Федосов Борис Трофимович
Рудненский индустриальный институт,
Рудный, Казахстан

УДК 681.51.01
Ф338

Представление модели САР в виде иерархической структуры
контуров подчиненного регулирования

В литературе, см. например [1], [2] и [3], рассматриваются и применяются три канонические формы моделей линейных систем.

Это, во-первых, последовательное соединение интеграторов, охваченных обратными связями. Эта схема часто применяется при аналоговом, а также при объктно-ориентированном (ООМ) цифровом моделировании систем. Алгоритм составления такой схемы состоит в создании модели по дифференциальному уравнению.

Кроме того, важными формами моделей является их представление в виде параллельного или последовательного соединения звеньев первого и второго порядка. Алгоритм построения таких моделей сводится к нахождению собственных значений матрицы состояний или, что то же, определению корней характеристического полинома системы.

Ниже предлагается еще одна форма модели произвольной линейной системы, состоящая из вложенных контуров подчиненного регулирования, включающих интегратор и контур младшего порядка. Эта форма модели может быть названа четвертой.

Алгоритм построения предлагаемой модели состоит в последовательном «размыкании» воображаемых контуров исходной системы и систем более низких порядков.

Как известно, схема САР по каналу управления может быть приведена к типовому виду:

gif-file, 20KB

Рис.1. Типовой вид структурной схемы САР. Все элементы контура сосредоточены в одном звене. Обратная связь жесткая единичная

Передаточная функция типовой САР рис.1 имеет вид:


(1)

gif-file, 20KB

Если известна Ф(s), то из (1) можно определить W(s):


(2)

gif-file, 20KB

Формулу (2) можно формально применить к любой системе Ф(s), независимо от того, есть ли в ней физически, на самом деле контура.

Пусть Ф(s) имеет вид:


(3)

gif-file, 20KB

Отметим, что коэффициент усиления типовой САР всегда равен 1, поскольку обратная связь в такой системе предполагается жесткой и единичной.

"Разомкнем" (3) в соответствии с (2):


(4)

gif-file, 20KB

Как видно, размыкание основной системы дает модель контура в виде последовательного соединения интегратора с постоянной времени, равной Т = аn-1/1 = аn-1 (здесь а0 = 1) и системы Фn-1 (s) c порядком на единицу меньшим, чем у исходной системы.

Разомкнем Фn-1(s):


(5)

gif-file, 20KB

Здесь, как и в предыдущей формуле, постоянная времени интегратора определяется отношением коэффициентов соседних членов характеристического полинома.

Последовательно размыкая внутренние системы можно добраться до интегратора на последнем шаге:


(6)

gif-file, 20KB

В результате модель примет вид:

gif-file, 20KB

Рис.2. Структура модели САР, заданной передаточной функцией (3). Модель состоит из набора вложенных контуров с интеграторами, постоянные времени которых определяются отношением коэффициентов соседних членов характеристического полинома. Обратные связи в каждом контуре – жесткие, единичные

Модель рис.2 напоминает матрешку или контейнер, где хранилась смерть Кощея Бессмертного: сундук – заяц – утка – яйцо – иголка – какой-то вирус или яд.

Как видно, постоянная времени каждого интегратора определяется делением соответствующего коэффициента характеристического полинома на коэффициент, расположенный справа.

Состав самого внутреннего контура (6), рис. 2 наиболее прост. Он состоит из интегратора, постоянная времени которого определяется коэффициентами самого старшего и следующего по старшинству членов. Поэтому передаточная функция замкнутого внутреннего контура равна


(7)

gif-file, 20KB

Следовательно, этот контур представляет собой апериодическое звено, с единичным усилением и постоянной времени T0 = a0/a1. Обычно отношение a0/a1 весьма мало, оно значительно меньше, чем отношения для внешних контуров, например чем a1/a2. Это определяется требованиями к устойчивости САР (3). Поэтому внутренний контур Ф1(s) у хорошей САР как правило имеет малую инерционность и во многих случаях может быть заменен усилителем с единичным усилением. Такой прием позволяет уменьшить степень характеристического полинома системы при сохранении всех ее основных свойств.

В отличие от распространенной формы модели САР, имеющих в основе цепь интеграторов с единичным усилением, в рассматриваемой модели каждый интегратор имеет свою постоянную времени, что и определяет свойства конкретной модели. Обратные же связи модели – жесткие, единичные, что также отличает рассматриваемую модель от традиционной, где обратные связи жесткие, но не единичные, усиление в них определяется коэффициентами характеристического полинома.

Рассмотрим модель системы третьего порядка:


(8)

gif-file, 20KB

Ее представление в виде вложенных контуров имеет вид:

gif-file, 20KB

Рис.3. Модель системы третьего порядка. T0 = a0/a1, T1 = a1/a2, T2 = a2

Для фильтра Баттерворта третьего порядка a0 = 1, a1 = 2, a2 = 2, поэтому T0 = 0.5, T1 = 1, T2 = 2, а коэффициенты усиления соответственно k0 = 1/ T0 = 2, k1 = 1/ T1 = 1, k2 = 1/ T2 = 0.5

gif-file, 20KB

Рис.4. Сравнение моделей САР, настроенной на модульный оптимум (фильтров Баттерворта 3 порядка). Для удобства сравнения переходная характеристика традиционной модели (синяя кривая) приподнята на 0.05

Т.о. универсальная основа всех линейных моделей – интегратор.

Если "разомкнуть" интегратор gif-file, 20KB, то получится неустойчивое звено с передаточной функцией


(9)

gif-file, 20KB

Возникает вопрос:

Неужели все устойчивые системы в своем фундаменте имеют неустойчивые элементы? Есть ли здесь достаточно глубокий натурфилософский смысл или это просто математический трюк, результат которого не отражает физических свойств реальных объектов? Или что-то среднее: для модели справедливо, но адекватность линейных систем реальным устройствам имеет границу, теряется при размыкании интегратора? Кто даст ответ на этот вопрос?

Рассмотрим влияние форсирующего множителя, который может присутствовать в передаточной функции исходной системы. Как известно, такие множители добавляют с целью повышения и быстродействия, и степени устойчивости САР путем введения в контур САР ПИ- или ПИД – регуляторов, или гибкой местной обратной связи.

Пусть передаточная функция системы Ф(s) имеет вид:


(10)

gif-file, 20KB

"Разомкнем" (10):


(11)

gif-file, 20KB

Как видно, при Тф < an-1 постоянная времени интегратора старшего контура уменьшается на величину постоянной времени форсирующего звена, что и говорит о положительном влиянии форсирующего множителя, ускоряющего реакцию исходной системы на воздействия. Но при обратном неравенстве Тф > an-1 нарушается правило Стодолы и Фn-1(s) становится неустойчивой.

Даже если при первом размыкании условие Тф < an-1 не приводит к неустойчивому контуру на первом шаге, то при следующих «размыканиях» ввиду того, что коэффициенты характеристического полинома ускоренно убывают с ростом степени, на каком-то шаге размыкание может привести к неустойчивому внутреннему контуру.

В то же время, вынесение форсирующего множителя за пределы модели, включение его последовательно с вложенными контурами, исключает привносимую им неустойчивость в последних.

Вывод: введение форсирующего звена приближает внутренние контура модели к границе устойчивости, а при больших значениях n это приводит к потере устойчивости внутренними контурами. Отметим, что форсирующий множитель никак не сказывается на устойчивости системы (10), поскольку фосирующее звено находится за пределами контура этой модели САР.

Заключение

Произвольная линейная система может быть представлена моделью, состоящей из контуров подчиненного регулирования, включающих интегратор и контур младшего порядка (ранга).

В рассмотренной модели коэффициенты характеристического полинома определяют постоянные времени интеграторов, а обратные связи являются жесткими единичными. В классической модели, в основе которой положена цепь интеграторов, постоянные времени интеграторов единичные, а усиление обратных связей определяется коэффициентами характеристического полинома.

Модель линейной системы, состоящая из вложенных контуров, в своей основе содержит неустойчивость, которая проявляется, начиная с более или менее глубокого внутреннего контура. Обратные связи такой модели стабилизируют внутренние контура и в конечном итоге приводят к устойчивой системе. Это позволяет рассматривать произвольную реальную устойчивую систему как результат стабилизации некоторых исходных неустойчивых объектов, что отражает важность и значимость обратных связей модели. По крайней мере, в некоторых случаях рассматриваемая четвертая форма модели линейной системы соответствует физической или технической структуре реальной системы, например, САР с объектом без самовыравнивания.

Литература и Интернет

  1. Ван-Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции. Том 1. Теория обнаружения, оценок и линейной модуляции. Пер. с англ. под ред. Тихонова В.И. –М.: Сов. Радио, 1972, 744 с.
  2. Лукас В. А. Теория автоматического управления. - М.: Недра, 1990. - 416 с.: ил.
  3. Клиначев Н.В. Универсальные блок-схемы моделей передаточных функций линейных систем. 2001 г.
    http://model.exponenta.ru/univ_tf.html

07.01.2005