Федосов Борис Трофимович
Рудненский индустриальный институт,
Рудный, Казахстан

УДК 681.51.01
Ф338

О представлении корней алгебраических полиномов в трехмерном пространстве
(этюд о комплексных числах)

      Несколько лет назад я проводил у студентов второго курса летнюю учебно-вычислительную практику в компьютерном зале. Один из сильных студентов довольно бойко выполнял типовые задания в программе MathCAD и просил дополнительные, отвлекая меня от слабых студентов. Тогда я предложил ему решить графически квадратное уравнение, а его коэффициенты подобрал так, чтобы корни были комплексными, предполагая, что решение будет представлено в трехмерном пространстве. Через некоторое время студент пришел и сказал, что корней не существует: парабола не пересекает ось абсцисс. Так я узнал, что ни в школе, ни в институте эти студенты не изучали комплексные числа. Остается загадкой, кто так «упростил» тогда программу математики. Без комплексных чисел немыслимо изучение многих разделов физики и технических дисциплин, изучающих и использующих колебания и волны.

  1. Квадратное уравнение
  2. Комплексное число
  3. Графическое представление комплексных корней
  4. О геометрическом смысле параметрической стабилизации
    и оптимизации объектов и систем
  5. Заключение
  6. Литература

1. Квадратное уравнение и его корни

Откуда берутся квадратные уравнения и какая от них польза?

Любой школьник знает, что для того, чтобы вычислить площадь прямоугольника, например комнаты или земельного участка, нужно умножить его длину на ширину. Наоборот, если требуется определить длину стороны квадрата, площадь которого известна, нужно извлечь квадратный корень из площади:

gif-file, 20KB

Рис.1. Задачу определения стороны квадрата известной площади можно представить в виде простейшего квадратного уравнения. В этой задаче геометрический (физический) смысл имеет только один, положительный корень полинома а2 - S

Уравнение


(1)

gif-file, 20KB

при S ≥ 0 имеет два решения а1 = gif-file, 20KB и а2 = - gif-file, 20KB . Решения а1 и а2 называют корнями полинома а2 - S.

Значимость для практики квадратных уравнений состоит в том, что корни алгебраических полиномов произвольных степеней в конечном итоге определяются путем решения либо линейного, либо квадратичного уравнения. И эти корни определяют т.н. свободную компоненту решения линейного дифференциального уравнения. А такими уравнениями при достаточно малых воздействиях описывается большинство окружающих нас динамических объектов и систем, способных воспринимать внешние воздействия и отвечать на них изменением своего состояния. Таким образом, решение квадратных уравнений – составная часть описания реальных объектов и систем, позволяющего изучить их, и на этой основе строить полезные человеку устройства и управлять ими должным образом.

Куда исчезают корни?

Квадратные уравнения широко применяются в разных областях науки и техники, при этом используются разные обозначения переменных, поэтому перепишем уравнение (1) в типовом виде:

(2)

gif-file, 20KB

а корни полинома y(x) = x2 + q обозначим р1 и р2 соответственно.

Если построить график функции y(x), то при q ≤ 0 точки пересечения этой параболы с осью абсцисс и будут корнями полинома. Эти точки определяют геометрический смысл корней. Однако, очевидно, что как только q станет больше нуля, точек пересечения параболы с осью х не станет:

gif-file, 20KB

Рис. 2 (анимация 5 кадров). При увеличении свободного члена q парабола поднимается вверх. При q ≥ 0 корни исчезают?

Таким образом, при решении квадратного уравнения может оказаться, что решения его среди действительных чисел от -∞ до +∞ не имеется. Можно было бы воспринять это как данность и считать, что операция вычисления корней может выводить решение за пределы существующих чисел. Но математики пошли по другому пути, добиваясь того, чтобы каждое квадратное уравнение имело корни. Они обобщили понятие числа, добавив к числам новые математические объекты, которые получаются из обычных чисел домножением их на корень квадратный из -1.

2. Комплексное число

Поскольку не существует такого числа в пределах от -∞ до +∞, которое будучи возведенным в квадрат, давало бы -1, то математики ввели определение нового математического объекта: числа


(3)

gif-file, 20KB

и назвали его мнимой единицей. Как видно, j2 = -1. Эти формулы показывают, как связаны между собой обычные, т.н. действительные и новые, т.н. мнимые числа.

Примечание. Обозначение j для мнимой единицы применяется обычно в технике, а в математике мнимую единицу обозначают как i.

Комплексное (что значит сложное, составное) число состоит из композиции (совокупности) действительного и мнимого чисел:

(4)

gif-file, 20KB

здесь величины a и b – «обычные», действительные числа, но число b домножено в выражении на j. И поэтому здесь число a – действительное, а число jb – мнимое. Знак суммы (+) в выражении (4) следует воспринимать условно. Например, если попытаться сложить котенка и рыбу, то они так и останутся котенком и рыбой, а не станут «рыбокотенком». Тем не менее, если взять два котенка и три рыбы и прибавить к ним котенка и две рыбы, то получится три котенка и пять рыб. По такому же правилу складываются и комплексные числа, с тем отличием, что из котенка никак не сделать рыбу, а из действительного числа можно получить мнимое, домножив его на j. Из мнимого числа можно получить действительное, возведя его в квадрат или домножив на j. Правая часть (4) называется алгебраической формой представления комплексного числа.

Комплексные числа удобно представлять графически на плоскости, называемой комплексной плоскостью:

gif-file, 20KB

Рис. 3. Комплексному числу можно поставить в соответствие точку или вектор на комплексной плоскости. Оно может быть представлено в алгебраической или показательной форме, что позволяет строить его на плоскости в декартовой или полярной системах координат

Показательная форма записи комплексного числа позволяет представлять его на комплексной плоскости в полярной системе координат.


(5)

gif-file, 20KB

Словами эту формулу можно произнести так: комплексное число z = |z| e это вектор на комплексной плоскости длиной |z| (модуль z), повернутый против часовой стрелки на угол φ.

Перевод из одной формы в другую производится с помощью формул прямоугольного треугольника:




(6)

gif-file, 20KB

Складывать и вычитать комплексные числа удобнее в алгебраической форме:

gif-file, 20KB

Рис. 4. Комплексные числа складываются на комплексной плоскости как векторы

Как видно, комплексное число - сумма действительной и мнимой части может трактоваться как вектор на комплексной плоскости. В отличие от обычных векторов, например векторов скорости, у которых проекции на оси некоторой системы координат равноправны, т.е. имеют одинаковую размерность (скорости), на комплексной плоскости по осям откладываются числа различной природы – действительные и мнимые, которые к тому же могут превращаться из одного типа в другой, например путем домножения их на мнимую единицу.

Перемножать комплексные числа удобнее в показательной форме:


(7)

gif-file, 20KB

gif-file, 20KB

Рис. 5. Модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей этих чисел, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей

Таким образом, если для обычных, действительных чисел операции сложения, вычитания, деления и умножения дают результат в виде действительного же числа, то операция возведения в степень, например извлечение квадратного корня, может дать результат и не в виде действительного числа, что выводит его за пределы множества действительных чисел. И это недостаток, от которого свободны комплексные числа: операция возведения комплексного числа в любую степень дает в результате также комплексное число:

(8)

gif-file, 20KB

3. Графическое представление комплексных корней

Возьмем уравнение

(9)

gif-file, 20KB

При q ≥ 0 его решение примет вид: gif-file, 20KB, т.е. корни будут комплексными, точнее, в данном случае, мнимыми. Графически их изображают на комплексной плоскости:

gif-file, 20KB

Рис. 6. Корни полинома y(x) = x2 + 2.25 (решения уравнения x2 + 2.25 = 0) располагаются на мнимой оси

Очень интересно посмотреть, как ведут себя корни уравнения (9) в трехмерном пространстве. Для этого расположим плоскость комплексных чисел горизонтально, а по вертикали отложим значения функции:


(10)

gif-file, 20KB

Собственно, поскольку j2 = -1, то и вверху и внизу в (10) записано одно и то же выражение, правая часть (10) эквивалентна левой части (9), но теперь можно будет показать в пространстве не только действительные, но и мнимые корни:

gif-file, 20KB

Рис. 7 (анимация 12 кадров). Перемещение корней полинома второй степени при увеличении его свободного члена q от -0.5 до +0.5. При отрицательных значениях q корни действительные, при q = 0 корни совпадают (являются кратными), и при положительных значениях q корни становятся мнимыми

Оказывается, что, как видно на рис. 7, привычная парабола, рассматриваемая в плоскости х-у, на самом деле, в трехмерном пространстве имеет вторую половину, плоскость которой перпендикулярна плоскости х-у, направленную вниз! И эта вторая парабола тоже может пересекаться при определенных значениях свободного члена q, но уже не с линией действительных чисел, а с плоскостью комплексных аргументов! Вот куда деваются корни!

gif-file, 20KB

Рис.8 (анимация 15 кадров). Корни квадратного полинома общего вида

Наконец, возьмем полином третьего порядка:

(11)

gif-file, 20KB

Этот полином интересен тем, что его частный случай при q = 0 является полиномом Чебышева третьего порядка. При изменении величины q от -2 до 2 кубическая парабола поднимается вверх. При этом, вначале имеется один действительный корень справа и два комплексно-сопряженных слева, затем корни становятся действительными, а при дальнейшем подъеме параболы вновь остается один действительный корень, теперь уже в левой части и два комплексно-сопряженных в правой:

gif-file, 20KB

Рис. 9 (анимация 15 кадров). Корни полинома третьей степени при увеличении свободного члена от -2 до 2. При достаточно малом значении q парабола третьей степени имеет один действительный и два комплексных корня. По мере увеличения q левая пара корней становится действительной. При q = 0 рассматриваемый полином становится полиномом Чебышева. При дальнейшем увеличении q остается один отрицательный действительный корень, а пара комплексно-сопряженных корней, соответствующая правому экстремуму параболы, имеет положительные действительные части

4. О геометрическом смысле параметрической стабилизации и оптимизации объектов и систем

Как следует из рис. 9, система управления, характеристический полином которой является полиномом Чебышева, смещенным по вертикали на произвольную величину, не может быть устойчивой [2], поскольку всегда имеется корень в правой части комплексной плоскости. При увеличении свободного члена q характер неустойчивости от монотонного (один корень справа) переходит в колебательный (пара комплексно-сопряженных корней справа).

Из анализа рис. 9 следует, что для стабилизации такой системы график характеристического полинома должен быть смещен влево по оси действительных чисел на некоторую достаточную величину r:

(12)

gif-file, 20KB

gif-file, 20KB

Рис. 10 (анимация 6 кадров). Смещение на величину r влево по оси действительных чисел графика характеристического полинома некоторой, неустойчивой в исходном состоянии, системы управления стабилизирует ее, поскольку действительные части всех корней становятся отрицательными

Итак, изменение свободного члена характеристического полинома неустойчивой системы не всегда может ее стабилизировать. Для стабилизации неустойчивой системы параметры ее элементов следует изменять так, чтобы график ее характеристического полинома переместился относительно начала координат на достаточную величину влево. После этого система управления может быть оптимизирована по заданным критериям качества путем определения наилучшего свободного члена полинома, т.е. перемещением графика по вертикали. Предложенный подход может рассматриваться как еще один, в дополнение ко множеству уже известных методов синтеза и оптимизации САР, однако вряд ли он имеет какое-нибудь практическое значение – существуют куда более простые методы оптимизации. Польза от проведенного рассмотрения может состоять в том, что на известные вещи сделан взгляд в новом ракурсе. А понимание лишним не бывает.

Заключение

Представление корней полиномов в трехмерном пространстве позволяет не только лучше понять взаимосвязь коэффициентов полинома и расположения его корней, но и почувствовать эстетику задач, связанных с определением корней.

Корни полиномов с действительными коэффициентами могут быть только действительными, мнимыми и комплексными, т.е. не более сложными. Поэтому нет смысла разыскивать их среди более сложных математических объектов, например, среди гиперкомплексных чисел (кватернионов). Это означает, что совокупность свойств динамических систем, описание которых базируется на полиномах с действительными коэффициентами, ограничивается только такими свойствами, которые можно описать с помощью комплексных чисел: инерционность, колебательность, неустойчивость и др.

Стабилизация и оптимизация неустойчивой системы управления связана с перемещением на достаточную величину влево по действительной оси относительно начала координат графика ее характеристического полинома с последующим перемещением его по вертикали. И это неявно делается в любом методе стабилизации и оптимизации.

Литература

  1. Математика в современном мире. Перевод тематического номера журнала «Саейнтифик Америкен» Н.Г. Рычковой. – М., Мир, 1967, 206 с.
  2. Лукас В. А. Теория автоматического управления. - М.: Недра, 1990. - 416 с.: ил.

21.10.2005