используются не сами по себе, а внутри более сложного объекта, позволяя снизить инерционность восприятия им внешних воздействий (см. ниже).

1.4.4. Запаздывание

Это свойство позволяет косвенно учесть протяженность объекта в пространстве в том, смысле, что позволяет учесть время, требуемое сигналу на прохождение в пространстве от одного элемента объекта к другому.

Учет запаздывания позволяет исключить рассмотрение поведения объекта в пространственных координатах и механизм передачи сигнала, но сохраняет главное для многих моделей - задержку сигнала. Это позволяет, когда это допустимо, упростить модель, ограничивая ее только одной независимой переменной - временем, не перегружая ее независимыми пространственными координатами.

1.4.5. Суммирование и ветвление сигналов

Суммирование и ветвление сигналов это способ отображения взаимодействия между элементами объекта на функциональной и структурной моделях.

Суммирование позволяет описать однонаправленные действия нескольких объектов на один линейный объект.

Ветвление описывает однонаправленное действие одного объекта на несколько объектов.

1.4.6. Инерционно-апериодическое выравнивание

Инерционно-апериодическим выравниванием назовем апериодическое стремление объекта к установлению пропорциональности выходной величины входной величине. Это динамическое выравнивание осуществляется с некоторой точностью в зависимости от режима работы объекта, подвергающегося воздействию. В установившемся режиме выравнивание осуществляется, а в переходном, ввиду инерционных свойств объекта отклонение от пропорциональности может быть большим.

Линейные стационарные модели динамических объектов не изменяют свою структуру и параметры элементов под внешним воздействием. Инерционность их проявляется в сопротивлении воздействиям, выражающемуся в том, что объект не сразу, а постепенно, со временем, реагирует на воздействия и их изменения, а в отсутствии воздействий сохраняет свое состояние и поведение. Механизм инерционности состоит в том, что физическая энергия воздействия в первые моменты времени после его подачи или изменения запасается (расходуется) в элементарных накапливающих энергию элементах, постепенно проявляясь и на выходе объекта.

К линейным относят и объекты, параметры которых медленно изменяются со временем.

Инерционные свойства объекта можно разделить на инерцию восприятия воздействий и, как частный случай этого, инерцию объекта в отсутствии воздействий.

Как частный случай инерционность это стремление объекта поддержать свое состояние и поведение при отсутствии воздействий на него.

Инерционность динамического объекта в общем виде проявляется, прежде всего, в постепенном, непрерывном во времени, гладком изменении объектом своего состояния под внешним воздействием или его изменением. А также она проявляется в сопротивлении, противодействии тела, устройства или системы внешним воздействиям, которое выражается в обратном воздействии на их источник. Например, сила действия равна силе противодействия.

gif-file, 20KB

Рис. 4.7. Реакции инерционного динамического объекта первого порядка (внизу, линия зеленая) и его модели (вверху, линия красная) на характерное воздействие совпадают. Инерционность объекта проявляется в том, что выходная величина стремится приблизиться к значению входной не сразу, а постепенно. Количественной мерой инерционности такого объекта может служить время, за которое выходная величина станет приблизительно равной входной. Инерция проявляется и в установившемся режиме: ошибка выравнивания (слежения) пропорциональна скорости изменения воздействия

Переходный режим характеризуется значительными отклонениями выходной величины от входной, в установившемся соблюдается примерная пропорциональность выходной величины входной. Эти свойства обусловлены тем, успевают ли внутренние инерционные процессы звена за изменениями воздействия.

1.4.7. Инерционно-колебательное выравнивание

Такое выравнивание это колебательное стремление объекта к установлению пропорциональности выходной величины входной величине.

Звено второго порядка в отсутствие воздействия стремится к равновесному состоянию, а при наличии воздействия стремится колебательно выровняться, придти в динамическое равновесие с воздействием, в результате которого выходная величина стремится быть пропорциональной входной величине.

Это свойство проявляется у объектов второго и более высокого порядков (порядка дифференциального уравнения, описывающего объект или систему). Порядок определяется числом инерционных элементов, способных накапливать энергию, в объекте. Заключается оно в том, что при некоторых начальных условиях или (и) резких, ступенчатых изменениях воздействия и его первой производной в объекте начинаются затухающие колебания, физически определяемые колебательным характером обмена энергией между элементами объекта, способными запасать энергию, а также возможной отдачей энергии вовне для обеспечения затухания колебаний.

gif-file, 20KB

Рис. 4.8. Колебательный контур (внизу - динамическое звено второго порядка) и его модель. Реакции динамического элемента и его модели на резко и плавно изменяющийся сигнал одинаковы и представляют собой затухающие колебания, обусловленные обменом энергией между индуктивностью и емкостью, при этом одновременно происходит и потеря энергии на сопротивлении, колебания затухают

Колебательность выходной величины динамического объекта это внешнее проявление динамического обмена энергией между элементами объекта, связанный с преобразованием одного вида энергии в другой, например электрической в магнитную и обратно.

Альтернативный колебательности - апериодический режим передачи энергии от одних элементов другим.

Правильно спроектированная САР, являясь частным случаем динамического объекта, в минимальной степени проявляет колебательность, обладает минимальной, слабо выраженной колебательностью.

Степень инерционности объекта определяется числом накапливающих элементов в его структуре, или, что то же самое, числом корней характеристического полинома. Эта степень проявляется в начальные, после появления воздействия или его изменения, моменты времени реакции объекта.

gif-file, 20KB

Рис. 4.9. С повышением степени инерционности объект в первые моменты времени все "ленивее" реагирует на резкие изменения воздействия, но по прошествии некоторого времени реакция растет все быстрее, по параболе со степенью, равной степени инерционности

Наличие в объекте нескольких инерционных (накапливающих) элементов приводит к появлению инерционностей в разных временных масштабах:

gif-file, 20KB

Рис. 4.10. Инерционность первого порядка характеризуется только одним временным масштабом, временем выхода в установившийся режим работы. Для колебательного звена, имеющего два накопительных, простейших инерционных элемента, длительность затухания колебаний и их период - характерные временные масштабы. Звено третьего порядка характеризуется тремя временными масштабами

1.4.8. Восприятие объектом внешнего воздействия

Звенья и системы звеньев проявляют динамические свойства как под действием внешних воздействий, так и в их отсутствие, за счет запасенной ранее энергии в накопительных элементах.

Автономная система звеньев, система, на которую не подаются воздействия, и имеющая внутренние источники питания и потребления, обеспечивающие правильное функционирование элементов, описывается однородным дифференциальным уравнением, уравнением, правая часть которого равна нулю:

(4.3)

gif-file, 20KB

а также начальными условиями y(0) = …, y'(0) = …, …. , y(n-1)(0) = … .

Здесь y(t) - искомое решение, функция времени, в соответствии с которой изменяется выходная величина объекта или системы.

Динамика такой системы определяется ее дифференциальным уравнением и начальными условиями. Например, в колебательном контуре происходят затухающие колебания:

gif-file, 20KB

Рис. 4.11. Автономная колебательная система второго порядка функционирует в соответствии с дифференциальным уравнением и начальными условиями, т.е. значениями выходной величины и ее первой производной в условный нулевой момент времени. В нулевой момент времени выходная величина равна, в соответствии с первой парой начальных условий 2 В, а скорость ее изменения составляет 100 В/сек (красная кривая), синяя кривая отображает поведение этой же системы при начальных условиях -1 В и 50 В/сек

При наличии воздействия на систему, ее поведение, изменение выходной величины, определяется как собственными свойствами системы, так и воздействием и способом приложения его к системе (см. п. 1.2.3).

Определим степень восприятия воздействия линейной системой, как разность старших степеней производных левой и правой частей ее дифференциального уравнения, или, что то же, как разность числа полюсов и нулей передаточной функции линейной системы. Например, для верхней системы рис. 4.12 степень восприятия составит величину 2 - 0 = 2, а для нижней 2 - 1 = 1.

Нетрудно убедиться, что степень восприятия воздействия объектом равна наименьшему числу интеграторов между точкой приложения воздействия к модели системы и ее выходом, см. например, рис. 4.12.

Степень восприятия воздействия пропорциональным звеном равна 0, у апериодического она равна 1, у колебательного она равна 2.

Рассмотрим для примера систему второго порядка, с нулевыми начальными условиями и разными способами приложения воздействия:


(4.4)
(4.5)

gif-file, 20KB

Во втором случае система реагирует не только на само воздействие, но и на его первую производную, что частично уменьшает инерционность второй системы по сравнению с первой:

gif-file, 20KB

Рис. 4.12. Система, имеющая меньшую степень восприятия воздействия (нижняя), на первом этапе проявляет меньшую инерционность

Отметим, что в приведенной модели, как и в реальном устройстве, дифференцирование входного сигнала в лоб не проводится. Эта операция осуществляется косвенно, переносом выходной величины через интегратор влево, что эквивалентно суммированию на выходе самой величины и ее взвешенной первой производной, как раз и являющейся реакцией на производную воздействия. Второе слагаемое эквивалентно реакции системы на производную воздействия.

Первая линейная модель состоятельна, обеспечивает непрерывность выходной величины, при отсутствии производных дельта - функции в воздействии, но сама дельта-функция в воздействии может присутствовать. Вторая, менее инерционная линейная модель состоятельна, имеет непрерывную выходную величину, при отсутствии дельта - функций в воздействии, конечные скачки допустимы.

Непрерывность функции означает, что в ее первой производной могут иметься конечные ступенчатые изменения (скачки), но в ней не может быть более "шероховатых" слагаемых, в частности, дельта - функций.

Определим степень гладкости (шероховатости) сигнала, т.е. реакции объекта или воздействия на него следующим образом.

Примем, что непрерывный сигнал имеет степень гладкости ноль (0). Непрерывность сигнала означает, что в его первой производной могут иметься ступенчатые изменения конечной величины.

Если в сигнале аддитивно присутствуют конечные скачки, то степень его гладкости равна -1. Наличие хотя бы одной дельта - функции в сигнале придает ему степень -2. Наличие производной первого порядка дельта - функции- степень -3, второго порядка - степень -4 и т.д. Очевидно, что в первой производной сигнала со степенью гладкости, равной 0, может присутствовать ступенька конечной величины, а во второй производной - дельта - функция.

На рис. 4.12 степень гладкости воздействия равна -1.

Степень гладкости может быть и положительной. Степень, равная +1 соответствует сигналу, равному интегралу по времени от непрерывного сигнала, степень +2 - двойному интегралу, и т.д. Сигнал со степенью гладкости, равной +1 имеет непрерывную первую производную, а во второй производной может иметь конечные скачки.

gif-file, 20KB

Рис. 4.13. Примеры сигналов различной степени гладкости. Сигнал со степенью гладкости, равной 1 изменяется плавно, при smst = 0 сигнал может резко менять скорость изменения, оставаясь непрерывным, при smst = -1 в сигнале есть скачки конечной величины, и при smst = -2, в сигнале есть дельта - функция

Все динамические объекты обладают в той или иной степени инерционностью, что определяет степень гладкости их выходного сигнала. Например, самолет не может мгновенно изменить свое положение в пространстве (НЛО - не в счет). Более того, массивное тело не может испытывать и бесконечное ускорение. Т.е. массивное тело в реальности имеет как минимум непрерывную скорость.

Таким образом, динамические объекты могут быть классифицированы и по минимальной степени гладкости их выходного сигнала.

Далее, для удобства, проведем рассмотрение для динамического объекта с минимально допустимой для состоятельности его модели степенью гладкости выходной величины, равной нулю. Для иных объектов, с другой, большей минимально допустимой степенью гладкости, нужно внести соответствующую коррекцию.

Степень гладкости выходного сигнала динамического объекта будет равна сумме степени гладкости воздействия и степени восприятия объекта. Для верхней системы 4.12 гладкость реакции составит 2 + (-1) = 1, т.е. первая производная реакции будет непрерывной. Для нижней системы гладкость реакции составит 1 + (1) = 0, т.е. реакция непрерывна, а ее первая производная имеет скачок в нулевой момент времени, в момент подачи единичной ступеньки.

Линейная модель будет состоятельной (иметь гладкую, по крайней мере, непрерывную выходную величину) для воздействий, со степенью гладкости, равной степени восприятия объектом воздействия. Например, для первой системы степень восприятия равна 2, и следовательно, на модель допускается подавать воздействия, содержащие дельта - функции и более гладкие. Для второй системы степень восприятия равна 1. Поэтому ступенчатое воздействие допустимо подавать и на первую, и на вторую модель.

Если реальный объект, исходя из физических соображений, должен иметь минимальную степень гладкости выходной величины не нулевую, а большую, например 3, то для обеспечения состоятельности модели алгебраическая сумма степени восприятия и степени гладкости воздействия должна быть не меньше 3, что и ограничивает класс допустимых для подачи на объект воздействий.

gif-file, 20KB

Рис. 4.14. Весовые функции типовых звеньев со степенями восприятия воздействия 1, 2 и 3. Реакция апериодического звена на дельта - функцию имеет скачок конечной величины. Модель объекта в виде апериодического звена, при требовании непрерывности выходного сигнала, не состоятельна. Реакции моделей второго и третьего порядка непрерывны, модели при том же условии состоятельны

gif-file, 20KB

Рис. 4.15. Реакция звена третьего порядка на воздействия с разными степенями гладкости. Модель состоятельна для тех сигналов, при которых степень гладкости выходного сигнала не менее той, что допустима для моделируемого объекта исходя из его физических свойств

1.4.9. Прогнозируемость линейной модели объекта

Прогнозируемость линейной модели объекта это ее способность поддерживать выходную величину достаточно гладкой при имеющихся инерционности объекта и степени восприятия им воздействий, а также при заданной минимальной степени гладкости класса входных сигналов. Эта способность и позволяет сделать более или менее глубокий, дальний прогноз в степенном базисе функций.

Формирование неизвестного заранее сигнала может осуществляться введением аддитивных возмущений в виде дельта - функций в воздействие и его производные в некоторые, не известные заранее, определяемые текущей обстановкой моменты времени [3]. Класс гладкости воздействия определим максимальной степенью его непрерывной производной, при условии, что и производные меньших степеней непрерывны.

Автономная система, заданная дифференциальным уравнением и ее начальными условиями прогнозируема абсолютно, на весь интервал времени.

Естественно, абсолютно прогнозируема и система, воздействие на которую заранее известно целиком и полностью на всем временном интервале. Такое скорее встречается не в реальной практике, а при исследовании систем подачей на них характерных пробных сигналов, чтобы составить представление об их поведении при произвольных воздействиях.

Прогнозирование поведения выходной величины динамического объекта при наличии не известных заранее детерминированных воздействий на него наиболее интересно при решении задач управления и определяется как собственными инерционными свойствами системы, так и воздействием на нее и способом его приложения.

Глубина прогноза поведения динамического объекта в степенном базисе определяется степенью гладкости его выходной величины. Если о выходной величине известно только, что она непрерывна, а это значит, что в ее первой производной могут появиться неожиданные конечные скачки, то можно осуществить лишь прогноз нулевой степени: прогнозируемое значение равно текущему.

Если выходная величина и ее первая производная непрерывны, а во второй производной возможны скачки, то можно давать состоятельный, оправданный линейный прогноз. Если непрерывна и вторая производная, то прогноз может быть квадратичным, т.е. действующий на больший интервал времени вперед и т.д.

Сказанное проиллюстрируем рисунком:

gif-file, 20KB

Рис. 4.16. Степень прогноза поведения сигнала, а следовательно точность и глубина прогноза, определяется степенью гладкости сигнала. Для более гладких сигналов возможен более дальний прогноз, прогноз более высокой степени

Поскольку предположение о непрерывности сигнала допускает наличие в нем как угодно частых сломов, то прогнозирование с использованием производной будет в принципе давать весьма большие ошибки, см. рис. 4.16. Скачкообразное изменение скорости изменения сигнала может наступить в любой момент. Поэтому непрерывный сигнал допускает только статический прогноз: прогнозируемая величина равна текущей. Дальность прогноза с допустимой точностью при этом определяется скоростью изменения среднего значения сигнала.

Поскольку, как показано выше, степень гладкости выходной величины определяется степенью восприимчивости системы и степенью гладкости воздействия, то степень прогнозируемости динамического объекта при заданном классе гладкости воздействия можно определить как степень гладкости его выходного сигнала, т.е. как сумму гладкости воздействия и степени восприятия воздействия объектом.

1.4.10. Неустойчивость

Устойчивость это свойство динамического объекта возвращаться в исходное состояние по прекращении воздействия на него или, в более общем случае, инерционно отслеживать подаваемые на него воздействия, что означает, что выходная величина объекта по завершении переходного процесса становится приближенно пропорциональной входной величине.

Неустойчивый объект даже при малом внешнем воздействии проявляет тенденцию к неограниченному (монотонному или колебательному) возрастанию выходной величины по экспоненциальному закону. Хотя в явном виде механизм увеличения мощности выходного сигнала обычно, если это не требуется специально, в ТАУ не описывается (отсутствует в дифференциальном уравнении), по умолчанию предполагается, что к объекту подводится, или отводится от него необходимая мощность.

Отметим, что объекты, в состав которых входят последовательно включенные простейшие объекты первой и более старших степеней инерционности (интеграторы), не являются объектами с самовыравниванием. Поэтому при подаче на них постоянного (ступенчатого) сигнала в случае устойчивости объектов, их выходной сигнал изменяется по степенному закону, в то время как если такой объект не устойчив, то его выходной сигнал растет по экспоненциальному закону, т.е. неизмеримо быстрее.

Неустойчивость это собственное, внутреннее свойство объекта, определяемое его внутренней структурой и связями, оно не зависит от подаваемых на него воздействий.

Примечание. Контролируя поведение неустойчивого объекта (измеряя его выходную величину) и управляя им должным образом, можно привести его в состояние динамической устойчивости. Примеры - обратный маятник, стоящий или идущий человек.

Неустойчивый объект может быть промоделирован целиком как неустойчивое звено. В зависимости от потребной точности модели это м.б. звено первого, второго и более высоких порядков. В этом случае в дифференциальном уравнении отражается лишь факт поступления внешней энергии, но не показывается механизм потери устойчивости.

В моделях объектов, состоящих из устойчивых активных элементов, неустойчивость возникает вследствие их взаимодействия, определяется наличием положительной, хотя бы на некоторых частотах, обратной связи.

Пример

gif-file, 20KB

Рис. 4.17. Замкнутый контур, составленный из устойчивых элементов и устойчивый в разомкнутом состоянии, может быть как устойчивым, так и не устойчивым при разных коэффициентах усиления. Причина неустойчивости - обратная связь. Механизм неустойчивости - подведение сторонней энергии, требуемой для усиления сигнала в контуре (в модели в явном виде не отражается), а также синфазирование сигнала, "циркулирующего" в контуре

В неустойчивых звеньях с хотя бы одним отрицательным коэффициентом характеристического полинома, имеется как минимум один т.н. активный элемент (транзистор, электронная лампа и др.), доставляющий синфазно энергию в звено, и они, эти звенья, моделируются как целое.

Пример. Электрический колебательный контур с отрицательным сопротивлением

gif-file, 20KB

Рис. 4.18. Принципиально устойчивое звено второго порядка с пассивными элементами (верхняя модель) всегда имеет положительные коэффициенты характеристического полинома, его элементы могут только рассеивать энергию, и поэтому оно всегда устойчиво. Звено второго порядка с активным элементом (нижняя модель) имеет отрицательный коэффициент характеристического полинома, активный элемент доставляет энергию в звено и поэтому оно неустойчиво. Нагрузочная характеристика транзистора иллюстрирует то, что линеаризованная статическая модель транзистора обладает отрицательным дифференциальным сопротивлением, а значит, не забирает энергию колебаний из колебательного контура, а напротив, в правильной фазе добавляет ее туда, что и служит механизмом развития колебаний, т.е. неустойчивости контура

Устойчивость может быть необходимым условием функционирования некоторого объекта, например САР. Также и неустойчивость может быть необходимым условием должного функционирования некоторого объекта, например генератора.

1.4.11. Нелинейность

Это свойство существенно расширяет свойства и формы поведения моделей объектов и приближает их к реальным объектам.

Выделим два, очень важных для практики, в определенном смысле основных, свойства нелинейных объектов и их моделей:

Мгновенно конечное (дискретное) изменение сигнала или структуры модели - предельный случай быстрого непрерывного изменения, когда длительностью некоторых быстрых процессов желательно и можно без потери существенных свойств пренебречь для упрощения модели и ее анализа. Это основа описания дискретных элементов, в том числе и САР с дискретным управлением.

Заключение

Итак, построив линейную модель динамического объекта, мы тем самым, в зависимости от ее сложности, наделяем ее некоторым набором основных физических свойств, число которых ограничено первым десятком.

Основные положения

Конечно, для специалистов высокого класса, инженеров и исследователей в приведенном рассмотрении вряд ли найдется что-то новое по существу вопроса. Даже если кто-то из них и не формулировал в явном виде приведенные положения, то чувствовал их интуитивно. Поэтому эти положения могут показаться и просто очевидными. Но такое понимание приходит с опытом, после проработки десятков учебников и решения сотен теоретических и практических задач. Студенту же будет полезно, параллельно с чтением учебников, ознакомиться и со смыслом того, на что в учебниках авторы жалеют или не имеют места.

Может показаться, что изложение проведено чрезмерно пространно, однако на понимание, освоение этого материала практическим путем, читая учебники и решая задачи, уйдет куда больше времени.

Практический совет. Выше рассмотрение динамических объектов было проведено для детерминированных воздействий, м.б. заранее неизвестных. Но обычно на практике детерминированные сигналы сопровождаются случайной аддитивной помехой, шумами. Для получения общего представления о поведении объекта при стохастических воздействиях можно посмотреть, как они себя ведут в двух предельных случаях: при реакции на достаточно короткий импульс, модель дельта - функции, а также при реакции на синусоидальное воздействие достаточно высокой частоты. Линейная модель будет состоятельной при достаточно малой дисперсии шумов.

Литература и Интернет

* * *

Если у уважаемого читателя хватило терпения дочитать эту пространную статью до конца, то у него может возникнуть одна из двух реакций.

Зачем мне нужно было все это читать, если я и так все это знаю, м.б. в другой постановке или даже в аналитическом изложении? Это вопрос специалиста.

Зачем мне нужно было все это читать, если я многое не понял? Это вопрос студента.

В первом случае ответ состоит в том, что вы еще раз укрупнено и качественно обозрели свойства линейных динамических объектов и м.б. вас посетят мысли о более точной трактовке некоторых положений, которые позволят сделать практически полезные выводы.

Во втором случае можно сказать, что это не учебник для первого знакомства с предметом, а комментарии ко многим учебникам. И эту статью нужно штудировать параллельно с изучением предмета по традиционным учебникам. Это поможет лучше понять суть дела.

Автор довольно давно пришел к мысли о необходимости качественного (не аналитического, с минимумом формул) изложения понятия динамического объекта и его свойств, и на протяжении лет пятнадцати спорадически возвращался к этому вопросу, пытаясь сделать изложение связным и доступным.

Некоторые вопросы пришлось доосмыслить и переосмыслить, например вопросы о классификации типовых звеньев и ограниченности основных свойств линейных систем, а некоторые разделы включены для создания полноты картины в изложении, близком к традиционному.

Тем не менее, поскольку это первый опыт такого изложения, оно не свободно от недостатков и автор с благодарностью примет конструктивные замечания по стилистике и содержанию.

3.01.2008


< < К началу статьи 1. Динамические объекты.
Определения, модели, структура, свойства

< < К списку статей: Динамические объекты
Что это такое и зачем, почему и как они описываются дифференциальными уравнениями