Федосов Борис Трофимович
Рудненский индустриальный институт,
Рудный, Казахстан

УДК 681.51.01
Ф338

Построение аппроксимации ЛАЧХ САР методом переключения степеней

  1. Классическая аппроксимация методом частот сопряжения
  2. Аппроксимация методом переключения степеней
  3. О факторизации передаточной функции
  4. Выводы
  5. Литература и Интернет

      Сегодня построение ЛАЧХ в программах моделирования или в специализированных математических программах, например MathCad, не представляет никакого труда. Компьютер считает практически безошибочно, но человек может ошибиться при постановке задачи компьютеру, например при задании параметров. Поэтому небесполезно иметь в арсенале приближенные методы оценки правильности получаемого решения. Такие методы могут основываться на интуиции исследователя и проектировщика, которая позволяет качественно чувствовать общий характер ожидаемого решения.
      Этому может способствовать и знание некоторых приемов, приближенной, качественной экспресс – оценки свойств системы, в частности построения «вручную» логарифмических амплитудно-частотных характеристик систем и объектов. Наконец, немаловажен и аспект обеспечения некоторого разумного уровня независимости человека от компьютера.
      Ниже предлагается простой в применении метод построения аппроксимации ЛАЧХ и ЛФЧХ системы по ее передаточной функции.

1. Классическая аппроксимация методом частот сопряжения

Известен метод частот сопряжения для построения аппроксимации ЛАЧХ разомкнутого контура САР [1]. Рассмотрим его суть на следующем примере.

Пусть передаточная функция устойчивого разомкнутого контура имеет вид:


(1)

gif-file, 20KB

Аппроксимируем (1) последовательным соединением трех апериодических звеньев:




(2)

gif-file, 20KB

Поскольку в реальных системах часто Т1 >> Т2 >> Т3 , то можно приближенно записать


(3)

gif-file, 20KB

Отсюда, сравнивая коэффициенты знаменателей (1) и (2), приближенно можно записать: Т1 = a2 , Т2 = a1/ a2 и Т3 = a0/a1.

Построить линейно - ломаную аппроксимацию ЛАЧХ трех последовательно соединенных апериодических звеньев (2), параметры которых известны, не представляет никакого труда.

Недостаток метода частот сопряжения заключается в том, что он применим, дает адекватные результаты, только для систем с действительными корнями характеристического полинома. Сказать заранее, являются ли корни таковыми без вычислений не возможно. При применении этого метода для произвольной системы, обладающей колебательными свойствами, полученная аппроксимация «прячет» резонансные пики, обусловленные наличием колебательных звеньев, т.е. наличием комплексно-сопряженных корней характеристического полинома. Это может привести к не правильному суждению о свойствах исследуемой системы.

2. Аппроксимация методом переключения степеней

Ниже предлагается не менее простой в реализации метод построения аппроксимации ЛАЧХ, который позволяет локализовать по частоте пики ЛАЧХ, обусловленные наличием комплексно-сопряженных корней, и оценить их величину. Назовем его методом переключения степеней.

Пусть передаточная функция устойчивого разомкнутого контура САР имеет вид:


(4)

gif-file, 20KB

Как видно из (4), в рассматриваемом контуре отсутствуют интеграторы и форсирующие звенья. Их влияние на результат не трудно учесть после построения ЛАЧХ для W(s). Предполагаем, что кратные корни характеристического полинома в (4) отсутствуют. Для реальных систем это предположение вполне допустимо: корни могут быть близкими, но точное их совпадение маловероятно.

Из (4) видно, что ЛАЧХ непрерывна и ее крутизна меняется также непрерывно, при изменении частоты от 0 до ∞, от 0 дБ/дек до -n·20 дБ/дек. Очевидно, что на ЛАЧХ есть точки или даже отрезки, где наклон касательных кратен величине -20 дБ/дек. Менее очевидно утверждение о том, что такие касательные пересекают ось частот на уровне 0 дБ в точках, со значениями частот, близкими к


(5)

gif-file, 20KB

Как видно, эти частоты определяются только коэффициентом усиления контура и каждая своим коэффициентом характеристического полинома.

Сформулируем нестрогое, но полезное практически утверждение.

Теорема.

Линия, проведенная на уровне 20lg(k) с наклоном 0 дб/дек, а также линии с наклонами -20, -40, … -20(n-1), -20n дБ/дек, проведенные через точки на оси частот со значениями gif-file, 20KB соответственно, все касаются точной ЛАЧХ системы (4).

Пример 1.

gif-file, 20KB

Рис. 1 (анимация 2 кадра). Аппроксимация ЛАЧХ системы третьей степени отрезками линий с наклонами, кратными -20 дБ/дек. Линии, проведены через точки оси частот ω1, ω2, ω3. Они касаются точной ЛАЧХ. Для получения аппроксимации нужно выбрать отрезки линий, расположенные в каждом частотном диапазоне ниже остальных. Очевидно, что система не содержит колебательных звеньев, поскольку на ЛАЧХ отсутствуют резонансные пики и ЛАЧХ может быть аппроксимирована также и методом частот сопряжения

Пример 2.

gif-file, 20KB

Рис. 2. Точка пересечения линий с наклоном - 20 и - 60 дБ/дек расположена ниже линии с наклоном – 40 дБ/дек, что указывает на наличие резонансного пика, поскольку наклон в ней изменяется сразу на - 40 дБ/дек. Величина пика приближенно определяется превышением линии с промежуточным наклоном – 40 дБ/дек над точкой пересечения

Доказательство.

В интервалах частот, где наклон точной ЛАЧХ кратен -20 дБ/дек или близок к этим значениям, определяющую роль в поведение ЛАЧХ вносит только один член характеристического полинома.


(6)

gif-file, 20KB

При этом передаточная функция (6) может быть примерно заменена в каждом отдельном частотном диапазоне выражением:


(7)

gif-file, 20KB

где r = 0,1,2, ..., n,

       a0 = 1.

gif-file, 20KB

Рис. 3. В диапазоне частот, где крутизна ЛАЧХ равна или близка к значению – 20 r дБ/дек, САР может быть аппроксимирована последовательным соединением r интеграторов

Таким образом, в каждом отдельном частотном диапазоне система может быть приближенно заменена последовательным соединением r интеграторов. А аппроксимация всей ЛАЧХ может быть представлена интервалами, поведение в которых определяется соответствующим числом интеграторов. Поскольку ЛАЧХ последовательного соединения r интеграторов пересекает ось частот при значениях (5), то для системы, моделируемой последовательным соединением апериодических звеньев, теорема доказана.

При наличии в последовательной, т.е. представленной в виде последовательного соединения типовых звеньев, модели исходной САР (4) колебательных звеньев картина усложняется.

Пусть передаточная функция звена, входящего в последовательную модель всей системы имеет вид


(8)

gif-file, 20KB

Для упрощения дальнейшего рассмотрения докажем следующее утверждение.

Лемма. Частоты, на которых касательные к ЛАЧХ колебательного звена, имеющие наклон - 20 дБ\дек и - 40 дБ/дек, пересекают ось частот на уровне 0 дБ, равны


(9)

gif-file, 20KB

Запишем передаточную функцию колебательного звена (8) в виде:


(10)

gif-file, 20KB

Постоянная времени T указывает на положение резонансного пика на оси частот, а декремент затухания δ определяет его высоту: gif-file, 20KB. Отметим, что последняя формула применима как при δ < 1, так и при δ > 1.

Из (10)


(11)

gif-file, 20KB;

gif-file, 20KB

Рис.4. ЛАЧХ колебательного звена и линии с наклоном, кратным -20 дБ/дек. Линия с наклоном – 20 дБ/дек, проведенная из точки с частотой 1/(2δТ), обратной коэффициенту слагаемого первой степени характеристического полинома, касается пика в верхней его части на частоте 1/Т (резонансный максимум расположен чуть левее)

На частоте 1/Т (обратной величине постоянной времени колебательного звена), высота пика в натуральных единицах составляет |Wr(ω)| = 1/2δ (резонансный максимум находится чуть левее [2]). Из рис.3 очевидно, что линия, проведенная из точки на оси частот 1/а1 = 1/(2δТ) с наклоном – 20 дБ/дек пройдет на частоте 1/Т на уровне 20 lg(1/2δ) и коснется ЛАЧХ вблизи ее максимума.

Из рис. 3 очевидно также, что в области верхних частот ЛАЧХ асимптотически приближается к линии с наклоном – 40 дБ/дек, которая пересекает ось частот на частоте 1/Т. Изменение коэффициента усиления приводит лишь к соответствующему перемещению ЛАЧХ вверх, а точки пересечения касательных вдоль оси частот.

Т.о. для колебательного звена справедливо то, что положение каждой из касательных, наклон которых кратен -20 дБ/дек, определяется только коэффициентом усиления и одним коэффициентом характеристического полинома.

Лемма доказана.

Закончим доказательство основного утверждения.

Запишем выражение для комплексного коэффициента передачи системы (4):


(12)

gif-file, 20KB;

Наклон касательной в –r20 дБ/дек в некотором, пусть малом, диапазоне частот может быть обеспечен только моделью состоящей из r интеграторов. Это значит, что все слагаемые знаменателя в рассматриваемом диапазоне частот значительно меньше по величине, чем слагаемое степени r. В отсутствие колебательных звеньев в последовательной модели, т.е. в случае действительных и отличающихся корней характеристического полинома системы, на этом доказательство можно и закончить.

При наличии колебательных звеньев они добавляют резонансные пики в ЛАЧХ. Если учесть, что область резонанса довольно узка, порядка двух октав и меньше, в зависимости от декремента затухания, и для колебательного звена справедлива лемма рис.3, то, очевидно, что и для систем, обладающих колебательными свойствами, теорема справедлива.

Конечно, сформулировать теорему и провести доказательство можно было бы более строго. Но это загромоздит изложение и не принесет дополнительной практической пользы.

gif-file, 20KB

Рис. 5 (анимация 12 кадров). Порядок построения аппроксимации ЛАЧХ для системы, обладающей колебательными свойствами. Аппроксимация получается выбором нижних участков линий, имеющих наклон, кратный -20 дБ/дек. Точка слома, в которой происходит изменение наклона на – 40 дБ/дек указывает на наличие резонансного пика. ЛАЧХ в окрестности резонансного пика проводится примерно, на глаз.
Примечание. Для просмотра отдельного кадра следует щелкнуть про кнопке «Остановить» браузера, а для последующего запуска анимации нужно щелкнуть по кнопке «Обновить»

Особенность метода переключения степеней состоит в том, что для получения удовлетворительного результата требуется аккуратно откладывать точки на оси частот и проводить линии с наклоном, кратным -20дБ/дек. Это нужно делать все боле тщательно по мере возрастания крутизны линий.

Метод позволяет строить с удовлетворительной точностью аппроксимации ЛАЧХ для систем до десятого порядка, хотя на практике порядок САР часто целесообразно урезать до четвертого - пятого.

3. О факторизации передаточной функции

Представление модели САР, заданной передаточной функцией общего вида, последовательным соединением типовых звеньев

По полученной аппроксимации ЛАЧХ нетрудно записать выражение для факторизованной передаточной функции. И, следовательно, представить сложную систему в виде последовательного соединения типовых звеньев: пропорционального, апериодических, колебательных и форсирующих.

gif-file, 20KB

Рис. 6 (анимация, 4 кадра). Определение параметров звеньев последовательной модели разомкнутого контура САР по ее ЛАЧХ

Тем самым практически определяются параметры звеньев, корни характеристического полинома или, если система представлена уравнениями для переменных состояния в форме Коши, то собственных значений матрицы системы, поскольку все это одно и то же.

Из построений рис.6 видно, что Т1 = 1.0 сек, Т2 = 0.1 сек., 20 lg(1/2δ) = 14 дБ, следовательно, 1/2δ = 5.0 и 2δ = 0.1. Тогда Т22 = 0.01 2δ Т2 = 0.02 и последовательная модель примет вид:

gif-file, 20KB

Рис.7 (анимация 2 кадра). Исходная модель (вверху) и ее представление в виде последовательного соединения апериодического и колебательного звеньев (внизу), полученное из анализа аппроксимации ЛАЧХ. Определение параметров звеньев по ЛАЧХ дает удовлетворительную точность

Остается построить, если это необходимо, аппроксимацию ЛФЧХ. Для этого, учитывая, что рассматриваемая система минимально – фазовая, и поэтому ее ЛАЧХ определяет и поведение ЛФЧХ, можно воспользоваться методом частот сопряжения, с тем, чтобы записать в результате выражение для факторизованной передаточной функции (см. для примера рис.7), а по ней и выражение для ЛФЧХ.

Имея последовательное представление системы и используя выражения для фазо - частотных характеристик апериодического и колебательного звеньев, легко записать выражение для аргумента комплексного коэффициента передачи системы:


(13)

gif-file, 20KB;

На рис. 8 приведено сравнение точной ЛФЧХ исходной системы и и ее аппроксимации (13)

gif-file, 20KB

Рис. 8. (анимация, 2 кадра). Сравнение ЛАЧХ и ЛФЧХ исходной системы (красные кривые) и ее приближенной модели (зеленые) в виде последовательного соединения апериодического и колебательного звена. Как видно, качественное совпадение характеристик хорошее

Отметим, что ЛАЧХ САР, частотные характеристики разомкнутого контура которой приведены на рис. 8, имеет резонансный пик на частоте, более высокой, чем частота среза ωср, что говорит о низком качестве САР, обусловленном избыточной колебательностью. Более того, очевидно, что в замкнутом состоянии такая САР неустойчива, поскольку частота среза ωср больше частоты ωπ. Это в равной степени показывают как точные характеристики, так и построенные для приближенной модели.

Выводы

Метод переключения степеней позволяет приближенно строить ЛАЧХ сложных систем, заданных передаточной функцией, оценивать по характеристикам положение и величину резонансных пиков в отсутствие компьютера, а также качественно контролировать ЛАЧХ получаемые в компьютерных программах.

ЛАЧХ минимально-фазовых систем дает возможность построить и ЛФЧХ, а также модель исходной системы в виде последовательного соединения типовых звеньев.

Полученные аппроксимации ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутого контура позволяют оценить степень устойчивости замкнутой САР.

Литература и Интернет

  1. Иванов А.А. Теория автоматического управления и регулирования. – М., Недра, 1970. – 352 с: илл.172.
  2. Лукас В. А. Теория автоматического управления. - М.: Недра, 1990. - 416 с.: ил.

05.01.2005