Федосов Борис Трофимович
Рудненский индустриальный институт,
Рудный, Казахстан

УДК 681.51.01
Ф338

К синтезу САР методом построения желаемой ЛАЧХ

  1. Синтез ЛАЧХ в НЧ – области
  2. Синтез ЛАЧХ в СЧ – области
  3. Выводы
  4. Литература и Интернет

      Вероятно, с технической точки зрения синтез методом построения желаемой ЛАЧХ выглядит анахронизмом, но в методическом отношении знание его может быть полезным, помогая лучше понять влияние поведения частотной характеристики в разных частотных интервалах на свойства САР.
      При синтезе САР методом построения желаемой ЛАЧХ [1] неизменяемая часть САР задана. Она включает объект управления, датчики, исполнительный механизм и регулирующий орган и др. Синтез методом построения желаемой ЛАЧХ сводится к нахождению структуры и параметров корректирующего устройства. Эта задача решается определением разности ЛАЧХ исходной и желаемой ЛАЧХ. Традиционно желаемую ЛАЧХ строили в соответствии с приближенными, но сложными алгоритмами [1], которые требуют упрощения.
      Ниже рассматривается простой порядок построения желаемой ЛАЧХ в низко- и среднечастотной областях.

1. Синтез ЛАЧХ в НЧ – области

Как известно [1], качество САР в установившемся режиме работы определяется низкочастотной областью ее ЛАЧХ.

Решению задачи синтеза в низкочастотной области способствует предлагаемая ниже теорема, позволяющая сравнивать качество двух САР, функционирующих в установившемся режиме.

Теорема.

Качество установившегося режима лучше у той САР, ЛАЧХ которой в области нижних частот располагается выше.

НЧ - область ЛАЧХ это диапазон частот, в котором ЛАЧХ превышает уровень 10 - 20 дБ, т.е. усиление контура САР на этих частотах больше 3 – 10. Если усиление контура САР на нижних частотах меньше 10, то ее качество в установившемся режиме плохое и рассматривать такой случай не имеет смысла.

Доказательство.

Рассмотрим САР

gif-file, 20KB

Рис.1. Схема, позволяющая определить ошибку регулирования e(t) САР при известном задании x

Передаточная функция САР рис.1 по ошибке, обусловленной заданием равна:


(1)

gif-file, 20KB

Для практически полезных систем в НЧ - области |W(jω) | >> 1, поэтому в этой области


(2)

gif-file, 20KB

Рассмотрим две САР с передаточными функциями по ошибке, обусловленной заданием Фез1(p) и Фез2(p) такие, что в НЧ – области

(3)

ез1(jω)| < |Фез2(jω)|,

т.е. качество первой системы выше, чем у второй. Тогда, с учетом (2)

(4)

|Wез1(jω)| > |Wез2(jω)|.

Т.о. частотная характеристика разомкнутого контура в НЧ – области проходит выше у той системы, качество работы в установившемся режиме которой лучше. Следовательно, выше проходит и ЛАЧХ.

Наоборот, если выполняется (4), то с учетом (2) выполняется и (3).

Теорема доказана.

gif-file, 20KB

Рис.2 В установившемся режиме ошибка слежения меньше у той САР, у которой ЛАЧХ в НЧ - области расположена выше

Как известно [2], [3], качество САР в установившемся режиме характеризуется коэффициентами ошибок. Чем они меньше, тем качество САР выше.

Следствие: коэффициенты ошибок меньше у той САР, частотная характеристика которой в НЧ – области расположена выше и наоборот, если характеристика расположена выше, то коэффициенты ошибок соответствующей САР меньше.

Исходными данными для синтеза в НЧ - области являются коэффициенты ошибок по положению с0, по скорости с1 и по ускорению с2.

Если требования к установившемуся режиму работы САР заданы в другой форме, то их нужно выразить через коэффициенты ошибок. Например, если задана максимальная ошибка регулирования еm и допустимые отклонения задания Xm, его скорости X1m и ускорения X2m, то привлекая принцип равных влияний не трудно получить верхние границы коэффициентов ошибок:


(5)

gif-file, 20KB

Коэффициенты ошибок определяют поведение минимально достаточной ЛАЧХ в НЧ – области:

gif-file, 20KB

Рис.3. Коэффициенты ошибок определяют минимально достаточную ЛАЧХ в НЧ – области, которая еще способна обеспечить требуемое качество установившегося режима. Системы, у которых ЛАЧХ проходит выше, обеспечивают требуемую точность при отслеживании гладких сигналов

Изменяя коэффициент усиления контура исходной САР, т.е. регулируя усиление П – регулятора, следует добиться того, чтобы ЛАЧХ скорректированной САР в НЧ – области располагалась выше минимально допустимой. На этом синтез в НЧ – области завершается.

2. Синтез ЛАЧХ в СЧ – области

Качество САР в переходном режиме в основном определяется среднечастотной (СЧ) областью ее ЛАЧХ [1]. СЧ – область это область частот в районе частоты среза ωср, размером примерно от двух октав до двух декад, где значения ЛАЧХ находятся в пределах от -20 дБ до 20 дБ.

Традиционная методика построения желаемой ЛАЧХ в среднечастотной области, основывающаяся на применении ряда диаграмм [1], сложна и запутанна. А результаты получаются приближенными.

Ниже предлагается простая методика построения ЛАЧХ в среднечастотной области, вытекающая из анализа и композиции традиционных методов.

Исходными данными для построения желаемой ЛАЧХ в среднечастотной области являются требования к качеству переходного режима: время регулирования tp и перерегулирование σ. ЛАЧХ на частоте среза ωср должна иметь наклон – 20 дБ/дек. Частота среза ωср может быть определена по приближенной формуле:


(6)

gif-file, 20KB

Частотный диапазон, в котором желаемая ЛАЧХ в районе частоты среза должна проходить с наклоном – 20 дБ/дек, определяется выражением:


(7)

gif-file, 20KB

Это требование можно выразить и эквивалентным, предъявляемым к отклонению ЛАЧХ:


(8)

gif-file, 20KB

Т.о. поведение желаемой ЛАЧХ в СЧ - области полностью, легко и с приемлемой точностью определено:

gif-file, 20KB

Рис.4. Поведение желаемой ЛАЧХ в СЧ - области

Для получения всей желаемой ЛАЧХ остается припасовать, сопрячь НЧ и СЧ области линией с наклоном, кратным – 20 дБ/дек.

Имея желаемую ЛАЧХ, не трудно определить ЛАЧХ корректирующего устройства и реализовать его [1]. Для этого нужно:

1. Поднять ЛАЧХ исходной САР над желаемой в области НЧ на 6 – 10 дБ, обеспечивая некоторый запас.

2. Вычесть из желаемой ЛАЧХ приподнятую, получив тем самым ЛАЧХ корректирующего устройства:

(9)

gif-file, 20KB

По ЛАЧХ корректирующего устройства не трудно определить его требуемую структуру [1].

Выводы

Качество установившегося режима работы САР определяется низкочастотной областью ЛАЧХ ее разомкнутого контура.

Качество переходного режима определяется среднечастотной областью ЛАЧХ.

Имея ЛАЧХ некоторой системы и требования, предъявляемые к ее качеству, можно с помощью простых вычислений и построения желаемой ЛАЧХ определить, удовлетворит ли рассматриваемая САР предъявленным требованиям. Если нет, то различия в исходной и желаемой ЛАЧХ укажут на необходимые меры и средства коррекции САР.

Литература и Интернет

  1. Иванов А.А. ТАУР. М., Недра, 1970, 352 с.
  2. Бесекерский В.А, Попов Ю.И. Теория систем автоматического регулирования. –М: Наука – 1972, 768 .
  3. Федосов Б.Т. Оценка качества установившегося режима САР. 2003 г.
    http://model.exponenta.ru/bt/bt_0004.html

06.01.2005