Скворцов Леонид Маркович
МГТУ им. Н.Э. Баумана,
Москва, Россия Об авторе
Федосов Борис Трофимович
Рудненский индустриальный институт,
Рудный, Казахстан Об авторе

УДК 681.51.01
Ф338

Об алгебраических критериях В.С. Воронова устойчивости
и качества линейных систем

Памяти Владимира Сергеевича Воронова
посвящается

         Линейные системы описываются множеством различных способов, позволяющих в большей или меньшей мере охарактеризовать свойства систем, взглянуть на них с разных сторон. Важную информацию о свойствах системы в свободном состоянии содержит ее характеристический полином. Классические критерии Гурвица, Рауса и Михайлова позволяют судить по характеристическому полиному системы о ее устойчивости. Эти критерии требуют довольно трудоемких вычислений и для сравнительно сложных систем могут быть использованы только с применением компьютера.
         В.С. Воронов предложил более удобные и простые с точки зрения вычислений алгебраические критерии устойчивости и, что особенно важно, качества линейных систем. Критерий качества, предложенный В.С. Вороновым, в отличие от традиционных алгебраических критериев позволяет не только провести анализ, но и осуществить синтез САР.
         Простота критериев В.С. Воронова позволяет использовать их не только для компьютерного, но и для "ручного" счета, что важно, в частности, для экспресс - проверки правильности работы моделей, которые строятся в моделирующих программах.
         К сожалению, полезные критерии устойчивости В.С. Воронова не попали в поле зрения авторов учебников по ТАУ и поэтому не рассматриваются в них. Предлагаемая статья направлена на некоторую компенсацию этого упущения.
         Ниже излагаются основные идеи критериев В.С. Воронова, приводятся примеры их применения для анализа и синтеза САР и дается пояснение их смысла на основе связи параметров характеристического полинома и постоянных времени последовательно включенных апериодических и колебательных звеньев, составляющих модель системы в свободном состоянии (в отсутствие внешних воздействий).

  1. Принципы оценки устойчивости и качества линейных систем по критериям В.С. Воронова
  2. Частоты сопряжения как инструмент отображения свойств линейных систем и их элементов

1. Принципы оценки устойчивости и качества линейных систем по критериям В.С. Воронова

При исследовании и проектировании систем управления бывает важно знать, как влияют параметры системы на ее устойчивость и качество. Математическую модель линейной системы можно представить в виде передаточной функции


(1.1)

gif-file, 20KB ,

причем наиболее важная информация содержится в коэффициентах характеристического полинома

(1.2)

gif-file, 20KB .

По этим коэффициентам, используя критерии Рауса и Гурвица, можно судить об устойчивости системы, а расположение корней характеристического уравнения (полюсов системы) позволяет судить о качестве переходных процессов.

Классические частотные и корневые методы не всегда удобны при проектировании систем, поскольку в этом случае связь между коэффициентами математической модели и применяемыми критериями (показателями) устойчивости и качества является достаточно сложной. Поэтому возникает вопрос: существуют ли такие критерии, в которых связь между коэффициентами полинома (1.2) и показателями устойчивости и качества была бы простой. Утвердительный ответ на этот вопрос был дан в работах В.С. Воронова, который в 60-х годах прошлого века впервые получил простые необходимые и простые достаточные условия устойчивости. В своих работах он также предложил показатели устойчивости и качества систем управления, имеющие простую связь с коэффициентами характеристического полинома. Вплоть до конца 70-х годов В.С. Воронов публиковал все свои работы в труднодоступных и малотиражных изданиях, поэтому иногда полученные им результаты приписывают другим авторам. В сжатом виде (без доказательств) основные результаты работ В.С. Воронова изложены в статье [1].

1.1. Простые критерии устойчивости и качества линейных систем

Приведем некоторые из этих результатов, следуя работе [1]. Будем предполагать, что все коэффициенты полинома имеют одинаковый знак (будем считать их положительными), что является простейшим необходимым условием устойчивости, сформулированным Стодолой.

Устойчивость и качество системы управления с характеристическим полиномом (1.2) можно оценить с помощью следующих показателей:

  1. Приближенные сопрягающие частоты

    (1.3)

    gif-file, 20KB

  2. Показатели (меры) качества

    (1.4)

    gif-file, 20KB

  3. Показатели (меры) устойчивости

    (1.5)

    gif-file, 20KB

Значения (1.3) приближенно равны сопрягающим частотам на участках, где определяющими являются действительные корни, соответствующие апериодическим звеньям. Если Ω < 1.7 ... 2, то значение gif-file, 20KB приближает сопрягающую частоту на участке, где определяющей является пара комплексно-сопряженных корней, соответствующих колебательному звену.

Используя метод математической индукции, В.С. Воронов в 1965 году доказал, что выполнение неравенств

(1.6)

gif-file, 20KB

является необходимым условием устойчивости. С использованием показателей устойчивости условие (1.6) запишется в виде

(1.7)

gif-file, 20KB

Невыполнение хотя бы одного из неравенств (1.7) является достаточным условием неустойчивости.

Выполнение необходимого условия устойчивости (1.7) еще не означает, что система будет устойчивой. Поэтому В.С. Воронов предложил также ряд достаточных условий устойчивости. Простейшее из них имеет вид

(1.8)

gif-file, 20KB

Из (1.5) следует, что условие (1.8) будет всегда выполняться, если показатели качества удовлетворяют ограничениям

(1.9)

gif-file, 20KB

Таким образом, (1.9) является достаточным условием устойчивости, сформированным по показателям качества.

На практике обычно требуют, чтобы система обладала некоторым запасом устойчивости и качества, поэтому наряду с условиями (1.8), (1.9) в [1] было предложено условие устойчивости с запасом

(1.10)

gif-file, 20KB

и условие устойчивости и качества (качественной устойчивости)

(1.11)

gif-file, 20KB

В.С. Воронов показал также, что если все Ωk ≥ 4 , то все корни полинома будут вещественными.

В [1] приведены также и другие, несколько более сложные достаточные условия устойчивости, практически приближающиеся к необходимому и достаточному условию. Однако наиболее практичными являются самые простые условия (1.8) - (1.11), поэтому ограничимся их рассмотрением.

1.2. Связь показателей В.С. Воронова с другими показателями устойчивости и качества

Связь предложенных В.С. Вороновым показателей с другими показателями качества рассмотрим на примере полинома 3-го порядка, который можно записать в виде

(1.12)

gif-file, 20KB

Параметр T изменяет только временной масштаб и не влияет на устойчивость и качество процессов.

Полином (1.12) имеет сопрягающие частоты

(1.13)

gif-file, 20KB

показатели качества

(1.14)

gif-file, 20KB

и единственный показатель устойчивости

(1.15)

W1 = ab

Согласно критерию Гурвица, для устойчивости системы с характеристическим полиномом (1.12) при положительных значениях a и b достаточно выполнения неравенства a · b > 1 . Таким образом, при n = 3 условие (1.7) является необходимым и достаточным.

Попробуем определить оптимальное соотношение между параметрами a и b при заданном значении W1. Это соотношение определяет также и соотношение между показателями качества:

(1.16)

gif-file, 20KB

Если использовать максиминный критерий, т.е. решать задачу min(Ω12 ) → max , то получим

(1.17)

Ω1 = Ω2 = a = b

Посмотрим, насколько оптимальным будет соотношение (1.17) при использовании других показателей качества.

Прежде всего, рассмотрим корневые показатели, ценность которых, как и показателей Воронова, состоит в том, что они определяются только по коэффициентам характеристического полинома и не зависят от структуры системы (типа обратной связи, порядка астатизма, начальных условий). Для системы с корнями z1, z2, ..., zn степень устойчивости определяется выражением

(1.18)

gif-file, 20KB

и характеризует быстроту протекания процессов в системе. Другой показатель задает минимальный сектор, в котором расположены все корни:

(1.19)

gif-file, 20KB

и характеризует колебательность процессов. Зависимости значения η/T от соотношения (1.16) при различных значениях W1 представлены на рис. 1.1. Аналогичные зависимости для показателя (1.19) представлены на рис.1.2.

gif-file, 20KB

Рис. 1.1. При фиксированном T максимальное значение степени устойчивости достигается при a = b = Ω1 = Ω2 = 3, тогда все три корня равны -1/T. Для этого показателя соотношение a/b = 1 является оптимальным только при W1 = 9. При W1 < 9 оптимальное соотношение смещается немного вправо (a/b > 1), а при W1 > 9 – немного влево ( a/b < 1)

gif-file, 20KB

Рис. 1.2. Для показателя θ оптимальным является соотношение a/b = 1. Из рисунка видно также, что при W1 < 9 и любом соотношении a/b имеем θ > 0 , т.е. среди корней есть пара комплексно сопряженных. При W1 ≥ 9 и выполнении соотношения a/b = 1 имеем θ = 0 , тогда все корни – вещественные

При выполнении соотношения (1.17) корни располагаются по закону геометрической прогрессии и один из них равен среднегеометрическому корню -1/T. В этом случае при a < 3 все три корня расположены на окружности радиуса 1/T с центром в начале координат. При a/b > 1 один из корней находится в круге радиуса 1/T, а два других – вне этого круга. При a/b < 1 два корня находятся в круге радиуса 1/T, а один – вне круга.

Рассмотрим систему с 1-м порядком астатизма и передаточной функцией замкнутого контура

(1.20)

gif-file, 20KB

В этом случае запас устойчивости по амплитуде, как было отмечено в [1], равен W1 = a· или 20lg(W1) дБ, а добротность по скорости равна ω1. При a = b = 2 получим фильтр Баттерворта 3-го порядка, что говорит в пользу соотношения (1.17). Посмотрим, как влияют показатели Ωk (1.4), Wk (1.5) на вид переходной характеристики.

gif-file, 20KB

Рис. 1.3. Уменьшение показателей качества приводит к повышению колебательности переходного процесса

Рассмотрим теперь систему с астатизмом 2-го порядка, тогда передаточные функции замкнутой и разомкнутой системы можно записать в виде

(1.21)

gif-file, 20KB

Существует простая связь между приближенными сопрягающими частотами (1.3) и параметрами асимптотической ЛАЧХ разомкнутой системы:
         gif-file, 20KB – частоты сопряжения асимптотической ЛАЧХ;
         gif-file, 20KB – частота среза.

Значение W1 = ω31 определяет протяженность участка ЛАЧХ с единичным наклоном, а значения Ω1 = ω21, Ω2 = ω32 – протяженности участков с единичным наклоном слева и справа от частоты среза. Добротность по ускорению такой системы равна ω1·ω2. Оптимальное соотношение и в этом случае задается условием «симметричного оптимума» (1.17), тогда при фиксированном значении W1 обеспечивается максимальный запас устойчивости по фазе. Для оптимального соотношения получим ω2 = 1/T, ω1 = ω2/a, ω3 = a·ω2 , а запас по фазе выражается формулой gif-file, 20KB .

Принцип симметричного оптимума проиллюстрирован на рис.1.4.

gif-file, 20KB

Рис. 1.4. Симметричный оптимум. Любое смещение ЛАЧХ вверх или вниз (что соответствует увеличению или уменьшению добротности при фиксированном W1 = ω31) нарушает симметрию и приводит к сдвигу частоты среза и уменьшению запаса по фазе

Итак, существует простая связь показателей В.С. Воронова не только с коэффициентами характеристического полинома, но и с применяемыми в инженерной практике показателями устойчивости и качества. На основе этой связи достаточно просто строить желаемые передаточные функции (эталонные модели), которые используются при синтезе регуляторов частотными и корневыми методами. Такой способ использован при построении эталонных моделей в программном комплексе «МВТУ» [4] (каталог \Demo\Синтез\Etalons), где пользователю необходимо только выбрать тип ЛАЧХ и задать значения добротности и запаса устойчивости по фазе.

1.3. Синтез ПИД-регулятора по показателям В.С. Воронова

С помощью показателей качества можно реализовать простые процедуры синтеза регуляторов, обеспечивающих выполнение заданных требований. Покажем это на примере синтеза ПИД-регулятора с передаточной функцией

(1.22)

gif-file, 20KB

для системы с отрицательной единичной обратной связью и объектом, имеющим передаточную функцию

(1.23)

gif-file, 20KB

В этом случае система будет иметь 2-й порядок астатизма. Характеристический полином замкнутой системы запишется в виде

(1.24)

gif-file, 20KB

Показатели качества этого полинома:



(1.25)

gif-file, 20KB

Потребуем, чтобы система имела заданное значение добротности по ускорению:

(1.26)

gif-file, 20KB

Изменяя параметры k0, k1, k2 , можно обеспечить заданные значения D, Ω1, Ω2. Формулы расчета параметров ПИД-регулятора по этим значениям имеют вид

(1.27)

gif-file, 20KB

Таким образом, значения D, Ω1, Ω2 мы задаем, значение Ω3 зависит от этих значений и параметров объекта, а значения Ω4 ..., Ωn определяются только параметрами объекта. Исходя из условия симметричного оптимума, рекомендуется задавать Ω1 = Ω2 = 1.73 ... 3 . Чрезмерное увеличение этого показателя не рекомендуется по двум причинам: во-первых, при этом неизбежно уменьшается значение Ω3; во-вторых, увеличивается частота среза, что приводит к увеличению полосы пропускания и снижению помехозащищенности. Можно потребовать выполнения условия Ω1 = Ω2 = Ω3 , тогда получим

(1.28)

gif-file, 20KB

Перейдем к конкретному примеру. Пусть передаточная функция объекта

(1.29)

gif-file, 20KB

Зададим D = 8 c-2 и произведем синтез ПИД-регулятора при различных значениях Ω1 = Ω2. Полученные в результате синтеза переходные характеристики представлены на рис. 1.5.

gif-file, 20KB

Рис. 1.5. Переходные характеристики синтезированной системы при различных задаваемых значениях Ω1, Ω2. Значение Ω4 = 1.67 не зависит от параметров регулятора. Достаточное условие устойчивости (1.8) выполняется во всех вариантах, но при Ω1,2 = 3 имеем W3 = 2.20, а при Ω1,2 = 1.5 имеем W1 = 2.25, что приводит к увеличению длительности и некоторому повышению колебательности переходного процесса (отметим, что в последнем случае колебания имеют значительно меньшую частоту, поскольку корни с большими мнимыми частями расположены ближе к началу координат). Лучший результат получен при Ω1 = Ω2 = Ω3 (красная линия), тогда k0 = 8, k1 = 6.35, k2 = 1.52, запас по фазе равен 390, а перегулирование составляет 45%

Показатели Ωk, Wk могут быть использованы также и при проектировании систем, параметры которых точно не известны и могут изменяться в некоторых пределах. В этом случае следует использовать сочетания параметров, при которых показатели устойчивости и качества принимают наихудшие (минимальные) значения. Применение подобных процедур позволяет синтезировать робастные системы, т.е. системы, обладающие заданным качеством при любых изменениях параметров в допустимой области.

Выводы

  1. Существует связь между показателями Ωk, Wk и расположением на комплексной плоскости корней характеристического полинома. Выполнение неравенства Ωk < 1.7 , как правило, свидетельствует о наличии пары комплексно сопряженных корней, мнимая часть которых значительно превышает вещественную часть. В этом случае переходный процесс содержит колебательную составляющую, частота которой приближенно равна gif-file, 20KB . Если соответствующая пара корней имеет большую отрицательную действительную часть, что характерно для больших значений k, то эта составляющая быстро затухает и практически не оказывает влияния на переходный процесс.
  2. Качество системы определяется, в первую очередь, первыми двумя или тремя значениями Ωk, поэтому при синтезе следует корректировать именно эти значения.
  3. Определенные преимущества имеет задание равных или примерно равных значений Ωk.

2. Частоты сопряжения как инструмент отображения свойств линейных систем и их элементов

Метод частот сопряжения обычно воспринимается как простой технический прием для построения аппроксимации ЛАЧХ разомкнутого контура [2] – [3]. Полезность и значимость работы Воронова В.С. [1] состоит в частности в том, что он установил наличие и практически использовал связь частот сопряжения, определяемых по отношению соседних коэффициентов характеристического полинома, со свойствами системы. Это позволило В.С. Воронову сформулировать и доказать справедливость нескольких критериев устойчивости и качества системы. Отличительной особенностью этих критериев является их эффективность и простота применения.

В то же время, известным недостатком алгебраических критериев является их невысокая наглядность, затрудняющая восприятие и понимание их физического смысла. Рассмотрение связи частот сопряжения со свойствами и параметрами системы, в частности с постоянными времени элементов ее последовательной модели, позволяет лучше понять смысл критериев, предложенных В.С.Вороновым.

Оставляя доказательство справедливости критериев в стороне, проиллюстрируем их требования на основе представления модели САР в виде последовательного соединения апериодических и колебательных звеньев. Такой моделью можно представить любую устойчивую САР, поскольку форсирующие множители (звенья) не влияют на ее устойчивость. Влияние этих множителей на характеристики САР, в частности на продолжительность переходного процесса, может быть легко рассмотрено отдельно.

gif-file, 20KB

Рис. 2. 1. Переход от устойчивой системы, заданной передаточной функцией общего вида к ее последовательной структурной модели. Модель состоит из последовательного соединения апериодических и колебательных звеньев. Она наглядно представляет инерционные и колебательные свойства системы

Следует отметить, что критерии Воронова применимы как для разомкнутой САР, так и для замкнутой САР, для которой традиционно ЛАЧХ не строятся. Поэтому, если для простейших разомкнутых САР, разомкнутый контур которых состоит из последовательного соединения апериодических и колебательных звеньев, переход, изображенный на рис 2.1 приводит к структурно-функциональной схеме, отражающей физический состав контура, то для более сложных схем контуров, а тем более, для замкнутых САР, последовательная модель рис. 2.1 лишь удобное представление, опосредующее передаточную функцию САР и составляющие САР звенья.

2.1. Связь частот сопряжения линейных участков аппроксимации ЛАЧХ типовых звеньев с их постоянными времени

2.1.1. Апериодические звенья

Для автономного апериодического звена

(2.1)

gif-file, 20KB

частота сопряжения обратно пропорциональна постоянной времени: ω1 = 1/Т. Эта величина совпадает и с частотой сопряжения, определяемой как отношение коэффициентов характеристического полинома ω1 = 1/а1.

gif-file, 20KB

Рис. 2.2. Аппроксимация ЛАЧХ апериодического звена. Частота сопряжения линейных участков обратно пропорциональна постоянной времени звена, а с другой стороны она равна отношению младшего коэффициента характеристического полинома к старшему 1/а1

Последовательное соединение двух апериодических звеньев, с обратными по величине постоянными времени, что принято для повышения наглядности и удобства графического представления результатов, дает передаточную функцию:



(2.2)

gif-file, 20KB

здесь Т – параметр. Постоянная времени первого звена численно равна параметру Т, а второго звена обратно пропорциональна ему: 1/Т. Изменение параметра одновременно уменьшает и увеличивает постоянные времени звеньев в равное число раз.

Способы построения аппроксимации ЛАЧХ

Аппроксимация ЛАЧХ для (2.2) может быть построена двумя способами:
- по частотам сопряжения линейных участков, определяемым делением соседних младших коэффициентов характеристического полинома на старшие [2, 3]:


(2.3)

gif-file, 20KB

Для краткости изложения назовем этот способ определения частот сопряжения способом полинома, а найденные частоты – частотами полинома. Этот способ, как будет показано ниже, точнее следующего.
- по частотам сопряжения, обратным по величине постоянным времени звеньев, соединенных последовательно и представляющих собой эквивалентную модель линейной системы. Для системы (2.2)

(2.4)

gif-file, 20KB

Этот способ определения частот сопряжения назовем способом звеньев, а частоты – частотами звеньев. Способ более нагляден, поскольку опирается на структурную модель и теорему о ЛАЧХ последовательного соединения звеньев, и несколько более прост в реализации, чем способ полинома.

Для рассматриваемого примера двух последовательно соединенных апериодических звеньев в случае, когда параметр Т = 1 аппроксимации ЛАЧХ, построенные этими способами выглядят следующим образом:

gif-file, 20KB

Рис. 2.3. Точная ЛАЧХ двух последовательно соединенных апериодических звеньев с одинаковыми постоянными времени Т = 1 сек (красная кривая), ее аппроксимация, полученная сложением ЛАЧХ отдельных звеньев (черные линии) и аппроксимация, построенная по частотам сопряжений, вычисленным делением коэффициентов характеристического полинома (синие линии). Аппроксимация, построенная последним способом значительно точнее, чем аппроксимация, построенная сложением ЛАЧХ отдельных звеньев

Т.о. две одинаковые частоты сопряжения первого способа "расщепляются" на две разные частоты во втором, занимая диапазон частот в две октавы. Отметим, что способ звеньев дает наибольшую ошибку при равных постоянных времени апериодических звеньев (рис. 2.3), а при разнесении постоянных времени его точность стремится к точности способа полинома [3].

На рис. 2.4 приведены зависимости частот сопряжения, полученных тем и другим способами от параметра Т.

gif-file, 20KB

Рис. 2.4. Зависимости частот сопряжения, определенных по коэффициентам характеристического полинома и по постоянным времени звеньев, а также их отношения, от связывающего их параметра Т. Параметр Т численно равен постоянной времени первого звена и обратно пропорционален постоянной времени второго звена, поэтому его изменение разносит частоты звеньев в одинаковое число раз относительно частоты 1 рад/сек. Частоты сопряжения полинома отличаются в 4 и более раз

Как видно, если постоянные времени двух последовательно включенных апериодических звеньев отличаются существенно, т.е. на порядок или больше, то частоты сопряжения, определенные как тем, так и другим способами примерно равны. С приближением постоянных времени звеньев друг к другу, частоты сопряжения, найденные разными способами различаются все сильнее. Частоты, определенные по постоянным времени, как и сами постоянные времени, могут совпасть, в то время как частоты, определенные по коэффициентам полинома, отличаются не менее, чем в четыре раза.

gif-file, 20KB

Рис. 2.5 (анимация 7 кадров). Изменение частот сопряжения метода полинома в зависимости от изменения постоянной времени одного из двух последовательно соединенных апериодических звеньев. Частота звена "тянет" за собой нижнюю частоту полинома и "отталкивает" верхнюю

Наименьшее соотношение между частотами сопряжения ω1 и ω2, определенными по способу коэффициентов, достигается при равных постоянных времени (т.е. кратных корнях характеристического полинома) и составляет четырехкратную величину (две октавы).

Т.о. частоты сопряжения, определенные по коэффициентам характеристического полинома, не могут быть равными у двух последовательно соединенных апериодических звеньев, они очень существенно отличаются. Этим обусловлена более высокая точность аппроксимации, построенной способом коэффициентов.

Отметим, что в способе коэффициентов для последовательного соединения двух апериодических звеньев частота сопряжения с меньшим индексом всегда меньше частоты с большим индексом.

Последовательное соединение трех апериодических звеньев, с двумя обратными по величине постоянными времени и одной, равной единице, дает передаточную функцию:



(2.5)

gif-file, 20KB

здесь, как и ранее, Т – параметр.

Аппроксимацию ЛАЧХ здесь также, как и ранее, можно построить, используя теорему о последовательном соединении звеньев, из которой вытекает, что ЛАЧХ последовательного соединения звеньев равна сумме ЛАЧХ отдельных звеньев.

Частота сопряжения линейных участков ЛАЧХ апериодического звена (2.1) обратно пропорциональна его постоянной времени. Поэтому, если постоянные времени всех трех звеньев равны, то аппроксимация их ЛАЧХ будет иметь только одну точку сопряжения линий с наклоном 0 дБ/дек и – 60 дБ/дек. Каждая из аппроксимаций ЛАЧХ отдельных звеньев имеет на частоте сопряжения сравнительно небольшую ошибку в 3 дБ, но построенная суммированием аппроксимация для трех звеньев будет иметь уже значительную ошибку в 9 дБ.

Определение частот сопряжения по коэффициентам полинома, путем деления младшего коэффициента на старший, "расщепляет" частоту сопряжения способа постоянных времени, давая еще две боковые компоненты, что значительно улучшает точность аппроксимации.

Отметим, что в последнем случае аппроксимация пересекает точную ЛАЧХ, а не является касательной к ней. Разнесение частот – значительное: и меньшая, и большая отличаются от центральной в три раза:

gif-file, 20KB

Рис. 2.6. Точная ЛАЧХ трех последовательно соединенных апериодических звеньев с одинаковыми постоянными времени Т = 3 сек (красная кривая), ее аппроксимация, полученная сложением ЛАЧХ отдельных звеньев (черные линии) и аппроксимация по частотам сопряжений, вычисленным делением коэффициентов характеристического полинома (синие линии). Способ частот полинома значительно точнее способа постоянных времени

gif-file, 20KB

Рис. 2.7. С приближением друг к другу постоянных времени трех апериодических звеньев, частоты сопряжения полинома не становятся равными, как частоты звеньев. Минимальное отличие соседних частот составляет 3 раза, а крайних – 9 раз. Частоты сопряжения с меньшими индексами всегда меньше частот с большими индексами

Если частоты сопряжения отличаются больше, чем на декаду, то их значения приближаются к величинам, обратным постоянным времени звеньев.

Последовательное соединение нескольких апериодических звеньев

Пусть последовательно соединены n апериодических звеньев с одинаковыми постоянными времени:



(2.6)

gif-file, 20KB

Нетрудно видеть, что "расщепление" частот сопряжения занимает диапазон частот от ω1 = 1/(Сnn-1T) до ωвn1/Т с центральной частотой 1/Т. Т.е. общий диапазон равен 2lg(Сn1) = 2lg(n) декад. Например, для четырех звеньев



(2.7)

gif-file, 20KB

Т.о., частоты сопряжения полинома нескольких последовательно соединенных апериодических звеньев с одинаковыми постоянными времени не только не равны, но и занимают довольно широкий диапазон. Частоты сопряжения с меньшими индексами всегда меньше частот с большими индексами.

Точность способа построения аппроксимации ЛАЧХ по коэффициентам полинома значительно выше точности способа постоянных времени, ошибка которого на частоте сопряжения в случае равных постоянных времени достигает максимальной величины в 3n дБ (n – число последовательно соединенных апериодических звеньев). Более высокая точность способа коэффициентов обусловлена тем, что он определяет частоты сопряжения всех линейных участков аппроксимации, крутизна которых кратна величине - 20 дБ/дек.

2.1.2. Колебательные звенья

Для автономного колебательного звена


(2.8)

gif-file, 20KB

частоты сопряжения, определенные по способу коэффициентов полинома, равны ω1 = 1/(2δТ) и ω2 = 2δ/Т. Поэтому изменение декремента затухания δ приводит к тому, что частота с меньшим индексом может стать больше частоты с большим индексом:

gif-file, 20KB

Рис. 2.8. (анимация 4 кадра). Эволюция ЛАЧХ и перемещение частот сопряжения полинома при изменении декремента затухания колебательного звена. При δ > 0.5 частота сопряжения с большим индексом больше частоты с меньшим индексом, при δ = 0.5 частоты сопряжений совпадают, а при δ < 0.5, частота сопряжения с меньшим индексом больше частоты с большим индексом

Отметим, что порядок следования частот сопряжения полинома отдельного колебательного звена и их соотношение позволяет определить величину его декремента затухания и постоянной времени.

gif-file, 20KB

Рис. 2.9. Частота сопряжения колебательного звена с большим индексом больше частоты с меньшим индексом только при δ > 0.5. Соотношение частот сопряжения позволяет определить декремент затухания звена. Величина δ = 0.67 – минимально допустимое в соответствии с критерием качества В.С. Воронова значение декремента затухания автономного колебательного звена, моделирующего САР

Эффект смены порядка следования частот сопряжения полинома колебательного звена объясняет, почему в показателе устойчивости Воронова В. С. (1.5) Wk = ωk+2k берется отношение частот через одну: в модель устойчивой системы, но невысокого качества, составленную из последовательного соединения звеньев, могут входить колебательные звенья с довольно малым декрементом затухания, для которых частота с меньшим индексом больше частоты с большим индексом

Для последовательного соединения двух одинаковых колебательных звеньев


(2.9)

gif-file, 20KB

gif-file, 20KB

Рис.2.10. Только одна пара частот сопряжения (ω1 и ω4), определенных по способу коэффициентов, двух одинаковых последовательно соединенных колебательных звеньев меняется местами при изменении декремента затухания. При δ > 0.41 частоты сопряжения располагаются в порядке возрастания их номеров (индексов). При δ > 0.62 частоты сопряжения отличаются больше, чем в 1.73 раза, отвечая критерию качества В.С. Воронова

gif-file, 20KB

Рис. 2.11. Переходные характеристики двух одинаковых последовательно соединенных колебательных звеньев при разных значениях декремента затухания. Приведены значения меры качества САР В.С. Воронова. Переходный процесс системы, со значениями показателя качества, меньшими 1.73 имеет чрезмерную колебательность, а большими 2.1 (черная кривая), затянут

Частоты сопряжения последовательного соединения апериодического и колебательного звеньев

Проследим поведение частот сопряжения полинома в зависимости от соотношения частот апериодического и колебательного звеньев. На рис 2.12 показано изменение частот сопряжения полинома для последовательного соединения колебательного звена, параметры которого зафиксированы (постоянная времени Ткол = 1 сек, декремент затухания δ = 0.4) от частоты сопряжения апериодического звена (ωап = 1/Т):

gif-file, 20KB

Рис.2.12. Зависимость частот сопряжения полинома от частоты сопряжения апериодического звена для последовательного соединения апериодического и колебательного звеньев. Приближение постоянной времени апериодического звена к постоянной времени колебательного выстраивает частоты полинома в порядке возрастания их индексов

Как видно на рис. 2.12, зависимость довольно сложная. При малых значениях частоты сопряжения апериодического звена 1/Т (аргумент и фиолетовый штрих-пунктир) первая частота полинома ω1 практически совпадает с ней (красная кривая), а при увеличении частоты 1/Т апериодического звена ω1 стремится к начальному значению второй частоты полинома ω2, которая в свою очередь стремится к начальному значению третьей частоты ω3. Третья частота ω3 будучи вначале меньше второй, с приближением частоты сопряжения апериодического звена к частоте колебательного начинает расти, превосходит по величине вторую и асимптотически приближается к частоте апериодического звена. Апериодическое звено в процессе уменьшения постоянной времени как бы оставляет колебательному свою низкую частоту и захватывает его верхнюю.

В диапазоне частот от 0.32 до 3.2 рад/сек частоты полинома возрастают с возрастанием их индексов. Значит здесь апериодическое звено, в соответствии с критериями В.С. Воронова, позитивно влияет на общие свойства системы.

Рис. 2.12 указывает на один из приемов, позволяющих получить качественную САР: колебательность переходной характеристики, обусловленную повышенной колебательностью некоторого колебательного звена можно несколько понизить введением апериодического звена с постоянной времени, близкой к постоянной времени колебательного звена.

Таким образом, частоты сопряжения полинома и звеньев это далеко не одно и то же. Между этими наборами частот существуют в общем случае сложные связи. В случае простых систем, когда постоянные времени звеньев сильно разнесены, способы дают примерно одинаковые значения частот.

2.2. Частоты сопряжения САР, отвечающей критерию качества В.С. Воронова

Критерии В.С. Воронова, как и критерии Гурвица, Рауса и Михайлова, не требуют выполнения никаких предварительных условий для своего применения, в отличие от критерия Найквиста, для практического применения которого требуется обеспечить устойчивость разомкнутого контура САР. Поэтому критерии Воронова могут быть применены как для оценки качества разомкнутого контура, обеспечивая проверку условия практического применения критерия Найквиста, так и непосредственно для оценки качества и оптимизации замкнутой САР.

Устойчивая система, для которой только и имеет смысл оценивать качество регулирования, может быть представлена последовательным соединением апериодических и колебательных звеньев (рис. 2.1). Критерий качества В.С. Воронова требует выполнения условий (1.11):

(2.10)

gif-file, 20KB

где Ωk = ωk+1k, k = 1, ..., n-1 т.е., чтобы частоты сопряжения полинома с большим индексом были больше по величине, чем частоты сопряжения с меньшим индексом. Более того, соседние частоты должны отличаться сильнее, чем в 1.73 раза.

Как было показано выше, для последовательного соединения двух и большего числа апериодических звеньев критерий качества выполняется с запасом при любом соотношении между их параметрами.

Рассмотрим, какие требования предъявляет критерий качества Воронова к соотношению параметров колебательного и апериодического звеньев, соединенных последовательно. На рис.2.13 приведена зависимость соотношения частот полинома от частоты сопряжения апериодического звена. Обозначения и значения параметров соответствуют рис.2.12.

gif-file, 20KB

Рис. 2.13. Зависимость отношения частот полинома от частоты апериодического звена. Показан уровень 1.73 критерия качества Воронова. Параметры качества системы есть отношение частот: Ω1 = ω21 и Ω2 = ω32. На частоте 1/Т = 1 рад/сек параметры качества раны Ω1 = 1.8 и Ω2 = 1.8

Как видно на рис. 2.13, частоты полинома располагаются по возрастанию их индексов и отличаются более, чем в 1.73 раза для данного примера только в сравнительно узком диапазоне значений частоты апериодического звена: примерно от 0.95 до 1.05 рад/сек (постоянные времени 0.95 до 1.05 сек ). На первый взгляд такие требования кажутся чрезмерными. Однако обратим внимание, что декремент затухания принят довольно малым δ = 0.4, и посмотрим на поведение переходной характеристики для систем с параметрами внутри и вне указанного диапазона:

gif-file, 20KB

Рис. 2.14. Апериодическое звено с малой, по сравнению с колебательным звеном, постоянной времени практически не влияет на колебательность переходной характеристики. Диапазону качества отвечает апериодическое звено с постоянной времени 1 сек, его переходный процесс наилучший. Дальнейшее увеличение постоянной времени затягивает переходный процесс, устремляя свойства системы к свойствам одного апериодического звена

Наконец, покажем, как ведут себя ЛАЧХ с изменением постоянной времени апериодического звена:

gif-file, 20KB

Рис. 2.15. ЛАЧХ последовательного соединения апериодического и колебательного звеньев при различных значениях постоянной времени Т апериодического звена

Таким образом, для выполнения требований критерия качества В.С. Воронова желательно, чтобы диапазоны, занимаемые частотами сопряжения апериодических звеньев с равными постоянными времени, диапазоны, занимаемые колебательными звеньями и частоты сопряжения отдельных апериодических звеньев последовательной модели системы не перекрывались, а крайние частоты этих диапазонов отличались бы не менее, чем в 1.73 раза. Дополнительным приемом обеспечения хорошего качества САР является введение инерционности (апериодического звена) с постоянной времени, близкой к постоянной времени колебательного звена, проявляющего излишнюю, но умеренную колебательность.

Реально частоты сопряжения полинома ограничиваются, с одной стороны, значениями добротности (величины, обратной коэффициенту ошибки) и частоты среза, которые, из условий точности и быстродействия, должны быть достаточно большими. Поэтому первая сопрягающая частота не должна быть малой. С другой стороны, частоты сопряжения ограничиваются свойствами объекта. Таким образом, реально корректируемые сопрягающие частоты испытывают своеобразное давление: слева - со стороны заданных требований к точности и быстродействию; справа - со стороны сопрягающих частот объекта.

Практическая рекомендация

При оценке в уме, на вскидку качества САР, заданной передаточной функцией, для упрощения вычислений полезно преобразовать условие (1.11), (2.10)


(2.11)

gif-file, 20KB

к виду


(2.12)

gif-file, 20KB

В этом случае потребуется проверить, больше ли квадрат центрального члена каждой тройки соседних коэффициентов характеристического полинома, чем удвоенное значение произведения крайних ее членов.

Условия устойчивости (1.6), (1.7) и (1.9)


(2.13)

gif-file, 20KB

удобно проверять, сравнивая произведение внутренних членов каждой четверки соседних коэффициентов с произведением ее крайних членов:

(2.14)

gif-file, 20KB

Можно сказать, что (2.12) и (2.14) неявно задают скорость уменьшения коэффициентов характеристического полинома с увеличением их индексов, при которой САР устойчива и обладает хорошим качеством.

Более того, этими неравенствами определяется коридор, в случае попадания в который всех коэффициентов, САР имеет хорошее качество. Тем самым можно определить допуски на возможные изменения коэффициентов полинома, сохраняющие качество САР в заданных пределах.

Выводы

  1. Частоты сопряжения линейных участков аппроксимации ЛАЧХ определенные по коэффициентам полинома системы, состоящей из нескольких последовательно соединенных типовых звеньев (апериодических и колебательных), занимают более широкий диапазон частот, чем диапазон, определяемый частотами, обратными постоянным времени звеньев. В общем случае диапазоны частот сопряжения способа коэффициентов, соответствующие отдельным звеньям или группам звеньев, могут перекрываться, что может служить причиной и признаком неудовлетворительного качества САР.
  2. Частоты сопряжения, определенные способом полинома и способом звеньев близки, если постоянные времени звеньев существенно отличаются.
  3. Критерий качества В.С. Воронова требует, чтобы частоты сопряжений, определяемых методом коэффициентов полинома, возрастали бы с ростом их индекса и отстояли бы друг от друга на значительную величину, примерно в октаву и более. Поскольку частоты полинома занимают некоторые, существенные диапазоны вокруг частот звеньев, то это требование может означать необходимость значительного разнесения частот звеньев, составляющих последовательную модель системы, и накладывает ограничения сверху на декременты затухания колебательных звеньев.
  4. В то же время, приближение частоты апериодического звена к частоте колебательного может позитивно сказаться на общих свойствах системы.

Заключение

Простые в применении и эффективные критерии В.С. Воронова позволяют легко оценивать устойчивость и качество САР. Более того, они указывают на наличие "слабых" коэффициентов в полиноме, если такие имеются, помогая определить меры по стабилизации и оптимизации САР. Это значит, что в отличие от других алгебраических критериев, позволяющих судить только об устойчивости САР, критерий качества В.С. Воронова дает возможность проводить и синтез САР.

Общая идея критериев В.С. Воронова устойчивости и качества линейной системы состоит в необходимости достаточного разнесения частот сопряжения полинома системы. Эти частоты определенным образом связаны с постоянными времени и декрементами затухания общей модели устойчивой системы, составленной из апериодических и колебательных звеньев. Поэтому в качественной системе постоянные времени звеньев последовательной модели достаточно, но не чрезмерно, разнесены, а декременты затухания колебательных звеньев ограничены сверху.

Литература и Интернет

  1. В.С. Воронов. Показатели устойчивости и качества робастных систем управления. Изв. РАН. Теория и системы управления. 1995. №6. С. 49-54.
  2. Иванов А.А. Теория автоматического управления и регулирования. – М., Недра, 1970. – 352 с: илл.172.
  3. Федосов Б.Т. Построение аппроксимации ЛАЧХ САР методом переключения степеней
    http://model.exponenta.ru/bt/bt_00112.html#L01
  4. Самые свежие версии программного комплекса "МВТУ" ( Моделирование В Технических Устройствах ).
    http://mvtu.power.bmstu.ru

15.03.2005