Федосов Борис Трофимович
Рудненский индустриальный институт,
Рудный, Казахстан

УДК 681.51.01
Ф338

О методах описания линейных систем

Обычно, при изложении методов описания и расчета линейных динамических систем, в частности, электрических цепей, основное внимание уделяется подробному рассмотрению тонкостей техники выполнения преобразований. Это затрудняет студентам восприятие общей картины. Ниже делается попытка восполнить это упущение и дать вкратце общее представление о смысле и областях применения основных методов описания линейных систем и объектов.

  1. Классификация методов описания линейных систем
  2. Методы текущего времени
  3. Апостериорные методы
  4. Выводы
  5. Заключение
  6. Литература
  7. Приложение: htm-страница и документ Маткада с вычислениями

1. Классификация методов описания линейных систем

Математическое описание линейных систем, например систем автоматического управления, необходимый этап исследования их свойств и оптимизации характеристик в процессе разработки и проектирования.

Существует четыре основных метода описания линейных динамических объектов, в частности электрических цепей.

Первые два назовем методами текущего (реального, ускоренного или замедленного) времени. Это:

Другие два назовем апостериорными (ретроспективными) методами. Это:

Первые два метода позволяют определять текущее значение выходного сигнала системы (САР или электрической цепи), например тока в ветви или напряжения на элементе, независимо от того, известно ли воздействие на всем временном интервале или значения входного воздействия появляются только с течением времени и его поведение в будущем не известно. Универсальность важное достоинство этих методов, хотя они м.б. при аналитической реализации сравнительно трудоемки. Их можно применить, например, при описании систем слежения за неизвестными заранее сигналами. Естественно, они тем более справляются и с решением задач, в которых воздействие заранее известно на всем временном интервале, интересующем исследователя.

Апостериорные методы являются аналитическими и требуют знания входных воздействий в течение всего временного интервала, на котором отыскивается решение. Например, от минус до плюс бесконечности для первого, спектрального, и от нуля до плюс бесконечности для второго, операторного. А в результате расчета получается выходной сигнал системы на тех же временных интервалах.

Каждый из названных методов имеет варианты реализации.

Таким образом, первые два метода могут ответить на вопрос о том, как поведет себя система в дальнейшем в ответ на еще не известное воздействие, значения которого поступают с течением времени. Как частный случай, эти методы описывают и реакцию систем на заранее известное на заданном или на всем временном интервале воздействие. Вторые два метода позволяет только ответить на вопрос о том, как бы повела себя система, если бы на нее действовало известное в течение всего времени воздействие. Каждый из методов имеет свою предпочтительную область применения, в зависимости от формулировки задачи исследователем.

2. Методы текущего времени (temporary methods)

2.1. Дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение наиболее общий инструмент описания системы связанных физических элементов, образующих техническое устройство или объект, способной воспринимать внешнее воздействие x(t) и характеризуемую некоторой выходной величиной y(t), известным образом зависящей от воздействия x(t). Все остальные методы описания систем прямо или косвенно вытекают из дифференциального уравнения или опираются на него.

Дифференциальное уравнение универсально и может описывать систему, как в режиме реального времени, так и апостериорно.

Напомним, как решаются дифференциальные уравнения. Рассмотрим для примера уравнение


(2.1)

gif-file, 20KB

Здесь x = x(t) задаваемое в текущем режиме или полностью известное на всем временном интервале входное воздействие на систему, а y = y(t) – искомая реакция системы на воздействие. Коэффициенты уравнения определяются моделируемой системой.

Для однозначного решения (2.1) должны быть заданы начальные условия: значения решения y(0) и его производной y’(0) по времени в начальный, например нулевой, момент времени. В физической системе эти значения определяются энергией, содержащейся в этот момент времени в элементах, способных ее накапливать, например, в электрических емкостях и индуктивностях, пружинах, подвижных массивных деталях и т.п. Кроме того, должно быть задано и входное воздействие x(t). Входным воздействием может быть произвольный сигнал, в том числе, например, пробный: ступенчатая единичная функция или синусоидальный сигнал x(t) = sin(ωt + φ), или более сложные сигналы, изменение которых во времени заранее не известно. Известными считаются и коэффициенты в (2.1), которые определяются составом и свойствами системы и, в свою очередь, характеризуют ее модель.

Методы решения дифференциальных уравнений разделяются на аналитические и численные, а кроме того, такие уравнения можно решать на аналоговых и квазианалоговых (виртуальных) вычислительных машинах. Аналитические методы дают в результате решения формулы для y(t) и используются для решения уравнений в случае известных заранее воздействий. Если входное воздействие не известно заранее и его значения поступают с течением времени от некоторого источника, то уравнение может решаться либо численно, либо на аналоговой машине.

gif-file, 20KB

Рис. 2.1 (анимация, 8 кадров). Дифференциальное уравнение позволяет определять решение y(t) по мере поступления величины воздействия x(t), т.е. в режиме текущего, в частности реального, времени. В данном случае в нулевой момент на решатель дифференциального уравнения начинает подаваться синусоидальный сигнал (синяя линия), что приводит к переходному процессу с длительностью примерно 0.5 сек (красная линия). По окончании переходного процесса, решение y(t), также как и воздействие x(t), становится синусоидальным, со своими амплитудой и начальной фазой – наступает установившийся режим

В случае известного заранее воздействия x(t), решение (2.1) можно получить аналитически. Его удобно представлять в виде суммы принужденной yпр(t) и свободной yсв(t) составляющих:

(2.2)

gif-file, 20KB

поскольку их легко разделить и найти по отдельности.

В устойчивых системах yсв(t) затухает с течением времени, поэтому при относительно больших значениях t, при условии, что воздействие достаточно гладкое, т.е. оно и ее младшие производные не содержат скачков (разрывов первого рода) [1], выходной сигнал системы приближается к принужденному

(2.3)

gif-file, 20KB

Математики говорят, что это частное решение неоднородного уравнения (2.1). Решение (2.3) позволяет найти принужденную компоненту как выходной сигнал при больших значениях времени, экстраполировать его на весь временной интервал, а потом найти и свободную составляющую:

(2.4)

gif-file, 20KB

Математики называют (2.4) общим решением однородного уравнения (это (2.1), в котором правая часть равна нулю).

Свободная компонента

(2.5)

gif-file, 20KB

определяется корнями pk характеристического полинома A(p):

(2.6)

gif-file, 20KB

системы, составляемого по левой части дифференциального уравнения (2.1), а также начальными условиями y(0) и y’(0) и видом воздействия x(t), в том числе его значениями в нулевой момент времени x(0), позволяющими найти коэффициенты С1 и С2.

gif-file, 20KB

Рис.2.2. Решение y(t) дифференциального уравнения при нулевых начальных условиях и известном заранее воздействии x(t) = sin(30t) ·1o(t) (синяя линия) складывается из принужденной yпр(t) (фиолетовая линия) и свободной yсв(t) (зеленая линия) компонент. Свободная компонента решения, определяющая переходный процесс, определяется начальными условиями, характеризующими систему, описываемую дифференциальным уравнением, и поданным в нулевой момент на систему сигналом. Она затухает, в данном случае за 0.5 сек. В переходном процессе система «подстраивается» под внешнее воздействие, переходя к установившемуся режиму

Примечание. К данной статье в порядке эксперимента прикладывается сгенерированная Маткадом, довольно объемная, 0.5 МБ, htm-страница (это ссылка) в которой приведен в htm-формате документ Маткада с вычислениями, проведенными при подготовке некоторых иллюстраций для данной статьи. Названная страница выполнена в 12-й версии Маткада, которая позволяет работать с этим документом и в интерактивном режиме. Для этого, если на Вашем компьютере установлена 12-я версия Маткада и выше, при загрузке страницы по запросу Интернет Эксплорера следует согласиться на подключение активного содержимого (элементов ActiveX). Затем, выбрав в меню Интернет Эксплорера Файл - Править в Mathcad Application, Вы перейдете в документ Маткада, в котором можно исследовать решение в интерактивном режиме

Переходный процесс может быть вызван не только несоответствием начальных условий системы подаваемому воздействию, но и скачкообразными изменениями воздействия на систему и его младших производных, которые могут быть не известны заранее. Если САР, пусть и с некоторой ошибкой успевает отслеживать воздействие, то она находится в установившемся динамическом режиме. Но если она в какой-то момент не успевает отследить достаточно быстро изменяющееся воздействие, то появляется свободная составляющая, например, колебательная, связанная со свободным, не принужденным обменом энергией между ее накапливающими элементами, до затухания которой режим САР является переходным, а затем вновь становится установившимся.

Начальные условия удобнее всего приурочить к моменту подачи сигнала на систему, однако, это не обязательное требование. Начальные условия в принципе могут быть заданы и для других моментов времени, и эти моменты могут быть разными для значений выходного сигнала и его младших производных.

Если воздействие на систему, описание которой осуществляется дифференциальным уравнением, поступает в реальном времени и, следовательно, прогнозировать его не возможно, то понятия свободная и принужденная составляющие решения уравнения теряют смысл, поскольку они не могут быть найдены в текущем времени по отдельности, однако понятия переходный и установившийся режим могут использоваться и в таком случае.

Дифференциальное уравнение при полностью известном воздействии позволяет корректно определить понятия переходного и установившегося режима, используемые в ТАУ. Эти понятия применяются для устойчивых систем:

Примечание. Выявить, существует ли в данный момент при работе в текущем времени, переходный режим можно по анализу отличия ошибки регулирования от ее гладкого прогноза, осуществляемого с помощью коэффициентов ошибок gif-file, 20KB . В переходном режиме эта разность будет содержать собственные колебания системы, определяемые комплексными и действительными корнями ее характеристического полинома [1].

В ряде случаев представляется удобным описание поведения системы, ее переходного и установившегося режимов с помощью т.н. фазового портрета: графического представления взаимосвязи решения дифференциального уравнения и его производной. Часто фазовый портрет применяется для изучения свободного поведения системы, находящейся в некотором начальном состоянии, но он может быть использован также и для рассмотрения поведения системы при внешнем воздействии. Для рассмотренного выше примера синусоидального воздействия на систему (2.1) ее фазовый портрет выглядит следующим образом:

gif-file, 20KB

Рис. 2.3 (анимация, 8 кадров). Фазовый портрет системы (2.1) при нулевых начальных условиях (y(0) = 0, y’(0) = 0) и при воздействии вида x(t) = sin(30t) ·1o(t). График начинается в начале координат, поскольку начальные условия нулевые, и после переходного процесса возникает устойчивый цикл, соответствующий тому, что на выходе системы имеется синусоида, сдвинутая по фазе относительно входной. Выходной сигнал y(t) и его производная по времени y’(t) называются фазовыми переменными (это частный случай переменных состояния) системы

Отметим, что рис.2.3. содержит ту же самую информацию о поведении системы (2.1), что и рисунки 2.1 и 2.2, но она представлена в иной форме.

Метод дифференциального уравнения позволяет численно решать задачи в текущем времени потому, что решение находится по шагам, по мере поступления воздействия.

Обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) описывает систему с одним входом и одним выходом. Оно может быть записано и в виде системы ОДУ. Многомерные системы, имеющие несколько входов и несколько выходов, также описываются системами ОДУ. Важным частным случаем систем ОДУ, опирающимся на мощный математический матричный аппарат линейной алгебры, является представление системы ОДУ в форме Коши, что позволяет описывать техническую или физическую линейную систему переменными состояния, в частности фазовыми переменными. Эта форма чаще всего используется в программах объектного ориентированного моделирования динамических систем (виртуальные квазианалоговые вычислительные машины Vissim, ПК «МВТУ», Simulink и др).

2.2. Интеграл Дюамеля

Интеграл Дюамеля позволяет определять реакцию системы на неизвестное или известное воздействие x(t) в текущем времени (в реальном, замедленном или ускоренном масштабе, в зависимости от мощности вычислительного инструмента и желания исследователя) по ее переходной функции h(t):


(2.7)

gif-file, 20KB

Как видно, интеграл Дюамеля оперирует с сигналами, начавшимися в нулевой момент времени или позднее и может учитывать одно начальное условие (выходной сигнал в начальный момент времени), но не значения младших производных выходного сигнала в нулевой момент времени, которые предполагаются нулевыми.

Смысл интеграла Дюамеля иллюстрируется рисунками:

gif-file, 20KB

Рис. 2.4 (анимация, 3 кадра). Принцип определения выходного сигнала системы, заданной переходной функцией h(t), с помощью интеграла Дюамеля. Первая ступенька, величина которой определяется начальным значением воздействия x(0) имеет конечную величину и дает конечный отклик в виде переходной функции x(0) · h(t). Сдвиг и величина остальных ступенек в интеграле Дюамеля устремляются к нулю, как и отклики системы на них. Но даже при грубом шаге, как видно на третьем кадре, приближенное решение довольно близко к точному

gif-file, 20KB

Рис. 2.5. Снимок осциллограммы Vissim. Аппроксимация реакции апериодического звена на воздействие колебательного характера, представленного суммой сдвинутых ступенек. Синяя линия – воздействие, коричневая – точное решение, зеленая - ступенчатая аппроксимация воздействия, фиолетовая – аппроксимация реакции. Как видно, даже сравнительно большой шаг сохраняет качественную картину и для воздействия и для реакции

Естественно, интеграл Дюамеля позволяет определять реакцию системы и на заранее известный сигнал и это можно сделать не только численно, но и аналитически.

Отметим, что моделирующие программы, например Маткад, довольно долго вычисляют интеграл Дюамеля, поскольку он требует выполнять большой объем вычислительной работы на каждом шаге.

Интеграл свертки можно рассматривать как вариант интеграла Дюамеля, в котором под интегралом проведено интегрирование по частям. Это позволяет выразить выходной сигнал системы через ее весовую функцию q(t):


(2.8)

gif-file, 20KB

Смысл интеграла свертки состоит в том, что здесь входной сигнал представляется последовательностью плотно следующих друг за другом коротких импульсов, амплитуды (точнее, площади) которых равны значению сигнала в моменты их следования и длительность которых устремляется к нулю. При этом последовательность импульсов стремится к последовательности дельта-функций с площадями, равными площадям соответствующих импульсов. Реакция системы в (2.8) находится как сумма реакций на каждый импульс, составляющий входное воздействие, т.е. как взвешенная сумма сдвинутых весовых функций q(t-τ).

gif-file, 20KB

Рис.2.6. Иллюстрация интеграла свертки. Реакция апериодического звена на воздействие (линия кирпичного цвета), полученная как сумма (фиолетовая линия на нижней осциллограмме) его реакций (коричневые и голубые линии) на последовательность импульсов (синяя линия, показаны через один). Зеленые линии – точное решение, когда длительность импульсов устремляется к нулю. Как видно, даже при грубой дискретизации через 0.5 сек приближенное построение довольно хорошо аппроксимирует точное решение

Для наглядности, на рис. 2.6 длительность импульсов выбрана весьма большой, а постоянная времени апериодического звена малой, по сравнению с длительностью импульсов. При уменьшении длительности элементарных импульсов и увеличении постоянной времени звена в сумме в любой момент времени будет не два, а значительно большее число слагаемых, которые будут стремиться к весовым функциям звена:

gif-file, 20KB

Рис.2.7. Редкая выборка из импульсов, аппроксимирующих входное воздействие и реакция на них апериодического звена

Ниже приведен снимок документа Маткада с примером вычисления реакции апериодического звена с помощью интеграла свертки:

gif-file, 20KB

Рис.2.8. Снимок документа Маткада с вычислением реакции y(t) апериодического звена на заданное известное воздействие x(t). Условия задачи и исходные данные те же, что и для рис.2.4. Результат (выходной сигнал) тот же, что и точное решение на третьем кадре рис.2.4. Нижний предел интеграла свертки может быть выбран равным минус бесконечности, решение не изменится, поскольку сигнал должен и начинается в нулевой момент времени. Ступенчатая единичная функция введена в виде UnSt(t) для наглядности и лучшего понимания текста программы. В Маткаде такая функция есть и обозначается она Ф(t)

Методы интегралов Дюамеля (2.7) и свертки (2.8) способны решать задачи в текущем времени потому, что текущим временем t является верхний предел этих интегралов. Интегралы Дюамеля и свертки трактуют решение как сумму элементарных переходных процессов, а следовательно, как перманентный переходный процесс. Поэтому даже если система работает в установившемся режиме, интегралы Дюамеля и свертки формально рассматривают этот режим как переходный.

Т.о. методы описания систем и объектов в текущем времени в состоянии описывать как системы, находящиеся под неизвестными воздействиями, так и апостериорно, когда воздействие известно на всем временном интервале заранее. Изучение поведения систем при неизвестных заранее воздействиях затрудняет анализ и обобщение результатов для получения суждения о свойствах системы, но с другой стороны этот режим позволяет моделям работать в контурах управления реальными объектами. Аналитическое и численное решение задач с известными заранее воздействиями позволяет промоделировать ситуации, которые могут возникнуть в процессе эксплуатации системы, а также получить обобщенные сведения о свойствах исследуемой системы. Для компьютерной реализации метода интеграла Дюамеля и его вариантов, требуются значительные вычислительные мощности.

3. Апостериорные методы

Эти методы применяются для определения реакции систем на известные, в том числе пробные, воздействия. Зная реакцию системы на пробные воздействия, например, синусоиду или ступенчатую функцию, можно судить о том, как система будет реагировать на другие, неизвестные заранее воздействия. А значит, иметь представление о ее свойствах.

Рассматриваемые ниже методы можно отнести к аналитическим, косвенным, опосредованным методам определения реакции системы на воздействие. При реализации этих методов воздействие вначале преобразуется в спектр или изображение, затем определяются спектр или изображение реакции, которая, наконец, находится обратным преобразованием. Такой «обходной» путь во многих случаях упрощает решение задач.

3.1. Спектральный метод

При решении задач спектральным методом предполагается, что известны воздействие (входной сигнал) x(t) и комплексный коэффициент передачи (ККП) W(p) линейной системы. ККП может быть легко найден по дифференциальному уравнению или, в случае линейной электрической цепи, символическим методом, с использованием действительных и мнимых сопротивлений резистора (R), конденсатора (1/jωC) и индуктивности (jωL), теорем об их соединении, законов Ома и Кирхгофа.

Пример 1. Определим комплексный коэффициент передачи системы, соответствующей дифференциальному уравнению (2.1). Предположим, что входным воздействием является синусоида x(t) = Xmsin(ωt+φx). Отметим, что этот сигнал начинается в минус бесконечности и заканчивается в плюс бесконечности. Выходной сигнал линейной системы в этом случае тоже синусоидальный, той же частоты, но с другими амплитудой и начальной фазой y(t) = Ymsin(ωt+φy). Для представленных в комплексном виде входного ( Xmsin(ωt+φx) = Im(Xmej(ωt+φx) )) и выходного сигналов, с учетом (2.1) можно записать:

(3.1)

gif-file, 20KB

Отсюда


(3.2)

gif-file, 20KB

или


(3.3)

gif-file, 20KB

где


(3.4)

gif-file, 20KB

- комплексный коэффициент передачи системы, описываемой дифференциальным уравнением (2.1).

Как видно, комплексный коэффициент передачи можно записывать прямо по дифференциальному уравнению, не проводя выкладок (3.1) – (3.3).

Формула (3.3) позволяет найти амплитуду и начальную фазу выходной синусоиды:

(3.5)

gif-file, 20KB

и

(3.6)

gif-file, 20KB

Функции частоты |W(ω)| и φW(ω) - называются амплитудно- и фазочастотной характеристиками системы.

Отметим, что в проведенных рассуждениях и выкладках (3.1) – (3.6) нигде не использовались начальные условия (НУ) дифференциального уравнения, они предполагаются нулевыми (или другими) в минус бесконечности, когда синусоида включилась, возникла. Тогда же, т.е. очень давно, закончился и переходный процесс, вызванный ее подачей на систему.

Проиллюстрируем это на примере апериодического звена:

gif-file, 20KB

Рис. 3.1. Синусоидальный сигнал (синяя линия) был подан на апериодическое звено бесконечное время назад. Тогда же возник и примерно за одну секунду закончился переходный процесс, связанный с подачей синусоиды на звено. В результате, в наше время, когда мы наблюдаем реакцию звена на синусоиду в окрестностях начала отчета времени, давно уже наступил установившийся режим и выходной сигнал звена (красная линия) так же как и входной, представляет собой синусоиду, той же частоты, что и у воздействия, но со своей амплитудой и начальной фазой

Т.о. решение задачи с помощью ККП показывает, что линейное звено в широком диапазоне времен около нуля задерживает синусоиду по фазе и изменяет ее амплитуду, переходного процесса здесь нет, а существует только установившийся. Эти задержка по фазе и изменение амплитуды зависят от частоты входной синусоиды.

Отметим, что, проходя реальную систему, сигнал в ней задерживается, он не может появиться на выходе раньше, чем поступает на вход. При синусоидальном воздействии задержка может составить большую часть периода, но формально, по осциллограмме это может восприниматься как опережение выходным сигналом входного на оставшуюся часть периода. Таково свойство периодического сигнала, каковым и является синусоида: периоды не различимы. Но фактически выходной сигнал все-таки задержан относительно входного, а не опережает его.

Обратим внимание на то, что на рис.2.1, где синусоидальный сигнал x(t) = sin(30t) ·1o(t) действует на колебательное звено, заданное дифференциальным уравнением (2.1), переходный процесс прекрасно виден в первые моменты времени после нулевого! Отличие рис. 2.1 от рис.3.1 состоит в том, что на первом синусоида включается в нулевой момент времени и поэтому вызывает переходный процесс, в то время как на рис 3.2 переходный процесс, связанный с подачей синусоиды, к нулевому моменту времени ужа давно закончился. А спектр синусоиды Amsin(ωt)·1o(t), включаемой в нулевой момент времени состоит уже не из одной, а из непрерывного ряда синусоид. И с точки зрения ККП подача такого спектра на линейное звено приводит к переходному процессу, который и виден на рис. 2.1.

Пример 2. Определить комплексный коэффициент передачи цепи

gif-file, 20KB

Рис. 3.2. Инерционная RC-цепь (апериодическое звено)

Выразим комплекс действующего значения выходного сигнала через входной сигнал и комплексные сопротивления элементов:




(3.7)

gif-file, 20KB

Как видно, комплексный коэффициент передачи инерционной RC-цепи равен:


(3.8)

gif-file, 20KB

Для линейной системы справедлив принцип суперпозиции, поэтому воздействие на нее сложного сигнала, состоящего из совокупности синусоид, может быть найдено суммированием реакций на отдельные синусоиды. Напомним, что принцип определения реакции системы спектральным методом состоит в определении спектра X(jω) входного воздействия x(t), нахождении спектра Y(jω) отклика системы умножением спектра X(jω) входного сигнала на комплексный коэффициент передачи W(jω) системы и определении реакции y(t) по ее спектру Y(jω) обратным преобразованием Фурье:

gif-file, 20KB

Рис.3.3 (анимация, 4 кадра). Порядок определения реакции системы спектральным методом

Спектр известного сигнала может быть легко найден в литературе, справочниках или с помощью специализированной программы, например в Маткаде или Vissim’е. Спектр неизвестного, получаемого в реальном времени сигнала, принципиально не может быть найден, поскольку в последующие моменты времени сигнал может измениться любым способом, а значит и его спектр будет зависеть от того, какая реализация сигнала осуществится. Т.о. спектральный метод в классическом виде может быть применен только к известным, например пробным, сигналам. Но и этого не мало! Дело в том, что спектр (представление сигнала суммой синусоид различных частот, амплитуд и начальных фаз) существует и может быть найден для очень широкого класса сигналов, сигналов, имеющих ограниченную энергию либо на бесконечном временном интервале, либо, для периодических сигналов, на периоде.

Итак, сложный сигнал, представляется совокупностью синусоид – спектром. Сумма этих синусоид (ряд Фурье – для периодического сигнала) дает сигнал. Приведем для примера усеченный ряд Фурье бесконечной периодической последовательности прямоугольных импульсов по мере увеличения числа членов ряда:



(3.9)

gif-file, 20KB

gif-file, 20KB

Рис. 3.4 (анимация, 11 кадров). Последовательность прямоугольных импульсов (амплитуда А = 4, период следования импульсов Т = 2, длительность импульса τи = 1, скважность импульсов q = T/τи = 2), аппроксимируемая суммой синусоид. Увеличение числа n синусоид в сумме улучшает приближение, однако в районе фронтов импульсов оно имеет погрешности (это т.н. явление Гиббса). Колебательное поведение аппроксимации в районе фронтов делает ее гладкой, хотя и быстро изменяющейся, но без мгновенных скачков

gif-file, 20KB

Рис.3.5. Бесконечная последовательность прямоугольных импульсов и низкочастотная часть их спектра (амплитуда А = 4, период следования импульсов Т = 2, длительность импульса τи = 1, скважность импульсов q = T/τи = 2)

Каждая синусоида, из составляющих аппроксимацию сигнала, например, показанного на рис. 3.4, начинается и подается на систему в минус бесконечности. Поскольку для каждой из них переходный процесс системы закончился в минус бесконечности, то он закончился и для суммы синусоид. Поэтому с точки зрения комплексного коэффициента передачи реакция на любой сложный сигнал является установившимся режимом. Кроме того, метод ККП не учитывает начальные условия – состояние системы в нулевой момент времени, являющиеся одной из причин переходного процесса, можно считать, что спектральный метод относит их моменту минус бесконечность по времени.

gif-file, 20KB

Рис.3.6. Реакция апериодического звена на последовательность прямоугольных импульсов, определенная с помощью комплексного коэффициента передачи и спектров. В любом, как угодно большом, но конечном временном интервале, включающем начало отсчета времени, выходной сигнал (реакция звена) формально является установившимся режимом. Действительно, каждая из синусоид, составляющих воздействие, завершила переходный процесс в минус бесконечности, а тем самым закончился и переходный процесс для всего воздействия (но мы-то знаем, что на каждом отдельном периоде это переходный процесс))

gif-file, 20KB

Рис. 3.7 (анимация, 11 кадров). Заряд и разряд конденсатора – классический пример переходных процессов

Итак, на первый взгляд возникает противоречие: рис. 3.5 формально трактуется как установившийся режим, поскольку решение получено с помощью комплексного коэффициента передачи, а такое же поведение схемы с зарядом и разрядом конденсатора говорит, что на каждом периоде существует два переходных процесса. Правильны обе точки зрения, поскольку рассмотрение задачи проводится в разных ракурсах. Это значит, что спектральным методом переходные процессы рассчитывать можно, но с точки зрения этого метода формально решение считается установившимся режимом.

А можно ли модифицировать спектральный метод так, чтобы все сигналы, например те же синусоиды, начинались не в минус бесконечности, а в нулевой или другой момент времени и учесть НУ в это момент?

Да, в принципе можно, но, при этом придется взять в качестве элементарных компонент разложения сигнала синусоиды, начинающиеся в нулевой момент времени, а такие сигналы уже не просто синусоиды со спектром, состоящим из одной дискреты, их спектр непрерывен:

gif-file, 20KB

Рис. 3.8. (снимок документа Маткада). Амплитудный и фазовый спектры синусоиды, частотой 0.5 Гц, начинающейся в нулевой момент времени, непрерывны. Маткад указывает на частотах, выше 0.5 Гц опережение по фазе на 1800, а не отставание. Выражение для лапласова изображения от этого сигнала значительно проще, чем для его спектра

Сигналы вида Amsin(ωt)·1o(t) если и независимы, то не ортогональны на интервале от 0 до бесконечности, что затрудняет разложение по ним в ряд произвольного сигнала.

gif-file, 20KB

Рис. 3.9. Использование комплексного коэффициента передачи для определения реакции апериодического звена на синусоидальный сигнал, подаваемый в нулевой момент времени. Апериодическое звено усилило низкочастотные компоненты спектра и ослабило высокочастотные. В результате, на первых полутора секундах наблюдается переходный процесс. Маткад при решении этой задачи пока не справляется с символьным (аналитическим) обратным преобразованием Фурье

Обратим внимание, что апериодическое звено изменило спектр входного сигнала, но полученный в результате выходной сигнал равен нулю в моменты времени до подачи входного. Это справедливо для всех моделей реализуемых звеньев. Как видно, ничто и не запрещает пользоваться для модификации спектрального метода элементарными сигналами, начинающимися в нуле, но это не удобно: вместо простых отдельных синусоид и преобразования Фурье придется пользоваться либо элементарными сигналами с более сложным спектром, либо более сложным, а значит куда менее наглядным и громоздким преобразованием. Но мы уже на полпути к изобретению преобразования Лапласа! Жаль, что они с Хевисайдом нас опередили!

Отметим, что лапласово изображение синусоиды, начинающейся в нуле, в отличие от ее спектра имеет достаточно простой вид (см. рис. 3.8).

Следует сказать, что существуют приближенные методы, основывающиеся на наблюдении сигнала в течение ограниченного, сравнительно малого промежутка времени (в текущем временном окне), что позволяет находить для него так называемый мгновенный или текущий спектр.

В качестве примера приведем спектрограмму:

gif-file, 20KB

Рис.3. 9, а (http://www.avisoft.de/soundanalysis.htm). Зависимость текущего спектра голоса пингвина от времени. Разрешения сигнала по времени и частоте взаимно связаны. Улучшение одной характеристики ухудшает другую

Почему же спектральный метод ориентирован предпочтительно на использование сигналов, изменяющихся в бесконечных пределах, прежде всего периодических? Это потому, что спектр периодических сигналов (ряд Фурье) состоит из счетного, а на практике конечного, числа компонент - амплитудных и фазовых. Это удобно и наглядно. Синусоида, начинающаяся в нулевой момент времени и далее длящаяся до бесконечности не является периодическим сигналом. Поэтому ее спектр непрерывен, т.е. для такого сигнала нельзя указать отдельно одну амплитудную и одну фазовую составляющие.

Теперь понятно, что, модифицируя спектральный метод для сигналов, начинающихся в нулевой момент времени и учета начальных условий, мы получим в лучшем случае хорошо известный операторный метод, или изобретем нечто промежуточное и менее совершенное.

Итак, спектральный метод целесообразно применять тогда, когда требуется избежать учета влияния начальных условий системы на ее реакцию, отвлечься от них, например, для расчета принужденного, установившегося режима.

3.2. Операторный метод

Довольно часто можно встретить заблуждение, состоящее в том, что понятия комплексный коэффициент передачи (ККП) и передаточная функция это практически одно и то же, они отличаются только обозначением аргументов и поэтому области их применения одинаковы. Это происходит потому, что обычно автоматчики рассматривают линеаризованные модели САР с приращениями воздействий и реакций относительно некоторого стационарного режима. Такая модель предполагает, что начальные условия для приращений являются нулевыми.

Отметим, что и операторный и спектральный методы существует объективно. Это значит, что исследователь, даже не понимая, не думая об их существе, а следуя их алгоритмам может получать правильное решение задачи, например о переходном процессе в коммутируемой цепи.

На самом деле, ККП и передаточная функция отличаются и по смыслу, и по кругу решаемых ими задач. Если ККП это первый уровень обобщения понятия коэффициент усиления, когда учитываются зависимость величины усиления устройства от частоты усиливаемого им синусоидального сигнала, а также зависимость фазовой задержки от частоты сигнала, проходящего систему, то передаточная функция это следующий, второй уровень обобщения. Передаточная функция может все то, что может комплексный коэффициент усиления, но в добавок она позволяет учитывать и начальные условия системы, а следовательно, описывать и рассчитывать переходное процессы, связанные с рассогласованием в нулевой момент подачи воздействия на систему и ее начальным состоянием, описываемым начальными условиями.

Итак, основное практическое отличие передаточной функции от ККП состоит в том, что она позволяет учитывать начальные условия, а значит, описать и переходный процесс, связанный с этими начальными условиями. Основывается это на том, что изображение производной выходного сигнала учитывает эти самые начальные условия, в то время как ККП их не учитывает, полагая, что переходные процессы, связанные с подачей синусоид на систему закончились там же, в минус бесконечности, когда эти синусоиды начались, были поданы на систему (см. выше).

Для рассматриваемого примера (2.1) заменим в уравнении воздействие и отклик их лапласовыми изображениями. Если начальные условия не нулевые, то изображения производных включают их явно, поскольку [3]:

(3.10)

gif-file, 20KB


(3.11)

gif-file, 20KB


(3.12)

gif-file, 20KB

Подставив изображения выходного и входного сигналов в (2.1) получим:


(3.13)

gif-file, 20KB

откуда

(3.14)

gif-file, 20KB

где


(3.15)

gif-file, 20KB

и

(3.16)

gif-file, 20KB

где

(3.17)

gif-file, 20KB

Как видно, начальные условия модифицируют изображение входного сигнала добавлением к нему слагаемого Nu(p), деленного на коэффициент усиления системы, а выражение для передаточной функции W(p) действительно совпадает с точностью до обозначений с выражением для комплексного коэффициента передачи W(jω) (3.4) системы. При нулевых начальных условиях Nu(p) = 0.

Выражение (3.13) можно, ввиду справедливости принципа суперпозиции, представить в виде двух уравнений


(3.18)

gif-file, 20KB

и


(3.19)

gif-file, 20KB

На первый взгляд может показаться, что первое уравнение дает, как и комплексный коэффициент передачи, принужденную составляющую реакции системы, а второе – свободную. Но это не так. Первое уравнение, записанное для нулевых начальных условий, в общем случае имеет в решении и принужденную, и свою свободную компоненты, в то время как для второго принужденная равна нулю и решение совпадает со свободной компонентой этого уравнения, определяемой начальными условиями. Поэтому полная свободная компонента для (3.7) равна сумме свободных компонент первого и второго уравнений.

Если передаточная функция отличается от ККП только обозначением аргумента, то действительно ли операторный метод учитывает нулевые начальные условия? Да, действительно учитывает. Проиллюстрируем это рисунком:

gif-file, 20KB

Рис. 3.10. Выходные сигналы (красные линии) колебательного звена, заданного передаточной функцией (3.14), и их производные (синие линии) при гармонических воздействиях (коричневые пунктирные линии) с разными начальными фазами, равны нулю при t =0. Начальные условия нулевые. Виден переходный процесс. Решение получено операторным методом. Передаточная функция учитывает нулевые начальные условия (и выходные сигналы, и их первые производные в нулевой момент времени равны нулю) и определяет переходный процесс

Порядок определения реакции системы с помощью операторного метода иллюстрируется рисунком:

gif-file, 20KB

Что же позволяет операторному методу учитывать начальные условия? В нем предполагается, что все сигналы, подаваемые на систему, начинаются не раньше, чем в нулевой момент времени. Точнее, если использовать теорему об изображении задержанного сигнала, то область аргументов можно расширить и на отрицательные конечные значения времени, но это не изменяет существа дела. Изображение Лапласа, в отличие от спектра, использующего для представления сигнала только синусоиды, использует значительно более широкий класс элементарных сигналов, т.н. э-синусоиды, синусоиды различных частот и начальных фаз, амплитуды которых увеличиваются или уменьшаются с течением времени по экспоненциальному закону:

gif-file, 20KB

Рис. 3.11. (анимация, 9 кадров). Примеры элементарных компонент, из которых состоит спектр (слева) и изображение Лапласа (справа) сигналов. Для спектра это синусоиды с частотами от 0 до бесконечности, различными амплитудами и начальными фазами вида A(ω)·sin(ωt+φ(ω)), для изображения это сигналы вида A(σ,ω)·exp(σ t)·exp(jωt) . Наличие скачкообразно изменяющихся в нулевой момент времени компонент позволяет преобразованию Лапласа давать изображения сигналов, также скачкообразно изменяющихся в нулевой момент времени.

Операторный метод, как было показано выше, учитывает начальное, в общем случае не равное нулю значение воздействия. Поэтому есть возможность отнести начальные условия к воздействию, модифицировав его см. (3.15). Но и при нулевых начальных условиях может возникнуть переходный процесс, обусловленный несоответствием подаваемого на систему воздействия этим нулевым начальным условиям. Операторный метод работает и здесь. В этом отличие операторного метода от спектрального: начало воздействия в нулевой момент времени в общем случае приводит к переходному процессу и операторный метод должен его описать и делает это.

Рассмотрим для примера реакцию апериодического звена на синусоидальное воздействие, вычисленное различными методами: решением дифференциального уравнения, с помощью передаточной функции, т.е. операторным методом, и с помощью комплексного коэффициента передачи

gif-file, 20KB

Рис.3.12. Реакции апериодического звена на синусоидальные воздействия, поданные бесконечное время назад и в нулевой момент времени, вычисленные различными методами

Коричневая кривая (до t = 0 пунктирная, а затем сплошная) это воздействие x(t) = sin(10t) на апериодическое звено. Решение Уфурье(t) (синяя линия), найденное с помощью комплексного коэффициента передачи имеется на всей временной оси и не содержит переходного процесса, он закончился бесконечное время назад.

Решения Улапл(t) и Удифур(t) (красные сплошная и пунктирная, приподнятая для удобства сравнения на 0.1, линии) получены с помощью передаточной функции и дифференциального уравнения соответственно, для синусоидального воздействия x(t) = sin(10t)·10(t) (сплошная коричневая линия), включенного в нулевой момент времени, и начального условия y(0) = y0 = 1. Решения становятся отличными от нуля в положительные моменты времени, они совпадают и содержат переходный процесс. Ф(t) ≡ 1о(t) – единичная ступенчатая функция Маткада.

Решение Улапл0(t) (черная линия) получено с помощью передаточной функции для нулевого начального условия y(0) = 0 и содержит переходный процесс. Установившееся значение здесь такое же, как и у всех остальных решений.

Как видно, по окончании переходных процессов, к концу первой секунды, все решения совпадают (напомним, что Удифур(t) – поднята на 0.1), т.е. дают принужденную составляющую решения дифференциального уравнения (установившийся режим).

Таким образом, передаточная функция и дифференциальное уравнение учитывают начальные условия, а комплексный коэффициент передачи не учитывает. Оно и понятно, с помощью ККП решалась задача, когда синусоида начинается в минус бесконечности, что не возможно для операторного метода, для которого сигналы начинаются в нулевой, момент времени. Изображения же, как полной синусоиды, так и синусоиды, начинающейся в нулевой момент времени совпадают и Маткад это подтверждает:

gif-file, 20KB

Преобразование Лапласа просто «не видит» значений сигнала при отрицательных значениях времени, даже если они там не равны нулю.

Отметим, что в операторном методе, как и в методе дифференциального уравнения можно задать начальные условия так, чтобы переходный процесс в момент подачи воздействия на систему не возник:

gif-file, 20KB

Рис.3.13. Реакция апериодического звена на последовательность прямоугольных импульсов при различных начальных условиях. Линия кирпичного цвета отображает реакцию нижнего апериодического звена на периодическую последовательность прямоугольных импульсов, начавшихся в минус бесконечности, тогда же начался и закончился и переходный процесс. Фиолетовая линии это реакция верхнего звена с начальным условием y(0) = 1.47259, соответствующим текущему значению выходного сигнала нижнего звена в момент времени -1.9 сек, когда на верхние звенья начинает поступать та же последовательность импульсов, что и на нижнее звено. Зеленая линия – выходной сигнал звена с нулевым начальным условием. Фиолетовая линия перешла в установившийся режим без переходного процесса, в отличие от зеленой. Для удобства сравнения фиолетовая линия приподнята, а зеленая опущена на 0.1

На рис. 3.13 анализируется апериодическое звено. Оно первого порядка, поэтому для него задается всего одно начальное условие: y(-1.9) или y(-∞). В случае звена второго порядка потребуется задавать два начальных условия, например y(0) и y’(0) , для звена третьего – три и т.д.

Если ККП характеризуется АЧХ и ФЧХ, которые можно наглядно представить графически, то с передаточной функцией обычно работают аналитически, что уменьшает наглядность этого аппарата, он воспринимается формально. Современные программные инструменты, например Маткад, позволяют представить и модуль, и аргумент передаточной функции в трехмерном пространстве:

gif-file, 20KB

Рис.3.14. (анимация, 4 кадра). Модуль передаточной функции апериодического звена как функция комплексного аргумента, действительная часть которого затухание, а мнимая – частота. Передаточная функция имеет полюс в точке (-5, 0j)

Это наглядно, но практически пользоваться трехмерным графиком не очень удобно.

Т.о. и спектральный, и операторный метод не определяют в явном виде раздельно принужденную и свободную составляющие решения дифференциального уравнения, но с их помощью можно находить отдельно как установившийся, так и переходный процессы, соответствующим образом поставив задачу. Например, так, чтобы установившееся значение было заведомо равно нулю. Тогда все решение даст переходный процесс. Или наоборот, задать начальные условия так, чтобы отсутствовала свободная составляющая решения. И тогда все найденное решение и будет установившимся режимом.

3.3. Сопоставление операторного и спектрального методов

Из проведенного рассмотрения вытекает, что с точки зрения практического применения методы отличаются следующим:

Передаточная функция W(p) отличается от комплексного коэффициента передачи W(jω) только обозначением аргумента: p = σ + jω.

Отличий не так и много! Проиллюстрируем еще раз возможности Маткада и определим с помощью ККП и передаточной функции реакцию апериодического звена на ступенчатый единичный сигнал Ф(t) ≡ 1о(t), включаемый в нулевой момент времени

gif-file, 20KB

Рис. 3.15. Переходная функция апериодического звена, определенная спектральным (синяя линия) и операторным (красная, приподнята на 0.1) методами. Результаты совпадают. С точки зрения ККП это сумма установившихся синусоид, а формально значит и установившийся режим, не смотря на то, что с физической точки зрения это очевидно режим перехода звена из состояния, когда на его выходе был нулевой сигнал, в состояние с выходным сигналом, равным 2. Операторный метод учитывает начальное значение x(+0) = 1 подаваемого сигнала и дает то же решение для положительных моментов времени, которое может трактоваться для интервала от 0 до 1 сек как переходный процесс, а далее как установившийся

Итак, и ККП и переходная функция решают задачу определения выходного сигнала, но не «думают» при этом о том, что это такое они нашли: переходный процесс или установившийся, для них эти понятия отдельно не определяются. Т.о., несмотря на то, что ККП «думает», что нашел установившийся режим, мы решили с его помощью задачу о переходном процессе, правильно сформулировав задачу.

Учитывая это обстоятельство, исследователь может сформулировать решаемую задачу так, чтобы в решении был только переходный процесс, а установившееся значение было равно нулю или легко находилось, например, было постоянным, как в случае определения переходной характеристики. Для решения такой задачи предпочтительнее использовать операторный метод, но и метод ККП способен ее решить. Наоборот, можно сформулировать задачу так, чтобы переходный процесс или бы закончился в минус бесконечности, и тогда использовать спектральный метод, или подобрать НУ такие, при которых бы переходный процесс был равен нулю, и тогда определить принужденную компоненту установившегося режима операторным методом.

Выводы

  1. Дифференциальное уравнение – универсальный математический инструмент. Оно позволяет описывать линейную систему как в текущем времени, при неизвестном заранее сигнале, так апостериорно, при известном заранее сигнале, а также учитывать начальные условия. Для известного сигнала, наряду с полным решением, дифференциальное уравнение позволяет найти отдельно свободную и принужденную составляющие решения, определить переходной и установившийся режимы работы САР. Дифференциальное уравнение быстро и эффективно решается численно, моделирующие программы предоставляют многочисленные методы его решения. Наконец, дифференциальное уравнение может быть промоделировано на аналоговой или квазианалоговой (виртуальной) вычислительных машинах.
  2. Метод интеграла Дюамеля, как и его вариант, интеграл свертки, способен описывать линейную систему в текущем времени и учитывать значение выходного сигнала в начальный момент времени. Метод нагляден, представляет выходной сигнал пределом суммы переходных функций, а значит, трактует поведение системы в любой момент времени как переходный режим, даже если она просто работает в установившемся режиме. При известном воздействии метод позволяет получать аналитическое решение в виде формулы. При численной реализации интеграл Дюамеля требует затрат значительно больших вычислительных мощностей по сравнению с методом дифференциального уравнения. Метод интеграла Дюамеля положен в основу описания очень полезных систем корреляционной обработки сигналов.
  3. Спектральный метод аналитический, он позволяет решать задачи только для известных заранее сигналов, отличается наглядностью, поскольку оперирует спектрами сигналов и частотными характеристиками систем, имеющими ясный физический смысл и которые можно представлять графически, позволяет проследить прохождение отдельной синусоиды и их совокупности через систему. Метод не учитывает начальных условий и любой выходной сигнал САР, найденный спектральным методом, формально можно рассматривать как установившийся, поэтому методом предпочтительнее рассчитывать принужденную составляющую аналитического решения дифференциального уравнения или установившийся режим работы САР, в частности при периодических воздействиях. При соответствующей постановке задачи, спектральный метод позволяет рассчитывать и переходный процесс. Известны приближенные решения, когда спектральный метод используется для описания работы системы в текущем (реальном) времени – мгновенный спектр и др.
  4. Операторный метод развивает спектральный метод, и также применим только при известных воздействиях на динамическую систему, он дает возможность учитывать начальное состояние динамической системы, что позволяет применять его для апостериорного описания и расчета переходных процессов. Операторным методом может быть найден и установившийся режим САР или линейной электрической цепи путем определения решения при устремлении его аргумента (времени) к бесконечности. Метод аналитический, не нагляден, при формальном применении довольно прост, давая алгоритм решения задач, связанных с переходными процессами, в том числе вызываемыми заданными коммутациями в цепи.

Заключение

Методы описания исследуемых и проектируемых линейных систем позволяют взглянуть на них в различных ракурсах. Понимание различий и специфики применения различных методов описания линейных динамических систем и объектов позволяет исследователям и инженерам-разработчикам правильно выбирать и эффективно использовать их для решения практических задач, а преподавателям сделать изложение материала более понятным и связным.

Литература

  1. Федосов Б. Т. Переходный и установившийся режимы системы автоматического управления. Причины возникновения, описание, сходства и различия
    http://model.exponenta.ru/bt/bt_0003.html
  2. Лукас В.А. ТАУ. Учебн. для вузов. – 2-е изд., перераб. и доп. –М.: Недра, 1990. Табл. 2.2, с. 60.
  3. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учебн. для вузов. 7-е изд.,--М: Высш. школа, 1978, с. 214.
  4. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. Учеб. для вузов. 2-е изд, - М.: Высш. шк., 1988 – 448 с.

Приложение

Вычисления в программе Маткад 12, проведенные при подготовке иллюстраций к данной статье

22.12.2005