Федосов Борис Трофимович
Рудненский индустриальный институт,
Рудный, Казахстан
Об авторе

УДК 681.51.01
Ф338

1.3. Классификация и сводка основных свойств и характеристик
линейных моделей типовых динамических объектов (типовых звеньев)

Для математика реальная система и ее модель идентичны. Модель для него является объектом исследования. Для физика и инженера более важно знание физических процессов и математическая модель для них это только инструмент, с помощью которого изучаются свойства реального объекта.

Классификация свойств динамических звеньев, в т.ч. типовых элементов динамического объекта, может быть осуществлена по степени сложности их физической (функциональной) структуры, физическому механизму их функционирования, их автономному поведению и поведению под влиянием воздействий, или по математическим операциям, осуществляемым моделью звена над сигналами. Свойства динамического объекта — это особенности его поведения при внешних воздействиях и в их отсутствие, т.е. то, как изменяется выходная величина объекта с течением времени при тех или иных воздействиях.

При рассмотрении динамических объектов в первую очередь интересуются их поведением во времени. Учет пространственной протяженности объектов осуществляется только путем учета времени, потребного воздействиям на распространение в пространстве объекта. Это позволяет при рассмотрении динамических объектов обойтись всего одной независимой переменной - временем.

При выделении и классификации типовых звеньев динамических систем предполагается, что они являются моделями однонаправленных элементов. Это значит, что либо источники воздействий на звенья имеют бесконечную мощность, т.е. обратное влияние звена на источник сигнала пренебрежимо мало, либо это обратное влияние учитывается отдельно, другими уравнениями и схемой, и входной сигнал звена есть результат такого учета.

Динамический объект математически описывается дифференциальным уравнением как целое. Поэтому его свойства это его характерное поведение под влиянием внешних воздействий, то, как изменяется выходной сигнал с течением времени.

С другой стороны, поведение реального объекта, а значит и его свойства, определяется его внутренней физической структурой и механизмами взаимодействия элементов друг с другом. Поэтому классификация типовых звеньев, представляющих характерные свойства динамических объектов должна опираться на особенности их поведения под действием внешних воздействий, и на их структуру и механизмы взаимодействия элементов.

Совокупность допустимых для подачи на динамический объект воздействий ограничена некоторым классом. Допустимость понимается как обеспечение состоятельности линейной модели.

Обычно в учебниках классификации типовых звеньев и систем уделяется мало внимание. Традиционно классификация дается по степени дифференциального уравнения звена и заканчивается звеньями второго порядка, к которым в качестве довеска добавляется звено запаздывания.

Классификация на основе порядка дифференциального уравнения на самом деле имеет большие основания, нежели формальный количественный признак. Здесь количество переходит в качество: с повышением порядка уравнения модель приобретает все более сложную структуру, соответствует более сложным по составу реальным объектам, приобретает больше основных свойств, число которых, впрочем, ограничено десятком.

Ниже предлагается классификация звеньев, в которой в качестве исходного формального признака взят порядок уравнения, но которая опирается на совокупность свойств звена, увеличивающуюся с его усложнением. Классификация и сводка свойств и механизмов функционирования типовых динамических объектов приведены в таблицах 1 - 4.

1.3.1. Фундаментальные типовые динамические звенья и связи

Фундаментальные типовые динамические звенья это модели простейших, условно неделимых, воспринимаемых как целое элементов. Этих элементов достаточно для того, чтобы промоделировать линеаризованный объект любой сложности путем объединения их в систему с помощью связей, суммирования воздействий и ветвления связей.

Таблица 1. Фундаментальные типовые динамические звенья и связи

gif-file, 20KB

Если угодно, таблица 1 представляет собой некоторый аналог таблицы Менделеева. Она составлена не для химических элементов (атомов), а для элементов динамических систем.

Линейная модель любой сложной системы может быть составлена из перечисленных элементов, их композиции. От композиции и набора этих элементов зависят все свойства системы, как при ее функционировании в автономном режиме, без внешних воздействий, так и при подаче на них этих воздействий.

Этого набора звеньев достаточно для того, чтобы промоделировать любую, сколь угодно сложную динамическую систему в линейном приближении, в частности, в режиме малого сигнала. Объясняется это тем, что для решения линейного дифференциального уравнения реализуемого устройства достаточно только операций интегрирования, суммирования, ветвления и умножения на коэффициент. Поэтому этот набор может быть назван фундаментальным.

О степени восприятия воздействий см. ниже, п. 1.4.8.

Отметим особую значимость пропорционального звена для теории управления. Оно моделирует не только отдельные элементы динамического объекта в статике, но и САР целиком. В природе существуют объекты, которые как целое можно с достаточной точностью трактовать как элементарные динамические, например электрические и гидравлические емкости - интеграторы, рычаги - пропорциональные звенья и др.

Двустороннее взаимодействие объектов представляется двумя односторонними связями.

1.3.2. Инерционно - пропорциональные динамические звенья

Эти звенья обладают инерционностью, а также способностью отслеживать внешние воздействия, в результате чего звено заставляет выходной сигнал стремиться стать с некоторой точностью пропорциональным входному сигналу.

Самовыравнивание (а можно сказать, способность к отслеживанию) это способность динамического объекта так реагировать на входное воздействие, что его выходная величина стремится стать и быть пропорциональной входному воздействию, изменяться с некоторой степенью точности с течением времени по тому же закону. С учетом инерционно-колебательных свойств динамического объекта эта пропорциональность достигается по окончании переходного процесса, в т.н. установившемся режиме работы объекта или системы взаимосвязанных объектов. Точность, с которой достигается названная пропорциональность, определяется как величиной, скоростью, ускорением и т.д. изменения входного воздействия, так и инерционно - динамическими свойствами объекта.

Если продолжать "химическую" аналогию, то последующие таблицы содержат описание некоторых основных "молекул", композиции элементарных объектов, которая, в результате объединения приобретает как целое новые свойства. И число таких основных свойств, которыми обладает линейная система произвольной степени сложности, а значит и типовых звеньев, ограничено первым десятком.

Таблица 2. Инерционно - пропорциональные динамические звенья

gif-file, 20KB

Практическая значимость инерционно - пропорциональных звеньев в том, что ими, м.б. с использованием звена запаздывания, зачастую можно вполне удовлетворительно промоделировать правильно работающую САР, состоящую из многих элементов. Т.е. описывать свойства такой САР можно с помощью достаточно простой модели, характеризуемой всего двумя - тремя параметрами.

1.3.3. Потенциально неустойчивые инерционно - пропорциональные динамические звенья

Неустойчивость проявляется как экспоненциальный апериодический или колебательный рост выходной величины объекта. Неустойчивость проявляется у достаточно сложных, степенью более второй, систем с положительными коэффициентами характеристического полинома, и связана с получением энергии для обеспечения неограниченного роста выходного сигнала, а также с наличием обратной связи в модели объекта выполнением некоторых условий (усиления контура и фазовых задержек в нем). В неустойчивой линейной системе баланс потребляемой и расходуемой энергии положительный.

У систем, составленных из пассивных элементов, коэффициенты характеристического полинома положительные. Введение в такую систему активных элементов, например усилителей, а также обратных связей может привести к возникновению условий для неустойчивости системы. Характеристический полином такой системы может иметь как положительные, так и отрицательные коэффициенты характеристического полинома.

Таблица 3. Неустойчивые и потенциально неустойчивые динамические звенья

gif-file, 20KB

Практическая значимость звена третьего порядка, как упрощенной модели непрерывной системы управления, состоит в том, что на его основе можно приближенно оценить качество, в частности, запасы устойчивости проектируемой САР, стабилизировать и оптимизировать ее в первом приближении.

1.3.4. Комплексные системы

Это модели систем, в которых учитываются многие элементы, в той или иной степени влияющие на выходную величину системы.

Таблица 4. Комплексные системы

gif-file, 20KB

Знаменатель передаточной функции характеризует внутренние, инерционные свойства объекта, а числитель - способ приложения внешнего воздействия, восприимчивость объекта к нему. Практическая значимость сложной модели непрерывной системы управления состоит в том, что на ее основе можно оценить в полной мере устойчивость проектируемой САР, определить параметры, влияющие на устойчивость и качество САР и оптимизировать ее.

Рассмотренные модели, типовые звенья состоятельны, адекватны реальным динамическим объектам только в ограниченные промежутки времени, при ограниченных величинах воздействий и реакций и в ограниченном пространстве, но эти области состоятельности достаточно велики, чтобы решать многие задачи по исследованию структуры и свойств и многих характеристик реальных объектов.

Итак, вот основные свойства, которыми обладают линейные системы или их элементы как модели динамических объектов:

Можно утверждать, что список основных свойств линейных систем этим и ограничивается. Строгое доказательство полноты предлагаемого списка навряд ли можно дать, поскольку понятие полноты в данном случае относительное, не строгое. Список основывается на опыте и интуитивном представлении об основных, полезных на практике, свойствах динамических объектов.



Далее: 1.4. Основные свойства и механизмы
функционирования динамических объектов >>

< < К содержанию статьи 1. Динамические объекты.
Определения, модели, структура, свойства