Федосов Борис Трофимович
Рудненский индустриальный институт,
Рудный, Казахстан

УДК 681.51.01
Ф338

Инструменты инженера:
расчет и интуиция

Экспресс-анализ САР по ее передаточной функции

  1. Вступление
  2. Каноническая форма записи передаточной функции
  3. Характеристики и свойства линейной системы, лежащие на поверхности
  4. Заключение
  5. Литература и Интернет
  6. Приложение: Отклик читателя

В наше время, когда практически любая структурированная система управления может быть легко «экспериментально» изучена в программах объектно-ориентированного моделирования (ООМ), может возникнуть ложное впечатление, что аналитическое исследование систем и объектов потеряло свою актуальность. На самом деле это не так. Количественное исследование конкретной системы в программах ООМ, позволяющих создавать модели даже малоподготовленным исследователям, давая конкретные результаты, затрудняет получение общих закономерностей, определяющих свойства и характеристики системы. Эту задачу более эффективно можно решать аналитически.

Строя модель в программе ООМ, исследователь должен стремиться прогнозировать ее свойства еще до завершения создания модели. Это позволяет качественно контролировать правильность создаваемой модели. Не секрет, что даже хорошо отработанные программы могут в некоторых случаях давать не правильные результаты: разработчики программ просто не в состоянии учесть все варианты моделей, которые может придумать исследователь. Но чтобы почувствовать, что полученный результат «не лезет ни в какие ворота», нужно хотя бы примерно знать границу этих «ворот». Для моделей линейных систем большое количество информации можно получить путем простейшего анализа их передаточных функций.

1. Каноническая форма записи передаточной функции

Передаточная функция W(p) линейной системы или звена позволяет получить изображение выходного сигнала Y(p) системы по известному изображению ее входного сигнала X(p):

(1)

gif-file, 20KB

Отсюда следует, что передаточная функция содержит в себе всю теоретическую информацию о модели системы. Поэтому анализ передаточной функции позволяет изучить свойства модели, а следовательно, и самой системы.

gif-file, 20KB

Рис. 1. Определение выходного сигнала линейного звена по его входному сигналу с помощью передаточной функции и преобразования Лапласа

Для линейных систем, не содержащих элементов запаздывания, передаточная функция является дробно-рациональной, т.е. имеет вид дроби, в числителе и знаменателе которой записаны полиномы от переменной p в русской технической литературе или s в английской. В общем виде передаточную функцию записывают так:


(2)

gif-file, 20KB

Математиков такая форма вполне устраивает, для них все числа «равноправны». И нет никакой разницы, равен ли коэффициент d0 единице или 8.2345·10-4. Например, моделирующие программы VisSim [1] и Simulink [2] позволяют определять коэффициенты передаточных функций некоторых фрагментов схемы или оперировать с ними. Но свободные члены полиномов в этих программах получаются не единичными. Равным единице принимается коэффициент при старшем члене. Это свидетельствует о том, что эти программы разрабатывают в большей мере математики, а не инженеры. Инженерам же удобнее применять форму, которую можно назвать канонической, когда свободные члены полиномов, как числителя, так и знаменателя равны единице:


(3)

gif-file, 20KB

Это позволяет при анализе свойств системы без выполнения каких-либо сложных математических действий сразу получать важные сведения о системе, в частности, реализуема ли она. Условие физической реализации: степень числителя m должна быть меньше степени знаменателя n (m < n).

Для приведения (2) к виду (3) достаточно в числителе и знаменателе вынести c0 и d0 соответственно за скобки и разделить c0 на d0, что даст величину k. В большинстве практически значимых случаев система содержит не более одного – двух форсирующих звеньев, поэтому передаточную функцию можно и целесообразно представить в виде:


(4)

gif-file, 20KB

Для разложения числителя (3) на простые множители при m = 2 потребуется решить квадратное уравнение.

При анализе линейной системы в первую очередь интересно знать, устойчива ли она, а на следующем этапе определяется качество САР в статике, переходном и установившемся режимах. Качество может характеризоваться как прямыми, так и косвенными параметрами.

2. Характеристики и свойства линейной системы, лежащие на поверхности

2.1. Оценка свойств системы по передаточной функции ее замкнутого контура

Главные вопросы при анализе свойств САР – ее работоспособность и качество. Если рассматриваемая система заведомо устойчива, а значит, в принципе работоспособна, то можно заняться изучением непосредственно параметров ее качества. Но если не известно, устойчива ли САР, то оценить степень ее устойчивости с высокой степенью вероятности без сложных вычислений могут помочь следующие правила.

2.1.1.Устойчивость

Передаточная функция Ф(p) замкнутой САР позволяет охарактеризовать все свойства исследуемой линейной системы. В первую очередь необходимо установить, устойчива ли САР. Ответ на этот вопрос дает применение критериев устойчивости, но они требуют выполнения некоторых действий, в том числе и в программах моделирования. Наряду с классическими критериями устойчивости желательно было бы иметь достаточно простые в применении правила, позволяющие судить об устойчивости на вскидку, путем сравнения самих коэффициентов характеристического полинома или, по крайней мере, простых арифметических выражений, составленных из них.

К сожалению, в литературе не встречается рекомендаций на эту тему, за исключением систем первого, второго и третьего порядков, для которых простые правила даются критерием устойчивости Гурвица. Поэтому оценка устойчивости системы на вскидку по ее характеристическому полиному требует привлечения инженерной интуиции. Тем не менее, здесь могут быть даны некоторые рекомендации, упрощающие эту работу.

Пусть передаточная функция Ф(p) замкнутой САР имеет вид:


(5)

gif-file, 20KB

1. В первую очередь целесообразно посмотреть, устойчива ли низкочастотная часть исходной САР. Для этого рассматривается усеченная передаточная функция


(6)

gif-file, 20KB

Здесь, в соответствии с критерием Гурвица для устойчивости необходимо и достаточно, чтобы gif-file, 20KB, что легко проверяется в уме или на калькуляторе. Оптимизма прибавится, если НЧ часть будет иметь хороший запас устойчивости, когда левая часть неравенства будет в несколько (много) раз меньшей, чем правая.

2. Коэффициенты полинома an-3, an-3 и an-1 у устойчивой системы могут быть разными, они могут возрастать или убывать с понижением индекса. Коэффициенты полинома, с нормированной по an-1 переменной ( gif-file, 20KB ), начиная с an-3, у устойчивой системы убывают все быстрее с уменьшением индекса.

Практическую верхнюю границу скорости убывания при которой система скорее всего устойчива, можно, например, задать системой неравенств:


(7)

gif-file, 20KB

(7) Для систем 4 -7 порядков удачно, если окажется, что можно выбрать ku = 10, т.е. при таком значении неравенства (7) выполняются.

Можно также взглянуть на выполнение условий:

(8)

gif-file, 20KB

Отметим, что условия (7) и (8) не являются строго достаточными условиями устойчивости. Но во многих случаях, для практических целей, они могут быть применены для выявления систем со значительными запасами устойчивости.

Неравенства (7) и (8) позволяют воспринимать коэффициенты характеристического полинома не просто как абстрактные числа, пропустив которые через аппарат критерия Гурвица, Раусса или Михайлова можно получить ответ на вопрос об устойчивости. Эти неравенства показывают, как должны вести себя эти числа, чтобы САР была устойчивой: все быстрее уменьшаться с уменьшением индекса.

Конечно, в случае каких-либо сомнений необходимо проверить полученные результаты строгим критерием.

Примечание. Автор на протяжении ряда лет предлагает своим студентам сформулировать простой критерий, в соответствии с которым можно было бы быстро и легко оценивать, устойчива ли система по скорости убывания коэффициентов знаменателя. Достаточно получить простые формулы для оценки верхней границы или коридора, не обязательно точных, для коэффициентов, при которых система сохраняет устойчивость. Думается, что решение этой задачи по плечу студентам, но полученные до сего времени решения не могут быть признаны удовлетворительными. Можно предположить, что это связано с недостаточным вниманием, уделяемым в последние годы аналитическим методам исследований в системе подготовки инженеров, которая в значительной мере ориентирована на компьютерные методы решения задач.

М.б. кому-то из студентов удастся решить эту задачу?

Примечание 2. Оказывается, что эта задача уже достаточно давно и эффективно решена, см. письмо читателя в Приложении.

С учетом статьи [4], на которую ссылается Леонид Маркович Скворцов целесообразно условие (8) модифицировать:

ak· ak-3 < ak-2· ak-1,

т.е. сравнивать произведение двух "внутренних" коэффициентов с произведением "внешних". Но может быть есть и другие решения? Положительный ответ на вопрос об устойчивости системы позволяет и делает целесообразным проведение оценки качества САР.

2.1.2. качество САР

2.1.2. а, статика

Статика, статический режим работы САР – важный частный случай установившегося режима, когда воздействие на систему постоянно. Размерность и величина коэффициента усиления САР, при правильном выборе размерностей входной и выходной величин, определяют не только крутизну статической характеристики, но и чувствительность системы к изменению воздействия, например 10 кПа/В. Та же самая величина, выраженная в виде 10 Па/мВ может не отражать чувствительность системы к изменению воздействий, если уровень собственных шумов, приведенных ко входу, составляет, например 100 мВ.

Коэффициент усиления САР можно найти как kст = Ф(0). Он виден и непосредственно из выражения (5) для передаточной функции САР, представленной в канонической форме.

2.1.2, б переходный режим

Для экспресс - оценки качества переходного режима устойчивой системы, как правило, достаточно воспользоваться моделью системы второго или даже первого порядка. Рассмотрим упрощение САР до модели второго порядка:


(9)

gif-file, 20KB

В (9) легко определить постоянную времени T и декремент затухания δ:


(10)

gif-file, 20KB

Если Tф1 << an-1, то влиянием форсирующего множителя можно пренебречь. Тогда свойства САР будут определяться коэффициентами полинома знаменателя:

- если δ < 0.5 то время затухания переходного процесса, т.е. время регулирования, равно tp = 3T / δ = 6 an-2/ an-1, переходный процесс колебательный;

- если 0.5 < δ < 1, что говорит о настройке системы близкой к оптимальной по быстродействию, то время регулирования не превышает tp = 6T (см. рис.3) и перерегулирование σ меняется от 18 % до нуля при увеличении декремента затухания от 0.5 до 0.707;

- в критическом режиме, при δ = 0.707 длительность переходного процесса минимальна: tp, = 2.1T. Переходный процесс на границе апериодического и монотонного;

- если δ > 1 , то tp = 6δT, переходный процесс монотонный.

gif-file, 20KB

Рис.2. Длительность переходного процесса звена второго порядка в колебательном режиме (δ < 0.707) зависит только от отношения Т/δ. Если это отношение равно 1 сек, то длительность переходного процесса равна 3 сек. При δ > 1 переходный процесс монотонный, его продолжительность пропорциональна произведению δT: tp = 6δT

Для поддержания постоянства длительности переходного процесса в колебательном режиме нужно изменять и декремент затухания, и постоянную времени в одинаковое число раз. В монотонном режиме картина обратная: длительность переходного процесса сохраняется, если с увеличением постоянной времени во столько же раз уменьшать декремент затухания.

gif-file, 20KB

Рис.3 . Зависимость длительности и вида переходного процесса колебательного звена от его декремента затухания и постоянной времени

Если Tф1 > an-1, то это не желательно ввиду чрезмерного перерегулирования у такой системы (рис. 4).

Если Tф1 порядка an-1, но меньше него, то форсирующий множитель существенно и позитивно влияет на длительность переходного процесса, сокращая его:

gif-file, 20KB

Рис.4. Форсирующий множитель сокращает длительность переходного процесса апериодического звена второго порядка пока его постоянная времени Тф меньше главной постоянной времени системы an-1 = 2δT = 2. Дальнейшее увеличение постоянной времени Тф приводит к появлению значительного перерегулирования и увеличению продолжительности переходного процесса. Это справедливо и для систем более высоких порядков

Т.о., оптимальное значение постоянной времени Тф форсирующего звена, минимизирующее время переходного процесса, несколько меньше главной, наибольшей постоянной времени системы.

2.1.2, в. установившийся режим

По переходной характеристике САР можно сразу определить степень ее астатизма. Действительно, пусть передаточная функция разомкнутого контура имеет вид:


(11)

gif-file, 20KB

Очевидно, что САР, соответствующая формуле (11) имеет порядок астатизма, равный ν. Тогда


(12)

gif-file, 20KB

Как видно, число младших членов, совпадающих в числителе и знаменателе равно ν – степени астатизма. Например САР типового вида, с жесткой единичной обратной связью и передаточной функцией


(13)

gif-file, 20KB

имеет второй порядок астатизма. Отметим, что (13) описывает САР, настроенную на симметричный оптимум (СО).

Из предельных соотношений преобразования Лапласа


(14)

gif-file, 20KB

с учетом того, что изображение переходной функции h(t) равно


(15)

gif-file, 20KB

следует, что уровень, к которому стремится переходная функция устойчивой САР, равен:

(16)

gif-file, 20KB

Формулы для оценки параметров качества САР полезны не только для получения оценок параметров конкретной системы, но и потому, что они позволяют определить направление и меры, которые следует предпринять, чтобы улучшить свойства САР

2.2. Оценка свойств системы по передаточной функции ее разомкнутого контура

Передаточная функция разомкнутого контура содержит много важной информации о системе. Это сведения об устойчивости САР ее быстродействии в переходном и установившемся режимах работы, реализуемости САР и др.

gif-file, 20KB

Рис.5. Разомкнутый контур типовой САР

Для многих сравнительно простых систем числитель передаточной функции имеет нулевую, первую, в крайнем случае, вторую степень. В противном случае, ввиду быстрого убывания коэффициентов полинома числителя, что часто бывает на практике, можно пренебречь членами более высоких степеней. Поэтому передаточную функцию типовой САР можно и целесообразно привести к виду:



(17)

gif-file, 20KB

Формула (17) позволяет немедленно получить ряд важных сведений о САР:

- коэффициент усиления контура равен k;

- представление об устойчивости САР: если хотя бы один коэффициент полинома знаменателя отрицателен, то разомкнутый контур не устойчив, в противном случае он может быть как устойчивым, так и не устойчивым. Косвенно судить об устойчивости разомкнутого контура можно по скорости убывания членов характеристического полинома, начиная с члена третьей степени (см. выше);

- порядок астатизма замкнутой САР равен ν. При ν = 0 САР статическая и коэффициент k – безразмерный, а при ν > 0, он имеет размерность. На практике, как правило, ν < 3, т.е. применяются статические системы, и системы первого и второго порядка астатизма;

Кроме того, путем несложных вычислений могут быть определены или оценены с некоторой точностью и другие характеристики как разомкнутой, так и замкнутой САР:

- поведение ЛАЧХ на высоких и низких частотах,

- порядок величины частоты среза ωср , а следовательно и быстродействие замкнутой САР в переходном режиме – показатель ее качества;

- оценка коэффициентов ошибок САР – показателей качества регулирования САР в установившемся режиме;

и др.

2.3. Пример анализа свойств САР по передаточной функции ее контура

Пусть передаточная функция контура САР в разомкнутом состоянии имеет вид:

(18)

gif-file, 20KB

Из (18) видно следующее:

- САР статическая (ν = 0), «чистых» интеграторов в контуре нет;

- коэффициент усиления контура равен 13.2. Это неплохо: для обеспечения хорошего качества установившегося режима контур регулирования статической САР должен иметь усиление в диапазоне 10 - 100 единиц (20 - 40 дБ);

- коэффициенты полинома знаменателя (характеристического полинома) положительны. Следовательно, в соответствии с правилом Стодолы разомкнутый контур может быть устойчивым;

- разомкнутая САР в соответствии с критерием Гурвица устойчива: 0.074 · 0.98 = 0.072 > 0.93 · 10-4. Ее внутренний запас устойчивости 0.074 ·0.98 / 0.93 · 10-4 = 735, т.е. весьма велик. Устойчивость разомкнутого контура является условием практического применения критерия Найквиста. Следовательно, можно строить и анализировать ЛАЧХ и ЛФЧХ, т.е. оценивать устойчивость замкнутой САР с помощью критерия Найквиста;

- учитывая то, что коэффициент при старшей степени характеристического полинома значительно меньше, чем коэффициент при второй степени, ограничиваясь тремя членами в знаменателе, т.е. аппроксимируя разомкнутый контур колебательным звеном, получим декремент затухания последнего. Он равен gif-file, 20KB, следовательно, корни действительные и переходный процесс разомкнутой САР монотонный.

Напомним, что при δ > 0.707 переходный процесс колебательного звена монотонный, при 0.55 < δ < 0.707 – апериодический и при δ < 0.55 – колебательный. Т.о., колебательность на нижних частотах в системе (18) не проявляется, и в низкочастотной области ЛАЧХ разомкнутого контура САР резонансного пика не будет;

- главная постоянная времени а2 = 2δT равна 0.98 сек (см. (18)), поскольку δ > 1;

- учитывая предполагаемый монотонный характер переходного процесса, его длительность tp можно оценить, аппроксимируя модель апериодическим звеном: tp = 3·2δ·T = 3·0.98 = 3 сек. Рис.6, на котором изображена переходная функция разомкнутого контура, построенная по точной формуле, подтверждает полученное значение:

gif-file, 20KB

Рис.6. Переходная характеристика разомкнутого контура САР, рассматриваемой в примере

- ЛАЧХ на нижних частотах, ввиду того, что декремент затухания больше 0.5, не содержит резонансного пика, и ее поведение определяется апериодическим звеном:


(19)

gif-file, 20KB

Как видно в (19), в области нижних частот аппроксимация ЛАЧХ проходит на уровне 20 lg(13.2) = 22.4 дБ, а на частоте ω1 = 1/0.98 = 1.02 рад/сек приобретает наклон -20 дБ/дек.

- Поведение ЛАЧХ на верхних частотах определяется старшими членами числителя и знаменателя (18):


(20)

gif-file, 20KB

Из (20) видно, что на ВЧ САР заменяется последовательным соединением трех интеграторов и наклон ЛАЧХ на верхних частотах составляет -60 дБ/дек. Продолжение этой линии влево - вверх пересекает ось абсцисс на частоте ω = gif-file, 20KB = 24.2 рад/сек.

Для сравнения на рис. 7 приведена ЛАЧХ, построенная по точной формуле и ее аппроксимация в НЧ, СЧ и ВЧ областях.

gif-file, 20KB

Рис. 7. ЛАЧХ САР и ее кусочно-линейная аппроксимация

Примечание. Более обстоятельно экспресс-метод построения аппроксимации ЛАЧХ рассмотрен в статье [3].

- Выражение (16) позволяет получить коэффициенты ошибок замкнутой САР – показатели качества установившегося режима. Действительно, передаточная функция замкнутой САР по ошибке, обусловленной заданием, имеет вид:


(21)

gif-file, 20KB

У достаточно хороших систем, для которых только и имеет смысл определять коэффициенты ошибок, усиление в области нижних частот превышает 20 дБ. Поэтому, пренебрегая единицей в знаменателе, комплексный коэффициент передачи по ошибке замкнутой САР в области нижних частот можно с хорошим приближением записать в виде:


(22)

gif-file, 20KB

Отсюда: с0 = 0.076, с1 = 0.074 сек. с2 = 0.056/2 = 0.028 сек2.

Т.о., для оценки величины коэффициентов ошибок, нужно разделить коэффициенты трех последних слагаемых характеристического полинома на коэффициент усиления, а коэффициент второго порядка еще на и два.

Практически все оценки могут быть выполнены в уме.

Знание того, как примерно пойдет ЛАЧХ позволяет контролировать результаты, получаемые моделирующей программой. Здесь конечно, речь не идет о том, что программа может вычислить не правильно, за редким исключением, а о правильности задания ей исходных параметров исследователем.

Заключение

Вооружившись этими знаниями о системе, которые легко получить, проектировщику можно с открытыми глазами проводить моделирование, качественно предвосхищая ожидаемые результаты. Студент, выполняющий и преподаватель, проверяющий курсовую работу, могут по косвенным признакам оценить правильность ее выполнения.

Литература и Интернет

  1. Официальный сайт фирмы Visual Solution
    http://www.vissim.com/
  2. "Консультационный центр MATLAB компании SoftLine"
    http://www.matlab.ru/
  3. Федосов Б.Т. Построение аппроксимации ЛАЧХ САР методом переключения степеней
    http://model.exponenta.ru/bt/bt_00112.html
  4. В.С. Воронов. Показатели устойчивости и качества робастных систем управления // Теория и системы управления. 1995. №6. С. 49-54.

04.01.2005

Приложение

Отклик читателя

Вот что сообщил автору Скворцов Леонид Маркович, один из разработчиков ПК "МВТУ"
(публикуется с согласия автора письма):


В одной из статей на Model.Exponenta.Ru Вы затронули вопрос о существовании простых критериев, позволяющих судить об устойчивости либо неустойчивости системы по коэффициентам характеристического полинома.

Такие критерии существуют, их получил около 40 лет назад Владимир Сергеевич Воронов. К сожалению, первоначально эти результаты были опубликованы только в закрытой печати. В начале 70-х, ознакомившись с диссертацией В.С. Воронова, Н.И. Соколов и А.В. Липатов опубликовали эти результаты в открытой печати. Сам же В.С. Воронов впервые опубликовал свои результаты в открытой печати только в конце 70-х. Поэтому в литературе простые достаточные условия неустойчивости и устойчивости иногда называют "условиями Соколова-Липатова", хотя на самом деле их автор - В.С. Воронов. Мне об этом рассказал сам Владимир Сергеевич, и не верить ему у меня нет никаких оснований.

Я познакомился с В.С. Вороновым около 10 лет назад (кажется, это было в 1994 году), тогда он работал в НПО "Альтаир". В то время или немного позже Владимир Сергеевич оформлял пенсию, так что сейчас ему около 70 лет.

В то время Владимир Сергеевич подготовил рукопись книги по вопросам устойчивости систем управления и обратился к зав. отдела машинных методов проектирования Машиностроительного ф-та МГТУ им. Баумана Алексею Ивановичу Максимову. А.И. Максимов пригласил Владимира Сергеевича к нам в МГТУ, где В.С. рассказал нам (А.И. Максимову, мне и Петру Дмитриевичу Крутько - профессору МГТУ) о своих результатах.

Обсудив ситуацию (тогда издать научно-техническую книгу было уже довольно сложно) мы посоветовали Владимиру Сергеевичу написать статью, в которой он обобщил бы свои результаты, а П.Д. Крутько обещал опубликовать эту статью в журнале "Изв. РАН. Теория и системы управления" (он является членом редколлегии этого журнала). Так собственно и появилась статья, в которой в сжатом виде изложены основные результаты:

В.С. Воронов. Показатели устойчивости и качества робастных систем управления
// Теория и системы управления. 1995. №6. С. 49-54.

Следуя этой статье, устойчивость и качество системы управления с характеристическим полиномом:

a0 + a1p + ... + anpn,

можно оценить с помощью следующих показателей:

  1. ωk = ak-1/ak, k = 1, ..., n; — приближенные сопрягающие частоты.
  2. Ωk = ωk+1k, k = 1, ..., n-1; — показатели (меры) качества.
  3. Wk = ωk+2k, k = 1, ..., n-2; — показатели (меры) устойчивости.

На основе этих показателей получены простые условия устойчивости. Приведу некоторые из них (предполагается, что все коэффициенты полинома положительные).

  1. Wk > 1, k = 1, ..., n-2; — необходимое условие устойчивости (достаточное условие неустойчивости).
  2. Wk > 2.148, k = 1, ..., n-2; — достаточное условие устойчивости.
  3. Ωk > sqrt(3) = 1.732, k = 1, ..., n-1; — достаточное условие (качественной) устойчивости.

Кроме простоты, ценность этих критериев также и в том, что они дают количественные оценки устойчивости и качества системы. Они позволяют также выявить наиболее "слабые" коэффициенты характеристического полинома и показывают, как их нужно изменить, чтобы обеспечить устойчивость и качество системы.

Приведу еще один источник, где в несколько ином виде изложены практически эти же результаты:

Системы автоматического управления объектами с переменными параметрами. / Б. Н. Петров, Н. И. Соколов, А. В. Липатов и др. - М.: Машиностроение, 1986.


Как видно, простые, наглядные и эффективные правила существуют и сформулированы уже достаточно давно. Кроме того, это письмо указывает на приоритет В. С. Воронова в этом вопросе.

Условие I требует принимать в рассмотрение системы, в которых отсутствуют кратные корни. Последовательные модели таких систем состоят из апериодических и колебательных звеньев с отличающимися постоянными времени. Для колебательных звеньев здесь и ниже вместо постоянной времени следует использовать величины: 2δT и T/2δ.

Условие II требует, чтобы постоянные времени звеньев были достаточно разнесены по величине.

Условие III более жестко, чем условие II, требует разнесения постоянных времени звеньев. Так, если постоянные времени последовательно отличаются в два раза и более, то САР не только устойчива, но и обладает хорошим качеством.

Б. Т. Федосов
28.01.2005

Дополнение.

При более подробном рассмотрении выясняется, что частоты сопряжения линейных отрезков ЛАЧХ, полученные по постоянным времени звеньев последовательной модели, и по коэффициентам полинома могут существенно отличаться. Отсюда вытекает, что критерии Воронова допускают наличие кратных корней. Обсуждению этого вопроса, а также вопросам анализа и синтеза САР с использованием критерия В.С. Воронова посвящена статья:

Скворцов Л. М. Федосов Б. Т. Об алгебраических критериях В.С. Воронова устойчивости и качества линейных систем

http://model.exponenta.ru/bt/bt_00118.html 15.03.2005

Б. Т. Федосов
22.03.2005