Федосов Борис Трофимович
Рудненский индустриальный институт,
Рудный, Казахстан

УДК 681.51.01
Ф338

Об анализе САР со звеном задержки в контуре

Звено запаздывания входит в состав моделей многих промышленных объектов управления [1]. Его наличие усложняет управление, ограничивает быстродействие САР, требует применения модифицированных алгоритмов управления [2].

Передаточная функция звена запаздывания не является дробно-рациональной, что затрудняет теоретический анализ свойств системы. Для упрощения решения этой задачи традиционно, в технических курсах автоматики и инженерных приложениях при исследовании САР, содержащих такие объекты, звено запаздывания заменяется одним – двумя апериодическими звеньями. Такая замена позволяет получать качественно близкие результаты, но в некоторых случаях, например при относительно больших величинах запаздывания, является необоснованно грубой.

gif-file, 20KB

Рис.1. Аппроксимация звена запаздывания апериодическим звеном. Чистое запаздывание в модели отсутствует. Количественное отличие переходной характеристики модели от переходной характеристики исходной системы превышает 10% по величине и 10 сек, т.е. на величину задержки, по времени

Ниже предлагается простой способ построения эквивалентной модели, состоящий в вынесении звена запаздывания за пределы контура управления, и позволяющий упростить анализ устойчивости, в значительной мере повысить точность моделирования и сохранить в модели свойства реальной системы.

Пусть схема исходной САР имеет вид:

gif-file, 20KB

Рис.2. Схема САР со звеном запаздывания в контуре

Передаточную функцию замкнутой САР рис.2 можно представить в виде:


(1)

gif-file, 20KB

Разложим в ряд Тейлора только экспоненту в знаменателе:


(2)

gif-file, 20KB

и ограничимся двумя – тремя членами разложения.

О качестве аппроксимации звена задержки звеном с дробно-рациональной передаточной функцией можно судить по рис. 3:

gif-file, 20KB

Рис. 3. Переходные функции дробно-рациональных моделей звена запаздывания. Запаздывание заменяется инерционностью. Усеченный ряд расходится. Наименьшие отклонения дают звенья второго и третьего порядков (зеленая и голубая кривые), продолжительность переходного процесса для них 3 – 4 времени задержки Td звена запаздывания. Для повышения наглядности ступенчатое воздействие перед подачей на осциллограф умножено на коэффициент 1.2 (коричневая линия)

Заменим экспоненциальный сомножитель второго слагаемого знаменателя колебательным или апериодическим звеном:


(3)

gif-file, 20KB

Как видно из (3), исходная система представлена последовательным соединением линейной системы, не имеющей звеньев запаздывания, и звена чистого запаздывания. В новой схеме обратная связь не единичная, а представляет собой дробно-рациональную аппроксимацию звена запаздывания:

gif-file, 20KB

Рис.4. Приближенная модель исходной САР. Звено запаздывания вынесено из контура и соединено последовательно с инерционной частью САР. В обратной связи контура – инерционная аппроксимация звена запаздывания, в данном случае это апериодическое звено

Представление схемы САР в виде рис.4 позволяет разделить и локализовать элементы, определяющие фронт нарастания переходной функции и чистую задержку.

Качество предлагаемой аппроксимации можно проиллюстрировать рис.5:

gif-file, 20KB

Рис.5. Переходные характеристики исходной модели со звеном запаздывания в контуре (красная), традиционной модели (зеленая) и двух вариантов модели с вынесением звена запаздывания за пределы контура (синяя и фиолетовая). Коричневым цветом показано ступенчатое единичное воздействие

Как видно на рис.5, предлагаемое решение, в отличие от традиционного, дает четкое чистое запаздывание и значительно лучше (3 – 5 %) аппроксимирует характеристику по величине. Отметим, что как видно на рис.5, все модели-аппроксимации в большей или меньшей мере проявляют инерционность сильнее, чем исходная модель. На первый взгляд это неожиданно.

Отметим, что рассматриваемая аппроксимация лучше моделирует системы с хорошим запасом устойчивости. Точность ухудшается с приближением к границе устойчивости и с потерей устойчивости, но качественный характер модели сохраняется:

gif-file, 20KB

Рис.6. (анимация, 4 кадра). Переходные характеристики исходной системы и ее аппроксимации для САР с контурными коэффициентами усиления, равными 15, 25, 50 и 60 (70). Для устойчивой системы совпадение характеристик хорошее. По мере приближения к границе устойчивости и переходе через нее точность ухудшается, но качественный характер поведения модели соответствует исходной системе

Выводы

Звено запаздывания с хорошей степенью приближения может быть вынесено за пределы контура САР. Физический смысл этого представления состоит в том, что инерционно-колебательные свойства и чистое запаздывание контура разделены и могут рассматриваться отдельно. Входной сигнал последовательно преобразуется инерционной частью и звеном запаздывания. Последовательность этих процессов может быть произвольной. Инерционная часть (дробно-рациональная) формирует фронт переходного процесса, а звено запаздывания устанавливает правильную задержку.

Аппроксимация дает лучшие результаты для устойчивых систем, но и для неустойчивых качественный характер решения сохраняется.

При относительно больших задержках инерционность дробно-рациональной части слабо влияет на переходный процесс, он определяется инерционностью, вносимой звеном запаздывания.

Для многоконтурных систем с несколькими звеньями запаздывания в разных контурах можно последовательно применить предлагаемый прием. Тем самым система будет разделена на инерционную и совокупную задерживающую части, включенные последовательно. Разделение модели на элементы с инерционно-колебательными свойствами и с чистым запаздыванием и их последовательное соединение может существенно упростить аналитическое исследование свойств системы.

Вопросы без ответов

  1. Отличаются ли принципиально физические понятия инерционность и запаздывание? Если да, то можно ли сформулировать некоторый принцип независимости инерционных механизмов и механизмов запаздывания, действующих в линейных системах? Применим ли к ним принцип: последовательность инерционных процессов и процессов задержки не влияет на результат, т.е. на выходной сигнал?
  2. Какой физический смысл имеет перенос аппроксимирующего звена из прямой ветви контура традиционной схемы САР в обратную ветвь в предлагаемой аппроксимации (рис. 5), т.е. изменение жесткой обратной связи на инерционную? Почему фронт переходного процесса при этом формируется дробно-рациональной частью более точно, но запаздывание исключается?

Литература

  1. Лукас В. А. Теория автоматического управления. - М.: Недра, 1990. - 416 с.: ил.
  2. Козин В.З., Тихонов О.Н. Опробование, контроль и автоматизация обогатительных процессов. – М.: Недра. 1990. – с.199 - 205.

08.01.2005