Федосов Борис Трофимович
Рудненский индустриальный институт,
Рудный, Казахстан
Об авторе

УДК 681.51.01
Ф338

1. Динамические объекты
Определения, модели, структура, свойства

         Ниже проводится качественное, другими словами в основном словесное, без лишних формул, описание динамического объекта, его моделей, функциональной структуры, механизмов функционирования и физических свойств. Это дает основу понимания принципов построения и функционирования динамических объектов и систем. Такое понимание должно существенно упростить овладение студентами инженерными курсами и разделами физики, математическим аппаратом в которых являются дифференциальные уравнения, будь то электротехника, электроника, теория автоматического управления или механика и др.
         Динамические физические и виртуальные объекты существуют объективно. Это значит, что эти объекты функционируют в соответствии с некоторыми законами, независимо от того, знает ли и понимает ли их человек или нет. Например, для управления автомобилем вовсе не обязательно знать, как работает двигатель, что в нем происходит и почему это приводит к движению автомобиля, если нажимать на газ или поворачивать руль. Но если человек предполагает не управлять автомобилем, а сконструировать систему управления им, то знание и понимание процессов динамики уже совершенно необходимо.
         Динамические объекты и их линейные модели плотно исследовались и анализировались на протяжении более двух столетий многими учеными и инженерами. Результаты этих исследований и анализа и представляются ниже качественно в концентрированном виде, так, как это воспринимается автором. Прежде всего, это относится к линейным моделям динамических систем, их классификации, описанию их свойств и области состоятельности. Кроме того, далее обсуждаются и некоторые свойства нелинейных систем.

Введение

Любое восприятие и отображение сознанием человека, его интеллектом окружающей действительности: пространства, среды и помещенных в ней тел, перемещение и взаимодействие тел и других объектов, в широком смысле представляет собой некоторую модель реальности. Частным случаем такого отражения является выделение из окружения т.н. динамических объектов, обладающих некоторой общей системой свойств. Модели могут описываться словами или формулами, другими способами.

Динамические объекты это физические тела и системы связанных тел, явления, технические устройства и системы связанных устройств, а также технологические процессы, способные воспринимать внешние физические воздействия и откликаться на них изменением выходных физических величин, характеризующих состояние и поведение объекта.

Как видно из этого нестрогого, качественного определения, к динамическим объектам в той или иной мере можно отнести огромное число реальных физических объектов и явлений, в частности технических устройств и их систем, а также технологических процессов. Этим определяется высокая практическая значимость рассмотрения, описания, моделирования динамических объектов, позволяющих понимать и оценивать свойства проектируемых систем управления еще до их реализации и определения поведения физических объектов, которое можно от них ожидать. При необходимости система управления еще на стадии анализа модели может быть скорректирована с целью получения требуемого поведения динамического объекта управления.

Динамический объект может иметь сложную физическую структуру, состоять из элементов, взаимодействующих друг с другом в одном и двух направлениях, он описывается дифференциальными уравнениями.

В узком смысле динамический объект функционирует во времени, а его пространственные параметры и характеристики приближенно учитываются при моделировании задержками времени, требуемые сигналам (воздействиям и реакциям) для распространения в пространстве.

Формально, пусть и не строго, динамический объект можно определить и как объект, моделью которого является дифференциальное уравнение. Тогда все свойства, которыми обладает объект, содержатся в самом дифференциальном уравнении, в его в решении. Но эти свойства скрыты от прямого взгляда, чтобы узнать свойства объекта, их нужно раскрыть. Попытка такого раскрытия и систематизации свойств предпринимается в этой статье.

Итак, описание и исследование динамических объектов подчинено следующей логике.

Многократно проверено, что многие реальные объекты ведут в определенном смысле и в определенных пространственных и временных границах себя так же, как и решения дифференциальных уравнений. Это значит, что решение соответствующего объекту дифференциального уравнения изменяется во времени так же, как и выходная величина реального объекта при подаче на него такого же воздействия, которое фигурирует в правой части дифференциального уравнения. Определив динамический объект как объект, описываемый адекватно дифференциальным уравнением, можно исследовать само дифференциальное уравнение и перенести его свойства обратно на реальный объект. Тут возникает два важных вопроса:

Ответ на первый вопрос разбирается ниже.

Краткий ответ на второй вопрос сводится к очевидным необходимым условиям:

Идея описания системы связанных механических тел с помощью дифференциальных уравнений восходит к Д'Аламберу [1].

Для того чтобы понять смысл и технику дифференциальных уравнений, описывающих динамические объекты, и получения целостного представления о них, прежде рассмотрим качественно, что такое динамический объект и какими он обладает свойствами. Это описание основывается на результатах, полученных многими исследователями, в том числе и на размышлениях автора, и изложено без многочисленных ссылок и доказательств, но с пояснениями и иллюстрациями.

1.1. Динамический объект. Понятия и определения.
Состоятельность модели динамического объекта

Слова, термины "динамический", "динамичный" прочно и широко вошли в различные области знаний человека, используются и в быту, как эмоциональный эпитет энергичного движения в широком смысле этого слова, синоним быстрых изменений. В предлагаемой работе термин "динамический" будет использован в его узком и непосредственном значении, означающем "силовой", т.е. динамический объект это объект, подверженный внешнему (силовому) воздействию, приводящему к движению в широком смысле этого слова.

Динамический объект (от дина - сила, т.е. объект, воспринимающий силу, воздействие) это физическое тело, техническое устройство или процесс, имеющее входы, точки возможного приложения внешних воздействий, и воспринимающие эти воздействия, и выходы, точки, значения физических величин в которых характеризуют состояние объекта. Объект способен реагировать на внешние воздействия изменением своего внутреннего состояния и выходных величин, характеризующих его состояние. И воздействие на объект, и его реакция в общем случае изменяются с течением времени, они наблюдаемы, т.е. могут быть измерены соответствующими приборами. Объект имеет внутреннюю структуру, состоящую из взаимодействующих динамических элементов.

Если вчитаться и вдуматься в приведенное выше нестрогое определение, можно увидеть, что отдельно динамический объект в "чистом" виде, как вещь в себе, не существует: для описания объекта модель должна содержать еще и источники воздействий (генераторы), среду и механизм подачи на него этих воздействий, объект должен иметь протяженность в пространстве и функционировать во времени, а также в модели должны быть измерительные устройства.

Методический вопрос. Спрашивается, до того как был прочитан предыдущий абзац, было ли очевидно читателю то, что он следует из определений, даваемых в учебниках или данного выше определения динамического объекта? Другими словами, подразумеваемое нужно хотя бы однажды где-то высказать, чтобы упростить работу студента.

Воздействием на объект может быть некоторая физическая величина: сила, температура, давление, электрическое напряжение и другие физические величины или совокупность нескольких величин, а реакцией, откликом объекта на воздействие, может быть движение в пространстве, например смещение или скорость, изменение температуры, силы тока и др.

Для линейных моделей динамических объектов справедлив принцип суперпозиции (наложения): реакция на совокупность воздействий равна сумме реакций на каждое из них, а масштабному изменению воздействия соответствует пропорциональное изменение реакции на него. Одно воздействие может быть приложено к нескольким объектам или нескольким элементам объекта.

gif-file, 20KB

Рис. 1.1. Примеры динамических объектов

Понятие динамический объект содержит и выражает причинно-следственную связь между воздействием на него и его реакцией. Например, между силой, приложенной к массивному телу, и его положением и движением, между электрическим напряжением, приложенным к элементу, и током, протекающем в нем.

В общем случае динамические объекты являются нелинейными, в том числе они могут обладать и дискретностью, например, изменять быстро структуру при достижении воздействием некоторого уровня. Но обычно большую часть времени функционирования динамические объекты - непрерывны во времени и при малых сигналах они линейны. Поэтому ниже основное внимание будет уделено именно линейным непрерывным динамическим объектам.

Пример непрерывности: автомобиль, двигающийся по дороге - непрерывно функционирующий во времени объект, его положение зависит от времени непрерывно. Значительную часть времени автомобиль может рассматриваться как линейный объект, объект, функционирующий в линейном режиме. И только при авариях, столкновениях, когда например автомобиль разрушается, требуется описание его как нелинейного объекта.

Линейность и непрерывность во времени выходной величины объекта просто удобный частный, но важный случай, позволяющий достаточно просто рассмотреть значительное число свойств динамического объекта.

С другой стороны, если объект характеризуется процессами, протекающими в разных масштабах времени, то во многих случаях допустимо и полезно заменить наибыстрейшие процессы их дискретным во времени изменением.

Настоящая статья посвящена, прежде всего, линейным моделям динамических объектов при детерминированных воздействиях. Гладкие детерминированные воздействия произвольного вида могут быть генерированы путем дискретного, сравнительно редкого аддитивного действия на младшие производные воздействия дозированными дельта - функциями [3]. Такие модели состоятельны при сравнительно малых воздействиях для весьма широкого класса реальных объектов. Например, именно так формируются сигналы управления в компьютерных играх, имитирующих управление автомобилем или самолетом с клавиатуры. Случайные воздействия пока остаются за рамками рассмотрения.

Состоятельность линейной модели динамического объекта определяется, в частности, тем, является ли его выходная величина достаточно гладкой, т.е. является ли она и м.б. несколько ее младших производных по времени непрерывными. Дело в том, что выходные величины реальных объектов изменяются достаточно плавно во времени. Например, самолет не может мгновенно переместиться из одной точки пространства в другую. Более того, он, как и любое массивное тело, не может скачком изменить свою скорость, на это потребовалась бы бесконечная мощность. Но ускорение самолета или автомобиля может изменяться скачком.

Понятие динамический объект определяет физический объект вовсе не всесторонне. Например, описание автомобиля как динамического объекта позволяет ответить на вопросы, как быстро он разгоняется и тормозит, как плавно двигается по неровной дороге и кочкам, какие воздействия будут испытывать водитель и пассажиры машины при движении по тряской дороге, на какую гору он может подняться и т.п. Но в такой модели безразлично, какой цвет у автомобиля, не важна его цена и др., постольку, поскольку они не влияют на разгон автомобиля. Модель должна отражать главные с точки зрения некоторого критерия или совокупности критериев свойства моделируемого объекта и пренебрегать второстепенными его свойствами. Иначе она будет чрезмерно сложной, что затруднит анализ интересующих исследователя свойств.

С дугой стороны, если исследователя интересует именно изменение во времени цвета автомобиля, вызываемое различными факторами, например солнечным светом или старением, то и для этого случая может быть составлено и решено соответствующее дифференциальное уравнение.

Реальные объекты, как и их элементы, которые также можно рассматривать как динамические объекты, не только воспринимают воздействия от некоторого источника, но и сами воздействуют на этот источник, противодействуют ему. Выходная величина объекта управления во многих случаях является входной для другого, последующего динамического объекта, нагрузки, которая также, в свою очередь, может влиять на режим работы объекта.

Т.о. связи динамического объекта с внешним, по отношению к нему миром, двунаправленные.

Часто, при решении многих задач, рассматривается поведение динамического объекта только во времени, а его пространственные характеристики, в случаях, если они непосредственно не интересуют исследователя, не рассматриваются и не учитываются, за исключением упрощенного учета задержки сигнала, которая может быть обусловлена временем распространения воздействия в пространстве от источника к приемнику.

Динамические объекты описываются дифференциальными уравнениями (системой дифференциальных уравнений). Во многих практически важных случаях это линейное, обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) или система ОДУ. Многообразие видов динамических объектов определяет высокую значимость дифференциальных уравнений как универсального математического аппарата их описания, позволяющего проводить теоретические исследования (анализ) этих объектов и на основе такого анализа конструировать модели и строить полезные для людей системы, приборы и устройства, объяснять устройство окружающего нас мира, по крайней мере, в масштабах макромира (не микро- и не мега-).

Модель динамического объекта состоятельна, если она адекватна, соответствует реальному динамическому объекту. Это соответствие ограничивается некоторой пространственно-временной областью и диапазоном воздействий.

Модель динамического объекта реализуема, если можно построить реальный объект, поведение которого под влиянием воздействий в некоторой пространственно-временной области и при некотором классе и диапазоне входных воздействий соответствует поведению модели.

Широта классов, многообразие структур динамических объектов может вызвать предположение, что все они вместе обладают неисчислимым набором свойств. Однако попытка охватить и понять эти свойства, и принципы работы динамических объектов, во всем их многообразии вовсе не столь безнадежна.

Дело в том, что если динамические объекты адекватно описываются дифференциальными уравнениями, а это именно так, что и будет проиллюстрировано ниже, то совокупность свойств, характеризующих динамический объект любого рода, определяется совокупностью свойств характеризующих его дифференциальное уравнение. Можно утверждать, что, по крайней мере, для линейных объектов таких основных свойств существует довольно ограниченное и сравнительно небольшое число, а поэтому, ограничен и набор основных свойств динамических объектов. Опираясь на эти свойства и комбинируя элементы, обладающие ими, можно построить динамические объекты с самыми разнообразными характеристиками.

Итак, основные свойства динамических объектов, рассматриваемые ниже, выведены теоретически из их дифференциальных уравнений и соотнесены с поведением соответствующих реальных объектов.

< < К содержанию

1.2. Структура и режимы работы динамического объекта

Динамический объект это объект, воспринимающий изменяющиеся во времени внешние воздействия и реагирующий на них изменением выходной величины. Объект имеет внутреннюю структуру, состоящую из взаимодействующих динамических элементов. Иерархия объектов ограничена снизу простейшими моделями и опирается на их свойства.

Воздействием на объект, как и его реакцией, являются физические, измеряемые величины, это может быть и совокупность физических величин, математически описываемая векторами.

При описании динамических объектов с помощью дифференциальных уравнений неявно предполагается, что каждый элемент динамического объекта получает и расходует столько энергии (такую мощность), сколько ему требуется для нормальной работы в соответствии с его назначением по отклику на поступающие воздействия. Часть этой энергии объект может получать от входного воздействия и это описывается дифференциальным уравнением явно, другая часть может поступать от сторонних источников и в дифференциальном уравнении не фигурировать. Такой подход существенно упрощает анализ модели, не искажая свойств элементов и всего объекта. При необходимости процесс обмена энергией с внешней средой может быть подробно описан в явной форме и это будут также дифференциальные и алгебраические уравнения.

В некоторых частных случаях источником всей энергии (мощности) для выходного сигнала объекта является входное воздействие: рычаг, разгон массивного тела силой, пассивная электрическая цепь и др.

В общем случае воздействие может рассматриваться как управляющее потоками энергии для получения необходимой мощности выходного сигнала: усилитель синусоидального сигнала, просто идеальный усилитель и др.

Динамические объекты, как и их элементы, которые также можно рассматривать как динамические объекты, не только воспринимают воздействие от его источника, но и сами воздействуют на этот источник: например в классической механике это выражается принципом, сформулированном в третьем законе Ньютона: действие равно противодействию, в электротехнике напряжение источника есть результат установления динамического равновесия между источником и нагрузкой. Т.о. связи динамического объекта с внешним, по отношению к нему миром, двунаправленные.

1.2.1. Структура динамического объекта

Внутренняя функциональная структура динамического объекта представляет собой взаимосвязанные, взаимодействующие друг с другом элементы, представляющие собой более простые динамические объекты. Такая конкретизация иерархии структуры ограничивается т.н. простейшими объектами. Связи, по которым передаются воздействия, могут разветвляться, т.е. один элемент может воздействовать на несколько других, или, напротив, на один элемент могут влиять несколько других.

gif-file, 20KB

Рис. 2.1. Схематическое изображение физической структуры динамического объекта и его взаимодействия с источником воздействия на него и нагрузкой

Примерами динамических объектов, состоящих из двунаправленных элементов, могут служить электрическая схема, состоящая из пассивных RLC-элементов и источников напряжения, двигатель, приводящий в движение некоторую машину, например ДВС автомобиля и многие др.

По существу, все элементы динамического объекта являются двунаправленными, как и сам объект по отношению к внешним объектам. Это следует из обобщения третьего закона Ньютона, сформулированного им для механики: сила противодействия тела равна силе воздействия на него другим телом и направлена навстречу ей, а в химии также формулируется в виде принципа Ле Шателье. Обобщая можно сказать: воздействие одного динамического элемента на другой встречает противодействие некоторого вида. Например, электрическая нагрузка источника напряжения противодействует ему током, изменяя значение напряжения на выходе источника. В общем случае противодействие нагрузки влияет на режим работы источника, и их поведение определяется в результате, если это возможно, переходом в некоторое динамическое равновесие.

Во многих случаях мощность источника воздействия значительно больше потребной входной мощности приемника, каковым является динамический объект. В этом случае динамический объект практически не влияет на режим работы источника (генератора) и связь может рассматриваться как однонаправленная от источника к объекту. Такая однонаправленная модель элемента, основывающаяся на рациональном физическом структурировании объекта, существенно упрощает описание и анализ системы. Собственно, многие технические объекты, хотя и далеко не все, строятся как раз по такому принципу, в частности при проектировании систем для решения задач управления. В других случаях, например при решении задачи, когда требуется получение максимального кпд двигателя, противодействием пренебречь нельзя.

Детализируя структуру динамического объекта можно придти к элементарным, условно не упрощаемым объектам. Такие объекты описываются простейшими алгебраическими и дифференциальными уравнениями. Фактически такие элементы в свою очередь могут иметь сложную структуру, однако удобнее при моделировании воспринимать их как единое целое, свойства которого определяются этими, сравнительно простыми уравнениями, связывающими реакцию с воздействием.

1.2.2. Элементарные динамические объекты

Любой функциональный элемент реального объекта имеет свою структуру, его можно, как и весь объект, мысленно или физически разделить на взаимодействующие элементы. Элементарный динамический объект это рационально выбранный элемент реального объекта, условно считающийся неделимым, обладающий, как целое некоторым фундаментальным свойством, например инерцией, и с достаточной степенью точности описываемый простейшим алгебраическим или дифференциальным уравнением.

Важнейшее, фундаментальное свойство динамических объектов это их инерционность. Физически инерционность выражается в том, что объект не сразу, а постепенно реагирует на внешние воздействия, а в отсутствие внешнего воздействия стремится сохранить свое состояние и поведение. Математически инерция выражается в том, что выходная величина реального объекта является непрерывной во времени величиной. Более того, некоторые младшие производные выходной величины тоже должны быть непрерывными, они не могут изменяться скачком при ограниченных по мощности воздействиях, в том числе и изменяющихся скачком, ступенчато во времени.

Простейшие инерционные динамические объекты - кинедины [2]. Это элементарные объекты, мысленно или физически вычленяемые из структуры сложного объекта и с достаточной степенью точности подчиняющиеся простейшим дифференциальным уравнениям различных порядков. Такие модели состоятельны, по крайней мере, в некоторой пространственно-временной области и в ограниченном диапазоне величин сигналов.

gif-file, 20KB

Рис. 2.2. Примеры простейших динамических объектов и их линейные модели. Внешнее воздействие на такой объект приводит к его движению в широком смысле этого слова: смещению (мгновенному пропорциональному изменению выходной физической величины, в том числе, хотя и не обязательно, пространственной), появлению или изменению скорости, ускорения и более высоких производных этой величины по времени. Для трех младших моделей, представленных на рисунке, существуют, как видно, простые реальные аналоги, объекты более высоких степеней могут представлять собой связанные системы более простых элементов

Приведенные формулы динамики элементарных моделей не описывают их противодействие источникам воздействий, а также влияние нагрузки на эти объекты. Другими словами, элементарные объекты рассматриваются как однонаправленные.

При проектировании систем, включающих такие элементы, приходится в той или иной мере учитывать их противодействие источникам воздействий, а также противодействие им их нагрузками. Такой учет осуществляется "автоматически" при выводе дифференциального уравнения всей системы или сложного объекта. Далее будет показано, что процедура вывода дифференциального уравнения динамического объекта из уравнений, описывающих его элементы и связи между ними, осуществляет учет двунаправленности взаимодействия элементов объекта и приводит к дифференциальному уравнению, которое описывает объект как целое, как однонаправленный.

Математическое описание инерции динамического объекта, объекта, соответствующего некоторому дифференциальному уравнению, состоит в том, что воздействие сказывается на реакции объекта опосредовано, оно непосредственно влияет на ту или иную производную реакции по времени, или сразу на несколько из них. Это и приводит к тому, что реакция проявляется только с течением времени. И действительно, такое описание соответствует поведению реальных объектов. Например, при мгновенной подаче некоторого, сравнительно малого, не меняющегося после подачи воздействия на элементарный объект второго порядка, например силы на инерционную массу, объект остается некоторое, пусть малое, время в том же состоянии, что и до подачи, имеет ту же скорость, что и ранее. Но вторая производная, т.е. ускорение, прыгает скачком, пропорционально величине приложенной силы. И, поэтому, только с течением времени, а не сразу, наличие второй производной проявляется в изменении скорости, а следовательно, в последующем, и на положении тела в пространстве.

gif-file, 20KB

Рис. 2.3. Разгон моделей инерционных объектов различных степеней при подаче на них ступенчатого воздействия. Чем выше степень, тем слабее сказывается в начальные моменты времени воздействие на движении объекта, ярче проявляется их инерционность, но с течением времени объект с более высокой степенью инерционности "обгоняет" более простой объект

Суть математического описания и физическая трактовка степени инерционности элементарного динамического объекта состоит в следующем.

Динамические объекты нулевого порядка безинерционны. Они мгновенно, безинерционно откликаются на изменение воздействия пропорциональным изменением выходной величины (в механике - смещением в пространстве по закону Гука, в электротехнике - мгновенным возникновением тока в резисторе при подаче на него напряжения). Придадим им нулевую степень инерционности.

Воздействие на объект первого порядка вызывает скорость изменения выходной величины, пропорциональную величине воздействия. Такому объекту присвоим первую степень инерционности.

Воздействие на объект второго порядка инерционности приводит к ускорению (появлению второй производной по времени) выходной величины, пропорциональному величине воздействия. Это может быть, например, массивное тело. Его положение в пространстве и скорость непрерывные функции времени. Такой объект имеет вторую степень инерционности.

Для перечисленных элементов можно указать простейшие материальные объекты, обладающие такими свойствами, см. например рис. 2.2.

Воздействие на объект третьего порядка вызывает третью производную по времени выходной величины, пропорциональную воздействию, его степень инерционности равна трем, и т.д.

Свойством элементарного объекта с порядком, более высоким, чем второй, обладают, пусть в течение сравнительно короткого времени, достаточно сложные динамические системы.

Существование во Вселенной элементарных физических объектов со свойствами элементарных инерционных объектов порядков выше второго оставим за скобками данного рассмотрения. Но как модели достаточно сложных динамических объектов и систем они состоятельны, по крайней мере, в течение некоторого времени и в ограниченном пространстве.

Примечание. Как известно, Вселенная расширяется, причем, чем дальше от нас ее объекты, т.е. чем дольше они существуют, тем с большей скоростью они от нас удаляются. Вполне можно допустить, что кому-то может пригодиться простое описание такого, все ускоряющегося движения в виде объекта третьего порядка. Однако насколько такая модель глубока и даже просто состоятельна, судить специалистам.

Итак, то, как элементарные объекты воспринимают внешнее воздействие, характеризует их инерционность. Инерция этих объектов проявляется и в том частном случае, когда воздействие на них равно нулю:

Т.о. инерционность объекта количественно в общих чертах определяется степенью его инерционности. Степень инерционности объекта можно определить как порядок n производной реакции объекта, на которую воздействие сказывается непосредственно. Порядок этой производной равен числу накапливающих элементов первого порядка, содержащихся в модели объекта. Как известно, это порядок т.н. характеристического полинома объекта или системы, или, что то же самое, количество его полюсов (см. ниже).

Особенность моделей простейших динамических объектов состоит в том, что они показывают, как входное воздействие влияет на выходную величину, как они связаны математически, но не раскрывают, не описывают физический механизм этого преобразования, который в каждом конкретном случае может быть разным. Энергия выходной величины может приобретаться из энергии входной (т.н. пассивные элементы). Этот механизм также обеспечивает при необходимости получение сторонней энергии, необходимой для функционирования элементов (т.н. активные элементы), и отдачу ее во вне.

В приведенных на рис. 2.2 примерах энергию, необходимую для функционирования динамических элементов доставляют воздействия на них. Но в общем случае, в моделях более сложных объектов воздействие доставляет только часть энергии, или даже просто управляет подачей или отводом энергии к элементу. Примеры: усилитель и резисторный делитель напряжения. Первый потребляет энергию источника питания для обеспечения должной мощности выходного сигнала, второй - расходует некоторую часть энергии входного сигнала для того, чтобы получить нужное выходное напряжение, меньшее входного.

gif-file, 20KB

Рис. 2.4. Аналоговый интегратор на операционном усилителе для своей работы требует подведения энергии, но на схеме и в его уравнении это не отображается

В описании элементов и систем управления дифференциальными уравнениями, если это не оговорено специально, механизм преобразования энергии в явной форме, да и сам факт этого не отражается. Этот механизм может быть при необходимости описан отдельно также дифференциальными уравнениями.

Отметим, что в некотором масштабе времен и в ограниченной пространственной области можно выделить объекты, реагирующие непосредственно не на воздействие, но на его изменения, что математически выражается как реакция на производную по времени [2]:


(2.1)

gif-file, 20KB

В некотором смысле объект, обладающий таким свойством, является антиподом простейшего инерционного объекта. Это свойство объекта может быть названо динамическим прогнозированием, поскольку, зная производную воздействия, можно, проинтегрировав ее получить и младшие производные, а зная их получить прогноз дальнейшего изменения воздействия как ряд Тейлора по времени.

1.2.3. Воздействия на объект и его реакция. Связи объектов

1.2.3, а. Воздействие на объект и его реакция

В общем случае динамические объекты подвержены внешним воздействиям, определяющим поведение выходной величины объекта во времени.

Воздействие на объект это некоторая физическая величина, которая воспринимается объектом, и на которую он реагирует изменением некоторой физической величины, характеризующей состояние объекта.

Динамические объекты могут подвергаться внешним воздействием, но воздействия могут быть и нулевыми. Во втором случае объекты функционируют автономно, их выходная величина может изменяться некоторое время за счет внутренней энергии, запасенной заранее в накопительных элементах, а также за счет сторонней энергии, необходимой для правильного функционирования элементов объекта.

Воздействие генерируется некоторым источником. Оно подается на объект посредством некоторого механизма, отображаемого на графическом представлении физической структуры объекта, на т.н. функциональной схеме, в виде условной однонаправленной линии связи.

К сложному динамическому объекту воздействие может быть приложено в разных точках, подано различными способами. При этом может оказаться, что объект как целое реагирует непосредственно не только на само воздействие, но и на одну или несколько его младших производных. В случае линейной модели это сумма:

(2.2)

gif-file, 20KB

Максимальная степень m производной, непосредственно влияющей на реакцию объекта, определяется местом и способом приложения внешнего воздействия. Эта степень для реальных объектов не может превышать степени их инерционности n, т.е. числа накапливающих элементов, имеющихся в динамическом объекте.

Если объект способен реагировать не только на воздействие, но и на его младшие производные, то это частично уменьшает его инерционность.

gif-file, 20KB

Рис. 2.5. Демпфер с пружиной. X - воздействие, s - смещение, реакция. Один и тот же объект, в зависимости от того, куда приложено внешнее воздействие, может инерционно откликаться или на само воздействие (схема вверху), или на его первую производную (схема внизу)

Воздействие в общем случае может содержать ненулевые, изменяющиеся, в том числе и скачком, производные и более высоких порядков, чем m. Но они влияют на реакцию объекта опосредовано, изменяя с течением времени младшие производные воздействия и его само и тем самым, сказываясь на реакции. Отсюда возникает многообразие поведения объектов [3].

Порядок старшей производной m входного воздействия объекта, непосредственно влияющей на его реакцию, может быть назван степенью восприимчивости объекта или просто восприимчивостью (физическую трактовку см. ниже). Число m это число корней числителя передаточной функции линейного объекта, или, что то же самое, число нулей его передаточной функции.

Разность pr степеней инерционности n и восприимчивости m объекта определяет класс допустимых для подачи на линейную модель сигналов, при которых реакция модели будет иметь требуемую по физическим соображениям степень гладкости (см. ниже), т.е. модель будет состоятельной и позволит, основываясь на этом, прогнозировать, пусть на малый промежуток времени, поведение во времени реакции, т.е. самого объекта . Эту разность pr можно назвать степенью прогнозируемости объекта.

Степень прогнозируемости объекта определяет класс гладкости воздействий, при которых линейная модель является состоятельной, т.е. при которых некоторая младшая производная выходной величины объекта, степень которой определяется физическими свойствами моделируемого объекта, непрерывна.

Это требование достаточной гладкости выходной величины обеспечивает состоятельность линейной модели динамического объекта.

Классическое требование реализуемости линейного объекта состоит в том, что степень его инерционности n должна быть не меньше степени восприимчивости m. Это требование обеспечивает причинно-следственную связь между воздействием и реакцией объекта: реакция наступает после воздействия.

1.2.3, б. Связи объектов с источниками и другими объектами

Связь - модель механизма передачи без искажений воздействия от одного объекта к другому. При моделировании удобнее пользоваться однонаправленными связями.

Если не требуется специально, то механизм передачи воздействий между элементами динамического объекта подробно не описывается. Просто считается, что выходная физическая величина источника воздействия некоторым образом без всяких изменений поступает на вход объекта. Такая модель односторонней передачи воздействия (физической величины) называется связью и отображается на функциональных схемах однонаправленными стрелками, указывающими направление передачи.

Двунаправленные связи отображаются двумя однонаправленными связями, направленными противоположно.

Связи могут быть двух видов:

Первый вид связей используют при моделировании относительно малогабаритных систем, когда время передачи воздействия от источника к объекту существенно меньше характерного времени протекания процессов в объекте и им обоснованно пренебрегают. Тем самым считается, что динамические объекты являются точечными в пространстве, т.е. их размеры и расстояния между ними пренебрежимо малы, как и время передачи воздействия, по сравнению с характерными временами протекания процессов в объекте.

В тех случаях, когда временем распространения воздействий в объекте и между ними нельзя пренебречь, протяженность объектов и систем учитывается задержкой сигнала, при распространении воздействия от источника к приемнику. Это и есть связь с запаздыванием.

1.2.3, в. Суммирование и ветвление воздействий

На объект могут подаваться несколько воздействий, например от разных источников. В линейном приближении эти воздействия подчиняются принципу суперпозиции, т.е. суммируются на входе объекта. Их суммарное действие на объект равно сумме реакций объекта на каждое из них в отдельности.

Одно воздействие может быть приложено к нескольким объектам. Такой вид связи - ветвление.

1.2.3, г. Композиция элементов в модели

Модель, состоящая из нескольких объектов, в т.ч. взаимодействующих в двух направлениях, может быть заменена на эквивалентную, более сложную, описываемую как целое.

Дифференциальное уравнение описывает такую систему как однонаправленную. Т.о. вывод дифференциального уравнения из уравнений отдельных физических законов, отражающих процессы в объектах и взаимодействие между ними, можно рассматривать как алгоритм преобразования сложной функциональной схемы к однонаправленной структурной, состоящей из однонаправленных же элементов.

Для описания одним дифференциальным уравнением сложной системы используются теоремы о соединении однонаправленных звеньев и эквивалентные преобразования структурных схем.

1.2.4. Режимы работы динамического объекта

Динамический объект может функционировать как автономно, без внешних воздействий, за счет собственных источников энергии, в том числе запасенной в накапливающих элементах, так и под внешними воздействиями.

Отметим, что сравнительно медленным и гладким воздействиям, хотя и сопротивляясь, "напрягаясь", динамический объект, имеющий сложную структуру, подчиняется как целое. Такой режим его функционирования называется установившимся.

Дифференциальное уравнение объекта не описывает механизм этого "напряжения", оно, это "напряжение" косвенно может проявляться в выходной величине объекта и ее производных.

Если же воздействие или его младшие производные сравнительно короткое время изменяются слишком быстро, например, скачкообразно, то динамический объект не успевает отреагировать на это изменение. В результате такой встряски возникает т.н. переходный режим, который определяется временем, в течение которого объект "приноравливается" к изменившейся обстановке, переходит в новое динамическое равновесие с изменяющимся воздействием, новый установившийся режим. При переходе проявляются собственные, внутренние инерционно-колебательные свойства объекта, связанные с перераспределением энергии между элементами. Они-то и определяют переход от одного установившегося режима к другому. Поэтому такой режим работы объекта называется переходным.

В отсутствие внешних воздействий, инерция динамического объекта проявляется в поддержании своего состояния и поведения, которые определяются и тем, потребляется или рассеивается объектом энергия, поступающая извне для обеспечения функционирования его элементов.

Т.н. свободная консервативная система, не подвержена внешним воздействиям. В ней происходит в общем случае неограниченный во времени, незатухающий процесс обмена энергией между инерционными элементами, незатухающие колебания.

1.2.5. Структуры моделей динамического объекта

Типовые структуры моделей динамического объекта сводятся к четырем типам: последовательная и параллельная модели, а также модель в виде контура и модель, состоящая из вложенных контуров [4]. Каждая модель по-своему полезна и эквивалентна остальным с точки зрения влияния воздействия на выходную величину объекта, но вовсе не обязательно отражает реальную структуру физического объекта, а скорее наоборот.


Далее: 1.3. Классификация и сводка основных свойств и характеристик
линейных моделей типовых динамических объектов (типовых звеньев) >>

< < К содержанию статьи 1. Динамические объекты.
Определения, модели, структура, свойства