Федосов Борис Трофимович
Рудненский индустриальный институт,
Рудный, Казахстан

УДК 681.51.01
Ф338

О структурной устойчивости фрагментов моделей САР

Структурно устойчивая система устойчива при любом сочетании параметров ее элементов. Структурно неустойчивая система неустойчива при любом сочетании параметров ее элементов. Задача о структурной устойчивости в общем виде не решена [1] и требует в каждом конкретном случае отдельного исследования и решения.

Для упрощения анализа линейных систем могут быть применены предлагаемые ниже простые утверждения, позволяющие определять структурную устойчивость фрагментов САР. Доказательство этих теорем не представляет труда и вынесено в приложение. Значение их в том, что при всей их очевидности не каждый сразу догадается их сформулировать. Но когда они сформулированы, то могут быть легко применены для локализации фрагментов САР, приводящих к потере устойчивости всей системы.

Теорема 1. Последовательное соединение устойчивых звеньев устойчиво.

gif-file, 20KB

Рис.1. Последовательное соединение звеньев

Таким образом, если разомкнутый контур САР состоит только из типовых звеньев первого и второго порядков с положительными коэффициентами характеристических полиномов, то он устойчив и, следовательно, выполняется условие практического применения критерия Найквиста для оценки устойчивости замкнутого контура.

Теорема 2. Длительность переходного процесса последовательного соединения звеньев не превышает суммы длительностей переходных процессов отдельных звеньев.

Длительность переходного процесса САР, модель которой представлена последовательным соединением звеньев, постоянные времени которых существенно отличаются, определяется в основном наибольшей постоянной времени.

Теорема 3. Параллельное согласное соединение конечного числа устойчивых звеньев устойчиво.

gif-file, 20KB

Рис.2. Параллельное согласное соединение звеньев

Следствие из теорем 1 и 2. Поскольку неустойчивые системы существуют, то терять устойчивость способны лишь параллельное встречное и сложное соединения устойчивых звеньев.

Теорема 4. Переходная характеристика параллельного согласного соединения звеньев равна сумме переходных характеристик отдельных звеньев:


(1)

gif-file, 20KB

Теорема 5. Охват жесткой обратной связью звена второго порядка или последовательного соединения двух апериодических звеньев не приводит к неустойчивой системе. Другими словами, устойчивое звено второго порядка, охваченное жесткой обратной связью устойчиво.

gif-file, 20KB

Рис.3. Последовательное соединение двух апериодических звеньев, охваченное жесткой обратной связью

Выводы

Применение рассмотренных выше теорем позволяет локализовать фрагменты линейной САР, способные терять устойчивость, и изучать их подробнее.

Литература

  1. Лукас В. А. Теория автоматического управления. - М.: Недра, 1990. - 416 с.: ил.

Приложение
Доказательство теорем

Теорема 1.

Последовательное соединение устойчивых звеньев устойчиво.

gif-file, 20KB

Рис. П1. Последовательное соединение звеньев

Доказательство.

Пусть имеется последовательное соединение устойчивых линейных звеньев с передаточными функциями вида:


(П 1)

gif-file, 20KB

Тогда передаточная функция последовательного соединения этих звеньев примет вид:


(П 2)

gif-file, 20KB

Поскольку характеристический полином Ai(s) любого звена может быть представлен в виде произведения


(П 3)

gif-file, 20KB

где ski - корни характеристического полинома i-го звена и число корней (П 2) равно
gif-file, 20KB, то характеристический полином системы (П 2) также может быть представлен в виде произведения:


(П 4)

gif-file, 20KB

Таким образом, корнями характеристического полинома последовательного соединения звеньев является совокупность всех корней характеристических полиномов звеньев, соединенных последовательно.

Поскольку, по условию теоремы каждое из последовательно соединенных звеньев устойчиво, т.е. у каждого из них действительные части корней отрицательны, то и корни характеристического полинома всей системы последовательно соединенных звеньев имеют только отрицательные действительные части. Это означает, что условие устойчивости выполнено и теорема доказана.

Теорема 3. Параллельное согласное соединение конечного числа устойчивых звеньев устойчиво.

gif-file, 20KB

Рис.П2. Параллельное согласное соединение звеньев

Доказательство.

Весовая функция каждого устойчивого звена стремится к нулю с течением времени:


(П 5)

gif-file, 20KB

Поскольку выходной сигнал всей системы звеньев равен сумме выходных сигналов отдельных звеньев, то


(П 6)

gif-file, 20KB

Т.о., весовая характеристика параллельного согласного соединения звеньев стремится к нулю.

Произвольное, ограниченное во времени воздействие можно представить последовательностью дельта - функций, реакция системы на каждую из которых будет стремиться к нулю с течением времени. А значит, будет стремиться к нулю и реакция на весь ограниченный во времени сигнал. В соответствии с определением устойчивости по Ляпунову такая система устойчива.

Теорема доказана.

Теорема 4.

Переходная характеристика параллельного согласного соединения звеньев равна сумме переходных характеристик отдельных звеньев:


(П 7)

gif-file, 20KB

Доказательство.

Формула (П7) с очевидностью следует из определений параллельного соединения звеньев рис.2 и переходной функции линейного звена.

Теорема 5.

Охват жесткой обратной связью звена второго порядка или последовательного соединения двух апериодических звеньев не приводит к неустойчивой системе. Другими словами, устойчивое звено второго порядка, охваченное жесткой обратной связью устойчиво.

gif-file, 20KB

Рис. П3. Последовательное соединение двух апериодических звеньев, охваченное жесткой обратной связью

Доказательство можно провести путем прямого вычисления передаточной функции замкнутой системы. Передаточная функция звена прямой связи равна:


(П 8)

gif-file, 20KB

Передаточная функция системы рис. П3 равна


(П 9)

gif-file, 20KB

Как видно из (П 9), замкнутый контур имеет второй порядок, коэффициенты характеристического полинома положительны и следовательно, в соответствии с критерием устойчивости Гурвица и правилом Стодолы система устойчива. Что и требовалось доказать.

Итак, если для коррекции потребовалось охватить жесткой обратной связью пару апериодических звеньев или апериодическое звено второго порядка, то такой контур будет обязательно устойчивым. Что делает не нужным проверку его устойчивости.

09.01.2005