Федосов Борис Трофимович
Рудненский индустриальный институт,
Рудный, Казахстан

УДК 681.51.01
Ф338

О синтезе САР как фильтра Баттерворта.
Модульный оптимум

  1. Фильтр Баттерворта и его свойства
  2. Настройка САР на модульный оптимум
  3. Заключение
  4. Литература

Настройка регулятора САР на модульный оптимум (МО), т.е. придание ей свойств фильтра Баттерворта, существенно упрощает синтез САР для типовых промышленных объектов. В литературе, например [1], приводятся настроечные параметры регуляторов для ряда объектов с различными передаточными функциями. Правда, в названном источнике в таблицы вкрались ошибки. Метод настройки на МО может быть изложен и реализован аналитически, что является положительной его стороной. Это позволяет формализовать алгоритм метода, делая возможным его программную реализацию.

В то же время, простота аналитической реализации, давая рецепты по настройке регулятора, не в полной мере позволяет понять существо метода. Без такого понимания применение готовых формул может, как свидетельствует практика, приводить к ошибкам.
Поэтому ниже предлагается изложение порядка синтеза, основанное на обеспечении требуемой ЛАЧХ разомкнутого контура.

1. Фильтр Баттерворта и его свойства

В радиотехнике и связи фильтры Баттерворта используются потому, что их частотная характеристика близка к прямоугольной, что позволяет осуществлять избирательный прием сигналов от разных радиостанций. Чем выше порядок фильтра, тем лучше избирательность. Прямоугольность частотной характеристики для САР не является важнейшим свойством. Для САР важнее обеспечить требуемое время переходного процесса и минимизировать ошибки переходного и установившегося режимов. Поскольку фильтры Баттерворта первых порядков имеют неплохие в этом смысле характеристики, постольку они и используются в качестве цели при синтезе САР.

1.1. Замкнутый контур

По известному определению [1], фильтр Баттерворта это такой фильтр, частотная характеристика которого имеет вид:


(1)

gif-file, 20KB

где: ТБ - постоянная времени фильтра Баттерворта,

       n – порядок фильтра Баттерворта.

gif-file, 20KB

Рис.1 (анимация 2 кадра). Нормированные частотные характеристики фильтра Баттерворта первого – пятого и восьмого порядков, ТБ = 1 сек. С увеличением порядка фильтра, его частотная характеристика все лучше приближается к прямоугольной. Для фильтра, с постоянной времени, отличающейся от 1 сек характеристика получается масштабированием оси частот: делением значений оси абсцисс на ТБ

Приведенная на рис.1 характеристика фильтра восьмого порядка (желтая кривая) слегка поднимается над уровнем 1. Это неточность, связанная с округлением коэффициентов характеристического полинома до трех значащих цифр (см. рис. 3), сделанным для того, чтобы размеры блока на схеме были не слишком большими. При точности в 4 значащих цифры характеристика, как и положено, не поднимается над уровнем 1:

gif-file, 20KB

Рис.2. Уточнение значений характеристического полинома до четырех значащих цифр устраняет для фильтра восьмого порядка усиление, большее единицы

Сравнение рис.1, рис.2 и рис.3 показывает, что по мере увеличения порядка фильтра Баттерворта, коэффициенты его характеристического полинома должны задаваться все точнее. Для фильтра 5 порядка достаточно 3 значащих цифр, а для фильтра 8 порядка достаточно четырех, не менее.

Этот пример демонстрирует так называемую параметрическую чувствительность фильтра Баттерворта: сравнительно малые отклонения коэффициентов характеристического полинома от их номинальных значений приводят к заметным изменениям частотной характеристики и переходной функции. На практике такие изменения вызываются внешними факторами, изменяющими параметры элементов, составляющих САР. Как видно, эти факторы в большей мере сказываются на характеристиках фильтров высоких порядков. Высокая параметрическая чувствительность конкретной системы к возмущающим факторам может не позволить сохранять оптимальность ее настройки.

Свойства фильтра Баттерворта:

1. Усиление единичное: |ФБ(0)| = 1;

2. Избирательность: gif-file, 20KB.

Как видно, быстродействие САР определяется постоянной времени ТБ: чем она больше, тем ниже быстродействие САР;

3. gif-file, 20KB.

Эти равенства говорят о том, что характеристика на малых частотах проходит горизонтально;

4. Фильтр Баттерворта любого порядка устойчив. Это значит, что при настройке САР на МО, т.е. как фильтра Баттерворта, отпадает необходимость проверки ее устойчивости. Более того, САР при этом оказывается оптимизированной по ошибкам и быстродействию.

Частные случаи фильтров Баттерворта:

1. Фильтр первого порядка имеет передаточную функцию:


(2)

gif-file, 20KB

Т.е. любое апериодическое звено первого порядка может рассматриваться как фильтр Баттерворта первого порядка с соответствующей постоянной времени.

2. Фильтр второго порядка имеет передаточную функцию:


(3)

gif-file, 20KB

Любое колебательное звено в критическом режиме, т.е. при декременте затухания δ = 0.707 является и фильтром Баттерворта.

3. Фильтр третьего порядка имеет передаточную функцию:


(4)

gif-file, 20KB

Для доказательства того, что (2) – (4) действительно являются передаточными функциями фильтров Баттерворта достаточно получить модули их комплексных коэффициентов передачи и сравнить с (1) при соответствующих значениях порядков фильтров.

Численные коэффициенты в знаменателях формул (2) - (4) называются коэффициентами фильтра Баттерворта. Их значения для фильтров более высоких порядков можно найти в литературе [1].

Переходные характеристики фильтров Баттерворта имеют вид:

gif-file, 20KB

Рис.3. Переходные характеристики фильтров Баттерворта первого – пятого и восьмого порядков с постоянной времени ТБ = 1 сек. Фильтры первых пяти порядков имеют довольно малое перерегулирование, меньшее 12 %. Следовательно, качество САР, настроенной на МО, в переходном режиме хорошее. Значения коэффициентов фильтров 4, 5 и 8 порядков взяты из [1]

Отметим, что корни характеристического полинома фильтра Баттерворта располагаются в вершинах правильных многоугольников на окружности единичного радиуса (точнее, на окружности радиуса 1/ ТБ) [2]. Это обстоятельство упрощает запись полинома Баттерворта любой степени.

Как видно на рис.2, с повышением степени фильтра Баттерворта выше третьей – четвертой, все сильнее начинает проявляться его колебательность. Поэтому без нужды не следует настраивать САР на МО более высокого порядка. Порядок фильтра определяется степенью характеристического полинома неизменяемой части САР.

Длительность переходного процесса увеличивается с повышением порядка фильтра:

gif-file, 20KB

Рис.4. Зависимость длительности переходного процесса фильтра Баттерворта от его порядка

Примечание. Частотные и временные характеристики рис.1 - рис.4 для фильтра с постоянной времени ТБ, не равной единице получаются, если изменить масштаб, т.е. на временных характеристиках откладывать время в единицах ТБ, а на частотных - в единицах 1/ТБ.

1.2. Разомкнутый контур. Свойства САР, настроенной на МО

Для получения информации о качестве САР, настроенной на МО, в установившемся режиме, а также для создания методики такой настройки, «разомкнем» фильтр Баттерворта.

gif-file, 20KB

Рис.5. Представление фильтра Баттерворта в виде типовой замкнутой САР

Поскольку ФБ(s) – передаточная функция фильтра известна, то по рис.5 можно определить WБ (s):


(5)

gif-file, 20KB

Для первых порядков в соответствии с (5) получим:


(6)

gif-file, 20KB


(7)

gif-file, 20KB


(8)

gif-file, 20KB

Как видно, контур фильтра первого порядка состоит всего лишь из интегратора, второго порядка – из последовательного соединения интегратора и апериодического звена. Контур фильтра третьего порядка содержит последовательно включенные интегратор и колебательное звено в критическом режиме с декрементом затухания δ = 0.707 и постоянной времени равной 0.707 ТБ.

Отметим, что коэффициент усиления контура последовательно уменьшается: gif-file, 20KB, а с дальнейшим ростом порядка это уменьшение постепенно прекращается. Коэффициент усиления асимптотически стремится к 0.18 1/сек. ЛАЧХ разомкнутых контуров фильтров Баттерворта имеют вид:

gif-file, 20KB

Рис. 6 (анимация 2 кадра). ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутых контуров фильтров Баттерворта первых порядков ТБ = 1 сек. Линейные аппроксимации низкочастотных и высокочастотных областей характеристик пересекаются на частоте gif-file, 20KB. Начиная с 4 – 5 порядка на частоте, близкой к 1/ТБ появляются признаки колебательности, которые уже явственно видны у фильтра 8 порядка.

Из рассмотрения формул (6) - (8) и рис.6 очевидно, поскольку каждый контур содержит интегратор, что САР, настроенные на модульный оптимум, имеют первый порядок астатизма. Это говорит о хорошем качестве работы таких САР в установившемся режиме.

Поскольку система, настроенная на МО, имеет астатизм, то ее коэффициент ошибки по положению равен нулю с0 = 0. На рис.6 видно, что ось частот ЛАЧХ пересекают, имея наклон, близкий к – 20 дБ/дек, поэтому коэффициенты ошибок по скорости обратнопропорциональны коэффициентам усиления контуров, близких к частотам среза.

gif-file, 20KB

Рис. 7. Коэффициенты усиления, частоты среза и коэффициенты ошибки по скорости нормированных фильтров Баттерворта

gif-file, 20KB

Рис.8. Запасы устойчивости по амплитуде и фазе САР, настроенных как фильтры Баттерворта. С повышением порядка фильтра запасы стремятся к величинам 6 дБ и 580

Запасы устойчивости по фазе и амплитуде САР, настроенной на МО достаточны, что косвенно говорит о удовлетворительном качестве переходного режима работы САР. Это только подтверждает то, что уже было видно на рис. 3 в явном виде.

2. Настройка САР на модульный оптимум

Существо предлагаемого метода синтеза САР как фильтра Баттерворта заключается в том, что для объекта, заданного передаточной функцией подбирается такой регулятор, чтобы ЛАЧХ контура регулирования приобрела такой же вид, как ЛАЧХ фильтра Баттерворта.

Покажем в увеличенном виде аппроксимации ЛАЧХ фильтров Баттерворта первых трех порядков:

gif-file, 20KB

Рис.9. Частота точек сопряжения линий аппроксимации ЛАЧХ фильтров Баттерворта равна gif-file, 20KB. Частота среза фильтра второго порядка равна 0.707/ТБ, а точка сопряжения линий аппроксимации расположена на частоте 1.41/ТБ на 6 дБ ниже оси частот

Возьмем простейшую модель неизменяемой части контура, приводящую к САР второго порядка:


(9)

gif-file, 20KB

Сравнивая (9) с (7) можно увидеть, что для настройки на модульный оптимум следует принять ТБ = 2 Т0, а также ввести П - регулятор, усиление которого составило бы gif-file, 20KB.

gif-file, 20KB

Рис. 10. Для настройки на модульный оптимум объекта (9) второго порядка без самовыравнивания достаточно опустить его ЛАЧХ настолько, чтобы точка сопряжения оказалась на 6 дБ ниже оси частот

Величина перемещения по вертикали (красная стрелка) дает величину усиления П – регулятора в дБ. Определить его величину можно и по соотношению коэффициентов усиления исходного контура k0 и скорректированного kБ2: kp = kБ2/ k0.

Рассмотрим настройку регулятора для системы с неизменяемой частью с передаточной функцией вида:


(10)

gif-file, 20KB

Поскольку в контуре исходной САР отсутствует интегратор, то придется ввести ПИ – регулятор с постоянной времени Т01 и уточнить его усиление:

gif-file, 20KB

Рис. 11 (анимация 3 кадра). Последовательность настройки на модульный оптимум САР с объектом второго порядка с самовыравниванием. ПИ – регулятор продолжает линию с наклоном – 20 дБ/дек в область нижних частот, затем ЛАЧХ опускается так, что правая точка сопряжения оказывается на 6 дБ ниже оси частот

Коррекция систем более высоких порядков осуществляется аналогично.

Заключение

Оптимизация САР, настройкой регулятора на модульный оптимум позволяет быстро и без необходимости проведения глубоких исследований получить работоспособную САР с хорошими показателями качества для объектов первого – пятого порядков.

Методика определения настроечных параметров регулятора на основе построения желаемой ЛАЧХ, соответствующей ЛАЧХ фильтра Баттерворта наглядна и делает понятным алгоритм настройки.

Литература

  1. Лукас В.А. Теория автоматического управления. - М.: Недра, 1990. - 416 с.: ил.
  2. Справочник по теоретическим основам радиоэлектроники. Ред. Кривицкий Б.Х. Том 2. М.,: Энергия, 1977, с. 305 - 308.

10.01.2005